Властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь
Розглянуто ультрапараболiчнi рiвняння, якi узагальнюють класичне рiвняння дифузiї з iнерцiєю Колмогорова i якi виникають у теорiї марковських випадкових процесiв дифузiйного типу. Для так званих L-розв’язкiв таких рiвнянь установлено ряд тверджень типу принципу максимуму, якi застосовуються до вивче...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8447 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь / В.В. Лаюк // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 28-32. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859907210825433088 |
|---|---|
| author | Лаюк, В.В. |
| author_facet | Лаюк, В.В. |
| citation_txt | Властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь / В.В. Лаюк // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 28-32. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглянуто ультрапараболiчнi рiвняння, якi узагальнюють класичне рiвняння дифузiї з iнерцiєю Колмогорова i якi виникають у теорiї марковських випадкових процесiв дифузiйного типу. Для так званих L-розв’язкiв таких рiвнянь установлено ряд тверджень типу принципу максимуму, якi застосовуються до вивчення властивостей фундаментального розв’язку задачi Кошi та доведення теорем єдиностi розв’язку задачi Кошi.
Ultraparabolic equations which generalized the classical Kolmogorov equation of diffusion with inertia that arise in the theory of the Markov stochastic processes of diffusion type are considered. For the so-called L-solutions of these equations, some propositions of the principle of maximum type which are applied to study properties of the fundamental solution of the Cauchy problem and to prove the uniqueness theorems for a solution of the Cauchy problem are established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:00:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
© 2009
В.В. Лаюк
Властивостi розв’язкiв одного класу
ультрапараболiчних рiвнянь
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
Розглянуто ультрапараболiчнi рiвняння, якi узагальнюють класичне рiвняння дифузiї
з iнерцiєю Колмогорова i якi виникають у теорiї марковських випадкових процесiв дифу-
зiйного типу. Для так званих L-розв’язкiв таких рiвнянь установлено ряд тверджень
типу принципу максимуму, якi застосовуються до вивчення властивостей фундамен-
тального розв’язку задачi Кошi та доведення теорем єдиностi розв’язку задачi Кошi.
У повiдомленнi розглядається клас рiвнянь E
B
22 iз [1], який узагальнює клас рiвнянь E22
ультрапараболiчних рiвнянь типу Колмогорова з [2]. Для розв’язкiв цього класу рiвнянь
наводяться твердження типу принципу максимуму, якi використовуються для вивчення
властивостей фундаментального розв’язку задачi Кошi та доведення теорем про єдинiсть
розв’язку задачi Кошi. При цьому розв’язки розумiються в дещо послабленому, порiвняно
з класичними, сенсi, який використовує поняття похiдної Лi вiд функцiї вiдносно вiдповiд-
ного векторного поля [1, 3–5]. Одержанi результати посилюють i доповнюють вiдповiднi
результати з [2, 6, 7].
1. Розглядатимемо рiвняння з виродженнями за двома групами просторових змiнних.
Для цього вважатимемо, що n-вимiрна просторова змiнна x складається з n1-вимiрної змiн-
ної x1 := (x11, . . . , x1n1
), n2-вимiрної змiнної x2 := (x21, . . . , x2n2
) i n3-вимiрної змiнної
x3 := (x31, . . . , x3n3
), тобто x := (x1, x2, x3). Тут n1, n2 i n3 — такi натуральнi числа, що
n3 6 n2 6 n1 i n1 + n2 + n3 = n. Вiдповiдно до цього мультиiндекс k ∈ Z
n
+ записуватимемо
у виглядi k := (k1, k2, k3), де kl := (kl1 , . . . , klnl
) ∈ Z
nl
+ , l ∈ {1, 2, 3}.
Об’єктом дослiдження є рiвняння вигляду
(Lu)(t, x) :=
(
SB −
n1
∑
j,s=1
ajs(t, x)∂x1j
∂x1s
−
n1
∑
j=1
aj(t, x)∂x1j
− a0(t, x)
)
u(t, x) = 0,
(t, x) ∈ Π(0,T ],
(1)
де Π(0,T ] := {(t, x)|t ∈ (0, T ], x ∈ R
n},
SB := ∂t −
n2
∑
j=1
(
n1
∑
s=1
b1
sjx1s
)
∂x2j
−
n3
∑
j=1
(
n2
∑
s=1
b2
sjx2s
)
∂x3j
. (2)
Усi коефiцiєнти виразу (2) — дiйснi числа, а коефiцiєнти ajs, aj i a0 — дiйснозначнi функцiї,
якi визначенi на Π[0,T ].
