Асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае
Рассмотрена векторная сингулярно возмущенная параболическая периодическая краевая задача в критическом случае. Изучен вопрос построения и обоснования асимптотик глобально ограниченных оптимальных управлений для модифицированной краевой задачи. Розглядаються задачі оптимального керування для векторни...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84556 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае / В.Е. Капустян, И.С. Лазаренко, И.Д. Фартушный // Компьютерная математика. — 2009. — № 2. — С. 132-142. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859853054682071040 |
|---|---|
| author | Капустян, В.Е. Лазаренко, И.С. Фартушный, И.Д. |
| author_facet | Капустян, В.Е. Лазаренко, И.С. Фартушный, И.Д. |
| citation_txt | Асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае / В.Е. Капустян, И.С. Лазаренко, И.Д. Фартушный // Компьютерная математика. — 2009. — № 2. — С. 132-142. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Рассмотрена векторная сингулярно возмущенная параболическая периодическая краевая задача в критическом случае. Изучен вопрос построения и обоснования асимптотик глобально ограниченных оптимальных управлений для модифицированной краевой задачи.
Розглядаються задачі оптимального керування для векторних сингулярно збурених параболічних періодичних критичних крайових задач. У класі обмежених функцій побудовані й обґрунтовані асимптотики довільного порядку точності.
Optimal oscillating control problems for the vectorial singular-perturbed parabolic periodic critical boundary-value problems are considered. The asimptotic forms of arbitrary order are constructed in the class of bounded functions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:42:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
Рассмотрена векторная сингуляр-
но возмущенная параболическая
периодическая краевая задача в
критическом случае. Изучен воп-
рос построения и обоснования
асимптотик глобально ограни-
ченных оптимальных управлений
для модифицированной краевой
задачи.
© В.Е. Капустян, И.С. Лазаренко,
И.Д. Фартушный, 2009
ÓÄÊ 517.9:519.3
Â.Å. ÊÀÏÓÑÒßÍ, È.Ñ. ËÀÇÀÐÅÍÊÎ, È.Ä. ÔÀÐÒÓØÍÛÉ
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈÊÈ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÛÕ
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÕ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÉ
ÄËß ÂÅÊÒÎÐÍÛÕ
ÑÈÍÃÓËßÐÍÎ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÕ
ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÈÕ
ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÕ ÇÀÄÀ×
 ÊÐÈÒÈ×ÅÑÊÎÌ ÑËÓ×ÀÅ
Введение. В данной работе рассматривают-
ся задачи оптимального управления для век-
торных сингулярно возмущенных параболи-
ческих периодических задач в критическом
случае. Ограничения на управления носят
глобальный (интегральный) характер. Кри-
тичность сингулярно возмущенной краевой
задачи, согласно [1], состоит в том, что выро-
жденная задача имеет непустое ядро размер-
ностью два. В этом случае выяснено, что для
решения краевой задачи условий оптималь-
ности точка 0=ε является полюсом конечной
кратности. Сингулярность задачи сосредото-
чена на образующих ядра.
Для получения асимптотик указанной
задачи в классе ограниченных функций нуж-
но подправить формулировку самой задачи,
удалив образующие ядра. Для полученной
таким образом новой задачи стандартными
алгоритмами [1] построены и обоснованы
асимптотики произвольного порядка точнос-
ти, которые являются и асимптотиками для
исходной задачи. Случай скалярного уравне-
ния рассмотрен в [2].
Постановка задачи. Анализ условий
оптимальности. Пусть в некоторой области
{( , ) : [0,1], [0,2 ]}Q x t x t T= ∈ ∈ = π
управляемый процесс описывается вектор-
функцией 1 2( ( , )) { ( , ), ( , )}y x t y x t y x tε ε ε′ = ,
которая удовлетворяет краевой задаче
132 Компьютерная математика. 2009, № 2
АСИМПТОТИКИ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ …
),()()(),(),(),(),( 2
2
2 txftuxgtxyA
t
txy
x
txytxyD ++=
∂
∂
−
∂
∂
ε= ε
εε
ε
ε , (1)
)2,()0,(,0),1(),0( π=== εεεε xyxytyty , (2)
где
{ } )(),(),,()),(();()( 2
2212 QLtxftxftxftLtu ∈=′∈ ; { } 10);1,0()(),())(( 2
221 <<ε<∈=′ Lxgxgxg ;
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
01
10
A .
