Об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант)
Запропоновано метод побудови лiнiйних аналiтичних апроксимацiй (у локальному варiантi) поля сили тяжiння за даними на поверхнi Землi. На пiдставi використання лiнiйної аналiтичної апроксимацiї поля можливе знаходження набору лiнiйних трансформацiй аномального поля. A method of construction of linear...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8455 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант) / А.И. Якимчик // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 137-141. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860207920065544192 |
|---|---|
| author | Якимчик, А.И. |
| author_facet | Якимчик, А.И. |
| citation_txt | Об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант) / А.И. Якимчик // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 137-141. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Запропоновано метод побудови лiнiйних аналiтичних апроксимацiй (у локальному варiантi) поля сили тяжiння за даними на поверхнi Землi. На пiдставi використання лiнiйної аналiтичної апроксимацiї поля можливе знаходження набору лiнiйних трансформацiй аномального поля.
A method of construction of linear analytical approximations (local variant) of the gravity field from data measured on Earth’s surface is proposed. Using the linear analytical approximation of the field, it is possible to find a set of linear transformations of an anomalous field.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:13:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 550.831
© 2009
А.И. Якимчик
Об эффективном методе построения линейных
аналитических аппроксимаций в гравиметрии
(локальный вариант)
(Представлено академиком НАН Украины В. И. Старостенко)
Запропоновано метод побудови лiнiйних аналiтичних апроксимацiй (у локальному ва-
рiантi) поля сили тяжiння за даними на поверхнi Землi. На пiдставi використання
лiнiйної аналiтичної апроксимацiї поля можливе знаходження набору лiнiйних транс-
формацiй аномального поля.
Целью данного сообщения является демонстрация эффективности предлагаемого метода
построения линейных аналитических аппроксимаций в локальном варианте (когда сферич-
ностью Земли можно пренебречь) на примере расчетов, выполненных на практическом
материале.
Структура работы следующая. В первом разделе рассматривается постановка задачи,
во втором — характеризуются исходные материалы. В третьем разделе приводится крат-
кое описание вычислительной схемы метода. В четвертом разделе излагаются результаты
расчетов и выводы.
1. Постановка задачи. Будем использовать прямоугольную декартовую систему коор-
динат с осью Oz вверх1 (рис. 1). Рассмотрим проблему построения линейных аналитических
аппроксимаций элементов внешнего аномального гравитационного поля Земли по задан-
ным на ее физической поверхности ∂G значениям ∆gi,δ = ∆gi + δ∆gi, i = 1, 2, . . . , n. Речь
идет о построении функции ∆gаппр(x, y, z) ≈ ∆g(x, y, z) по совокупности величин ∆gi,δ, где
∆gi = ∆g(x(i), y(i), z(i)), i = 1, 2, . . . , n, а δ∆gi — погрешности в заданных значениях ∆gi,δ.
Исходное поле приближается с помощью вычислительной конструкции [1, 2]
∆gаппр(x, y, z) =
n
∑
j=1
105 · cj(z + z(j))
[(x − x(j))2 + (y − y(j))2 + (z + z(j))2]3/2
, (1)
где z(j) = h + z(i); h — параметр вычислительной схемы [3] (в расчетах — h = 500 м); cj —
некоторые коэффициенты. Причем x, y, z, h имеют размерность — м, ∆g — мГал. Сле-
дует заметить, что в Международной системе единиц (СИ) ускорение свободного падения
выражается в м/с2, а в гравиразведке применяется меньшая единица — миллигал (мГал),
равная 10−5 м/с2. Поэтому, принимая во внимание единицы измерения, в (1) присутствует
коэффициент 105.
1Необходимо иметь в виду, что система координат с осью Oz вверх употребляется, кроме всего прочего,
в теории трансформаций, хотя в теории прямых и обратных задач гравиметрии используется система коор-
динат с осью Oz вниз (исключение составляет плоская задача, разрабатываемая методами теории функций
комплексной переменной, в которой также используется система с осью Oz вверх).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 137
Рис. 1. К постановке задачи построения линейной аналитической аппроксимации поля ∆g(x, y, z) в локаль-
ном варианте
Значения cj определяются из решения симметричной системы линейных алгебраических
уравнений
Ac = ∆gδ = ∆g + δ∆g, (2)
где A = [aij ] — квадратная матрица, элементы которой определяются по формуле
aij = aji =
105
(z(i) + z(j))2
[
1 +
(
x(i) − x(j)
z(i) + z(j)
)2
+
(
y(i) − y(j)
z(i) + z(j)
)2]3/2
, 1 6 i, j 6 n. (3)
2. Характеристика исходных материалов. В качестве исходных данных использо-
вались 796 значений аномалий Буге, прямоугольных координат и высот, которые взяты из
авторских каталогов [4]. Детальные гравиметровые работы масштаба 1 : 50000 проводились
на площади 200 км2 (в пределах планшетов L-37-5 и L-37-17), ограниченной координатами
(рис. 2):
1) 47◦42′15′′ с.ш. и 38◦08′15′′ в. д.; 2) 47◦42′15′′ с.ш. и 38◦20′00′′ в. д.;
3) 47◦35′10′′ с.ш. и 38◦20′00′′ в. д.; 4) 47◦35′10′′ с.ш. и 38◦08′15′′ в. д.