Диференцiальний вираз (2) можна записати як
SB = ∂t − (x,BDx), (3)
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
де B — матриця розмiру n × n, яка має вигляд
B :=
O B1 O
O O B2
O O O
, (4)
B1, B2 — матрицi, складенi вiдповiдно з коефiцiєнтiв b1
sj, s ∈ {1, . . . , n1}, j ∈ {1, . . . , n2},
b2
sj, s ∈ {1, . . . , n2}, j ∈ {1, . . . , n3}; O — нульовi матрицi вiдповiдних розмiрiв; Dx :=
= col(∂x11
, . . . , ∂x1n1
, ∂x21
, . . . , ∂x2n2
, ∂x31
, . . . , ∂x3n3
); (·, ·) — скалярний добуток у R
n.
Для рiвняння (1) використовуватимемо такi умови:
α1) матриця (4), в якiй блоки B1 i B2 записанi вiдповiдно у виглядi
(
B1
1
B1
2
)
i
(
B2
1
B2
2
)
, де
B1
1 , B1
2 , B2
1 i B2
2 — матрицi розмiрiв n2×n2, (n1−n2)×n2, n3 × n3 i (n2−n3)×n3 вiдповiдно,
задовольняє умови det B
j
1 6= 0, j ∈ {1, 2};
α2) iснує така стала δ > 0, що для кожної точки (t, x) ∈ Π[0,T ] i σ1 ∈ R
n1 справджується
нерiвнiсть
n1
∑
j,s=1
ajs(t, x)σ1jσ1s > δ
n1
∑
j=1
σ2
1j ; (5)
α3) коефiцiєнти ajs, aj i a0 обмеженi та B2-гельдеровi з показником α ∈ (0, 1) в Π[0,T ]
у спецiальному сенсi, вказаному в [1];
α4) коефiцiєнти ajs, aj i a0 мають обмеженi та B2-гельдеровi (у такому ж, як в умовi α3,
сенсi) з показником α ∈ (0, 1) в Π[0,T ] похiднi того самого вигляду, при яких вони стоять;
α5) коефiцiєнти ajs, aj i a0 є неперервними функцiями в Π[0,T ], причому для всiх (t, x) ∈
∈ Π[0,T ] i σ1 ∈ R
n1 виконується нерiвнiсть (5) i оцiнки
|ajs(t, x)| 6 C0(|x|
2 + 1), |aj(t, x)| 6 C0(|x| + 1), {j, s} ⊂ {1, . . . , n1}, a0(t, x) 6 C0
з деякими сталими δ0 > 0 i C0 > 0;
α6) коефiцiєнти ajs, aj i a0 — неперервнi й обмеженi функцiї в Π[0,T ] i виконується
нерiвнiсть (5).
Поряд з рiвнянням (1) будемо розглядати спряжене рiвняння
(L∗v)(τ, ξ) :=
(
−∂τ +
n2
∑
j=1
(
n1
∑
s=1
b1
sjξ1s
)
∂ξ2j
+
n3
∑
j=1
(
n2
∑
s=1
b2
sjξ2s
)
∂ξ3j
)
v(τ, ξ) −
−
n1
∑
j,s=1
∂ξ1j
∂ξ1s
(ajs(τ, ξ)v(τ, ξ)) +
n1
∑
j=1
∂ξ1j
(aj(τ, ξ)v(τ, ξ)) − a0(τ, ξ)v(τ, ξ) = 0,
(τ, ξ) ∈ Π[0,T ).
(6)
Пiд розв’язком рiвняння (1) розумiтимемо L-розв’язок у сенсi означення 2 з [1], а пiд
виразом SBu — похiдну Лi вiд функцiї u вiдносно векторного поля, заданого диференцiаль-
ним виразом (2) або (3) (див. означення 1 з [1]).