При фиксированных и краевая задача (1) – (2) имеет единственное
решение , где – функции из с краевы-
ми условиями (2).
ε )(tu
2
1,2
,2
0
))((),( QWtxy per∈ε )Q(W
1,2
per,2
0
)(1,2
2 QW
Требуется найти управление , доставляющее наименьшее значение
функционалу
Utu ∈ε )(*
∫ ∫+−= ε
Q T
R
dttudxdttxztxyuI ))(),(),((5.0)( 22
2 , (3)
где , { } )(),(),,()),(( 2
221 QLtxztxztxz ∈=′ { }
2
2 ( )
( ) : 1
L T
U L T= υ∈ υ ≤ .
При фиксированном ε задача (1) – (3) имеет единственное решение ,
для которого выполняется одна из альтернатив:
)(* tuε
* *) 1, )i u ii uε 1ε= < . Далее
предположим, что если при некотором 0ε имеет место одна из указанных
альтернатив, то она справедлива и при 0ε<ε .
Пусть имеет место альтернатива ) . Тогда оптимальное управление
удовлетворяет необходимым и достаточным условиям оптимальности [3].
i )(* tuε
),())(.,(.),()(),(),( **** txftpgxgtxyAtxyD +λ−= εεεε
ε , (4)
),(),(),(),(),(),( **
*
2
*
2
2
* txztxytxpA
t
txp
x
txptxpD −+′=
∂
∂
+
∂
∂
ε=′ εε
εε
ε
ε , (5)
)2,()0,(,0),1(),0( **** π=== εεεε xpxptptp , (6)
причем, функция *( , )y x tε удовлетворяет краевым условиям (2),
= , где – скалярное произведение
в . Получим априорные оценки для решений задачи (4)–(6).
Точнее, имеет место
* ( )u tε =
( )* *(.), (., )g p tε ε−λ
22,10
2,( , ) ( ) ,perp x t W Qε ⎛ ⎞
∈⎜ ⎟
⎝ ⎠
(.,.)
2
2 *(0, 1), (0,1)L ελ ∈
Компьютерная математика. 2009, № 2 133
В.Е. КАПУСТЯН, И.С. ЛАЗАРЕНКО, И.Д. ФАРТУШНЫЙ
Лемма 1. Пусть Тогда для единственного решения
задачи (4)–(6) справедливы неравенства
22,10
2,( , ) ( ) .perz x t W Qε ⎛ ⎞
∈⎜
⎝ ⎠
⎟
( )0
2,1
2,
2*
* ( )
per
y y C f z QWx
ε
ε −∂
ε + ≤ ε +
∂
,
( )0
2,1
2,
4*
* ( )
per
p p C f z QWx
ε
ε −∂
+ ≤ ε +
∂
,
(7)
где . – норма в . )(2
2 QL
Доказательство. При выполнении предположения леммы задачу (1)–(6)
запишем в эквивалентном виде
),())(.,(.),)((),(),( **** txtpgxgtxYAtxYD εεεεε
ε Φ+λ−= ,
)2,()0,(,0),1(),0( **** π=== εεεε xYxYtYtY ,
2
2 * *
* *2
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )p x t p x tD p x t A p x t Y x t
x t
ε ε
ε ε
ε
∂ ∂′ ′= ε + = +
∂ ∂ *
ε ,
)2,()0,(,0),1(),0( **** π=== εεεε xpxptptp , (8)
где . * *( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Y x t y x t z x t x t f x t Az x t D z x tε ε ε
ε= − Φ = + −
Для задачи (8) стандартными оценками [4] получим интегральные
тождества
∫∫ εεεεε
ε
λ+Φ′−=
∂
∂
ε
TQ
dttpgtYgdxdttxtxY
x
Y ))(.,(.),))((.,(.),(),()),(( ****
2
*2 , (9)
2
2 *
* *( ( , )) ( , )
Q
p Y x t p x t dx dt
x
ε
ε ε∂ ′ε = −
∂ ∫ , (10)
2
2 2
* * * *
0
( (.), (. , )) ( ( , )) ( , )
Q
Y g p t dt p x t x t dx dt
π
ε ε ε ε ε′+ λ = Φ∫ ∫ . (11)
В тождествах (9)–(10) учтено, что .,0 2RxAxx ∈∀=′
Из формулы (11) получим неравенства
2
* *Y pε ε ε≤ Φ , (12)
1
2
2
* * *( )
( ) ( (.), (., ))
L T
g p t pε ε ε
ελ ≤ Φ , (13)
134 Компьютерная математика. 2009, № 2
АСИМПТОТИКИ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ …
а из тождества (10) будем иметь оценку
2
2 * *
* * *
p pY p Y
x x
ε ε
ε ε ε∂ ∂
ε ≤ ≤
∂ ∂
.
