Теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности
Предложено новое доказательство теоремы о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности. Запропоновано новий доказ теореми про спектр частот значень розряду числової послідовності, що розбігається. New proof of the theorem on spectrum of frequencies of values of class inte...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84464 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2014. — № 4. — 207-210. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859488391401308160 |
|---|---|
| author | Горбань, И.И. |
| author_facet | Горбань, И.И. |
| citation_txt | Теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2014. — № 4. — 207-210. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | Предложено новое доказательство теоремы о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности.
Запропоновано новий доказ теореми про спектр частот значень розряду числової послідовності, що розбігається.
New proof of the theorem on spectrum of frequencies of values of class interval for divergent sequences is proposed.
|
| first_indexed | 2025-11-24T16:22:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Горбань И.И., 2014 207
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
УДК 53.01:53.05 + 519.2
И.И. ГОРБАНЬ*
ТЕОРЕМА О СПЕКТРЕ ЧАСТОТ ЗНАЧЕНИЙ РАЗРЯДА РАСХОДЯЩЕЙСЯ
ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
*
Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев, Украина
Анотація. Запропоновано новий доказ теореми про спектр частот значень розряду числової пос-
лідовності, що розбігається.
Ключові слова: послідовность, що розбігається, теорія гіпервипадкових явищ.
Аннотация. Предложено новое доказательство теоремы о спектре частот значений разряда
расходящейся числовой последовательности.
Ключевые слова: расходящаяся последовательность, теория гиперслучайных явлений.
Abstract. New proof of the theorem on spectrum of frequencies of values of class interval for divergent
sequences is proposed.
Keywords: divergent sequence, theory of hyper-random phenomena.
1. Введение
Методы и подходы к описанию статистически неустойчивых физических процессов, раз-
работанные в рамках физико-математической теории гиперслучайных явлений [1–7], были
использованы в работах [7–11] для построения основ математического анализа расходя-
щихся и многозначных функций, аналогичного классическому математическому анализу.
В монографии [7] (стр. 275–276), в частности, сформулирована теорема о спектре
частот значений разряда расходящейся последовательности и приведено ее доказательство.
По мнению некоторых математиков, используемые при доказательстве положения неоче-
видны, что ставит под сомнение справедливость теоремы.
Целью настоящей статьи является другое доказательство теоремы, лишенное ука-
занного недостатка.
2. Исходные понятия
Прежде чем переходить к формулировке и доказательству теоремы, кратко остановимся на
некоторых не широко распространенных понятиях, используемых в теореме.
Известно, что не всякая числовая последовательность имеет предел.
Последовательность
{ } 1 2, , , ,n nx x x x= … … , (1)
не имеющая предела (расходящаяся последовательность), может быть охарактеризована
[7] множеством частичных пределов (предельных точек), образующих спектр предельных
точек xSɶ .
Под предельной точкой последовательности (1) подразумевается [12, 13] предел
частичной последовательности (подпоследовательности)
{ }
1 2
, , , ,
k kn n n nx x x x= … … , (2)
образованной из исходной последовательности (1) путем отбрасывания части ее членов с
сохранением порядка следования оставшихся членов.
208 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
1rx −
rx
0 n
x
nx
Рис. 1. Числовая последовательность { }nx
Под спектром предельных точек xSɶ последовательности (1) понимается множество
всех ее предельных точек (то есть множество всех пределов сходящихся подпоследова-
тельностей).
С помощью обобщенного предела LIM
n→∞
[7], в отличие от обычного предела lim
n→∞
,
допускающего множественность значений, спектр предельных точек описывается выраже-
нием LIMx n
n
S x
→∞
=ɶ .
Диапазон значений последовательности (1) можно разбить на фиксированные пере-
крывающиеся разряды (классовые интервалы)
1 2 1( , ), ( , ), , ( , ), ( , )Rx x x −−∞ −∞ −∞ −∞ +∞… ,
где rx – правый конец r -го разряда ( 1, 1)r R= − .
В системе координат ( , )n x (где
1, 2,n = … – число членов последова-
тельности 1 2, , ,n nX x x x= … ) r -му раз-
ряду соответствует подпоследователь-
ность r
nX , образованная из членов по-
следовательности nX , попавших в рас-
сматриваемый разряд (на рис. 1 в слег-
ка затемненную неограниченную снизу
полосу).
При фиксированном числе чле-
нов n последовательности nX частоту
заполнения r -го разряда характеризует
частота
r
r
n
n
p
n
= , где rn – количество
членов, попадающих в r -й разряд.
Очевидно, значения частоты r
np лежат в интервале [0,1] .
Из множества частот r
np для фиксированного разряда r и 1, 2,n = … можно образо-
вать бесконечную последовательность { }r
np . Эта последовательность не обязательно схо-
дится (то есть может иметь множество предельных точек). Множество частичных преде-
лов (предельных точек) последовательности частот { }r
np образует спектр r
pSɶ частот значе-
ний r -го разряда.
Спектры r
pSɶ , соответствующие различным разрядам r , являются характеристиками
последовательности (1).
3. Теорема и ее доказательство
Теорема. Если спектр r
pSɶ частот значений r -го разряда последовательности (1) содержит
две предельные точки
1
r
ap ,
2
r
ap (
1 2
r r
a ap p< ), то предельной является также любая точка r
ap ,
лежащая в интервале
1 2
r r r
a a ap p p< < .
