Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа Шредингера
Предлагается подход к численному моделированию акустических полей в подводных неоднородных волноводах, использующий явные разностные схемы для решения волнового параболического уравнения типа Шредингера. Такой подход позволяет учесть преимущества явных разностных схем и повысить эффективность вычисл...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84561 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа Шредингера / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860237446098190336 |
|---|---|
| author | Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. |
| author_facet | Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. |
| citation_txt | Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа Шредингера / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Предлагается подход к численному моделированию акустических полей в подводных неоднородных волноводах, использующий явные разностные схемы для решения волнового параболического уравнения типа Шредингера. Такой подход позволяет учесть преимущества явных разностных схем и повысить эффективность вычислительных процессов, используя методику параллельных вычислений. Рассмотрены вопросы построения и исследования устойчивости явной трехслойной разностной схемы с комплекснозначными несамосопряженными операторами. Получено условие устойчивости по начальным данным.
Розглянуто підхід до чисельного моделювання акустичних полів у підводних неоднорідних хвилеводах, що використовує явні різницеві схеми для розв’язання хвильового параболічного рівняння типу Шредінгера. Запропонована явна тришарова різницева схема з комплексними несамоспряженими операторами, досліджена її стійкість та отримана умова стійкості за початковими даними.
An approach to numerical modeling of acoustic fields in the underwater non-homogeneous waveguides is considered. Explicit three-level difference schemes are used for solving wave parabolic equations of Shroedinger type. The explicit three-level difference scheme with complex nonself-conjugate operator is suggested. The stability of this scheme is investigated. The stability condition on initial data is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:26:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2010, № 1 3
Ìàòåìàòè÷åñêîå
ìîäåëèðîâàíèå
Предлагается подход к численно-
му моделированию акустических
полей в подводных неоднородных
волноводах, использующий явные
разностные схемы для решения
волнового параболического урав-
нения типа Шредингера. Такой
подход позволяет учесть преиму-
щества явных разностных схем и
повысить эффективность вычис-
лительных процессов, используя
методику параллельных вычисле-
ний. Рассмотрены вопросы пост-
роения и исследования устойчиво-
сти явной трехслойной разност-
ной схемы с комплекснозначными
несамосопряженными оператора-
ми. Получено условие устойчиво-
сти по начальным данным.
А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая,
2010
ÓÄÊ 517.9:519.6
À.Â. ÃËÀÄÊÈÉ, Þ.À.ÃËÀÄÊÀß
ÎÁ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ßÂÍÎÉ
ÒÐÅÕÑËÎÉÍÎÉ ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÉ ÑÕÅÌÛ
ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÒÈÏÀ ØÐÅÄÈÍÃÅÐÀ
Введение. В настоящее время значительный
интерес представляют вопросы исследования
особенностей распространения звуковых
волн в неоднородных волноводах [1–6].
С математической точки зрения расчет
звукового поля описывается краевыми зада-
чами для эллиптического волнового уравне-
ния Гельмгольца, численное решение кото-
рых в случае неограниченных неоднородных
областей связано с известными вычислите-
льными трудностями. Один из подходов к
расчету акустических полей в неограничен-
ных областях состоит в использовании пара-
болических аппроксимаций, что позволяет
свести решение краевых задач к решению
задачи Коши для уравнений параболического
типа с несамосопряженным комплекснознач-
ным оператором.
Известно, что явные двухслойные разнос-
тные схемы решения начально-краевых задач
для уравнений типа Шредингера безусловно
неустойчивы.
В данной работе для численного решения
волнового уравнения типа Шредингера пред-
лагается подход к построению и исследова-
нию устойчивости явных трехслойных раз-
ностных схем с комплекснозначными неса-
мосопряженными операторами.