Район работ представляет собой холмистую равнину, наклоненную к юго-востоку и рас-
члененную долинами рек, балками и оврагами. Донецк расположен к северо-западу от
участка на расстоянии 56 км. Абсолютные отметки дневной поверхности колеблются от 40
до 180 м. Профили задавались в меридиональном направлении.
Сведения о съемке, результаты которой использованы при построении линейной анали-
тической аппроксимации, приведены в табл. 1.
3. Методика вычислений. Если в системе линейных уравнений (2) матрица (3) яв-
ляется положительно определенной, то для ее решения целесообразно использовать разло-
138 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Рис. 2. Схема использованного гравиметрического материала
жение Холецкого [5, 6], которое предусматривает представление матрицы A в виде произ-
ведения2:
A = LLT , (4)
где LT — матрица, транспонированная к L, на главной диагонали которой находятся по-
ложительные элементы. Определим элементы матрицы L, сравнивая каждый элемент ма-
трицы в левой и правой части (4). Имеем
a11 . . . a1n
. . . . . . . . .
an1 . . . ann
=
l11 0
...
. . .
l1n . . . lnn
l11 . . . l1n
. . .
...
0 lnn
,
откуда получаем равенства для первого столбца
l11 =
√
a11, li1 =
ai1
l11
, 2 6 i 6 n.
Аналогично находим соотношения
aii =
i
∑
k=1
l2ik, aij =
j
∑
k=1
likljk, j < i,
которые приводят к формулам
lii =
√
√
√
√aii −
i−1
∑
k=1
l2ik, 1 6 i 6 n,
2По методу Холецкого, матрицу A можно представить в виде произведения R
T
R, где R — верхняя
треугольная матрица.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 139
lij =
aij −
i−1
∑
k=1
likljk
lii
, j + 1 6 i 6 n.
После того как выполнено разложение (4), решение системы (2) получается решением
двух систем с треугольными матрицами:
Lq = ∆gδ и LT c = q.
Известно, что в точной арифметике для симметричной положительно определенной ма-
трицы существует разложение Холецкого. И, наоборот, если процесс Холецкого может быть
реализован со строго положительными квадратными корнями, значит, матрица A положи-
тельно определена. Таким образом, чтобы выяснить, является ли матрица A положительно
определенной, просто пытаемся вычислить ее разложение Холецкого.
Вычисления производились с использованием подпрограмм библиотеки IMSL, которая
является неотъемлемой частью профессиональных версий Fortran PowerStation и Compaq
Visual Fortran. Фортран-программы для решения симметричных положительно определен-
ных систем имеются также в пакете LINPACK.
4. Результаты расчетов и заключение. По заданным точкам на основании выра-
жения (3) была вычислена матрица A размерности 796 × 796, найдено RT R — разложение
и выполнена оценка ее числа обусловленности: cond1(A) = 386,7. Попутно были вычи-
слены матричные нормы: норма Фробениуса ‖A‖F = 8,9 и ‖A‖1 = ‖A‖∞ = 2,3. Далее
по найденному разложению решалась система (2). По формуле (1) вычислялись значения
∆g
(выч)
i = ∆g(x(i), y(i), z(i)) и сравнивались с заданными значениями ∆gi,δ. Максималь-
ное по модулю расхождение между наблюденным и вычисленным значением составило:
max |∆gi − ∆g
(выч)
i | = 4,3 · 10−13 мГал, i = 499.
Таблица 1. Некоторые сведения о съемке Восточно-Приазовской партии Артемовской геофизической эк-
спедиции треста Укргеофизразведка, 1960 (автор отчета — К.М. Шурапей)
М
ет
од
и
к
а
р
а
б
о
т
на опорной сети 9 пунктов размещены с густотой 1 пункт на 22 км2. Наблюдения выпол-
нены по методике со 100% повторением; на каждом пункте получено
не менее трех независимых значений. Уравнивание выполнено методом
узлов; εоп = ±0,21 мГал
на рядовой сети Рядовые точки в количестве 1100 размещены на площади 200 км2 по
сети 500 × 500 м и на участках детализации по сети 250 × 250 м. На-
блюдения выполнены в основном с 30%-м повторением и частично со
100%-м повторением. Каждый рейс включал несколько точек предыду-
щего рейса. По данным контроля εряд = ±0,17 мГал
топографо-геодезических Меридиональные магистрали проложены через 3 км теодолитными
ходами; привязка их к пунктам триангуляции и пунктам сгущения
опорной геодезической сети выполнена теодолитными ходами. Профи-
ли проложены через 500 м инструментально, шаг по профилю 500 м,
εпл = ±80 м. Высоты 795 пунктов сняты с карт масштаба 1 : 10000 с се-
чением 2,5 м. Высоты пунктов, расположенных на местности с уклоном
более 2◦, определены техническим нивелированием; εB не превышает
±0,3 м
Пр и м е ч а н и е . εоп и εряд — средние квадратичные погрешности определения наблюденного значения
силы тяжести на опорном пункте и рядовой точке; εпл и εB — средние квадратичные ошибки определения
планового положения и высоты пунктов наблюдений.
