О феномене статистической устойчивости
Представлена новая монография, посвященная исследованию физического феномена статистической устойчивости и изложению основ физико-математической теории гиперслучайных явлений, описывающей физические события, величины и процессы с учетом нарушений статистической устойчивости. Книга рассчитана на науч...
Saved in:
| Published in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84463 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О феномене статистической устойчивости / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2014. — № 4. — 196-206. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84463 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Горбань, И.И. 2015-07-08T13:46:38Z 2015-07-08T13:46:38Z 2014 О феномене статистической устойчивости / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2014. — № 4. — 196-206. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84463 53.01:53.05 + 519.2 Представлена новая монография, посвященная исследованию физического феномена статистической устойчивости и изложению основ физико-математической теории гиперслучайных явлений, описывающей физические события, величины и процессы с учетом нарушений статистической устойчивости. Книга рассчитана на научных работников, инженеров и аспирантов, исследующих статистические закономерности реальных физических явлений, разрабатывающих и использующих статистические методы высокоточных измерений, прогнозирования и обработки сигналов на больших интервалах наблюдения, а также для студентов старших курсов университетов физических, технических и математических специальностей. Представлено нову монографію, присвячену дослідженню фізичного феномену статистичної стійкості та викладенню основ фізико-математичної теорії гіпервипадкових явищ, що описує фізичні події, величини і процеси з урахуванням порушень статистичної стійкості. Книга розрахована на наукових працівників, інженерів і аспірантів, які досліджують статистичні закономірності реальних фізичних явищ, розробляють і використовують статистичні методи високоточних вимірювань, прогнозування і обробки сигналів на великих інтервалах спостереження, а також для студентів старших курсів університетів фізичних, технічних і математичних спеціальностей. It is presented a new monograph dedicated to the research of physical phenomenon of statistical stability and exposure of basics of physical-mathematical theory of hyper-random phenomena, the latter describing physical events, variables and processes with consideration of violation of statistical stability. The book is oriented on scientists, engineers, and post-graduate students researching in statistical laws of natural physical phenomena as well as developing and using statistical methods for high-precision measuring, prediction and signal processing on long observation intervals. It may also be useful for high-level courses for university students majoring in physical, engineering, and mathematical fields. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Нові проекти О феномене статистической устойчивости Про феномен статистичної стійкості On the phenomenon of statistical stability Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О феномене статистической устойчивости |
| spellingShingle |
О феномене статистической устойчивости Горбань, И.И. Нові проекти |
| title_short |
О феномене статистической устойчивости |
| title_full |
О феномене статистической устойчивости |
| title_fullStr |
О феномене статистической устойчивости |
| title_full_unstemmed |
О феномене статистической устойчивости |
| title_sort |
о феномене статистической устойчивости |
| author |
Горбань, И.И. |
| author_facet |
Горбань, И.И. |
| topic |
Нові проекти |
| topic_facet |
Нові проекти |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Математичні машини і системи |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про феномен статистичної стійкості On the phenomenon of statistical stability |
| description |
Представлена новая монография, посвященная исследованию физического феномена статистической устойчивости и изложению основ физико-математической теории гиперслучайных явлений, описывающей физические события, величины и процессы с учетом нарушений статистической устойчивости. Книга рассчитана на научных работников, инженеров и аспирантов, исследующих статистические закономерности реальных физических явлений, разрабатывающих и использующих статистические методы высокоточных измерений, прогнозирования и обработки сигналов на больших интервалах наблюдения, а также для студентов старших курсов университетов физических, технических и математических специальностей.
Представлено нову монографію, присвячену дослідженню фізичного феномену статистичної стійкості та викладенню основ фізико-математичної теорії гіпервипадкових явищ, що описує фізичні події, величини і процеси з урахуванням порушень статистичної стійкості. Книга розрахована на наукових працівників, інженерів і аспірантів, які досліджують статистичні закономірності реальних фізичних явищ, розробляють і використовують статистичні методи високоточних вимірювань, прогнозування і обробки сигналів на великих інтервалах спостереження, а також для студентів старших курсів університетів фізичних, технічних і математичних спеціальностей.
It is presented a new monograph dedicated to the research of physical phenomenon of statistical stability and exposure of basics of physical-mathematical theory of hyper-random phenomena, the latter describing physical events, variables and processes with consideration of violation of statistical stability. The book is oriented on scientists, engineers, and post-graduate students researching in statistical laws of natural physical phenomena as well as developing and using statistical methods for high-precision measuring, prediction and signal processing on long observation intervals. It may also be useful for high-level courses for university students majoring in physical, engineering, and mathematical fields.
