Дифференциальные инварианты слоений
Обчислено структури алгебр диференцiальних iнварiантiв для гладких шарувань на многовидах. We find the algebras of differential invariants for foliations on manifolds.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8446 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дифференциальные инварианты слоений / В.М. Кузаконь // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 25-27. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860049391746809856 |
|---|---|
| author | Кузаконь, В.М. |
| author_facet | Кузаконь, В.М. |
| citation_txt | Дифференциальные инварианты слоений / В.М. Кузаконь // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 25-27. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Обчислено структури алгебр диференцiальних iнварiантiв для гладких шарувань на многовидах.
We find the algebras of differential invariants for foliations on manifolds.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:59:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
© 2009
В.М. Кузаконь
Дифференциальные инварианты слоений
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.В. Шарко)
Обчислено структури алгебр диференцiальних iнварiантiв для гладких шарувань на мно-
говидах.
Пусть F — гладкое слоение коразмерности m на многообразии M . Локально это слоение
может быть задано набором h = (h1, . . . , hm) первых интегралов, где hi ∈ C∞
loc(M), dh1∧· · ·∧
∧dhm 6= 0. При этом два набора h, и α(h), где α : Rm → Rm — локальный диффеоморфизм,
определяют одно и тоже слоение. Имея это в виду, рассмотрим расслоение π : Rm × M →
→ M , тогда каждое локальное сечение sf : x ∈ M 7→ (x, f1(x), . . . , fm(x)) ∈ Rm × M этого
расслоения определяет слоение f1 = c1, . . . , fm = cm при условии регулярности
df1 ∧ · · · ∧ dfm 6= 0. (1)
Псевдогруппа всех локальных диффеоморфизмов Rm естественным образом действует
на пространстве сечений π. А именно, образом сечения s ∈ C∞
loc(π) при диффеоморфизме α
является сечение
α(s) = (α × 1) ◦ s. (2)
Пусть Jk(π) — многообразие k-джетов локальных сечений расслоения π, а Jk
0 (π) ⊂
⊂ Jk(π) — многообразие k-джетов регулярных сечений. Описанное выше калибровочное
действие (2) поднимается [2] до действия α(k) в расслоении k-джетов πk : Jk(π) → M ,
α(k)([s]kx) = [α(s)]kx,
где через [s]kx обозначен k-джет сечения s в точке x ∈ M . Аналогично, каждое векторное
поле V на пространстве Rm, рассматриваемое как вертикальное векторное поле на расслое-
нии π, продолжается [2] до вертикального векторного поля V (k) на расслоении πk. А именно,
векторному полю V (k) отвечает локальная однопараметрическая группа преобразований
α
(k)
t : Jk(π) → Jk(π),
где αt : Rm × M → Rm × M — группа сдвигов вдоль векторного поля V . Отметим, что при
этом α
(k)
t : Jk
0 (π) → Jk
0 (π).
Дифференциальным инвариантом слоений порядка 6 k мы называем [1, 3] гладкую
функцию F ∈ C∞(Jk
0 (π)) такую, что V k(F ) = 0, для всех векторных полей V ∈ D(Rm)
на Rm.
Выберем локальные координаты (x1, . . . , xn) в M , и пусть u1, . . . , um — координаты в Rm.
Соответствующие локальные координаты в Jk(π) будем обозначать через ui
σ, где
ui
σ([sf ]ka) =
∂|σ|fi
∂xσ
(a), a ∈ M,
и σ = (σ1, . . . , σn) — мультииндекс длины |σ| = σ1 + · · · + σn 6 k.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 25
Пусть
Vϕ =
m∑
i=1
ϕi(u)
∂
∂ui
—
векторное поле на Rm, тогда в выбранной системе координат векторное поле V (k)
ϕ примет
вид [2]
V (k)
ϕ =
∑
i,|σ|6k
Dσ(ϕi)
∂
∂ui
σ
,
где Dσ = Dσ1
1 ◦ · · · ◦ Dσn
n ,
Di =
∂
∂xi
+
∑
j,σ
u
j
σ+1i
∂
∂u
j
σ
—
операторы полной производной.
Таким образом, условие, что функция F = F (x, ui
σ) является дифференциальным ин-
вариантом слоений, эквивалентно тому, что
∑
i,σ
Dσ(ϕi)
∂F
∂ui
σ
= 0 (3)
для всех гладких функций ϕ1, . . . , ϕm.
Для описания дифференциальных инвариантов порядка 6 k мы обозначили через Nk
слой расслоения πk : Jk
0 (π) → M над точкой x ∈ M . Отметим, что Nk — гладкое много-
образие размерности mCk
n+k.
Обозначим через Pk распределение на многообразие Nk, задаваемое векторными поля-
ми V (k)
ϕ , где компоненты ϕ = (ϕ1(u), . . . , ϕm(u)) являются полиномами степени 6 k отно-
сительно переменных u1, . . . , um.
Теорема 1. 1. Распределение Pk является вполне интегрируемым распределением раз-
мерности mCk
m+k.
