О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка
Розглянуто квазiдиференцiальнi оператори парного порядку, що заданi на скiнченному iнтервалi. За допомогою канонiчних крайових умов знайдено параметричнi описи всiх самоспряжених та максимальних дисипативних розширень мiнiмального симетричного квазiдиференцiального оператора в гiльбертовому просторi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8445 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка / А.С. Горюнов, В.А. Михайлец // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860164664990629888 |
|---|---|
| author | Горюнов, А.С. Михайлец, В.А. |
| author_facet | Горюнов, А.С. Михайлец, В.А. |
| citation_txt | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка / А.С. Горюнов, В.А. Михайлец // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглянуто квазiдиференцiальнi оператори парного порядку, що заданi на скiнченному iнтервалi. За допомогою канонiчних крайових умов знайдено параметричнi описи всiх самоспряжених та максимальних дисипативних розширень мiнiмального симетричного квазiдиференцiального оператора в гiльбертовому просторi L2([a, b],C), а також його узагальнених резольвент.
The quasi-differential operators of an even order on a compact interval are studied. Parametric descriptions by means of the canonical boundary conditions for self-adjoint and maximal dissipative extensions of a symmetric minimal quasi-differential operator in the Hilbert space L2([a, b],C) and its generalized resolvents are found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:55:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.984.5
© 2009
А.С. Горюнов, В. А. Михайлец
О расширениях симметрических
квазидифференциальных операторов четного порядка
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком)
Розглянуто квазiдиференцiальнi оператори парного порядку, що заданi на скiнченному
iнтервалi. За допомогою канонiчних крайових умов знайдено параметричнi описи всiх са-
моспряжених та максимальних дисипативних розширень мiнiмального симетричного
квазiдиференцiального оператора в гiльбертовому просторi L2([a, b], C), а також його
узагальнених резольвент.
В последние годы в математической физике существенно усилился интерес к дифферен-
циальным операторам с сингулярными коэффициентами (см., напр., [1, 2] и приведенную
там библиогр). Некоторые из таких операторов можно интерпретировать как квазидиффе-
ренциальные. Они естественным образом содержат в себе дифференциальные операторы
(см. [3]). В связи с этим в настоящей работе исследуются симметрические в гильберто-
вом пространстве L2([a, b], C) квазидифференциальные операторы произвольного четного
порядка. Они не охватываются рассмотренными в [4–6].
Основной результат работы состоит в биективном параметрическом описании посред-
ством краевых условий канонического вида всех самосопряженных, максимальных дисси-
пативных расширений минимального оператора и его обобщенных резольвент. При этом
существенно используются результаты из [7–9]. Квазидифференциальные операторы не-
четного порядка имеют некоторые особенности и будут рассмотрены отдельно.
1. Квазидифференциальные уравнения. Пусть m ∈ N и на замкнутом интервале
[a, b] задана двойная последовательность функций pk,s(x) ∈ L1([a, b], C), k = 1, 2, . . . ,m,
s = 0, 1, . . . , k − 1.
Введем с их помощью рекуррентным образом квазипроизводные функции y(x) порядков
6 m:
D0y := y, D := −i
d
dx
,
Dky := D(Dk−1y) +
k−1∑
s=0
pk,s(x)Dsy, k = 1, 2, . . . ,m.
Если существуют квазипроизводные Dky ∈ W 1
1 ([a, b], C), k 6 m − 1, то квазипроизвод-
ная Dmy также существует и является суммируемой на [a, b] функцией.
Обозначим через W
[m]
2 ([a, b], C) =: W
[m]
2 комплексное линейное пространство тех функ-
ций y(x) ∈ L2([a, b], C) =: L2, для которых Dky(x) ∈ W 1
1 ([a, b], C), k = 1, . . . ,m−1, Dmy(x) ∈
∈ L2.
Приведем некоторые свойства квазидифференциальных уравнений l(y) := Dmy = f(x).
Теорема 1. Неоднородная задача Коши
l(y) = f(x) ∈ L2,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 19
Dky(c) = ck, k = 0, 1, . . . ,m − 1, c ∈ [a, b, ]
имеет ровно одно решение y(x) ∈ W
[m]
2 при любом наборе чисел
ck ∈ C, k = 0, 1, . . . ,m − 1.
Используя теорему 1, можно получить свойства решений однородного квазидифферен-
циального уравнения
l(y) = 0, y ∈ W
[m]
2 . (1)
Пусть y1, y2, . . . , ym — решения уравнения (1). Определитель
W (y1, y2, . . . , ym) :=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y1 y2 . . . ym
D1y1 D1y2 . . . D1ym
...