|
| issn |
1028-9763 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84463 |
| citation_txt |
О феномене статистической устойчивости / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2014. — № 4. — 196-206. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gorbanʹii ofenomenestatističeskoiustoičivosti AT gorbanʹii profenomenstatističnoístíikostí AT gorbanʹii onthephenomenonofstatisticalstability |
| first_indexed |
2025-11-27T00:27:10Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:27:10Z |
| _version_ |
1850788525316767744 |
| fulltext |
196 © Горбань И.И., 2014
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
НОВІ ПРОЕКТИ
УДК 53.01:53.05 + 519.2
И.И. ГОРБАНЬ*
О ФЕНОМЕНЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
*
Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина
Анотація. Представлено нову монографію, присвячену дослідженню фізичного феномену
статистичної стійкості та викладенню основ фізико-математичної теорії гіпервипадкових
явищ, що описує фізичні події, величини і процеси з урахуванням порушень статистичної
стійкості. Книга розрахована на наукових працівників, інженерів і аспірантів, які досліджують
статистичні закономірності реальних фізичних явищ, розробляють і використовують
статистичні методи високоточних вимірювань, прогнозування і обробки сигналів на великих
інтервалах спостереження, а також для студентів старших курсів університетів фізичних,
технічних і математичних спеціальностей.
Ключові слова: феномен статистичної стійкості, теорія гіпервипадкових явищ, фізичний процес,
порушення збіжності.
Аннотация. Представлена новая монография, посвященная исследованию физического феномена
статистической устойчивости и изложению основ физико-математической теории гиперслу-
чайных явлений, описывающей физические события, величины и процессы с учетом нарушений
статистической устойчивости. Книга рассчитана на научных работников, инженеров и аспи-
рантов, исследующих статистические закономерности реальных физических явлений, разраба-
тывающих и использующих статистические методы высокоточных измерений, прогнозирования
и обработки сигналов на больших интервалах наблюдения, а также для студентов старших кур-
сов университетов физических, технических и математических специальностей.
Ключевые слова: феномен статистической устойчивости, теория гиперслучайных явлений, физи-
ческий процесс, нарушение сходимости.
Abstract. It is presented a new monograph dedicated to the research of physical phenomenon of statistical
stability and exposure of basics of physical-mathematical theory of hyper-random phenomena, the latter
describing physical events, variables and processes with consideration of violation of statistical stability.
The book is oriented on scientists, engineers, and post-graduate students researching in statistical laws of
natural physical phenomena as well as developing and using statistical methods for high-precision meas-
uring, prediction and signal processing on long observation intervals. It may also be useful for high-level
courses for university students majoring in physical, engineering, and mathematical fields.
Keywords: phenomenon of statistical stability, theory of hyper-random phenomena, physical process, vi-
olation of convergence.
1. Введение
В 2014 г. вышла новая монография [1], посвященная исследованию физического феномена
статистической устойчивости и изложению основ физико-математической теории гиперс-
лучайных явлений, описывающей физические события, величины и процессы с учетом на-
рушений статистической устойчивости. В отличие от предыдущих двух монографий [2, 3],
в которых основное внимание уделено математическим аспектам теории гиперслучайных
явлений, в новой книге акцент сделан на физической стороне вопроса.
Целью настоящей статьи является краткий обзор материалов новой книги.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 197
2. Круг вопросов, рассматриваемых в монографии
Феномен статистической устойчивости. Одним из удивительных физических явлений
является феномен статистической устойчивости, проявляющийся в стабильности стати-
стик – функций выборки (частоты массовых событий, средних величин и пр.) Этот фено-
мен наблюдается повсеместно и потому его можно отнести к числу фундаментальных яв-
лений природы.
На феномен статистической устойчивости впервые обратил внимание торговец сук-
ном Дж. Граунт в 1669 г. Его исследования привели к построению теории вероятностей,
широко используемой в настоящее время в различных областях науки и техники.
Аксиоматизация теории вероятностей. До начала XX в. теория вероятностей рас-
сматривалась как физическая теория, описывающая феномен статистической устойчиво-
сти.
В начале прошлого века был поднят вопрос об аксиоматизации теории вероятно-
стей. В 1900 г. Давид Гильберт сформулировал эту проблему как составную часть задачи
аксиоматизации законов физики.
Многие известные ученые приложили немало усилий для решения этой задачи.
Предлагались разные подходы. В настоящее время общепризнанным считается теоретико-
множественный подход А.Н. Колмогорова, возведенный в ранг международного стандарта
ISO.
Понятие случайного явления. В соответствии с подходом А.Н. Колмогорова слу-
чайное событие описывается с помощью вероятностного пространства, задаваемого триадой
( , ,Ω ℑ P ), где Ω – пространство элементарных событий ω∈Ω , ℑ – борелевское поле (σ -
алгебра подмножеств событий) и P – вероятностная мера (вероятность) подмножеств собы-
тий.
Под случайной величиной понимается измеримая функция, определенная на про-
странстве Ω элементарных случайных событий ω , а под случайной функцией – функция
независимого аргумента, значение которой при фиксированном его значении представляет
собой случайную величину.
Под случайным явлением понимается математический объект (случайное событие,
величина или функция), который исчерпывающе характеризуется определенным, вполне
конкретным законом распределения вероятностей.
В дальнейшем явление или математическая модель, не описываемая конкретным
законом распределения, случайным не считается. Это чрезвычайно важное положение, на
которое следует обратить особое внимание.