Отсюда и формулы (12) получим
ε
−
ε
ε Φε≤
∂
∂
+ 4*
* x
pp ,
ε
−ε Φε≤ 2
*Y , (14)
Из тождества (9) и неравенства (13), (14) находим оценку
2
2 2
2
22 4*
* * * *(0,1) ( )
(.), (., )
L L T
Y Y g Y g p t C
x
ε
ε ε ε ε −
ε ε
∂
ε ≤ Φ + λ ≤ ε
∂
Φ .
или
ε
−
ε
Φε≤
∂
∂
ε 2* C
x
Y . (15)
Так как
( )0
2,1
2,
,( )
per
f z D z C f z QWε εΦ ≤ + + ≤ +
zYy +≤ εε
** ,
то отсюда и оценок (14)–(15) получим нужный результат.
Из леммы следует, что точка 0=ε для условий оптимальности (4)–(6)
является полюсом. Поэтому искать их решение в классе ограниченных по
функций не представляется возможным. ε
Выясним более детальную структуру зависимости решения задачи (4)–(6) от
параметра . ε
Теорема 1. Предположим, что вектор-функции ) исходной за-
дачи периодичны по t , т.е. для них выполняется равенство
,(),,( txztxf
π2
dxxtxhdxxtxh ii
t
ii
t
)(),(lim)(),(lim
1
0
2
1
0
0
ϕ=ϕ ∫∫ −π→+→
,
2,1),1,0()( 2 =∈ϕ∀ iLxi ,
где символ принимает значения h zf , .
Для того, чтобы решение задачи (4 –(6) было ограниченным относительно
параметра , что эквивалентно выполнению векторных равенств ε
Компьютерная математика. 2009, № 2 135
В.Е. КАПУСТЯН, И.С. ЛАЗАРЕНКО, И.Д. ФАРТУШНЫЙ
)()exp(),(* xdttiktxy k
T
εε α=−∫ ,
1],1,0[)()exp(),(* =∈∀β=− εε∫ kxxdttiktxp k
T
, (16)
необходимо и достаточно выполнение условий
∫∫ =+
TT
dtttxrdtttxr 0sin),(cos),( 21 ,
∫∫ =−
TT
dtttxrdtttxr 0cos),(sin),( 21 , (17)
почти для всех x , где символ r принимает значения и , а функции
– решение сингулярно возмущенной системы
f z
)(),( xx kk
εε βα
)(),)(()()()(
2,*2
2
2 xfgxgxAxik
dx
xd
kkkk
k Ξ+βλ−α=α−
α
ε εεεε
ε
,
0)1()0( =α=α εε
kk ; (18)
)()()()()(
2,2
2
2 xzxxAxik
dx
xd
kkkk
k Ξ−α+β′=β+
β
ε εεε
ε
,
(0) (1) 0, 1k k kε εβ = β = = , (19)
причем ,1),1,( 2 −==Ξ′ ii
,2 2 ,2 2( ) ( , ) exp( ) , ( ) ( , ) exp( )k k
T T
f x f x t kit dt z x z x t kit dt= − =∫ ∫ − .