...
...
...
Dm−1y1 Dm−1y2 . . . Dm−1ym
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
естественно называть определителем Вронского этих решений.
Лемма 1. Если решения y1, y2, . . . , ym уравнения (1) линейно зависимы, то их опреде-
литель Вронского тождественно равен нулю на [a, b]. Обратно, если этот определитель
равен нулю хотя бы в одной точке интервала [a, b], то решения y1, y2, . . . , ym линейно
зависимы.
Построим линейно независимую систему решений {y1, y2, . . . , ym} однородного уравне-
ния (1). Для этого выберем систему решений, которая удовлетворяет начальным условиям
Dk−1yj(c) = ajk, j, k = 1, 2, . . . ,m, c ∈ [a, b],
где определитель матрицы ‖ajk‖
m
j,k=1 не равен нулю. Тогда линейно независимая система
решений {y1, y2, . . . , ym} однородного уравнения будет его фундаментальной системой ре-
шений.
Лемма 2. Каждое решение однородного квазидифференциального уравнения (1) явля-
ется линейной комбинацией функций фундаментальной системы решений.
Из леммы 2 следует, что множество всех решений однородного квазидифференциально-
го уравнения (1) порядка m образует комплексное линейное пространство размерности m.
2. Минимальный и максимальный операторы. В гильбертовом пространстве L2
квазидифференциальное выражение l(y) = Dmy порождает максимальный квазидиффе-
ренциальный оператор
Lmax : y ∈ Dom(Lmax) → Lmaxy = l(y), Dom(Lmax) := W
[m]
2 .
Минимальный квазидифференциальный оператор определяется как сужение операто-
ра Lmax на линейное многообразие
Dom(Lmin) := {y ∈ Dom(Lmax) : Dky(a) = Dky(b) = 0, k = 0, 1, . . . ,m − 1}.
Будем предполагать далее, что почти всюду на [a, b]
pk,s(x) = pm−s,m−k(x), k = 1, 2, . . . ,m, s = 0, 1, . . . , k − 1.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Для таких (формально самосопряженных) квазидифференциальных выражений спра-
ведлив аналог формулы Лагранжа:
b∫
a
(Dmy · z − y · Dmz)dx = −i
m∑
k=1
Dm−ky · Dk−1z
∣∣∣
x=b
x=a
,
где y(x), z(x) — произвольные функции из W
[m]
2 .
Используя приведенные результаты, можно установить некоторые свойства минималь-
ного квазидифференциального оператора четного порядка m = 2n, n ∈ N.
Лемма 3. Квазидифференциальное уравнение l(y) = f(x) ∈ L2 имеет решение y(x) ∈
∈ W
[2n]
2 , удовлетворяющее условиям
Dky(a) = Dky(b) = 0, k = 0, 1, . . . , 2n − 1,
тогда и только тогда, когда функция f(x) ортогональна в L2 всем решениям однородного
уравнения (1).
Лемма 4. Справедливо ортогональное разложение
R(Lmin) ⊕ Ker(Lmax) = L2,
где R(Lmin) — область значений оператора Lmin, а Ker(Lmax) — нуль-пространство опе-
ратора Lmax.
Лемма 5 (о сюрьективности). Для произвольных наборов комплексных чисел
{α0, α1, . . . , α2n−1}, {β0, β1, . . . , β2n−1} существует функция y ∈ W
[2n]
2 такая, что
Dky(a) = αk, Dky(b) = βk, k = 0, 1, . . . , 2n − 1.
Пользуясь леммами 3, 4, 5, можно доказать, что верна
Теорема 2. Оператор Lmin является плотно заданным замкнутым симметрическим
оператором в пространстве L2 с индексом дефекта (2n, 2n),
L∗
min = Lmax, L∗
max = Lmin.
3. Самосопряженные расширения. Из теоремы 2 вытекает, что содержателен воп-
рос об описании (с помощью однородных краевых условий) самосопряженных расширений
в пространстве L2 симметрического оператора Lmin. Для исчерпывающего ответа на него
целесообразно использовать понятие пространства граничных значений (ПГЗ).
Пусть L — замкнутый симметрический оператор в сепарабельном гильбертовом прост-
ранстве H с равными (конечными или бесконечными) дефектными числами. Следуя [7],
введем
Определение. Тройка (H,Γ1,Γ2), где H — вспомогательное гильбертово пространс-
тво, а Γ1, Γ2 — линейные отображения Dom(L∗) в H, называется ПГЗ симметрического
оператора L, если:
1) для любых f , g ∈ Dom(L∗)
(L∗f, g)H − (f, L∗g)H = (Γ1f,Γ2g)H − (Γ2f,Γ1g)H ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 21
2) для любых векторов f1, f2 ∈ H существует вектор f ∈ Dom(L∗) такой, что Γ1f = f1,
Γ2f = f2.