Для доказательства рассмотрим произвольное число r
ap , удовлетворяющее указан-
ному неравенству. Заметим, что при неограниченном увеличении числа членов n
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4 209
1
r
ap
1
r
ap
2
r
ap
n
r
np
r
np
0
Рис. 2. Последовательность частот значений { }r
np
величина r
np бесконечное число раз
оказывается то меньше, то больше
числа r
ap (рис. 2), а значения r
np ме-
няются таким образом, что модуль
приращения 1
r r r
n n np p p+∆ = − меньше
величины 1/ n .
Сформируем из последователь-
ности { }r
np подпоследовательность
{ }
k
r
np , члены которой удовлетворяют
следующим условиям, гарантирующим, что
1k k
r r r r
a n a np p p p
+
− < − :
• членом последовательности { }
k
r
np может быть только член r
np последовательности
{ }r
np , удовлетворяющий условию 1
r r r
n a np p p +< < ;
• каждый последующий член последовательности { }
k
r
np больше предыдущего ее
члена:
1k k
r r
n np p
+
> (рис. 3).
•
1k
r r r r
a m a np p p p
+
− = −
1
r
np −
k
r r r r
a n a np p p p− = −
•
k
r r
n np p=
�
r
ap
•
n 1n +
r
np∆
1n − … m 1m +
r
mp∆
1k
r r
m np p
+
=
1
r
np +
�
Рис. 3. Иллюстрация схемы отбора членов последовательности { }
k
r
np
Поскольку 1/
k
r r
a n kp p n− < , то при k → ∞ (тогда kn → ∞ ) приращение
0
k
r r
a np p− → , то есть r
ap является пределом подпоследовательности { }
k
r
np .
Таким образом, r
ap является предельной точкой последовательности (1), что и тре-
бовалось доказать.
4. Вывод
Приведенное новое доказательство подтверждает справедливость теоремы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений / Горбань И.И. – К.: ИПММС НАН Украины,
2007. – 184 с.
2. Gorban I.I. Hyper-random phenomena: definition and description / I.I. Gorban // Information Theories
and Applications. – 2008. – Vol. 15, N 3. – P. 203 – 211.
210 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2014, № 4
3. Gorban I.I. Disturbance of statistical stability / I.I. Gorban // Information Models of Knowledge. – Kiev
– Sofia: ITHEA, 2010. – P. 398 – 410.
4. Gorban I.I. Disturbance of statistical stability (part II) / I.I. Gorban // International Journal of Informa-
tion Theories and Applications. – 2011. – Vol. 18, N 4. – P. 321 – 333.
5. Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические и математические основы / Горбань
И.И. – К.: Наукова думка, 2011. – 318 с.
6. Горбань И.И. Феномен статистической устойчивости / И.И. Горбань // Журнал технической фи-
зики. – 2014. – № 3. – С. 22 – 30.
7. Горбань И.И. Феномен статистической устойчивости / Горбань И.И. – К.: Наукова думка, 2014. –
444 с.
8. Горбань И.И. Расходящиеся последовательности и функции / И.И. Горбань // Математичні ма-
шини і системи. – 2012. – № 1. – С. 106 – 118.
9. Горбань И.И. Многозначные величины, последовательности и функции / И.И. Горбань //
Математичні машини і системи. – 2012. – № 3. – С. 147 – 161.
10. Горбань И.И. Многозначные детерминированные величины и функции / И.И. Горбань // Труды
седьмой научно-практической конференции «Математическое и имитационное моделирование
систем МОДС 2012». – К., 2012. – С. 257 – 260.
11. Gorban I.I. Divergent and multiple-valued sequences and functions / I.I. Gorban // Problems of Com-
puter Intellectualization. Book 28. – Kiev – Sofia: ITHEA, 2012. – P. 359 – 374.
12. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Фихтенгольц Г.М. –
М.-Л.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1958. – Т. 1. – 607 с.
13. Ильин В.А. Математический анализ / Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. – М.: Изд-во
московского университета, 1985. – Т. 1. – 660 с.
Стаття надійшла до редакції 08.12.2014
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84464 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T16:22:56Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбань, И.И. 2015-07-08T13:48:07Z 2015-07-08T13:48:07Z 2014 Теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности / И.И. Горбань // Математичні машини і системи. — 2014. — № 4. — 207-210. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84464 53.01:53.05 + 519.2 Предложено новое доказательство теоремы о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности. Запропоновано новий доказ теореми про спектр частот значень розряду числової послідовності, що розбігається. New proof of the theorem on spectrum of frequencies of values of class interval for divergent sequences is proposed. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Нові проекти Теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности Теорема про спектр частот значень розряду розбіжної числової послідовності Theorem on the rate spectrum of the divergent number sequence digit values Article published earlier |
| spellingShingle | Теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности Горбань, И.И. Нові проекти |
| title | Теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности |
| title_alt | Теорема про спектр частот значень розряду розбіжної числової послідовності Theorem on the rate spectrum of the divergent number sequence digit values |
| title_full | Теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности |
| title_fullStr | Теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности |
| title_full_unstemmed | Теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности |
| title_short | Теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности |
| title_sort | теорема о спектре частот значений разряда расходящейся числовой последовательности |
| topic | Нові проекти |
| topic_facet | Нові проекти |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84464 |
| work_keys_str_mv | AT gorbanʹii teoremaospektrečastotznačeniirazrâdarashodâŝeisâčislovoiposledovatelʹnosti AT gorbanʹii teoremaprospektrčastotznačenʹrozrâdurozbížnoíčislovoíposlídovností AT gorbanʹii theoremontheratespectrumofthedivergentnumbersequencedigitvalues |