Понятие вероятности. В теории вероятностей ключевым является понятие вероят-
ности события. В приведенном определении (по А.Н. Колмогорову) оно не имеет физиче-
ской трактовки.
При более наглядном статистическом определении вероятности (по Р. фон Мизесу)
вероятность ( )P A случайного события A представляется как предел частоты ( )Np A его
наблюдения при проведении опытов в одинаковых статистических условиях и устремле-
нии количества опытов N к бесконечности: ( ) lim ( )
→∞
= N
N
P A p A .
При небольших значениях N частота ( )Np A может сильно флуктуировать, однако
по мере увеличения N постепенно стабилизируется и при → ∞N стремится к определен-
ному пределу ( )P A .
Физические гипотезы теории вероятностей. Все математические теории, в том числе
и основанная на системе аксиом А.Н. Колмогорова теория вероятностей, касаются абстракт-
ных математических понятий. Они не связаны с реальным физическим миром. Корректное их
198 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
применение на практике возможно при принятии физических гипотез, утверждающих адек-
ватность описания объектов реального мира соответствующими математическими моделями.
Корректность использования теории вероятностей обеспечивается принятием двух
физических гипотез:
• гипотезы идеальной статистической устойчивости (статистической прогнозируе-
мости) параметров и характеристик физических явлений – реальных событий, величин,
процессов и полей, означающей наличие сходимости статистик к некоторым постоянным
величинам;
• гипотезы адекватного описания реальных физических явлений случайными (стохас-
тическими) моделями.
Полагают, что гипотеза статистической устойчивости справедлива для широкого
круга массовых физических явлений. Иными словами, принимается концепция устройства
мира на случайных принципах.
Гипотеза идеальной статистической устойчивости. Одним из основных требова-
ний к физическим гипотезам является их согласованность с опытными данными.
Многие годы гипотеза идеальной статистической устойчивости не вызывала сомне-
ний, хотя некоторые ученые (даже А.Н. Колмогоров и такие известные ученые, как А.А.
Марков, А.В. Скороход, Э. Борель, В.Н. Тутубалин и др.) обращали внимание, что в реаль-
ном мире эта гипотеза справедлива лишь с определенными оговорками.
Нарушение статистической устойчивости в реальном мире. Экспериментальные
исследования на больших интервалах наблюдения разнообразных процессов разной физи-
ческой природы показывают, что гипотеза идеальной статистической устойчивости не
подтверждается.
Реальный мир постоянно меняется. Изменения происходят на всех уровнях, в том
числе и статистическом. Статистические оценки, сформированные на относительно не-
больших интервалах наблюдения, обладают относительной стабильностью. Проявляется
она в том, что при увеличении объема статистических данных уровень флуктуаций значе-
ний оценок уменьшается. Это создает иллюзию идеальной статистической устойчивости.
Однако, начиная с некоторого критического объема, при увеличении количества данных
уровень флуктуаций практически не меняется, а иногда даже растет. Это обстоятельство
указывает на неидеальный характер статистической устойчивости.
Нарушение статистической устойчивости в реальном мире означает, что понятие
вероятности не имеет физической интерпретации. Вероятность оказывается математиче-
ской абстракцией.
Нарушение статистической устойчивости в детерминированных и случайных
моделях. Нарушение статистической устойчивости наблюдается в разных моделях, даже
детерминированных и случайных.
Типичный пример – случайная величина, имеющая распределение Коши. Это рас-
пределение не имеет моментов, и поэтому любые оценки его моментов статистически не-
устойчивы (несостоятельны).
Причины нарушения статистической устойчивости в реальном мире. Наруше-
ния статистической устойчивости вызываются разными причинами. Существенную роль
играет приток в открытую систему извне вещества, энергии и (или) информации, питаю-
щий неравновесные процессы, различные нелинейные преобразования, низкочастотная
линейная фильтрация особого вида и др.
Установлено, что статистическая устойчивость процесса определяется его спек-
тральной плотностью мощности. Поэтому при низкочастотной фильтрации любой идеаль-
ный широкополосный стационарный статистически устойчивый шум может трансформи-
роваться в статистически неустойчивый процесс.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 199
Исследование нарушений статистической устойчивости и поиск эффективных спо-
собов адекватного описания реальных явлений окружающего мира с учетом этих наруше-
ний привели к построению новой физико-математической теории гиперслучайных явле-
ний.
Понятие гиперслучайного явления. В теории вероятностей базовыми математи-
ческими объектами (моделями) являются случайные явления – случайные событие, вели-
чина и функция; в теории гиперслучайных явлений в таком качестве выступают гиперслу-
чайные явления – гиперслучайные событие, величина и функция, представляющие собой
множества не связанных между собой случайных объектов, рассматриваемых как единое
целое.
Гиперслучайное событие можно описать с помощью тетрады ( , , ,Ω ℑ gG P ), где Ω –
пространство элементарных событий ω∈Ω , ℑ – борелевское поле, G – множество усло-
вий ∈g G , gP – вероятностная мера подмножеств событий, зависящая от условия g . Та-
ким образом, вероятностная мера задается для всех подмножеств событий и всех возмож-
ных условий ∈g G . Меры же для условий ∈g G нет.
