Оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны
Рассмотрена линейно-квадратическая задача оптимального управления процессом колебаний прямоугольной мембраны. С помощью метода множителей Лагранжа получены необходимые условия оптимальности. На их основе выведена система интегро-дифференциальных уравнений Риккати с частными производными. Решение пос...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и вычислительная техника |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84523 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны / М.М. Копец // Кибернетика и вычислительная техника. — 2014. — Вип. 177. — С. 28-42. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859468919275782144 |
|---|---|
| author | Копец, М.М. |
| author_facet | Копец, М.М. |
| citation_txt | Оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны / М.М. Копец // Кибернетика и вычислительная техника. — 2014. — Вип. 177. — С. 28-42. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и вычислительная техника |
| description | Рассмотрена линейно-квадратическая задача оптимального управления процессом колебаний прямоугольной мембраны. С помощью метода множителей Лагранжа получены необходимые условия оптимальности. На их основе выведена система интегро-дифференциальных уравнений Риккати с частными производными. Решение последней системы дало возможность выписать явную формулу для вычисления оптимального управления.
Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального управління процесом коливань прямокутної мембрани. За допомогою методу множників Лагранжа отримані необхідні умови оптимальності. На їх основі виведена система інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті з приватними похідними. Рішення останньої системи дало можливість виписати явну формулу для обчислення оптимального керування.
The main results: The author of the article obtains the necessary optimality conditions. At their bases derived a system of integro-differential Riccati equations with partial derivatives. The solution of this system provided an opportunity to write an explicit formula for calculating the optimal control.
|
| first_indexed | 2025-11-24T08:29:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
28
УДК 517.977
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ
Копец М.М.
Национальный технический университет Украины «Киевский
политехнический институт»
Рассмотрена линейно-квадратическая задача
оптимального управления процессом колебаний прямоугольной
мембраны. С помощью метода множителей Лагранжа получены
необходимые условия оптимальности. На их основе выведена система
интегро-дифференциальных уравнений Риккати с частными
производными. Решение последней системы дало возможность выписать
явную формулу для вычисления оптимального управления.
Ключевые слова: оптимальное управление, метод
множителей Лагранжа, необходимые условия оптимальности уравнения
Риккати.
Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального
управління процесом коливань прямокутної мембрани. За допомогою
методу множників Лагранжа отримані необхідні умови оптимальності.
На їх основі виведена система інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті з
приватними похідними. Рішення останньої системи дало можливість
виписати явну формулу для обчислення оптимального керування.
Ключові слова: оптимальне керування, метод множників
Лагранжа, необхідні умови оптимальності рівняння Ріккаті.
ВВЕДЕНИЕ
В теории оптимального управления одно из центральных мест
справедливо занимает линейно-квадратическая задача. Для управляемых
систем со сосредоточенными параметрами эта задача исследована достаточно
подробно [1, 2], чего нельзя утверждать об аналогичной задаче для систем с
распределенными параметрами. В некоторых достаточно известных
монографиях она вовсе не рассматривается [3, 4]. В других работах для ее
исследования использованы методы функционального анализа [5], что
обусловливает достаточно высокий уровень абстракции. В противовес этому
подходу в данной статье для исследования линейно-квадратической задачи
предлагаются современные методы вариационного исчисления и
математической физики.
Цель настоящей статьи состоит в исследовании линейно-квадратичной
задачи оптимального управления процессом колебаний прямоугольной
мембраны, а именно: получение необходимых условий оптимальности и
вывод формулы для вычисления оптимального управления.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть управляемый процесс описывается следующим линейным
дифференциальным уравнением с частными производными
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
29
),,(),,(),,(),,(
2
2
2
2
2
2
2
yxtu
y
yxtz
x
yxtza
t
yxtz
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ , (1)
где lx ≤≤0 , my ≤≤0 , 10 ttt ≤≤ , действительные числа 0fa , 0fl ,
0fm , 00 ≥t , 01 tt f известны. Если через Ω обозначить множество
}],0[],,0[],,0[:),,{( mylxltyxt ∈∈∈=Ω , то функция )(),,( 2 Ω∈ Lyxtu
называется допустимым управлением. Для фиксированного допустимого
управления ),,( yxtu под решением ),,( yxtz уравнения (1) подразумеваем
обобщенное решение )(),,( 0,1
2 Ω∈Wyxtz . Для уравнения (1) заданы начальные
условия
),,(),,( 0 yxfyxtz = ),,(),,( 0 yxg
t
yxtz
=
∂
∂ (2)
где функции )(),( 2 Σ∈ Lyxf , )(),( 2 Σ∈ Lyxg предполагаются известными
(множество Σ имеет вид }],0[],,0[:),{( mylxyx ∈∈=Σ ), символ
t
yxtz
∂
∂ ),,( 0
обозначает значение частной производной
t
yxtz
∂
∂ ),,( при 0tt = . Подобным
образом трактуются символ
t
yxtz
∂
∂ ),,( 1 . Краевые условия для уравнения (1)
являются однородными, т.е.