Постановка задачи. Для описания акус-
тического поля в осесимметричном волно-
воде { }0,0, 00 ><<∞<<= rLzrrG , где ),( zr
– цилиндрические координаты и ось z на-
правлена вертикально вниз. Рассмотрим сле-
дующую начально-краевую задачу для вол-
нового уравнения типа Шредингера с ком-
плексным несамосопряженным оператором
[2, 3]
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ
4 Компьютерная математика. 2010, № 1
0)),(1),((2 22
02
2
0 =υ+−+
∂
∂+
∂
∂
pzrizrnk
z
p
r
p
ik . (1)
Здесь ),( zrp – комплекснозначная функция; 1−=i – мнимая единица;
00 /2 cfk π= – волновое число; ),(/),( 0 zrcczrn = , 0),( ≥υ zr – непрерывные
достаточно гладкие функции (коэффициенты преломления и поглощения соот-
ветственно).
Дифференциальное уравнение (1) является базовым для определения даль-
него комплекснозначного акустического давления ),( zrP , создаваемого точеч-
ным гармоническим источником с координатами ),0( 0z . Это давление удовле-
творяет уравнению Гельмгольца
r
zzr
Pzrizrnk
z
P
r
P
r
r
u
r π
−δδ
−=υ++
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
2
)()(
)),(),((
1 022
02
2
и при 10 >>rk представляется в виде ),()(),( 0
)1(
0 zrprkHzrP = , где )()1(
0 ⋅H –
функция Ханкеля первого рода нулевого порядка. Для волн, распространяющих-
ся в направлениях, близких к горизонтальному, комплекснозначная амплиту-
да ),( zrp удовлетворяет псевдодифференциальному уравнению
( )
1/ 2
0 0 0,
p
ik p ik E Q р
r
∂ + − + =
∂
(2)
где E – единичный оператор,
( ) p
zk
EzrizrnQp
∂
∂+υ+−=
2
2
2
0
2 1
),(1),( .
Подставляя в (2) приближенное выражение оператора корня квадратного
в виде ,
2
1
)( 2/1 QEQE +≅+ получаем параболическое волновое уравнение (1).
Отметим, что область эффективного использования уравнения (1) для моде-
лирования акустических волн ограничена углами распространения до горизон-
тали, не превышающими 12º.
Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения (1), ограничиваясь
средой без потерь и мягкими границами волновода:
Gzrpzrnk
z
p
r
p
ik ∈=−+
∂
∂+
∂
∂
),(,0)1),((2 22
02
2
0 , (3)
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЯВНОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА…
Компьютерная математика. 2010, № 1 5
,,0,0 00 ∞<≤== == rrpp Hzz (4)
Lzzuzrp <<= 0),(),( 0 . (5)
Для численного решения задачи (3)–(5) с комплексным несамосопряженным
оператором наиболее удобным является метод сеток, применение которого тре-
бует исследования устойчивости по начальным данным, по правой части, а так-
же сходимости решения разностной схемы. Следует отметить, что при исследо-
вании разностных схем наиболее важным является вопрос устойчивости по на-
чальным данным.
Разностная схема. На сетке
hhhhhh ω×ω=ωγω=ω×ω=ω ττττττ ,∪ ,
},...,2,1,0,{},/,,0,{ 0 =τ+===ω=====ω τ mmrrrNLhNkkhzz mkh ,
}/,1,1,{},,...,2,1,{ 0 NLhNkkhzzmmrrr khm =−====ω=τ+===ωτ ,
дифференциальной задаче (3)–(5) поставим в соответствие явную трехслойную
разностную схему
hzz
r
rzyrzbyyik τω∈=++ ),(,0),(2 0 � , (6)
hzzyzy ω∈= ),()0,( 0 , (7)
τω∈== rrLyry ,0),(,0),0( . (8)
Здесь )1),((),(,/ 22
0 −=τ=γ zrnkzrbh и приняты следующие обозначения тео-
рии разностных схем [7]:
1 1ˆ ˆ( , ), , , ( ) / 2 ,m m m
k m k k k
r
y y y r z y y y y y y y+ −= = = = = − τ�
⌣ ⌣
1 1( ) / , ( ) / ,z k k z k ky y y h y y y h+ −= − = −
( )m
k
m
k
m
kzzzz yyy
h
yy
h
y +−=−= + 2
1
)(
1
12
.