Используя статистический подход, гиперслучайное событие A можно трактовать
как событие, частота появления которого ( )Np A при увеличении числа опытов N не ста-
билизируется и при → ∞N не имеет предела. В данном случае частота событий свойством
статистической устойчивости не обладает. Однако таким свойством могут обладать другие
статистики, например, статистики, описывающие границы диапазона изменения частоты
событий.
Случайное явление исчерпывающе описывается вероятностным распределением, а
гиперслучайное явление – множеством условных вероятностных распределений.
Случайная величина X , например, полностью характеризуется функцией распреде-
ления ( )F x , а гиперслучайная величина { / }= ∈X X g G – множеством условных функций
распределения ( / )F x g , ∈g G .
Гиперслучайная величина может быть представлена не только таким множеством,
но и другими характеристиками и параметрами, в частности, верхней
( ) sup ( / )
∈
=S
g G
F x F x g и нижней ( ) inf ( / )
∈
=I
g G
F x F x g границами функции распределения, цен-
тральными и нецентральными моментами этих границ, границами моментов и др.
Связь гиперслучайных моделей с другими моделями. Случайную величину
можно интерпретировать как гиперслучайную величину, у которой границы функции рас-
пределения совпадают: ( ) ( ) ( )= =S IF x F x F x .
Детерминированную величину 0x приближенно можно рассматривать как вырож-
денный случай случайной (или гиперслучайной) величины с функцией распределения
( )F x , имеющей единичный скачок в точке 0x .
Интервальная величина, характеризуемая границами интервала 1x , 2x , может быть
представлена гиперслучайной величиной, у которой границы функции распределения
( )SF x , ( )IF x имеют единичные скачки соответственно в точках 1x , 2x .
Таким образом, гиперслучайная величина является обобщением понятий детер-
минированной, случайной и интервальной величин. Благодаря такой универсальности с
помощью гиперслучайных моделей можно моделировать разнообразные физические
явления, обладающие разной степенью и видом неопределенности.
Детерминизм и неопределенность. На протяжении столетий считалось, что мир
основан на детерминированных принципах. Обнаружение феномена статистической ус-
200 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
тойчивости поколебало эти представления. Выяснилось, что существенную роль играет не
только детерминизм, но и неопределенность.
Важной формой неопределенности является многозначность. Многозначными ма-
тематическими объектами являются случайные явления, интервальные величины и функ-
ции, а также гиперслучайные явления. В них присутствует неопределенность, хотя и раз-
ного вида. Неопределенность случайных явлений имеет вероятностную меру, а интерваль-
ные величины и функции не имеют меры. Гиперслучайные явления содержат неопреде-
ленность обоих типов.
Объект и предмет исследования теории гиперслучайных явлений. Объектом ис-
следования теории гиперслучайных явлений являются реальные физические явления – собы-
тия, величины, процессы и поля, а предметом исследования – нарушения статистической ус-
тойчивости характеристик и параметров реальных физических явлений.
Общая характеристика теории гиперслучайных явлений. Теория гиперслучай-
ных явлений имеет математическую и физическую составляющие. Математическая со-
ставляющая основана на классических аксиомах теории вероятностей А.Н. Колмогорова,
физическая – на двух гиперслучайных физических гипотезах адекватности:
• гипотезе ограниченной статистической устойчивости реальных событий, величин,
процессов и полей;
• гипотезе адекватного описания реальных физических явлений гиперслучайными мо-
делями.
Предположение, что эти гипотезы справедливы для широкого круга массовых явлений,
ведет к принятию новой концепции устройства мира: его устройству на гиперслучайных
принципах. Основополагающая роль в ней отводится ограниченной статистической устойчи-
вости.
С точки зрения математики, теория гиперслучайных явлений – ветвь теории вероятно-
стей; с точки зрения физики – новая теория, основанная на новых представлениях об устрой-
стве окружающего мира.
Закон больших чисел и центральная предельная теорема при нарушении стати-
стической устойчивости. Факт нарушения статистической устойчивости проявляется в ста-
тистических свойствах физических явлений, в частности, описываемых законом больших чи-
сел и центральной предельной теоремой.
Исследования показывают, что как при отсутствии, так и при наличии нарушений
статистической устойчивости выборочное среднее случайной выборки стремится к сред-
нему математических ожиданий. Однако при отсутствии нарушений статистической ус-
тойчивости выборочное среднее сходится к определенному числу, а при нарушении устой-
чивости – стремится к бесконечности (плюс или минус) или флуктуирует в пределах опре-
деленного интервала. В общем случае предельное выборочное среднее может представлять
собой число, случайную величину, интервал или гиперслучайную величину с непрерывной
зоной неопределенности, ограниченную кривыми, состоящими из фрагментов гауссовских
кривых.