Рiвняння (1) i (6) належать до класу ультрапараболiчних рiвнянь i зустрiчаються при
дослiдженнi математичних моделей рiзних фiзичних явищ у так званому дифузiйному на-
ближеннi. Такi моделi в багатьох важливих випадках (наприклад, при вивченнi броунiв-
ського руху) досить адекватно i вiдносно просто описують реальнi явища.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 29
Для рiвняння (1) за умов α1 — α3 в [1] доведено iснування та встановленi оцiнки фун-
даментального L-розв’язку задачi Кошi (ФРЗК) Z(t, x; τ, ξ), 0 6 τ < t 6 T , {x, ξ} ∈ R
n.
Цю функцiю природно трактувати як густину перехiдних iмовiрностей вiдповiдного мар-
ковського випадкового процесу дифузiйного типу зi значеннями у фазовому просторi R
n
з трьома рiзними групами фазових координат x1 ∈ R
n1 , x2 ∈ R
n2 i x3 ∈ R
n3 .
2. Наведемо декiлька тверджень типу принципу максимуму для розв’язкiв (тобто L-роз-
в’язкiв) рiвняння (1) як в обмежених, так i деяких необмежених областях.
10. Нехай D — обмежена область в R
n; u : [0, T ]×D → R — неперервна функцiя, яка має
в (0, T ]×D неперервнi похiдну Лi та похiднi за x1, що входять у рiвняння (1); коефiцiєнти
рiвняння (1) задовольняють умови α1 i α5. Якщо (Lu)(t, x) > 0, (t, x) ∈ (0, T ]×D, u(t, x) >
> 0, (t, x) ∈ ∂([0, T ] × D) \ {t = T}, то u(t, x) > 0, (t, x) ∈ [0, T ] × D.
Розглянемо область Ω ⊂ R
n+1. Нехай P 0 := (t0, x0) — довiльно взята точка з Ω. Позна-
чимо через S(P 0) множину всiх точок Q ∈ Ω таких, що їх можна з’єднати з P 0 простою
неперервною кривою, яка лежить в Ω i вздовж якої координата t не спадає вiд Q до P 0. Че-
рез C(P 0) будемо позначати компоненту перетину Ω
⋂
{t = t0}, яка мiстить P 0. Зазначимо,
що C(P 0) ⊂ S(P 0).
20. Нехай коефiцiєнти рiвняння (1) неперервнi в Ω, задовольняється умова α1, для
будь-яких (t, x) ∈ Ω справджуються нерiвностi (5) i a0(t, x) 6 0, нехай функцiя u непе-
рервна разом з похiдною Лi та похiдними за x1, якi входять у рiвняння (1). Тодi якщо
в Ω Lu 6 0 (Lu > 0) i функцiя u має в Ω додатний максимум (вiд’ємний мiнiмум), який
досягається в точцi P 0, то u(P ) = u(P 0) для всiх точок P ∈ S(P 0).
30. Нехай коефiцiєнти рiвняння (1) задовольняють умови α1, α5 i u : (0, T ] × Ω → R —
функцiя, неперервна разом з похiдною Лi та похiдними за x1, що входять у рiвняння (1),
де Ω = R
n \ BR0
, BR0
— куля в R
n радiуса R0 > 0 з центром у початку координат, або
Ω = R
n. Якщо:
1) (Lu)(t, x) > 0, (t, x) ∈ (0, T ] × Ω;
2) lim inf
(t,x)→(t0,x0)
u(t, x) > 0 для кожної точки (t0, x0) ∈ ∂((0, T ] × Ω) \ {t = T};
3) рiвномiрно щодо t ∈ (0, T ) iснує lim inf
|x|→∞
u(t, x) > 0,
то u(t, x) > 0, (t, x) ∈ (0, T ] × Ω.
Твердження, подiбне до 20, правильне i для спряженого рiвняння (6), якщо припустити,
що для рiвняння (1) виконуються умови α1 i α6 та iснують неперервнi й обмеженi похiднi
за x1 вiд ajs другого порядку i вiд aj першого порядку.
40. Нехай u : [0, T ) × Ω → R — функцiя, неперервна разом з похiдною Лi та iншими
похiдними, що входять у спряжене рiвняння (6), де Ω = R
n \ BR0
, R0 > 0, або Ω = R
n.