140 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
В заключение коротко о том, какие задачи могут решаться с помощью найденной анали-
тической аппроксимации поля. Приведем некоторые основные типы задач [1]: а) нахожде-
ние значений ∆g(x, y, z) на горизонтальных плоскостях z = const > 0, а также построение
изолиний поля ∆g на этих плоскостях (здесь особо стоит выделить пересчеты на горизон-
тальные поверхности ниже поверхности ∂G); б) нахождение в узлах регулярных сетей на
горизонтальных плоскостях z = const > 0 других элементов внешнего аномального гравита-
ционного поля, в первую очередь — вторых производных от потенциала аномального поля
(и опять-таки построение на указанных плоскостях изолиний новых элементов аномального
гравитационного поля); в) нахождение спектральных представлений поля ∆g(x, y, z); здесь
имеются в виду представления интегралами Фурье; г) нахождение значений различного
рода линейных функционалов от поля ∆g(x, y, z), например интегралов (с различными ве-
сами) по плоскостям, расположенным выше поверхности ∂G.
1. Страхов В.Н. Об эффективных по быстродействию и точности методах построения линейных ана-
литических аппроксимаций в геодезии, геоинформатике и гравиметрии // Геофиз. журн. – 2007. –
29, № 1. – С. 56–84.
2. Гравиразведка: Справочник геофизика. – Москва: Недра, 1990. – 607 с.
3. Аронов В.И. Методы построения карт геолого-геофизических признаков и геометризация залежей
нефти и газа на ЭВМ. – Москва: Недра, 1990. – 301 с.
4. Шурапей К.М. Отчет о работах Восточно-Приазовской геофизической партии за 1960 г. Ч. V. Таблич-
ные приложения гравиметровой съемки. – Київ: Фонди ДНВП “Геоiнформ України”, 1961. – С. 4–47.
5. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем. – Москва: Наука, 1988. –
160 с.
6. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – Москва; Ленинград:
Физматгиз, 1963. – 734 с.
7. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. Ч. 1. – Москва:
Диалог-МИФИ, 2000. – 448 с.
Поступило в редакцию 04.07.2008Институт геофизики им. С.И. Субботина
НАН Украины, Киев
A. I. Yakimchik
On an efficient method of construction of linear analytical
approximations in gravimetry (local variant)
A method of construction of linear analytical approximations (local variant) of the gravity field
from data measured on Earth’s surface is proposed. Using the linear analytical approximation of
the field, it is possible to find a set of linear transformations of an anomalous field.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 141
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8455 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:13:02Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Якимчик, А.И. 2010-06-01T08:11:30Z 2010-06-01T08:11:30Z 2009 Об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант) / А.И. Якимчик // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 137-141. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8455 550.831 Запропоновано метод побудови лiнiйних аналiтичних апроксимацiй (у локальному варiантi) поля сили тяжiння за даними на поверхнi Землi. На пiдставi використання лiнiйної аналiтичної апроксимацiї поля можливе знаходження набору лiнiйних трансформацiй аномального поля. A method of construction of linear analytical approximations (local variant) of the gravity field from data measured on Earth’s surface is proposed. Using the linear analytical approximation of the field, it is possible to find a set of linear transformations of an anomalous field. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант) On an efficient method of construction of linear analytical approximations in gravimetry (local variant) Article published earlier |
| spellingShingle | Об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант) Якимчик, А.И. Науки про Землю |
| title | Об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант) |
| title_alt | On an efficient method of construction of linear analytical approximations in gravimetry (local variant) |
| title_full | Об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант) |
| title_fullStr | Об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант) |
| title_full_unstemmed | Об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант) |
| title_short | Об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант) |
| title_sort | об эффективном методе построения линейных аналитических аппроксимаций в гравиметрии (локальный вариант) |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8455 |
| work_keys_str_mv | AT âkimčikai obéffektivnommetodepostroeniâlineinyhanalitičeskihapproksimaciivgravimetriilokalʹnyivariant AT âkimčikai onanefficientmethodofconstructionoflinearanalyticalapproximationsingravimetrylocalvariant |