Выборочное среднее гиперслучайной выборки сходится к фиксированной величине
(числу), к множеству фиксированных величин (чисел), флуктуирует в одном или несколь-
ких непересекающихся интервалах или стремится к бесконечности. При этом предельное
выборочное среднее может представлять собой число, интервал, мультиинтервал, случай-
ную величину или гиперслучайную величину с необязательно непрерывной зоной неопре-
деленности, ограниченную кривыми, состоящими из фрагментов гауссовских кривых.
Потенциальная точность измерений при нарушении статистической устойчи-
вости. Одним из важнейших вопросов является вопрос о потенциальной точности измере-
ний.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 201
Согласно классическим представлениям, разработанным еще Галилео Галилеем,
измеряемая физическая величина может быть представлена однозначной детерминирован-
ной величиной, а результат измерения – случайной величиной. Погрешность измерения
имеет две составляющие: систематическую и случайную.
Согласно теории вероятностей, при устремлении объема выборки к бесконечности
случайная составляющая стремится к нулю и в целом погрешность – к систематической
составляющей. Однако на практике, как известно, это не происходит. Виной тому – нару-
шение статистической устойчивости.
В рамках гиперслучайной парадигмы погрешность носит гиперслучайный харак-
тер и описывается гиперслучайной величиной.
В общем случае выделить в гиперслучайной погрешности отдельные составляющие
не удается. В одном из простейших случаев (когда границы функции распределения ги-
перслучайной погрешности отличаются друг от друга только математическими ожидания-
ми границ) погрешность можно разделить на систематическую, случайную и неопределен-
ную (непрогнозируемую), описываемую интервальной величиной.
При устремлении объема выборки к бесконечности гиперслучайная погрешность
сохраняет гиперслучайный характер.
Это объясняет многие известные, но долгое время остававшиеся непонятными фак-
ты, в частности, почему точность любых физических измерений ограничена, почему при
использовании большого числа экспериментальных данных точность не зависит от объема
данных и др.
Как формируется неопределенность. Существует множество путей образования
неопределенности. Простейший из них – нелинейное преобразование, порождающее мно-
гозначность. Усреднение детерминированных данных при отсутствии сходимости также
может приводить к образованию неопределенности.
Эффективность использования различных моделей. Разные модели по-разному
и с разной точностью описывают недетерминированные свойства окружающего мира.
Поскольку понятие вероятности не имеет физической интерпретации, надо при-
знать, что стохастические модели описывают эти свойства приближенно. Адекватное опи-
сание могут обеспечить интервальные и гиперслучайные модели.
Указанное обстоятельство, однако, не означает, что стохастические и другие подоб-
ные модели бесполезны. Неполное соответствие моделей моделируемым объектам суще-
ственно лишь при больших объемах выборки. Зачастую объемы выборок невелики. Тогда
погрешность описания реальных объектов стохастическими и другими приближенными
моделями пренебрежимо мала. Как правило, эти модели проще, чем интервальные и ги-
перслучайные модели, и потому во многих случаях оказываются предпочтительными.
Необходимость в более сложных интервальных и гиперслучайных моделях возни-
кает тогда, когда проявляется ограниченный характер феномена статистической устойчи-
вости – обычно при больших интервалах наблюдения и больших объемах выборки.
Область применения гиперслучайных моделей. Первоочередная область приме-
нения гиперслучайных моделей связана со статистической обработкой различных физиче-
ских процессов (электрических, магнитных, электромагнитных, акустических, гидроаку-
стических, сейсмоакустических, метеорологических и пр.) большой длительности, а также
с высокоточными измерениями физических величин и прогнозированием физических про-
цессов на основе статистической обработки больших массивов данных.
Гиперслучайные модели могут использоваться также при моделировании физиче-
ских событий, величин, процессов и полей, для которых, ввиду чрезвычайной малости
объема статистического материала, невозможно получить качественные оценки парамет-
ров и характеристик, а можно лишь указать границы, в которых они находятся.
202 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
Проблема формализации физических понятий. Использование нестохастических
моделей, к числу которых относятся интервальные и гиперслучайные модели, обостряет
скрытую проблему корректной формализации физических понятий, определяемых с ис-
пользованием стохастических моделей, в частности, понятия энтропии.
Сложность в том, что вероятность не имеет физической интерпретации, и поэтому
все физические понятия, использующие понятие вероятности, оказываются фактически
неопределенными. Но эту трудность, как выясняется, можно преодолеть.
Математический анализ расходящихся и многозначных функций. Теория гиперс-
лучайных явлений затрагивает малоизученную область математики, касающуюся нарушения
сходимости и многозначности.
Современная математика построена на математическом анализе, оперирующем с
однозначными последовательностями и функциями, имеющими однозначные пределы.
Развитие методов теории гиперслучайных явлений привело к формированию основ
математического анализа расходящихся и многозначных функций. Понятия предела обоб-
щены на случай расходящихся (в обычном смысле) последовательностей и функций, а по-
нятия сходимости, непрерывности, дифференцируемости, первообразной, неопределенно-
го и определенного интегралов – на случай многозначных функций.