Якщо:
1) (L∗u)(t, x) 6 0, (t, x) ∈ [0, T ) × Ω;
2) lim sup
(t,x)→(t0,x0)
u(t, x) 6 0 для кожної точки (t0, x0) ∈ ∂([0, T ) × Ω) \ {t = 0};
3) рiвномiрно щодо t ∈ [0, T ) iснує lim sup
|x|→∞
u(t, x) 6 0,
то u(t, x) 6 0, (t, x) ∈ [0, T ) × Ω.
50. Нехай виконуються умови α1 i α6 i u : Π(0,T ] → R — функцiя, неперервна разом
з похiдною Лi та iншими похiдними, що входять у рiвняння (1), i така, що (Lu)(t, x) > 0,
(t, x) ∈ Π(0,T ], i для деяких чисел B > 0 i bl > 0, l ∈ {1, 2, 3}, виконується нерiвнiсть
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
u(t, x) > −B exp
{
3
∑
l=1
bl|xl|
2
}
, (t, x) ∈ Π(0,T ].
Якщо lim
t→0
u(t, x) > 0, x ∈ R
n, то u(t, x) > 0, (t, x) ∈ Π(0,T ].
3. Одержанi в [1] оцiнки ФРЗК Z, деякi наведенi в п. 2 твердження та правильна для
пiдходящих функцiй u i v формула типу Грiна–Остроградського:
t2
∫
t1
dθ
∫
Rn
(vLu − uL∗v)(θ, y) dy =
∫
Rn
(vu)(θ, y)
∣
∣
∣
∣
∣
t2
θ=t1
dy,
дозволяють довести нижченаведену теорему про властивостi функцiї Z.
Теорема 1. Нехай виконуються умови α1–α4. Тодi ФРЗК Z має такi властивостi:
1) функцiя Z∗(τ, ξ; t, x) := Z(t, x; τ, ξ), 0 6 τ < t 6 T , {x, ξ} ∈ R
n, є ФРЗК для спряже-
ного рiвняння (6), тобто Z є нормальним ФРЗК;
2) нормальний ФРЗК єдиний;
3) Z(t, x; τ, ξ) > 0, 0 6 τ < t 6 T , {x, ξ} ∈ R
n;
4) iснує число ∆ ∈ (0, T ) таке, що для будь-яких t0 ∈ [0, T − ∆], (t, x) ∈ Π(t0,t0+∆]
i δ ∈ (0, t − t0) iснують числа ω > 0 i γ > 0, з якими справджується нерiвнiсть
Z(t, x; τ, ξ) > ω exp{−γ|ξ|2}, (τ, ξ) ∈ Π[t0,t−δ];
5) функцiя Z є розв’язком функцiонального рiвняння
Z(t, x; τ, ξ) =
∫
Rn
Z(t, x;β, y)Z(β, y; τ, ξ) dy, 0 6 τ < t 6 T, {x, ξ} ∈ R
n;
6) для матрицi дифузiї A := (ajs)
n1
j,s=1, вектора знесення a := (a1, . . . , an1
) i коефiцiєн-
та a0 виконуються рiвностi
A(t, x) =
(
2−1 lim
τ→t
(
(t − τ)−1
∫
Rn
(y1j − x1j)(y1s − x1s)Z(t, x; τ, y) dy
))n1
j,s=1
,
a(t, x) = lim
τ→t
(
(t − τ)−1
∫
Rn
(y1 − x1)Z(t, x; τ, y) dy
)
,
a0(t, x) = lim
τ→t
(
(t − τ)−1
( t
∫
τ
dθ
∫
Rn
Z(t, x; θ, y) dy − 1
))
, (t, x) ∈ Π(0,T ].
4. За допомогою тверджень 30 i 50, а також методики, яка використовує спряжене рiв-
няння i формулу Грiна–Остроградського, доводяться наведенi нижче три варiанти теорем
про єдинiсть розв’язкiв задачi Кошi для рiвняння (1).