2. Функция F ∈ C∞(Jk
0 (π)) является дифференциальным инвариантом слоений тогда
и только тогда, когда ограничение F на слои Nk является 1-м интегралом распределе-
ния Pk.
Мы скажем, что дифференциальные инварианты F1, . . . , Fr порядка 6 k образуют
функциональный базис в алгебре дифференциальных инвариантов слоений в окрестности
V ⊂ Jk
0 (π), если любой дифференциальный инвариант порядка 6 k является функцией
F1, . . . , Fr в этой окрестности и если dF1 ∧ · · · ∧ dFr 6= 0 в этой окрестности. Число r мы
называем размерностью алгебры дифференциальных инвариантов порядка 6 k.
Теорема 2. Размерность rk алгебры дифференциальных инвариантов слоений порядка
6 k дается следующей формулой:
rk = m(Ck
n+k − Ck
m+k).
Как следует из этой теоремы (ср. [4]), не существует нетривиальных дифференциальных
инвариантов порядка 0, а размерность алгебры дифференциальных инвариантов первого
порядка равна m(n − m).
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Для того чтобы описать эти инварианты заметим, что слои проекции π1,0 : J1(π) →
→ M × Rm суть T ∗M ⊗ Rm, а каждый 1-джет [sf ]1a определяется m-ковекторами Θ1 =
= daf1, . . . ,Θm = dafm, если f1(a) = · · · = fm(a) = 0. Пусть Θ = Θ1 ∧ · · · ∧ Θm, тогда
под действием калибровочных преобразований, сохраняющих точку sf (a), m-ковектор Θ
переходит в пропорциональный, а следовательно, всякая функция F : Λm(T ∗
a M) \ 0 → R
и имеющая однородность степени 0 задает дифференциальный инвариант порядка 1.
Это позволяет указать базис в дифференциальных инвариантах 1-го порядка. А именно,
обозначение через MI , где I = 1 6 i1 < i2 < · · · < in−m 6 n — определитель матрицы ‖ui
j‖,
1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n, из которой удалены столбцы с номерами i1, . . . , in−m, и пусть
M =
√∑
I
M2
I .
Теорема 3. Размерность алгебры дифференциальных инвариантов слоений порядка 1
равна m(n − m), a функция
FI =
MI
M
локально порождает эту алгебру.
Для нахождения дифференциальных инвариатов порядка > 2 заметим, что дифферен-
цирования X̂ , являющиеся полными производными вдоль векторных полей X ∈ D(M) [2],
коммутируют с калибровочным действием, а потому X̂(F ) является дифференциальным
инвариантом порядка (k + 1) всякий раз, когда F является дифференциальным инвариан-
том порядка k. Непосредственный подсчет размерностей показывает, что справедлив сле-
дующий результат.
Теорема 4. 1. Функции F σ
I ∈ C∞(Jk
0 π), где
F σ
I = Dσ(FI), |σ| 6 k − 1,
являются дифференциальными инвариантами порядка 6 k.
2. Любой дифференциальный инвариант слоений порядка 6 k локально представим
в виде функции инвариантов F σ
I , |σ| 6 k − 1.
1. Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. Основные идеи и понятия дифференциаль-
ной геометрии. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления // Геометрия-1.
Т. 28. – Москва: ВИНИТИ, 1988. – 289 с.
2. Красильщик И.С., Лычагин В. В., Виноградов А. В. Введение в геометрию нелинейных дифференци-
альных уравнений. – Москва: Наука, 1986. – 336 с.
3. Кузаконь В.М. Тензорные инварианты сечений субмерсий с дополнительными структурами // Мат.
студiї. – 2002. – 17, № 2. – С. 199–210.
4. Кузаконь В.М. Вычисление дифференциальных инвариантов второго порядка субмерсий евклидовых
пространств // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2005. – 48, № 4. – С. 95–99.
Поступило в редакцию 09.07.2008Одесская национальная академия пищевых технологий
V.M. Kuzakon’
Differential invariants of foliations
We find the algebras of differential invariants for foliations on manifolds.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 27
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8446 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:59:04Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кузаконь, В.М. 2010-05-28T14:29:45Z 2010-05-28T14:29:45Z 2009 Дифференциальные инварианты слоений / В.М. Кузаконь // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 25-27. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8446 517.956.4 Обчислено структури алгебр диференцiальних iнварiантiв для гладких шарувань на многовидах. We find the algebras of differential invariants for foliations on manifolds. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Дифференциальные инварианты слоений Differential invariants of foliations Article published earlier |
| spellingShingle | Дифференциальные инварианты слоений Кузаконь, В.М. Математика |
| title | Дифференциальные инварианты слоений |
| title_alt | Differential invariants of foliations |
| title_full | Дифференциальные инварианты слоений |
| title_fullStr | Дифференциальные инварианты слоений |
| title_full_unstemmed | Дифференциальные инварианты слоений |
| title_short | Дифференциальные инварианты слоений |
| title_sort | дифференциальные инварианты слоений |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8446 |
| work_keys_str_mv | AT kuzakonʹvm differencialʹnyeinvariantysloenii AT kuzakonʹvm differentialinvariantsoffoliations |