3. Структура книги
Монография состоит из пяти частей, объединяющих 33 главы. Первая часть (главы 1–8)
посвящена рассмотрению особенностей феномена статистической устойчивости и разра-
ботке методики исследования нарушений статистической устойчивости, в том числе при
ограниченном объеме данных. Вторая часть (главы 9–13) содержит описание множества
экспериментальных исследований, посвященных изучению нарушений статистической ус-
тойчивости разнообразных процессов разной физической природы. Третья часть (главы
14–21) представляет краткое изложение математических основ теории гиперслучайных яв-
лений. Четвертая часть (главы 22–25) посвящена обобщению математических положе-
ний теории гиперслучайных явлений и формированию основ математического анализа
расходящихся и многозначных функций. Пятая часть (главы 26–33) содержит теоретиче-
ские и экспериментальные исследования статистических закономерностей при нарушени-
ях статистической устойчивости.
4. Названия и аннотации глав книги
Общее представление о содержании глав книги дают их названия и аннотации, приведен-
ные ниже.
Глава 1. Феномен статистической устойчивости и его свойства. Рассмотрены
основные проявления феномена статистической устойчивости: статистическая устойчи-
вость частоты событий и среднего значения. Обращено внимание, что феномен статисти-
ческой устойчивости обладает свойством эмерджентности и присущ физическим явлениям
не только стохастической природы. Обсуждена гипотеза идеальной (абсолютной) стати-
стической устойчивости, предполагающая наличие сходимости частоты событий и сред-
них величин. Приведены примеры статистически неустойчивых процессов. Обсуждены
термины «одинаковые статистические условия» и «непрогнозируемые статистические ус-
ловия».
Глава 2. Принципы описания феномена статистической устойчивости. Описана
шестая проблема Д. Гильберта, касающаяся аксиоматизации законов физики. Рассмотрены
общепризнанные математические принципы аксиоматизации теории вероятностей и меха-
ники. Предложен вариант решения шестой проблемы на основе дополнения аксиоматизи-
рованных математических теорий, описывающих законы физики, физическими гипотезами
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 203
адекватности, устанавливающими связь между математическими теориями и реальным
миром. Рассмотрены основополагающие понятия теории вероятностей и теории гиперслу-
чайных явлений. Сформулированы гипотезы адекватности для теории вероятностей и тео-
рии гиперслучайных явлений. Обращено внимание, что понятие вероятности не имеет фи-
зической интерпретации в реальном мире.
Глава 3. Детерминизм и неопределенность. Рассмотрены различные концепту-
альные взгляды на устройство мира с позиций детерминизма и неопределенности. При-
ведена классификация неопределенностей. Описан способ единообразного представле-
ния моделей с помощью функции распределения. Предложена классификация математи-
ческих моделей.
Глава 4. Статистически неустойчивые стохастические модели. Рассмотрены
случайные величины и случайные процессы, статистически неустойчивые по отношению к
определенным статистикам. Проанализированы с точки зрения статистической устойчиво-
сти различные виды нестационарных процессов.
Глава 5. Формализация понятия статистической устойчивости. Формализовано
понятие статистической устойчивости. Введены параметры статистической неустойчиво-
сти. Предложены единицы измерения параметров статистической неустойчивости. Введе-
ны понятия статистической устойчивости/неустойчивости процессов в узком и широком
смыслах. Исследована статистическая устойчивость ряда моделей процессов.
Глава 6. Зависимость статистической устойчивости процесса от особенностей
его временных характеристик. Исследована зависимость статистической устойчивости
процесса от особенностей его временных характеристик, в частности, от флуктуации ма-
тематического ожидания и корреляции отсчетов.
Глава 7. Зависимость статистической устойчивости непрерывного процесса от
его спектра. Рассмотрено преобразование Винера-Хинчина. Обращено внимание, что су-
ществуют случайные процессы, которые не имеют одновременно корреляционной функ-
ции и спектральной плотности мощности. Установлена связь между статистической ус-
тойчивостью непрерывного процесса и его спектральной плотностью мощности. Исследо-
вана статистическая устойчивость непрерывных процессов со степенной спектральной
плотности мощности.
Глава 8. Зависимость статистической устойчивости дискретного процесса от
его спектра. Установлена связь между статистической устойчивостью дискретного про-
цесса и его спектральной плотностью мощности. Приведены результаты моделирования,
подтверждающие корректность формул, описывающих зависимость параметров статисти-
ческой неустойчивости от спектральной плотностью мощности процесса.
Глава 9. Экспериментальные исследования статистической устойчивости раз-
личных физических процессов на больших интервалах наблюдения. Приведены ре-
зультаты экспериментальных исследований статистической устойчивости различных физиче-
ских процессов: собственных шумов усилителя, гидроакустических шумов морских суден,
колебаний напряжения городской электросети, высоты морских волн и периода их следова-
ния, магнитного поля Земли и котировки валют. Обращено внимание, что на небольших ин-
тервалах наблюдения нарушения статистической устойчивости не обнаруживаются, однако на
больших интервалах наблюдения все они оказываются статистически неустойчивыми.