При этом для решения задачи (4)–(5) имеют место оценки
)(2
2
2 zfCR
t
R
x
R
x
R
+≤+
∂
∂
+
∂
∂
ε+
∂
∂
ε ε
εεε
, (20)
где символ εR принимает значения * *,y pε ε .
Доказательство. При выполнении предположений теоремы задача (4), (2),
(5), (6) имеет альтернативное представление
)(),)(()()()(
*2
2
2 xfgxgxAxik
dx
xd
kkkk
k +βλ−α=α−
α
ε εεεε
ε
,
0)1()0( =α=α εε
kk ; (21)
136 Компьютерная математика. 2009, № 2
АСИМПТОТИКИ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ …
)()()()()(
2
2
2 xzxxAxik
dx
xd
kkkk
k −α+β′=β+
β
ε εεε
ε
,
0)1()0( =β=β εε
kk , (22)
где – коэффициенты Фурье вектор-функций )(),(),(),( xzxfxx kkkk
εε βα
* *( , ), ( , ), ( , ), ( , )y x t p x t f x t z x tε ε по системе { }exp( ) ,kit
Из формул (21)–(22) при
0, 1,k = ±
2, .± … 0=k получим систему интегральных
тождеств
∫∫ ′′α−′′αβλ=α εεεεε
1
0
00
1
0
00*
2
0 )())(()())((),( dxxfAxdxxgAxg , (23)
∫ −α′β−=β εεε
1
0
000
2
0 ))()(())(( dxxzxAx , (24)
),(),()())(( 0
1
0
0*00
2
02 εεεε
ε
βαλ+′α−=
α
ε ∫ ggdxxfx
dx
d , (25)
dxxzxx
dx
d ∫ −α′β−=
β
ε εε
ε 1
0
000
2
02 ))()(())(( , (26)
∫∫ ′α+′β=βλ+α εεεεε
1
0
00
1
0
00
2
0*
2
0 )())(()())((),( dxxzxdxxfxg , (27)
где через . обозначено норму в . 2
2 (0, 1)L
Из формулы (27) вытекают оценки
( ) ( )2
0 0 0 0 0f zε ε εα ≤ α + β + , (28)
( ) ( ) ( ) ( )
11 122 2
* 0 0 0 0 0,g fε ε ε ελ β ≤ α + β + z . (29)
Тогда из (24), (28) получим
( ) ( ) ( ) ( )2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 02f z f z f zε ε ε εα ≤ α + β + ≤ α + + + .
Отсюда следуют оценки
( )0 0 0 0 .C f zε εα + β ≤ + (30)
Компьютерная математика. 2009, № 2 137
В.Е. КАПУСТЯН, И.С. ЛАЗАРЕНКО, И.Д. ФАРТУШНЫЙ
Тождество (23) с учетом (29)–(30) снова приводит к оценке (30). Тождества
(25)–(26) показывают, что точка 0=ε является простым полюсом для первых
производных нулевых составляющих решений условий оптимальности. Таким
образом, нулевые составляющие решений условий оптимальности ограничены
относительно ε . Аналогичные оценки получаются и при 1>k .
Построим решение системы (21) – (22) при 1=k . С этой целью положим
)()()(),()()(),()()( 2,11,11212,11,11,1 xfixfxFxgixgxGxixxA −=−=α−α= εεε .
Тогда, согласно (21), функция ) является решением краевой задачи (1,1 xAε
( )( ) )(,
)(
11*2
1,1
2
2 xFgxG
dx
xAd
+βλ−=ε εε
ε
,
0)1()0( 1,11,1 == εε AA ,
которое задается формулой
),(1),(),()( 11,121,12
1*
1,1 FxGxgxA ℘
ε
−℘
ε
βλ
=
εε
ε , (31)
где
)1,0(,)()()1()(),( 2
0
1
0
1,1 Ldxdxx
x
∈Ψ∀ξξ−ξΨ−ξξ−ξΨ=Ψ℘ ∫∫ .
Положим далее
)()()(),()()( 2,11,112,11,11,1 xzixzxZxixxB −=β−β= εεε .