Из определения ПГЗ следует, что f ∈ Dom(L) тогда и только тогда, когда Γ1f = Γ2f = 0.
ПГЗ существует для любого симметрического оператора с равными ненулевыми дефект-
ными числами. Оно не единственно. Удобный для приложений явный вид ПГЗ симметри-
ческого в гильбертовом пространстве L2 оператора Lmin дает следующее утверждение.
Теорема 3. Тройка (C2n,Γ1,Γ2), где Γ1, Γ2 — линейные отображения из W
[2n]
2 в C
2n
такие, что
Γ1y := i(D2n−1y(a), . . . ,Dny(a),−D2n−1y(b), . . . ,−Dny(b)),
Γ2y := (D0y(a), . . . ,Dn−1y(a),D0y(b), . . . ,Dn−1y(b)),
(2)
является пространством граничных значений оператора Lmin.
Из теоремы 3 и результатов, приведенных в [7], вытекает
Теорема 4. Сужение оператора Lmax на множество функций y(x) ∈ W
[2n]
2 , удовлет-
воряющих однородному краевому условию
(K − I)Γ1y + i(K + I)Γ2y = 0, (3)
где K — унитарный оператор в пространстве C
2n, является самосопряженным расшире-
нием LK оператора Lmin. Обратно, для каждого самосопряженного расширения L̃ опера-
тора Lmin найдется унитарный оператор K такой, что L̃ = LK . Соответствие между
унитарными операторами {K} и расширениями {L̃} биективно.
Теорема 5. Краевые условия (3) будут разделенными, если и только если
K =
(
Ka 0
0 Kb
)
, (4)
где Ka, Kb — унитарные операторы (матрицы) в пространстве C
n.
Для дифференциальных операторов с операторными коэффициентами аналоги тео-
рем 4, 5 установлены в [11].
4. Диссипативные расширения и обобщенные резольвенты. Напомним, что плот-
но заданный линейный оператор L в комплексном гильбертовом пространстве H называют
диссипативным, если
Im(Lf, f)H > 0, f ∈ Dom(L),
и максимальным диссипативным, если, кроме того, у L нет нетривиальных диссипативных
расширений в пространстве H. В частности, каждый симметрический оператор диссипа-
тивный, а самосопряженный — максимальный диссипативный.
Параметрическое описание всех максимальных диссипативных расширений симметри-
ческого квазидифференциального оператора Lmin дает
Теорема 6. Cужение оператора Lmax на множество функций y(x) ∈ W
[2n]
2 , удовлетво-
ряющих однородному краевому условию (3), где K — сжатие в пространстве C
2n, являет-
ся максимально диссипативным расширением LK оператора Lmin. Обратно, для каждого
максимального диссипативного расширения L̃ оператора Lmin найдется сжатие K такое,
что L̃ = LK . Соответствие между сжатиями {K} и расширениями {L̃} биективно.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Теорема 7. Диссипативные краевые условия вида (3) будут разделенными, если и толь-
ко если матрица K имеет вид (4), где Ka, Kb — сжатия в пространстве C
n.
Для формулировки следующей теоремы нам потребуются некоторые определения. Обоб-
щенной резольвентой замкнутого симметрического оператора L называют операторную
функцию Rλ комплексного параметра λ ∈ C \ R, допускающую представление вида
Rλf = P+(L+ − λI+)−1f, f ∈ H,
где L+ — какое-либо самосопряженное расширение оператора L с выходом, вообще говоря,
в более широкое, чем H, пространство H+, I+ — единичный оператор в H+, P+ — оператор
ортогонального проектирования в H+ на H. Операторная функция Rλ (Im λ 6= 0) является
обобщенной резольвентой симметрического оператора L тогда и только тогда, когда
(Rλf, g)H =
+∞∫
−∞
d(Fµf, g)
µ − λ
, f, g ∈ H,
где Fµ — обобщенная спектральная функция оператора L. Это означает, что операторная
функция Fµ, µ ∈ R, обладает следующими свойствами [10]:
10. При µ2 > µ1 разность Fµ2
− Fµ1
является ограниченным неотрицательным опера-
тором;
20. Fµ+0 = Fµ при всех вещественных µ;
30. При любом x ∈ H
lim
µ→−∞
‖Fµx‖H = 0, lim
µ→+∞
‖Fµx − x‖H = 0.