Глава 10. Экспериментальные исследования статистической устойчивости ме-
теорологических данных. Приведены результаты экспериментальных исследований на
больших интервалах наблюдения статистической устойчивости колебаний температуры воз-
духа и количества осадков в районах Москвы и Киева, а также скорости ветра в районе Чер-
нобыля. Все исследованные процессы оказались статистически неустойчивыми. Степень их
неустойчивости разная. Установлено, что колебания температуры значительно более неустой-
чивы, чем колебания количества осадков.
204 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
Глава 11. Экспериментальные исследования статистической устойчивости ко-
лебаний температуры воды и скорости звука в Тихом океане. Приведены результаты
экспериментальных исследований на больших интервалах наблюдения статистической ус-
тойчивости колебаний температуры воды и скорости звука в Тихом океане. Установлена
статистическая неустойчивость этих процессов.
Глава 12. Экспериментальные исследования статистической устойчивости из-
лучения астрофизических объектов. Приведены результаты экспериментальных иссле-
дований на больших интервалах наблюдения статистической устойчивости излучения аст-
рофизических объектов в рентгеновском диапазоне частот. Все исследованные колебания
оказались статистически неустойчивыми. Наиболее устойчивыми оказались колебания ин-
тенсивности излучения пульсара PSRJ 1012+5307. Установлено, что на всем интервале на-
блюдения эти колебания статистически устойчивы по отношению к среднему, но неустой-
чивы по отношению к среднеквадратическому отклонению.
Глава 13. Статистическая устойчивость различных шумов и процессов. Рас-
смотрены разные типы шумов: цветные, фликкер-шумы, самоподобные (фрактальные).
Обобщены результаты исследований статистической устойчивости различных шумов и
процессов. Исследованы причины нарушения статистической устойчивости. Установле-
но, что статистически неустойчивые процессы могут образовываться разными путями: в
результате поступления извне в открытую систему вещества, энергии и (или) информации,
нелинейных и даже линейных преобразований.
Глава 14. Гиперслучайные события. Введено понятие гиперслучайного события.
Для описания гиперслучайного события использованы условные вероятности и границы
вероятностей. Приведены свойства этих параметров.
Глава 15. Скалярные гиперслучайные величины. Определено понятие скаляр-
ной гиперслучайной величины. Для ее описания использованы условные функции распре-
деления (дающие исчерпывающее описание гиперслучайной величины), границы функции
распределения и их моменты, а также границы моментов. Приведены свойства этих харак-
теристик и параметров.
Глава 16. Векторные гиперслучайные величины. Введено понятие векторной
гиперслучайной величины. Методы описания скалярной гиперслучайной величины обоб-
щены на случай векторной гиперслучайной величины. Приведены свойства характеристик
и параметров векторных гиперслучайных величин.
Глава 17. Гиперслучайные функции. Введено понятие скалярной гиперслучайной
функции. Рассмотрены различные способы ее представления. Для описания использованы
условные функции распределения (дающие наиболее полную характеристику гиперслу-
чайной функции), а также границы функции распределения, плотности распределения гра-
ниц, моменты границ и границы моментов.
Глава 18. Основы математического анализа случайных и гиперслучайных
функций. Изложены основы математического анализа случайных функций: определены
понятия сходимости последовательности случайных величин и функций, производной и
интеграла случайной функции. Введены понятия сходимости последовательности гиперс-
лучайных величин и функций, а также понятия непрерывности, дифференцируемости и
интегрируемости гиперслучайных функций.
Глава 19. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции. Известные
для случайных функций понятия стационарности и эргодичности обобщены на гиперслу-
чайные функции. Рассмотрены спектральные методы описания стационарных гиперслу-
чайных функций. Приведены свойства стационарных и эргодических гиперслучайных
функций.
Глава 20. Преобразование гиперслучайных величин и процессов. Проанализи-
рованы различные способы представления гиперслучайных величин и процессов на
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 205
предмет целесообразности их применения при различных типах преобразования. Приве-
дены соотношения, связывающие характеристики и параметры преобразованных и ис-
ходных гиперслучайных величин и процессов. Даны рекомендации по использованию
различных способов описания гиперслучайных величин при линейных и нелинейных
преобразованиях, а также гиперслучайных процессов при безынерционных и инерцион-
ных преобразованиях.
Глава 21. Основы статистики гиперслучайных явлений. Формализовано поня-
тие гиперслучайной выборки и приведены ее свойства. Описана методология формирова-
ния оценок характеристик гиперслучайной величины. Акцентировано внимание на нару-
шении сходимости реальных оценок и адекватности их описания гиперслучайными моде-
лями.
Глава 22. Расходящиеся последовательности и функции. Понятие предела схо-
дящейся числовой последовательности обобщено на случай расходящихся последователь-
ностей и функций. В отличие от обычного предела, принимающего обязательно единст-
венное значение, обобщенный предел принимает множество значений. Для расходящейся
числовой последовательности введено понятие спектра предельных точек. Доказана тео-
рема о последовательности средних.