Следует отметить, что в случае уравнения теплопроводности аналогичная
явная трехслойная разностная схема (схема Ричардсона) является абсолютно
неустойчивой [7 ].
Пользуясь разложением в ряд Тейлора легко показать, что для погрешности
аппроксимации уравнения (6) справедливо соотношение
)(),(2 22
0 hOprzbppik zz
r
+τ=++=ψ � .
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ
6 Компьютерная математика. 2010, № 1
Таким образом, задача (6)–(8) является явной трехслойной разностной схе-
мой. Отметим, что при расчетах, кроме решения при 0r , необходимо иметь зна-
чение решения hzzyy ω∈τ= ),,(1 , которое можно получить каким-либо другим
методом.
Перейдем к анализу устойчивости разностной схемы (6)–(8) по начальным
данным.
Пусть H – пространство сеточных комплекснозначных функций, заданных
на hω и равных нулю при Lzz ======== ,0 . Сеточная функция )(ryy = определена
на τω со значениями в H { } )(,),,()(: m
m
h ryyzzryry =ω∈= .
Введем скалярное произведение и норму в H:
1/ 2( , ) ( , ) , ( , ) ,
h
m m
z
y v y v hyv y y y
∈ω
= = =∑ (9)
где черта означает комплексное сопряжение.
Введем далее гильбертово пространство H 2
= H⊕H как прямую сумму,
т.е. элементами пространства H 2 являются векторы вида ),( 1+= mm
m yyy ,
∈+1, mm yy H с покоординатными операциями сложения и умножения. Устой-
чивость трехслойной схемы (6)–(8) будем изучать в энергетическом простран-
стве H 2
D с метрикой, порожденной некоторым (возможно зависящим от r )
самосопряженным положительным оператором )( mm rDDD ======== , действую-
щим в H 2 :
∈== vyyyyvDyvy DDD ,,),(),,(),( 2/1
H
2 .
Следуя [7], под устойчивостью по начальным данным будем понимать
выполнение оценки
,...,2,1,0),,(),( 2
111 =ρ≤+++ myyDyyD mmmmmm
где величина mρ равномерно ограничена константой, не зависящей от парамет-
ров сетки.
Введем следующие обозначения:
0,0,),(,1),(),( 1010
2 ≥ε≥εε≤ε≤ε−−=ε zrzrnzr .
Имеет место
Теорема. Разностная схема (6)–(8) устойчива по начальным данным при
выполнении условия
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЯВНОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА…
Компьютерная математика. 2010, № 1 7
0,
4
2
102
0
2
0
2
0 ≠ε+ε
ε+
≤τ
k
hk
. (10)
Для доказательства перепишем задачу (6)–(8) в операторной форме:
rrAyyy ω∈=+α+α ,0ˆ ⌣
, (11)
где 10 , yy заданы, ∈= )( m
m ryy H, а комплексный параметр α и оператор A
определяются выражениями
τ
−=α 0ik
, ∈ε−−= yyzrkyAy zz ,),(2
0 H. (12)
Линейный разностный оператор A самосопряжен в смысле скалярного произве-
дения (9).
Запишем уравнение (11) в виде
AyyAyy
2
1
2
1
ˆ −α−=+α ⌣
и возведем скалярно обе части равенства в квадрат. Тогда получим тождество
( ) ( ) ( )yAyAyyyAyyy
⌣⌣⌣ α+α+α=α+α ,
2
1
,
2
1
,ˆReˆ 2222 ,
в правой части которого прибавим и вычтем величину 22 yα . Отсюда, учиты-
вая самосопряженность оператора A , свойства ( )( , ) ,Ay y Ay yα = α =⌣ ⌣ ( )yAy
⌣
,α ,
получаем соотношение
( ) ( ) 22222222 ,Re,ˆReˆ yyAyyyAyyy α+α+α=α+α+α ⌣⌣
,
которое можно переписать так:
−α++α=
−α++α yyAEyAyyyAEAyy ,
4
1
2
1
,
4
1
2
1
ˆ 22
2
22
2
⌣
.