0),0,( =ytz , 0),,( =yltz , 0)0,,( =xtz , 0),,( =mxtz . (3)
На решениях задачи (1)–(3) рассматривается функционал
+
∂
∂
+= ∫ ∫∫ ∫ dydx
t
yxtzdydxyxtzzuI
l ml m
0 0
2
1
1
0 0
2 ),,(
2
1),,(
2
1),(
∫ ∫ ∫ ++
1
0
.)],,(),,([
2
1 2
0 0
2
t
t
l m
dydxdtyxtuyxtz
(4)
Задача оптимального управления (1)–(4) состоит в определении
допустимого управления ),,( yxtu и соответствующего ему решения
),,( yxtz задачи (1)–(3), на которых функционал (4) принимает наименьшее
возможное значение.
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Одним из возможных методов для нахождения решения
сформулированной выше задачи оптимального управления (1)–(4) является
метод множителей Лагранжа [6, с. 31]. Сущность этого метода состоит в
замене функционала (4) следующим вспомогательным функционалом
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
30
+
∂
∂
+= ∫ ∫∫ ∫ dxdy
t
yxtzdydxyxtzzupJ
l ml m
0 0
2
1
1
0 0
2 ),,(
2
1),,(
2
1),,(
+++ ∫ ∫ ∫
1
0
)],,(),,([
2
1 2
0 0
2
t
t
l m
dydxdtyxtuyxtz
∫∫ ∫ +
∂
∂
+
∂
∂
+
1
00 0
2
2
2
2
2 ),,(),,(),,(
t
t
l m
y
yxtz
x
yxtzayxtp
,),,(),,( 2
2
dydxdt
t
yxtzyxtu
∂
∂
−+
(5)
где ),,( yxtp — неизвестная функция (множитель Лагранжа). В результате
такой замены задача на условный экстремум (1)–(4) сводится к задаче
минимизации функционала (5) с учетом условий (2) и (3). Дальше находим
выражение J∆ для приращения функционала (5)
),,(),,( zupJzzuuppJJ −εδ+εδ+εδ+=∆ .
Используя соотношение (5), выражение для J∆ можно представить
следующим образом:
[ ] +εδ+=∆ ∫ ∫ dydxyxtzyxtzJ
l m
2
11
0 0
),,(),,(
2
1
+
∂
δ∂
ε+
∂
∂
+ ∫ ∫ dydx
t
yxtz
t
yxtzl m
0 0
2
11 ),,(),,(
2
1
[ ][ [ ] ] +εδ++εδ++ ∫∫ ∫
1
0
2
0 0
2 ),,(),,(),,(),,(
2
1 t
t
l m
dydxdtyxtuyxtuyxtzyxtz
[ ]∫∫ ∫ +
∂
δ∂
ε+
∂
∂
εδ++
1
00 0
2
2
2
2
2 ),,(),,(),,(),,(
t
t
l m
x
yxtz
x
yxtzayxtpyxtp
−εδ++
∂
δ∂
ε+
∂
∂
+ ),,(),,(),,(),,(
2
2
2
2
yxtuyxtu
y
yxtz
y
yxtz
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
31
−−
∂
δ∂
ε−
∂
∂
− ∫ ∫ dydxyxtzdydxdt
y
yxtz
y
yxtz l m
),,(
2
1),,(),,(
1
0 0
2
2
2
2
2
−+−
∂
∂
− ∫ ∫ ∫∫ ∫
1
0
)],,(),,([
2
1),,(
2
1 2
0 0
2
0 0
2
1
t
t
l ml m
dydxdtyxtuyxtzdxdy
t
yxtz
∫∫ ∫ +
∂
∂
+
∂
∂
+
1
00 0
2
2
2
2
2 ),,(),,(),,(
t
t
l m
y
yxtz
x
yxtzayxtp
.),,(),,( 2
2
dydxdt
t
yxtzyxtu
∂
∂
−+
(6)
Выполнив очевидные преобразования, вместо соотношения (6) получим
такое равенство:
] +
∂
δ∂
∂
∂
ε+δε=∆ ∫ ∫∫ ∫ dydx
t
yxtz
t
yxtzdydxyxtzyxtzJ
l ml m
0 0
11
0 0
11
),,(),,(),,(),,(
[ ] +δ+δε+ ∫∫ ∫
1
0
),,(),,(),,(),,(
0 0
t
t
l m
dydxdtyxtuyxtuyxtzyxtz
∫∫ ∫ +
∂
δ∂
+
∂
δ∂
ε+
1
00 0
2
2
2
2
2 ),,(),,(),,(
t
t
l m
y
yxtz
x
yxtzayxtp
+
∂
δ∂
−δ+ dydxdt
t
yxtzyxtu 2
2 ),,(),,(
∫∫ ∫ +
∂
∂
+
∂
∂
δ+
1
00 0
2
2
2
2
2 ),,(),,(),,(
t
t
l m
y
yxtz
x
yxtzayxtp
+
∂
∂
−+ dydxdt
t
yxtzyxtu 2
2 ),,(),,(
[ ] +
∂
δ∂ε
+δ
ε
+ ∫ ∫∫ ∫ dydx
t
yxtzdydxyxtz
l ml m
0 0
2
1
2
2
0 0
1
2 ),,(
2
),,(
2
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
32
[ ][ [ ] ] +δ+δ
ε
+ ∫∫ ∫
1
0
2
0 0
2
2
),,(),,(
2
t
t
l m
dydxdtyxtuyxtz
∫∫ ∫ +
∂
δ∂
+
∂
δ∂
δε+
1
00 0
2
2
2
2
22 ),,(),,(),,(
t
t
l m
y
yxtz
x
yxtzayxtp
.),,(),,( 2