Тогда, согласно (22), функция ) является решением краевой задачи (1,1 xBε
0)1()0(),()(
)(
1,11,111,12
1,1
2
2 ==−=ε εεε
ε
BBxZxA
dx
xBd
,
которое имеет вид
),(1),(1),(),()( 11,1212,142,14
1*
1,1 ZxFxGxgxB ℘
ε
+℘
ε
−℘
ε
βλ
=
εε
ε , (32)
где
))(.,,(),( 1,11,12,1 Ψ℘−℘=Ψ℘ xx .
Положим далее
)()()(),()()( 2,11,122,11,12,1 xfixfxFxixxA +=α+α= εεε .
Тогда функция ) является решением краевой задачи (2,1 xAε
( )( ) )(,)(2
)(
21*2,12
2,1
2
2 xFgxGxAi
dx
xAd
+βλ−=−ε εεε
ε
,
138 Компьютерная математика. 2009, № 2
АСИМПТОТИКИ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ …
0)1()0( 2,12,1 == εε AA . (33)
Если ( ) ∞<βε1,g , то ε∀∞<ε ,2,1A . Действительно, для решения задачи (33)
справедливо интегральное тождество
( ) ∫∫ εεεεε
ε
−βλ=+ε
1
0
22,1
1
0
2,11*
2
2,1
2
2,12 )()()()(,2
)(
dxxFxAdxxAxGgAi
dx
xdA
,
которое эквивалентно двум тождествам
( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
βλ=ε ∫∫ εεεε
ε 1
0
22,1
1
0
2,11*
2
2,12 )()(Re)()(,Re
)(
dxxFxAdxxAxGg
dx
xdA
,
( )
1 1
2
1,2 * 1 1,2 1,2 2
0 0
2 ( ) Im , ( ) ( ) Im ( ) ( )A x g G x A x dx A x F x dxε ε ε ε ε⎛ ⎞ ⎛
= λ β −⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
∫ ∫
⎞
⎟
⎠
.
Выписанные тождества дают нужную оценку. Тогда ограниченное по ре-
шение задачи (33) задается формулой
ε
( ) ),(),(,)( 21,21,21*2,1 FxGxgxA εεεεε ℘+℘βλ−= , (34)
где
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
2,1 1 22
1 2 0
1
1 2
1 22
01 2 1 2
1( , ) exp exp
exp exp
exp 1 exp 1 ,
exp exp
x
x x x
x x
d
ε ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε ε ε
℘ Ψ = λ − ξ − λ − ξ Ψ ξ ξ −
ε λ − λ
λ − λ
− λ − ξ − λ
ε λ − λ λ − λ
∫
∫
d
− ξ Ψ ξ ξ
1 2
1 ,i
1
ε ε ε+
λ = λ = −
ε
λ .
Положим
)()()(),()()( 2,11,122,11,12,1 xzixzxZxixxB +=β+β= εεε .
Тогда функция ) является решением краевой задачи (2,1 xBε
)()()(2
)(
22,12,12
2,1
2
2 xZxAxBi
dx
xBd
−=+ε εε
ε
,
Компьютерная математика. 2009, № 2 139
В.Е. КАПУСТЯН, И.С. ЛАЗАРЕНКО, И.Д. ФАРТУШНЫЙ
0)1()0( 2,12,1 == εε BB . (35)
Тогда ограниченное по ε решение задачи (35) задается формулой
( ) ( )( ) ( )( ) ( )1,2 * 1 2,2 2,1 2,2 2,1 2 2,2 2( ) , , ., , ., ,B x g x G x F xε ε ε ε ε ε ε ε= −λ β ℘ ℘ +℘ ℘ −℘ Z , (36)
где
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )2,2 3 42
3 4 0
1( , ) exp exp
x
x x xε ε ε
ε ε
d℘ Ψ = λ − ξ − λ − ξ Ψ ξ ξ−
ε λ − λ ∫
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
1
3 4
3 42
03 4 3 4
exp exp
exp 1 exp 1 ,
exp exp
x x
d
ε ε
ε ε
ε ε ε ε
λ − λ
− λ − ξ − λ
ε λ − λ λ − λ ∫ − ξ Ψ ξ ξ
3 4 3
1 , .iε ε ε− +
λ = λ = −λ
ε
Комплексное число ( )εβ1,g удовлетворяет системе уравнений
( ) ( ) ( ) ( )( )
1
1,1 1 2 1,1 1 1,2
0
, , ( ) ( )G B g i g x x g x x dxε ε ε ε= β + β − β∫ ,
( ) ( ) ( ) ( )( )
1
1,2 1 2 1,1 1 1,2
0
, , ( ) ( )G B g i g x x g x x dxε ε ε ε= β − β − β∫ .