Это означает, что квадратичная форма
−α++α=Ξ yyAEAyym ,
4
1
2
1
ˆ 22
2
(13)
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ
8 Компьютерная математика. 2010, № 1
неотрицательна при выполнении неравенства
2 21
, 0,
4
E A y y y
α − ≥ ∈
H. (14)
В этом случае квадратичную форму (13) можно записать в виде скалярного
произведения ( )mmmm yyD ,=Ξ , где ∈= + ),( 1mm
m yyy H
2 , а самосопряжен-
ный и неотрицательный оператор mD , действующий в пространстве H 2 , явля-
ется квадратной операторной матрицей второго порядка:
αα
αα
=
EA
AE
Dm 2
2
2
1
2
1
.
Тогда на каждом шаге выполняется энергетическое тождество
( ) ( )11,, −−= mmmmmm yyDyyD , ∈my H
2 ,
которое означает, что ошибка, допущенная на некотором шаге, не возрастает.
Если в (14) выполняется строгое неравенство, то выражение ( )mmm yyD ,
определяет норму в пространстве H 2 , что обеспечивает устойчивость разност-
ной схемы (6)–(8) в этой норме. Легко видеть, что условие неотрицательности
квадратичной формы (13) означает выполнение неравенства α≤ 2A . Учиты-
вая, что τ=αε+λ≤ − /, 00
2
01 kkA N , где 2
1 /4 hN ≤λ − – максимальное собст-
венное значение оператора zzy− , приходим к условию устойчивости (10).
Заключение. В работе рассматривается подход к численному моделирова-
нию акустических полей, описываемых волновым уравнением типа Шрединге-
ра. Исследованы вопросы построения и устойчивости трехслойных явных раз-
ностных схем с комплекснозначными несамосопряженными операторами, полу-
чено условие устойчивости по начальным данным. Предложенная методика лег-
ко обобщается на случай разрывных коэффициентов преломления, других крае-
вых условий и позволяет повысить эффективность вычислительных процессов,
используя методику параллельных вычислений.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЯВНОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА…
Компьютерная математика. 2010, № 1 9
А.В. Гладкий, Ю.А. Гладка
ПРО СТІЙКІСТЬ ЯВНОЇ ТРИШАРОВОЇ РІЗНИЦЕВОЇ СХЕМИ
ДЛЯ РІВНЯННЯ ТИПУ ШРЕДІНГЕРА
Розглянуто підхід до чисельного моделювання акустичних полів у підводних неоднорідних
хвилеводах, що використовує явні різницеві схеми для розв’язання хвильового параболічного
рівняння типу Шредінгера. Запропонована явна тришарова різницева схема з комплексними
несамоспряженими операторами, досліджена її стійкість та отримана умова стійкості за по-
чатковими даними.
A.V. Gladky, J.A .Gladka
ON A STABILITY OF THE EXPLICIT THREE-LEVEL DIFFERENCE SCHEME
FOR THE SCHROEDINGER-TYPE EQUATION
An approach to numerical modeling of acoustic fields in the underwater non-homogeneous
waveguides is considered. Explicit three-level difference schemes are used for solving wave para-
bolic equations of Shroedinger type. The explicit three-level difference scheme with complex non-
self-conjugate operator is suggested. The stability of this scheme is investigated. The stability condi-
tion on initial data is obtained.
1. Бреховских Л.М. , Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. – Л.: Гидроме-
теоиздат, 1982. – 264 с.