2
dydxdt
t
yxtzyxtu
∂
∂
−+
δδ
(7)
Поскольку должно выполняться соотношение
+
∂
δ∂
ε+
∂
∂
+
∂
δ∂
ε+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2 ),,(),,(),,(),,(
y
yxtz
y
yxtz
x
yxtz
x
yxtza
0
),,(),,(
),,(),,( 2
2
2
2
=
∂
δ∂
ε−
∂
∂
−εδ++
t
yxtz
t
yxtzyxtuyxtu ,
то принимая во внимание уравнение (1), получим такое равенство:
0),,(),,(),,(),,(
2
2
2
2
2
2
2 =
∂
δ∂
−δ+
∂
δ∂
+
∂
δ∂
t
yxtzyxtu
y
yxtz
x
yxtza . (8)
Учитывая очевидные соотношения 0),(),(),,( 0 =−=δ yxfyxfyxtz ,
0),(),(),,( 0 =−=
∂
δ∂ yxgyxg
t
yxtz и дважды используя формулу
интегрирования по частям, получим следующее равенство:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −
∂
δ∂
=
∂
δ∂1
00 0 0 0
1
12
2 ),,(),,(),,(),,(
t
t
l m l m
dydx
t
yxtzyxtpdydxdt
t
yxtzyxtp
∫ ∫ ∫∫ ∫ =
∂
δ∂
∂
∂
−
∂
δ∂
−
1
00 00 0
0
0
),,(),,(),,(),,(
t
t
l ml m
dydxdt
t
yxtz
t
yxtpdydx
t
yxtzyxtp
∫ ∫ ∫ ∫ +δ
∂
∂
−
∂
δ∂
=
l m l m
dydxyxtz
t
yxtpdydx
t
yxtzyxtp
0 0 0 0
1
11
1 ),,(),,(),,(),,(
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =δ
∂
∂
+δ
∂
∂
+
l m t
t
l m
dydxdtyxtz
t
yxtpdydxyxtz
t
yxtp
0 0 0 0
2
2
0
0
1
0
),,(),,(),,(),,(
∫ ∫ ∫ ∫ +δ
∂
∂
−
∂
δ∂
=
l m l m
dydxyxtz
t
yxtpdydx
t
yxtzyxtp
0 0 0 0
1
11
1 ),,(),,(),,(),,(
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
33
∫ ∫ ∫ δ
∂
∂
+
1
00 0
2
2
),,(),,(t
t
l m
dydxdtyxtz
t
yxtp .
(9)
Предполагая выполнение краевых условий
0),0,( =ytp , 0),,( =yltp 0)0,,( =xtp , 0),,( =mxtp (10)
и принимая во внимание очевидные соотношения 000),0,( =−=δ ytz ,
000),,( =−=δ yltz , после двукратного применения формулы
интегрирования по частям приходим к такому равенству:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −
∂
δ∂
=
∂
δ∂1
0
1
00 0 0
2
2 ),,(),,(),,(),,(
t
t
l m t
t
m
dydt
x
yltzyltpdydxdt
x
yxtzyxtp
∫ ∫ ∫∫ ∫ =
∂
δ∂
∂
∂
−
∂
δ∂
−
1
0
1
0 0 00
),,(),,(),0,(),0,(
t
t
l mt
t
m
dydxdt
x
yxtz
x
yxtpdydt
x
ytzytp
∫ ∫ ∫ ∫ +δ
∂
∂
+δ
∂
∂
−=
1
0
1
00 0
),0,(),0,(),,(),,(t
t
m t
t
m
dydtytz
x
ytpdydtyltz
x
yltp
.),,(),,(),,(),,( 1
0
1
0 0 0
2
2
0 0
2
2
∫ ∫ ∫∫∫ ∫ δ
∂
∂
=δ
∂
∂
+
t
t
l mt
t
l m
dydxdtyxtz
x
yxtpdydxdtyxtz
x
yxtp
(11)
Аналогично, учитывая краевые условия 000)0,,( =−=δ xtz ,
000),,( =−=δ mxtz и условия (10), получим равенство
.),,(),,(),,(),,(
1
0
1
0 0 0
2
2
0 0
2
2
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ δ
∂
∂
=
∂
δ∂ t
t
l mt
t
l m
dydxdtyxtz
y
yxtpdydxdt
y
yxtzyxtp (12)
Равенства (8), (9) , (11) и (12) позволяют представить соотношение (7)
следующим образом:
+δ
∂
∂
+ε=∆ ∫ ∫ dydxyxtz
t
yxtpyxtzJ
l m
0 0
1
1
1 ),,(),,(),,(
+
∂
δ∂
−
∂
∂
ε+ ∫ ∫ dydx
t
yxtzyxtp
t
yxtzl m
0 0
1
1
1 ),,(),,(),,(
∫∫ ∫ −+
∂
∂
+
∂
∂
ε+
1
00 0
2
2
2
2
2 ),,(),,(),,(t
t
l m
yxtz
y
yxtp
x
yxtpa
[ +
δ++δ
∂
∂
− dydxdtyxtuyxtpyxtuyxtz
t
yxtp ),,(),,(),,(),,(),,(
2
2
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
34
[ ] +
∂
δ∂ε
+δ
ε
+ ∫ ∫∫ ∫ dydx
t
yxtzdydxyxtz
l ml m
0 0
2
1
2
2
0 0
1
2 ),,(
2
),,(
2
[ ][ [ ] ] .),,(),,(
2
1
0
2
0 0
2
2
∫∫ ∫ ++
t
t
l m
dydxdtyxtuyxtz δδε
(13)
Подводя итоги выше приведеным рассуждениям, приходим к
следующему утверждению.