Тогда находим явное представление для числа ( )1,g εβ и функций
.2,1),(),( ,1,1 =βα εε ixx ii Из анализа формул для указанных представлений относи-
тельно параметра приходим к условиям (17) (для ε 1−=k результаты аналогич-
ны.) Неравенство (20) следует из вышевыписанных оценок для коэффициентов
Фурье решения системы оптимальности и равенства Парсеваля.
Заключение. Из доказанной теоремы следует, что асимптотика решения
исходной задачи находится как сумма асимптотик решений задач для ее коэф-
фициентов Фурье (асимптотики строятся стандартно методом погранфункций
[1]). При этом приходится оперировать с рядами, составленными из комплексно-
значных функций. Если же ограничиться применением метода погранфункций в
140 Компьютерная математика. 2009, № 2
АСИМПТОТИКИ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ …
пространственно-временной области, то от исходных условий оптимальности
следует перейти к их модификации, заменив периодичность по времени для
искомых функций условиями (16). Легко видеть, что так построенные асимпто-
тики будут и асимптотиками для исходной задачи. В обоих случаях для обо-
снования так полученных асимптотик используется неравенство (20).
В.О. Капустян, І.С. Лазаренко, І.Д. Фартушний
АСИМПТОТИКИ ОБМЕЖЕНИХ ОПТИМАЛЬНИХ КЕРУВАНЬ
ДЛЯ ВЕКТОРНИХ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ПАРАБОЛІЧНИХ ПЕРІОДИЧНИХ ЗАДАЧ
У КРИТИЧНОМУ ВИПАДКУ
Розглядаються задачі оптимального керування для векторних сингулярно збурених
параболічних періодичних критичних крайових задач. У класі обмежених функцій
побудовані й обґрунтовані асимптотики довільного порядку точності.
V.O. Kapustyan, I.S. Lazarenko, I.D. Fartushnuy
ASYMPTOTICS OF OSCILLATING GLOBALLY BOUNDED OPTIMAL CONTROLS
FOR THE VECTORIAL SINGULAR PERTURBED PARABOLIC PERIODIC
PROBLEMS IN CRITICAL CASE
Optimal oscillating control problems for the vectorial singular-perturbed parabolic periodic critical
boundary-value problems are considered. The asimptotic forms of arbitrary order are constructed in
the class of bounded functions.
Получено 07.04.2009
1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возму-
щений. – М.: Высш. шк., 1990. – 208 с.
2. Капустян В.О., Фартушний І.Д. Асимптотики розділених глобально обмежених опти-
мальних керувань для сингулярно збурених параболічних періодичних задач у критич-
ному випадку. // Наукові вісті НТУУ „КПІ”. – 2007. – № 3. – С. 57 – 66.
3. Лионс Ж.- Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных
производных. – М.: Мир, 1972. – 412 с.