Глава 23. Описание расходящихся последовательностей и функций. Приведен
способ описания расходящихся последовательностей и функций с помощью функций рас-
пределения. Доказана теорема о спектре частот значений разряда последовательности.
Приведены примеры описания расходящихся функций.
Глава 24. Многозначные величины, последовательности и функции. Рассмот-
рены различные варианты описания многозначных величин и функций. С помощью мате-
матического аппарата теории гиперслучайных явлений формализованы понятия много-
значной величины и многозначной функции. Установлена связь между многозначностью и
нарушением сходимости. Введены понятия спектров и функций распределения много-
значных величин и функций.
Глава 25. Основы математического анализа многозначных функций. Для мно-
гозначных функций введены понятия непрерывной функции, производной, неопределен-
ного и определенного интегралов, а также спектра главных значений определенного инте-
грала.
Глава 26. Закон больших чисел. Установлено, что закон больших чисел, извест-
ный для последовательности случайных величин, справедлив как при наличии, так и от-
сутствии сходимости выборочного среднего. При отсутствии сходимости выборочное
среднее приближается к среднему математических ожиданий, синхронно флуктуируя с
ним в определенном интервале. Закон больших чисел обобщен на случай последователь-
ности гиперслучайных величин. Исследованы особенности проявления обобщенного зако-
на больших чисел.
Глава 27. Центральная предельная теорема. Исследованы особенности цен-
тральной предельной теоремы для последовательности случайных величин при наличии и
отсутствии сходимости выборочного среднего к фиксированному числу. Обобщена цен-
тральная предельная теорема на случай последовательности гиперслучайных величин.
Приведены результаты экспериментальных исследований, демонстрирующие отсутствие
сходимости выборочных средних реальных физических процессов к фиксированным чис-
лам.
Глава 28. Концепции точности и модели измерений. Проанализированы две кон-
цепции оценки точности измерений: концепция погрешности и концепция неопределенно-
сти. Рассмотрен ряд моделей измерений.
Глава 29. Гиперслучайные оценки детерминированных величин. Исследована
детерминированно-гиперслучайная модель измерения. Для точечных гиперслучайных
206 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
оценок введены понятия несмещенной, состоятельной, эффективной и достаточной оце-
нок, а для интервальных гиперслучайных оценок – понятия доверительного интервала и
границ доверительной вероятности. Доказаны теоремы, определяющие границы верхней
границы точности точечной оценки и границы доверительного интервала интервальной
оценки. Показано, что гиперслучайные оценки детерминированных величин несостоя-
тельны и поэтому точность измерений оказывается ограниченной.
Глава 30. Гиперслучайные оценки гиперслучайных величин. Рассмотрена ги-
перслучайно-гиперслучайная модель измерения. Выведены формулы, описывающие по-
грешность гиперслучайной оценки гиперслучайной величины в общем и частных случаях.
Получены соотношения, позволяющие рассчитывать погрешность гиперслучайной оценки
при косвенных измерениях гиперслучайной величины.
Глава 31. Характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайных величин.
Для точечных гиперслучайных оценок гиперслучайных величин введены понятия несме-
щенной, состоятельной, эффективной и достаточной оценок. Доказаны теоремы, опреде-
ляющие границы верхней границы точности точечной оценки и границы доверительного
интервала интервальной оценки. Дано математическое обоснование известного из практи-
ки факта, что точность любых реальных физических измерений имеет предел, преодолеть
который не удается даже при очень большом объеме данных.
Глава 32. Энтропия неопределенности при нарушении статистической устой-
чивости. Проанализированы различные варианты определения понятия энтропии. Поня-
тие шенноновской энтропии для случайных величин распространено на неопределенные
величины, не имеющие вероятностной меры. Введены понятия энтропии гиперслучайной
и интервальной величин.
Глава 33. Формирование неопределенности. Исследованы пути формирования
неопределенности. Выяснено, что неопределенность может возникать в результате опре-
деленного типа нелинейных преобразований и в процессе усреднения детерминированных
величин при отсутствии сходимости. Дано теоретическое обоснование тому, что интер-
вальные, мультиинтервальные и гиперслучайные модели адекватно отражают реалии ок-
ружающего мира, а случайные модели являются математическими абстракциями.
В Приложение 1 вынесены высказывания известных ученых по поводу феномена
статистической устойчивости, в Приложение 2 – базовые понятия интервальной арифме-
тики, в Приложение 3 – практические рекомендации, касающиеся исследования статисти-
ческой устойчивости процессов, а в Приложении 4 кратко изложена история формирова-
ния теории гиперслучайных явлений.
В список литературы, содержащий 338 источников, включены работы отечествен-
ных и зарубежных авторов, использованные при написании монографии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горбань И.И. Феномен статистической устойчивости / Горбань И.И. – К.: Наукова думка, 2014. –
444 с.
2. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений / Горбань И.И. – К.: ИПММС НАН Украины,
2007. – 184 с.
3. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы / Горбань
И.И. – К.: Наукова думка, 2011. – 318 с.
Стаття надійшла до редакції 26.09.2014
|