Параметрическое внутреннее описание всех обобщенных резольвент симметрического
в L2 квазидифференциального оператора Lmin дает
Теорема 8. Имеется взаимно однозначное соответствие между обобщенными резоль-
вентами оператора Lmin и краевыми задачами
l(y) = λy + h,
(K(λ) − I)Γ1y + i(K(λ) + I)Γ2y = 0,
где λ — комплексное число, Im λ < 0, h(x) ∈ L2, а параметр K(λ) — регулярная в нижней
полуплоскости операторная функция в пространстве C
2n такая, что ||K(λ)|| 6 1. Оно
задается равенством Rλh = y, Im λ < 0.
Исследование поддержано Государственным фондом фундаментальных исследований Украины,
грант № 14.1/003.
1. Михайлец В.А., Молибога В.Н. Возмущение периодических и полупериодических операторов рас-
пределениями Шварца // Доп. НАН України. – 2006. – № 7. – С. 26–31.
2. Mikhailets V.A., Molyboga V.M. Singular perturbed periodic and semiperiodic differenial operators //
Укр. мат. журн. – 2007. – 59, No 6. – С. 785–797.
3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – Москва: Наука, 1969. – 528 с.
4. Шин Д. Теорема существования квазидифференциального уравнения n-го порядка // Докл. АН
СССР. – 1938. – 18, № 8. – С. 515–518.
5. Шин Д. О решениях линейного квазидифференциального уравнения n-го порядка // Мат. сб. – 1940. –
7 (49), № 3. – С. 479–532.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 23
6. Шин Д. О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве // Там же. – 1943. –
13 (55), № 1. – С. 39–70.
7. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. –
Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с.
8. Брук В.М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии //
Мат. сб. – 1976. – 100 (142), № 2 (6). – С. 210–216.
9. Штраус А. В. Обобщенные резольвенты симметрических операторов // Изв. АН СССР. Сер. мат. –
1954. – 18, № 1. – С. 51–86.
10. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Москва:
Наука, 1966. – 544 с.
11. Рофе-Бекетов Ф.С. О самосопряженных расширениях дифференциальных операторов в пространст-
ве вектор-функций // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. – 1969. – № 8. –
С. 3–24.
Поступило в редакцию 03.07.2008Институт математики НАН Украины, Киев
A. S. Goriunov, V. A. Mikhailets
On extensions of symmetric quasi-differential operators of even order
The quasi-differential operators of an even order on a compact interval are studied. Parametric
descriptions by means of the canonical boundary conditions for self-adjoint and maximal dissipative
extensions of a symmetric minimal quasi-differential operator in the Hilbert space L2([a, b], C) and
its generalized resolvents are found.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8445 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:55:59Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горюнов, А.С. Михайлец, В.А. 2010-05-28T14:27:31Z 2010-05-28T14:27:31Z 2009 О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка / А.С. Горюнов, В.А. Михайлец // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 19-24. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8445 517.984.5 Розглянуто квазiдиференцiальнi оператори парного порядку, що заданi на скiнченному iнтервалi. За допомогою канонiчних крайових умов знайдено параметричнi описи всiх самоспряжених та максимальних дисипативних розширень мiнiмального симетричного квазiдиференцiального оператора в гiльбертовому просторi L2([a, b],C), а також його узагальнених резольвент. The quasi-differential operators of an even order on a compact interval are studied. Parametric descriptions by means of the canonical boundary conditions for self-adjoint and maximal dissipative extensions of a symmetric minimal quasi-differential operator in the Hilbert space L2([a, b],C) and its generalized resolvents are found. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка On extensions of symmetric quasi-differential operators of even order Article published earlier |
| spellingShingle | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка Горюнов, А.С. Михайлец, В.А. Математика |
| title | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка |
| title_alt | On extensions of symmetric quasi-differential operators of even order |
| title_full | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка |
| title_fullStr | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка |
| title_full_unstemmed | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка |
| title_short | О расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка |
| title_sort | о расширениях симметрических квазидифференциальных операторов четного порядка |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8445 |
| work_keys_str_mv | AT gorûnovas orasšireniâhsimmetričeskihkvazidifferencialʹnyhoperatorovčetnogoporâdka AT mihailecva orasšireniâhsimmetričeskihkvazidifferencialʹnyhoperatorovčetnogoporâdka AT gorûnovas onextensionsofsymmetricquasidifferentialoperatorsofevenorder AT mihailecva onextensionsofsymmetricquasidifferentialoperatorsofevenorder |