4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравне-
ния параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
Îá àâòîðàõ:
Капустян Владимир Емельянович,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой
математическое моделирование экономических систем НТУУ „КПИ”,
e-mail: kapustyanv@ukr.net
Лазаренко Ирина Сергеевна,
Компьютерная математика. 2009, № 2 141
mailto:kapustyanv@ukr.net
В.Е. КАПУСТЯН, И.С. ЛАЗАРЕНКО, И.Д. ФАРТУШНЫЙ
ассистент кафедры математического моделирования экономических систем НТУУ „КПИ”,
Фартушный Иван Дмитриевич,
старший преподаватель кафедры математического моделирования
экономических систем НТУУ „КПИ”.
e-mail: nhtyth@mail.ru
142 Компьютерная математика. 2009, № 2
mailto:nhtyth@mail.ru
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84556 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:42:13Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Капустян, В.Е. Лазаренко, И.С. Фартушный, И.Д. 2015-07-10T11:35:53Z 2015-07-10T11:35:53Z 2009 Асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае / В.Е. Капустян, И.С. Лазаренко, И.Д. Фартушный // Компьютерная математика. — 2009. — № 2. — С. 132-142. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84556 517.9:519.3 Рассмотрена векторная сингулярно возмущенная параболическая периодическая краевая задача в критическом случае. Изучен вопрос построения и обоснования асимптотик глобально ограниченных оптимальных управлений для модифицированной краевой задачи. Розглядаються задачі оптимального керування для векторних сингулярно збурених параболічних періодичних критичних крайових задач. У класі обмежених функцій побудовані й обґрунтовані асимптотики довільного порядку точності. Optimal oscillating control problems for the vectorial singular-perturbed parabolic periodic critical boundary-value problems are considered. The asimptotic forms of arbitrary order are constructed in the class of bounded functions. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Теория и методы оптимизации Асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае Асимптотики обмежених оптимальних керувань для векторних сингулярно збурених параболічних періодичних задач у критичному випадку Asymptotics of oscillating globally bounded optimal controls for the vectorial singular perturbed parabolic periodic problems in critical case Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае Капустян, В.Е. Лазаренко, И.С. Фартушный, И.Д. Теория и методы оптимизации |
| title | Асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае |
| title_alt | Асимптотики обмежених оптимальних керувань для векторних сингулярно збурених параболічних періодичних задач у критичному випадку Asymptotics of oscillating globally bounded optimal controls for the vectorial singular perturbed parabolic periodic problems in critical case |
| title_full | Асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае |
| title_fullStr | Асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае |
| title_full_unstemmed | Асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае |
| title_short | Асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае |
| title_sort | асимптотики ограниченных оптимальных управлений для векторных сингулярно возмущенных параболических периодических задач в критическом случае |
| topic | Теория и методы оптимизации |
| topic_facet | Теория и методы оптимизации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84556 |
| work_keys_str_mv | AT kapustânve asimptotikiograničennyhoptimalʹnyhupravleniidlâvektornyhsingulârnovozmuŝennyhparaboličeskihperiodičeskihzadačvkritičeskomslučae AT lazarenkois asimptotikiograničennyhoptimalʹnyhupravleniidlâvektornyhsingulârnovozmuŝennyhparaboličeskihperiodičeskihzadačvkritičeskomslučae AT fartušnyiid asimptotikiograničennyhoptimalʹnyhupravleniidlâvektornyhsingulârnovozmuŝennyhparaboličeskihperiodičeskihzadačvkritičeskomslučae AT kapustânve asimptotikiobmeženihoptimalʹnihkeruvanʹdlâvektornihsingulârnozburenihparabolíčnihperíodičnihzadačukritičnomuvipadku AT lazarenkois asimptotikiobmeženihoptimalʹnihkeruvanʹdlâvektornihsingulârnozburenihparabolíčnihperíodičnihzadačukritičnomuvipadku AT fartušnyiid asimptotikiobmeženihoptimalʹnihkeruvanʹdlâvektornihsingulârnozburenihparabolíčnihperíodičnihzadačukritičnomuvipadku AT kapustânve asymptoticsofoscillatinggloballyboundedoptimalcontrolsforthevectorialsingularperturbedparabolicperiodicproblemsincriticalcase AT lazarenkois asymptoticsofoscillatinggloballyboundedoptimalcontrolsforthevectorialsingularperturbedparabolicperiodicproblemsincriticalcase AT fartušnyiid asymptoticsofoscillatinggloballyboundedoptimalcontrolsforthevectorialsingularperturbedparabolicperiodicproblemsincriticalcase |