Теорема 1. Единственное оптимальное управление ),,( yxtu
определяется из системы соотношений
=+
====
−=
∂
∂
∂
∂
=
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
====
=
∂
∂
=
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
.0),,(),,(
,0),,(,0)0,,(,0),,(,0),,(
),,,(),,(,),,(),,(
),,,(),,(),,(),,(
,0),,(,0)0,,(,0),,(,0),0,(
),,(),,(),,(),,(
),,,(),,(),,(),,(
1
1
11
1
2
2
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
2
2
yxtpyxtu
mxtpxtpyltpyxtp
yxtz
t
yxtp
t
yxtzyxtp
yxtz
y
yxtp
x
yxtpa
t
yxtp
mxtzxtzyltzytz
yxg
t
yxtzyxfyxtz
yxtu
y
yxtz
x
yxtza
t
yxtz
(14)
Доказательство. Необходимым условием экстремума функционала (5)
является равенство нулю его первой вариации. Это условие будет выполнено,
если имеют место следующие соотношения:
0),,(),,( 1
1 =
∂
∂
+
t
yxtpyxtz , 0),,(),,(
1
1 =−
∂
∂ yxtp
t
yxtz ,
0),,(),,(),,(),,(
2
2
2
2
2
2
2 =
∂
∂
−+
∂
∂
+
∂
∂
t
yxtzyxtu
y
yxtz
x
yxtza ,
0),,(),,(),,(),,(
2
2
2
2
2
2
2 =
∂
∂
−+
∂
∂
+
∂
∂
t
yxtpyxtz
y
yxtp
x
yxtpa ,
0),,(),,( =+ yxtpyxtu .
Если присоединить к этим равенствам начальные условия (2), краевые
условия (3) и соотношения (10), то получим систему уравнений (14). В случае
выполнения этих соотношений выражение (13) примет вид
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
35
[ ] +
∂
δ∂ε
+δ
ε
=∆ ∫ ∫∫ ∫ dydx
t
yxtzdydxyxtzJ
l ml m
0 0
2
1
2
2
0 0
1
2 ),,(
2
),,(
2
[ ][ [∫∫ ∫ δ+δ
ε
+
1
0
.),,(),,(
2 0 0
2
2 t
t
l m
dydxdtyxtuyxtz
(15)
При условии, что 0),,( ≠δ yxtu , имеем неравенство 0fJ∆ . Это
означает, что на управлении ),,( yxtu реализуется минимум функционала (4).
Дальше предположим, что управление ),,(),,(),,( yxtyxtuyxtu δ+= также
является оптимальным управлением. Тогда оно также должно удовлетворять
соотношениям (14) и, кроме того, должно выполняться равенство 0=∆J ,
поскольку оба управления ),,( yxtu и ),,( yxtu оптимальны. Но тогда из
выражения (15) следует, что равенство 0=∆J возможно только в том случае,
когда 0),,( =δ yxtu . Отсюда следует, что ),,(),,( yxtuyxtu = , и теорема 1
полностью доказана.
ВЫВОД СИСТЕМЫ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РИККАТИ
Исходя из равенств
t
yxtzyxtp
∂
∂
=
),,(),,( 1
1 и ),,(),,(
1
1 yxtz
t
yxtp
−=
∂
∂ ,
предполагаем существование зависимости между ),,( yxtp и ),,( yxtz
−λλλ−=
∂
∂
∫ ∫ dsdstzsyxtR
t
yxtp l m
0 0
11 ),,(),,,,(),,(
dsd
t
stzsyxtR
l m
λ
∂
λ∂
λ− ∫ ∫
0 0
12
),,(),,,,( ,
(16)
+λλλ= ∫ ∫ dsdstzsyxtRyxtp
l m
0 0
21 ),,(),,,,(),,(
dsd
t
stzsyxtR
l m
λ
∂
λ∂
λ+ ∫ ∫
0 0
22
),,(),,,,( ,
(17)
где функции )2,1;2,1(),,,,( ==λ jisyxtRij требуется найти.
Дифференцируя равенство (16) по переменной ,t приходим к такому
соотношению:
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
36
∫ ∫ +λ
∂
λ∂
−=
∂
∂ l m
stz
t
syxtR
t
yxtp
0 0
11
2
2
),,(),,,,(),,(
−λ
∂
λ∂
λ+ dsd
t
stzsyxtR ),,(),,,,(11
dsd
t
stzsyxtR
t
stz
t
syxtRl m
λ
∂
λ∂
λ+
∂
λ∂
∂
λ∂
− ∫ ∫ 2
2
0
12
0
12 ),,(),,,,(),,(),,,,( .