Теорема 2. Нехай виконуються умови α1 i α6, B — деяке додатне число, bl, l ∈
∈ {1, 2, 3}, — деякi невiд’ємнi числа. Тодi розв’язок u рiвняння (1), що задовольняє нульову
початкову умову та умову
|u(t, x)| 6 B exp
{
3
∑
l=1
bl|xl|
2
}
, (t, x) ∈ Π(0,T ],
тотожно дорiвнює нулю.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 31
Теорема 3. Нехай виконуються умови α1–α4 i нехай b — деяке невiд’ємне число. Тодi
розв’язок u рiвняння (1), який задовольняє нульову початкову умову та умову
T
∫
0
dt
∫
Rn
exp{−b|x|2}|u(t, x)|dx < ∞,
тотожно дорiвнює нулю.
Теорема 4. Нехай виконуються умови α1–α4. Тодi задача Кошi для рiвняння (1) не
може мати бiльше одного невiд’ємного розв’язку.
1. Iвасишен С.Д., Лаюк В.В. Задача Кошi для деяких вироджених параболiчних рiвнянь типу Колмо-
горова // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 3. – С. 56–65.
2. Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-
differential equations of parabolic type. – Basel: Birkhäuser, 2004. – 390 p. – (Operator Theory: Adv. and
Appl. Vol. 152).
3. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. – Москва: Мир, 1989. – 635 с.
4. Di Francesco M., Pascucci A. On a class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type // Appl.
Math. Res. Express. – 2005. – No 3. – P. 77–116.
5. Polidoro S. On a class of ultraparabolic operators of Kolmogorov–Fokker–Planck type // Matematiche. –
1994. – 49. – P. 53–105.
6. Малицька Г.П. Про принцип максимуму для ультрапараболiчних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 1996. –
48, № 2. – С. 195–2001.
7. Дронь В.С. Про принцип максимуму для вироджених параболiчних рiвнянь типу Колмогорова //
Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. праць. – Київ: Iн-т мате-
матики НАН України, 1996. – Вип. 12. – С. 272–277.
Надiйшло до редакцiї 14.07.2008Iнститут прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
V.V. Layuk
Properties of solutions of one class of ultraparabolic equations
Ultraparabolic equations which generalized the classical Kolmogorov equation of diffusion with
inertia that arise in the theory of the Markov stochastic processes of diffusion type are considered.
For the so-called L-solutions of these equations, some propositions of the principle of maximum
type which are applied to study properties of the fundamental solution of the Cauchy problem and
to prove the uniqueness theorems for a solution of the Cauchy problem are established.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8447 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:00:20Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лаюк, В.В. 2010-05-28T14:31:51Z 2010-05-28T14:31:51Z 2009 Властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь / В.В. Лаюк // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 28-32. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8447 517.956.4 Розглянуто ультрапараболiчнi рiвняння, якi узагальнюють класичне рiвняння дифузiї з iнерцiєю Колмогорова i якi виникають у теорiї марковських випадкових процесiв дифузiйного типу. Для так званих L-розв’язкiв таких рiвнянь установлено ряд тверджень типу принципу максимуму, якi застосовуються до вивчення властивостей фундаментального розв’язку задачi Кошi та доведення теорем єдиностi розв’язку задачi Кошi. Ultraparabolic equations which generalized the classical Kolmogorov equation of diffusion with inertia that arise in the theory of the Markov stochastic processes of diffusion type are considered. For the so-called L-solutions of these equations, some propositions of the principle of maximum type which are applied to study properties of the fundamental solution of the Cauchy problem and to prove the uniqueness theorems for a solution of the Cauchy problem are established. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь Properties of solutions of one class of ultraparabolic equations Article published earlier |
| spellingShingle | Властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь Лаюк, В.В. Математика |
| title | Властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь |
| title_alt | Properties of solutions of one class of ultraparabolic equations |
| title_full | Властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь |
| title_fullStr | Властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь |
| title_short | Властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь |
| title_sort | властивості розв'язків одного класу ультрапараболічних рівнянь |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8447 |
| work_keys_str_mv | AT laûkvv vlastivostírozvâzkívodnogoklasuulʹtraparabolíčnihrívnânʹ AT laûkvv propertiesofsolutionsofoneclassofultraparabolicequations |