2. Распространение волн и подводная акустика // Под ред. Дж. Б. Келлера и Дж. Пападакиса.
– М.: Мир, 1980. – 230 с.
3. Lee D., McDaniel S.T. Ocean acoustic propagation by finite difference method // Comput. Math.
Appl. – 1987. – 14. – P. 305–423.
4. Lee D., Pierse A.D., Shang E.C. Parabolic equation development in the twentieth century
// J. Comput. Acoust. – 2000. – 1, N 4. – P. 527–637.
5. Гладкий А.В., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Численно-аналитические методы исследова-
ния волновых процессов. – Киев: Наук. думка, 2001. – 452 с.
6. Завадский В.Ю. Моделирование волновых процессов. – М.: Наука, 1991. – 248 с.
7. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. – М.: Наука, 1973. – 416 с.
Получено 09.12.2009
Îá àâòîðàõ:
Гладкий Анатолий Васильевич,
доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Гладкая Юлия Анатольевна,
доцент Киевского национального торгово-экономического университета.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84561 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:26:01Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. 2015-07-10T14:27:50Z 2015-07-10T14:27:50Z 2010 Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа Шредингера / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84561 517.9:519.6 Предлагается подход к численному моделированию акустических полей в подводных неоднородных волноводах, использующий явные разностные схемы для решения волнового параболического уравнения типа Шредингера. Такой подход позволяет учесть преимущества явных разностных схем и повысить эффективность вычислительных процессов, используя методику параллельных вычислений. Рассмотрены вопросы построения и исследования устойчивости явной трехслойной разностной схемы с комплекснозначными несамосопряженными операторами. Получено условие устойчивости по начальным данным. Розглянуто підхід до чисельного моделювання акустичних полів у підводних неоднорідних хвилеводах, що використовує явні різницеві схеми для розв’язання хвильового параболічного рівняння типу Шредінгера. Запропонована явна тришарова різницева схема з комплексними несамоспряженими операторами, досліджена її стійкість та отримана умова стійкості за початковими даними. An approach to numerical modeling of acoustic fields in the underwater non-homogeneous waveguides is considered. Explicit three-level difference schemes are used for solving wave parabolic equations of Shroedinger type. The explicit three-level difference scheme with complex nonself-conjugate operator is suggested. The stability of this scheme is investigated. The stability condition on initial data is obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа Шредингера Про стійкість явної тришарової різницевої схеми для рівняння типу Шредінгера On a stability of the explicit three-level difference scheme for the Schroedinger-type equation Article published earlier |
| spellingShingle | Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа Шредингера Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. Математическое моделирование |
| title | Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа Шредингера |
| title_alt | Про стійкість явної тришарової різницевої схеми для рівняння типу Шредінгера On a stability of the explicit three-level difference scheme for the Schroedinger-type equation |
| title_full | Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа Шредингера |
| title_fullStr | Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа Шредингера |
| title_full_unstemmed | Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа Шредингера |
| title_short | Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа Шредингера |
| title_sort | об устойчивости явной трехслойной разностной схемы для уравнения типа шредингера |
| topic | Математическое моделирование |
| topic_facet | Математическое моделирование |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84561 |
| work_keys_str_mv | AT gladkiiav obustoičivostiâvnoitrehsloinoiraznostnoishemydlâuravneniâtipašredingera AT gladkaâûa obustoičivostiâvnoitrehsloinoiraznostnoishemydlâuravneniâtipašredingera AT gladkiiav prostíikístʹâvnoítrišarovoíríznicevoíshemidlârívnânnâtipušredíngera AT gladkaâûa prostíikístʹâvnoítrišarovoíríznicevoíshemidlârívnânnâtipušredíngera AT gladkiiav onastabilityoftheexplicitthreeleveldifferenceschemefortheschroedingertypeequation AT gladkaâûa onastabilityoftheexplicitthreeleveldifferenceschemefortheschroedingertypeequation |