(18)
Поскольку из системы (14) имеем ),,(),,( λ−=λ stpstu , то уравнение (1)
примет вид ),,(),,(),,(),,(
2
2
2
2
2
2
2
λ−
λ∂
λ∂
+
∂
λ∂
=
∂
λ∂ stpstz
s
stza
t
stz . Используя
выражение (17), имеем
−
λ∂
λ∂
+
∂
λ∂
=
∂
λ∂
2
2
2
2
2
2
2 ),,(),,(),,( stz
s
stza
t
stz
ρσ
∂
σρ∂
σρλ−ρσσρσρλ− ∫ ∫∫ ∫ dd
t
tzstRddtzstR
l ml m
0 0
22
0 0
21
),,(
),,,,(),,(),,,,( .
(19)
Дальше, учитывая соотношение (19), равенство (18) преобразуем
следующим образом:
+
∂
λ∂
λ+λ
∂
λ∂
−=
∂
∂
∫ ∫ t
stzsyxtRstz
t
syxtR
t
yxtp l m ),,(),,,,(),,(),,,,(),,(
0
11
0
11
2
2
+
∂
λ∂
∂
λ∂
+
t
stz
t
syxtR ),,(),,,,(12
−
λ∂
λ∂
+
∂
λ∂
λ+ 2
2
2
2
12
2 ,,(),,(),,,,( stz
s
stzsyxtRa
−ρσσρσρλλ− ∫ ∫ ddtzstRsyxtR
l m
0 0
2112 ),,(),,,,(),,,,(
dsddd
t
tzstRsyxtR
l m
λ
ρσ
∂
σρ∂
σρλλ− ∫ ∫
0 0
2212
),,(
),,,,(),,,,( .
(20)
После этого, предполагая выполнение краевых условий
0),0,,,(12 =λyxtR , 0),,,,(12 =λlyxtR (21)
и принимая во внимание краевые условия (3), с помощью двукратного
применения формулы интегрирования по частям получим
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
37
∫∫ ∫ −λ
∂
λ∂
λ=λ
∂
λ∂
λ
ml m
d
s
ltzlyxtRdsd
s
stzsyxtR
0
122
2
0 0
12
),,(),,,,(),,(),,,,(
=λ
∂
λ∂
∂
λ∂
−λ
∂
λ∂
λ− ∫ ∫∫ dsd
s
stz
s
syxtRd
s
tzyxtR
l mm ),,(),,,,(),0,(),0,,,(
0 0
12
0
12
∫∫ +λλ
∂
λ∂
+λλ
∂
λ∂
−=
mm
dtz
s
yxtRdltz
s
lyxtR
0
12
0
12 ),0,(
),0,,,(
),,(
),,,,(
dsdstz
s
syxtRdsdstz
s
syxtR l ml m
λλ
∂
λ∂
=λλ
∂
λ∂
+ ∫ ∫∫ ∫ ),,(),,,,(),,(),,,,(
0 0
2
12
2
0 0
2
12
2
.
(22)
Подобным образом, при выполнении краевых условий
0)0,,,,(12 =syxtR , 0),,,,(12 =msyxtR (23)
получаем следующее соотношение:
dsdstzsyxtRdsdstzsyxtR
l ml m
λλ
λ∂
λ∂
=λ
λ∂
λ∂
λ ∫ ∫∫ ∫ ),,(),,,,(),,(),,,,(
0 0
2
12
2
2
2
0 0
12 . (24)
Кратный интеграл dsdddtzstRsyxtR
l ml m
λρσσρσρλλ ∫ ∫∫ ∫
0 0
21
0 0
12 ),,(),,,,(),,,,(
преобразуем таким образом. Меняя в нем порядок интегрирования, изменим
обозначение переменных интегрирования s на ρ , λ на σ , и , наоборот, ρ на
s , σ на λ . Это приводит к следующему соотношению:
=λρσσρσρλλ ∫ ∫∫ ∫ dsdddtzstRsyxtR
l ml m
0 0
21
0 0
12 ),,(),,,,(),,,,(
=ρσλσρσρλλ= ∫ ∫ ∫ ∫
l ml m
dddsdtzstRsyxtR
0 0 0 0
2112 ),,(),,,,(),,,,(
∫ ∫ ∫ ∫ λλρσλσρσρ=
l ml m
dsdstzddstRyxtR
0 0 0 0
2112 ),,(),,,,(),,,,( .
(25)
Подобным способом находим
=λρσ
∂
σρ∂
σρλλ ∫ ∫∫ ∫ dsddd
t
tzstRsyxtR
l ml m
0 0
21
0 0
12
),,(),,,,(),,,,(
=ρσλ
∂
σρ∂
σρλλ= ∫ ∫ ∫ ∫
l ml m
dddsd
t
tzstRsyxtR
0 0 0 0
2112
),,(),,,,(),,,,(
∫ ∫ ∫ ∫ λ
∂
λ∂
ρσλσρσρ=
l ml m
dsd
t
stzddstRyxtR
0 0 0 0
2112
),,(),,,,(),,,,( .
(26)
На основе соотношений (22), (24), (25) и (26) равенство (20) примет вид
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
38
+
∂
λ∂
λ+λ
∂
λ∂
−=
∂
∂
∫ ∫ t
stzsyxtRstz
t
syxtR
t
yxtp l m ),,(),,,,(),,(),,,,(),,(
0
11
0
11
2
2
+
∂
λ∂
∂
λ∂
+
t
stz
t
syxtR ),,(),,,,(12
−λ
λ∂
λ∂
+
∂
λ∂
+ ),,(),,,,(),,,,(
2
12
2
2
12
2
2 stzsyxtR
s
syxtRa
−λρσλσρσρ− ∫ ∫ ),,(),,,,(),,,,(
0 0
2112 stzddstRyxtR
l m
dsd
t
stzddstRyxtR
l m
λ
∂
λ∂
ρσλσρσρ− ∫ ∫
0 0
2112
),,(),,,,(),,,,( .
(27)
С другой стороны, на основе равенства (17) имеем
+λλ
∂
λ∂
=
∂
∂
∫ ∫ dsdstz
x
syxtR
x
yxtp l m
0 0
2
21
2
2
2
),,(
),,,,(),,(
dsd
t
stz
x
syxtRl m
λ
∂
λ∂
∂
λ∂
+ ∫ ∫
0 0
2
22
2 ),,(),,,,( ,
(28)
+λλ
∂
λ∂
=
∂
∂
∫ ∫ dsdstz
y
syxtR
y
yxtp l m
0 0
2
21
2
2
2
),,(
),,,,(),,(
dsd
t
stz
y
syxtRl m
λ
∂
λ∂
∂
λ∂
+ ∫ ∫
0 0
2
22
2 ),,(),,,,( .
(29)
С помощью двумерной дельта-функции )(s)()s,( λ−δ−δ=λ−−δ yxyx , где
)(xδ — обычная дельта-функция Дирака, получим соотношение
dsdstzyxyxtz
l m
λλλ−−δ= ∫ ∫
0 0
),,(),s(),,( .
Подставляя это выражение в уравнение
),,(),,(),,(),,(
2
2
2
2
2
2
2
yxtz
y
yxtp
x
yxtpa
t
yxtp
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ , с учетом соотношений
(28) и (29) приходим к такому равенству:
+λ
∂
λ∂
+
∂
λ∂
=
∂
∂
∫ ∫
l m
stz
y
syxtR
x
syxtR
a
t
yxtp
0 0
2
21
2
2
21
2
2
2
2
),,(
),,,,(),,,,(),,(
.),,(),s(),,(),,,,(),,,,(
2
22
2
2
22
2
2 dsdstzyx
t
stz
y
syxtR
x
syxtRa λ
λλ−−δ+
∂
λ∂
∂
λ∂
+
∂
λ∂
+
(30)
Сопоставление выражений (27) и (30) приводит к следующим уравнениям:
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
39
+
λ∂
λ∂
+
∂
λ∂
+
∂
λ∂
2
12
2
2
12
2
211 ),,,,(),,,,(),,,,( syxtR
s
syxtRa
t
syxtR
−
∂
λ∂
+
∂
λ∂
+ 2
21
2
2
21
2
2 ),,,,(),,,,(
y
syxtR
x
syxtRa
0),s(),,,,(),,,,(
0 0
2112 =λ−−δ+ρσλσρσρ− ∫ ∫ yxddstRyxtR
l m
,
(31)
+
∂
λ∂
+
∂
λ∂
+
∂
λ∂
2
22
2
2
22
2
212 ),,,,(),,,,(),,,,(
y
syxtR
x
syxtRa
t
syxtR
∫ ∫ =ρσλσρσρ−λ+
l m
ddstRyxtRsyxtR
0 0
211211 .0),,,,(),,,,(),,,,(
(32)
Дифференцируя равенство (17) по переменной t , получим соотношение
+λ
∂
λ∂
λ+λ
∂
λ∂
=
∂
∂
∫ ∫ dsd
t
stzsyxtRstz
t
syxtR
t
yxtp l m ),,(),,,,(),,(),,,,(),,(
21
0 0
21
dsd
t
stzsyxtR
t
stz
t
syxtRl m
λ
∂
λ∂λ+
∂
λ∂
∂
λ∂+ ∫ ∫ 2
2
22
0 0
22 ),,(),,,,(),,(),,,,( .
Используя выражение (19), последнее соотношение преобразуем таким
образом:
+
∂
λ∂
λ+λ
∂
λ∂
=
∂
∂
∫ ∫ t
stzsyxtRstz
t
syxtR
t
yxtp l m ),,(),,,,(),,(),,,,(),,(
21
0 0
21
−
λ∂
λ∂+
∂
λ∂λ+
∂
λ∂
∂
λ∂+ 2
2
2
2
22
222 ),,(),,(),,,,(),,(),,,,( stz
s
stzsyxtRa
t
stz
t
syxtR
−ρσσρσρλλ− ∫ ∫ ddtzstRsyxtR
l m
0 0
2122 ),,(),,,,(),,,,(
dsddd
t
tzstRsyxtR
l m
λ
ρσ
∂
σρ∂
σρλλ− ∫ ∫
0 0
2222
),,(),,,,(),,,,( .
(33)
Полагая выполнение краевых условий
0),0,,,(22 =λyxtR , 0),,,,(22 =λlyxtR , (34)
после двукратного применения формулы интегрирования по частям получим
∫∫ ∫ −λ
∂
λ∂
λ=λ
∂
λ∂
λ
ml m
d
s
ltz
lyxtRdsd
s
stz
syxtR
0
222
2
0 0
22
),,(
),,,,(
),,(
),,,,(
=λ
∂
λ∂
∂
λ∂
−λ
∂
λ∂
λ− ∫ ∫∫ dsd
s
stz
s
syxtRd
s
tzyxtR
l mm ),,(),,,,(),0,(),0,,,(
0 0
22
0
22
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
40
∫∫ +λλ
∂
λ∂
+λλ
∂
λ∂
−=
mm
dtz
s
yxtRdltz
s
lyxtR
0
22
0
22 ),0,(
),0,,,(
),,(
),,,,(
dsdstz
s
syxtRdsdstz
s
syxtR l ml m
λλ
∂
λ∂
=λλ
∂
λ∂
+ ∫ ∫∫ ∫ ),,(),,,,(),,(),,,,(
0 0
2
22
2
0 0
2
22
2
.
(35)
Подобным образом с учетом краевых условий
0)0,,,,(22 =syxtR , 0),,,,(22 =msyxtR (36)
находим
=λ
λ∂
λ∂
λ∫ ∫ dsdstzsyxtR
l m
2
2
0 0
22
),,(),,,,(
dsdstzsyxtRl m
λλ
λ∂
λ∂
= ∫ ∫ ),,(
),,,,(
0 0
2
22
2
.
(37)
Дальше в двойном интеграле
dsdddtzstRsyxtR
l ml m
λρσσρσρλλ ∫ ∫∫ ∫
0 0
21
0 0
22 ),,(),,,,(),,,,( сначала меняем порядок
интегрирования, изменяем обозначение переменных интегрирования s на ρ ,
λ на σ , и , наоборот, ρ на s , σ на λ . В результате получим
=λρσσρσρλλ ∫ ∫∫ ∫ dsdddtzstRsyxtR
l ml m
0 0
21
0 0
22 ),,(),,,,(),,,,(
=ρσλσρσρλλ= ∫ ∫ ∫ ∫
l ml m
dddsdtzstRsyxtR
0 0 0 0
2122 ),,(),,,,(),,,,(
∫ ∫ ∫ ∫ λλρσλσρσρ=
l ml m
dsdstzddstRyxtR
0 0 0 0
2122 ),,(),,,,(),,,,( .
(38)
Аналогично имеем
=λρσ
∂
σρ∂
σρλλ ∫ ∫∫ ∫ dsddd
t
tzstRsyxtR
l ml m
0 0
22
0 0
22
),,(),,,,(),,,,(
=ρσλ
∂
σρ∂
σρλλ= ∫ ∫ ∫ ∫
l ml m
dddsd
t
tzstRsyxtR
0 0 0 0
2222
),,(),,,,(),,,,(
∫ ∫ ∫ ∫ λ
∂
λ∂
ρσλσρσρ=
l ml m
dsd
t
stzddstRyxtR
0 0 0 0
2222
),,(),,,,(),,,,( .
(39)
Соотношения (35), (37), (38) и (39) дают возможность переписать
равенство (33) следующим образом:
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
41
+
∂
λ∂
λ+λ
∂
λ∂
=
∂
∂
∫ ∫ t
stzsyxtRstz
t
syxtR
t
yxtp l m ),,(),,,,(),,(),,,,(),,(
21
0 0
21
+
∂
λ∂
∂
λ∂
+
t
stz
t
syxtR ),,(),,,,(22
−λ
λ∂
λ∂+
∂
λ∂+ ),,(),,,,(),,,,(
2
22
2
2
22
2
2 stzsyxtR
s
syxtRa
−λρσλσρσρ− ∫ ∫ ),,(),,,,(),,,,(
0 0
2122 stzddstRyxtR
l m
dsd
t
stzddstRyxtR
l m
λ
∂
λ∂
ρσλσρσρ− ∫ ∫
),,(),,,,(),,,,(
0 0
2222 .
(40)
Сравнивая соотношения (16) и (40), получаем
+
λ∂
λ∂
+
∂
λ∂
+
∂
λ∂
2
22
2
2
22
2
221 ),,,,(),,,,(),,,,( syxtR
s
syxtRa
t
syxtR
0),,,,(),,,,(),,,,(
0 0
212211 =ρσλσρσρ−λ+ ∫ ∫ ddstRyxtRsyxtR
l m
,
(41)
−λ+λ+
∂
λ∂ ),,,,(),,,,(),,,,(
2112
22 syxtRsyxtR
t
syxtR
0),,,,(),,,,(
0 0
2222 =ρσλσρσρ− ∫ ∫ ddstRyxtR
l m
.
(42)
Условия
t
yxtzyxtp
∂
∂
=
),,(),,( 1
1 , ),,(),,(
1
1 yxtz
t
yxtp
−=
∂
∂ и соотношения
(16), (17) приводят к таким равенствам:
λ−−δ=λ=λ
=λλ−−δ=λ
).,(),,,,(,0),,,,(
,0),,,,(),,(),,,,(
122121
112111
ysxsyxtRsyxtR
syxtRysxsyxtR
(43)
Принимая во внимание вышеизложенные рассуждения, приходим к
такому выводу.
Теорема 2. Функции 2,1;2,1),,,( == jiyxtRij , удовлетворяют
соотношениям (31), (32), (41), (42), краевым условиям (21), (23), (34), (36) и
дополнительным условиям (43).
Если известны функции 2,1;2,1),,,( == jiyxtRij , то с их помощью
можно найти оптимальное управление ),,( yxtu .
Теорема 3. Оптимальное управление ),,( yxtu имеет вид
),,(),,( yxtpyxtu −= , где функция ),,( yxtp задана выражением (17), в
котором функция ),,( λstz является решением интегро-дифференциального
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
42
уравнения с частными производными (19), удовлетворяет начальным
условиям (2) и краевым условиям (3).
ВЫВОДЫ
В данной статье получена система интегро-дифференциальных
уравнений Риккати с частными производными для линейно-квадратической
задачи оптимального управления процессом колебаний прямоугольной
мембраны. Решение этой системы предоставляет возможность выписать
явную формулу для вычисления оптимального управления. Перспективным
для дальнейшего исследования является получение аналогичных результатов
для случая круглой мембраны. Важным вопросом представляется изучение
поведения функций 2,1;2,1),,,( == jiyxtRij при ∞→1t . Также следует
отметить целесообразность обобщения результатов, полученных в данной
работе, на случай систем с дробными производными [7, 8].
1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю. Н. Андреев.
— М. : Наука, 1976 — 424 с.
2. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление / Я.Н. Ройтенберг — М. : Наука, 1971. —
396 с.
3. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными
параметрами / А.Г. Бутковский. — М. : Наука, 1965. — 476 с.
4. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами /
А.Г. Бутковский. — М. : Наука, 1975. — 568 с.
5. Лионс Ж.–Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с
частными производными / Ж.–Л. Лионс. — М. : Мир, 1972. — 414 с.
6. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами /
Т.К. Сиразетдинов. — М. : Наука, 1977. — 480 с.
7. Чикрий А.А., Эйдельман С.Д. Игровые задачи управления для квазилинейных
системам с дробными производными Римана-Лиувилля / А.А. Чикрий, С.Д. Эйдельман
// Кибернетика и системный анализ. — 2012. — № 6. — С. 66–99.
8. Эйдельман С.Д. Динамические игровые задачи сближения для уравнений дробного
порядка / С.Д. Эйдельман, А.А. Чикрий // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 11. —
С. 1566–1583.
Получено 23.06.2014
М.М. Копец, 2014
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2014. Вып. 177
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84523 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0452-9910 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T08:29:08Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Копец, М.М. 2015-07-09T19:35:52Z 2015-07-09T19:35:52Z 2014 Оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны / М.М. Копец // Кибернетика и вычислительная техника. — 2014. — Вип. 177. — С. 28-42. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0452-9910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84523 517.977 Рассмотрена линейно-квадратическая задача оптимального управления процессом колебаний прямоугольной мембраны. С помощью метода множителей Лагранжа получены необходимые условия оптимальности. На их основе выведена система интегро-дифференциальных уравнений Риккати с частными производными. Решение последней системы дало возможность выписать явную формулу для вычисления оптимального управления. Розглянуто лінійно-квадратичну задачу оптимального управління процесом коливань прямокутної мембрани. За допомогою методу множників Лагранжа отримані необхідні умови оптимальності. На їх основі виведена система інтегро-диференціальних рівнянь Ріккаті з приватними похідними. Рішення останньої системи дало можливість виписати явну формулу для обчислення оптимального керування. The main results: The author of the article obtains the necessary optimality conditions. At their bases derived a system of integro-differential Riccati equations with partial derivatives. The solution of this system provided an opportunity to write an explicit formula for calculating the optimal control. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України Кибернетика и вычислительная техника Системы и интеллектуальное управление Оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны Оптимальне керування коливаннями прямокутної мембрани Optimal Control by Vibrations of a Rectangular Membrane Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны Копец, М.М. Системы и интеллектуальное управление |
| title | Оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны |
| title_alt | Оптимальне керування коливаннями прямокутної мембрани Optimal Control by Vibrations of a Rectangular Membrane |
| title_full | Оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны |
| title_fullStr | Оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны |
| title_full_unstemmed | Оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны |
| title_short | Оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны |
| title_sort | оптимальное управление колебаниями прямоугольной мембраны |
| topic | Системы и интеллектуальное управление |
| topic_facet | Системы и интеллектуальное управление |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84523 |
| work_keys_str_mv | AT kopecmm optimalʹnoeupravleniekolebaniâmiprâmougolʹnoimembrany AT kopecmm optimalʹnekeruvannâkolivannâmiprâmokutnoímembrani AT kopecmm optimalcontrolbyvibrationsofarectangularmembrane |