Идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы
Построены явные выражения градиентов функционалов-невязок для реализации градиентных методов идентификации параметров задачи термоупругого деформирования полой сферы. Побудовані явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для реалізації градієнтних методів ідентифікації параметрів задачі термопружн...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84563 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы / В.С. Дейнека // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 18-28. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859853068790661120 |
|---|---|
| author | Дейнека, В.С. |
| author_facet | Дейнека, В.С. |
| citation_txt | Идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы / В.С. Дейнека // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 18-28. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Построены явные выражения градиентов функционалов-невязок для реализации градиентных методов идентификации параметров задачи термоупругого деформирования полой сферы.
Побудовані явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для реалізації градієнтних методів ідентифікації параметрів задачі термопружного деформування порожнистої сфери.
The explicit expressions of the functional-residuals gradients for realization of parameters identification gradient methods for a hollow sphere thermoelastic deformation problem are constructed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:41:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
18 Компьютерная математика. 2010, № 1
Построены явные выражения
градиентов функционалов-невязок
для реализации градиентных ме-
тодов идентификации парамет-
ров задачи термоупругого дефор-
мирования полой сферы.
В.С. Дейнека, 2010
ÓÄÊ 539.3: 519.6
Â.Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ
ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈß ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ
ÇÀÄÀ×È ÒÅÐÌÎÓÏÐÓÃÎÃÎ
ÑÎÑÒÎßÍÈß ÏÎËÎÉ ÑÔÅÐÛ
Введение. В работах [1, 2] на основе резуль-
татов теории оптимального управления со-
стояниями различных многокомпонентных
распределенных систем [3−5] получены яв-
ные выражения градиентов функционалов-
невязок для идентификации градиентными
методами О.М. Алифанова [6] параметров
упругого деформирования составной полой
сферы и термоупругого деформирования со-
ставного полого цилиндра, соответственно.
В этой работе аналогичные вопросы рас-
смотрены для идентификации параметров
задачи термоупругого деформирования по-
лой сферы.
1. Идентификация термонапряженного
состояния по поверхностным смещениям.
Рассмотрим изотропную полую сферу.
С учетом симметрии, следуя [7], ее термо-
напряженное состояние описывается урав-
нением
( )rd y
dr
σ +
2 ( ) ( ) ( )
0, ,r y y y
r
r
θ ϕσ − σ − σ
+ = ∈Ω (1)
где 1 2 1 2( , ), 0 ,r r r rΩ = < < < ∞
( ) ( 2 ) 2
(3 2 ) ,
r r
dy y
y
dr r
T
σ = σ = λ + µ + λ −
− λ + µ α
2( )
( )
dy
y y
dr rϕ ϕ
λ + µσ = σ = λ + −
(3 2 ) ,T− λ + µ α (1′)
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ…
Компьютерная математика. 2010, № 1 19
2( )
( ) (3 2 ) ,
dy
y y T
dr rθ θ
λ + µσ = σ = λ + − λ + µ α
( )y y r= − радиальное смещение точки с координатой r; λ, µ − упругие постоян-
ные Ляме, α − коэффициент линейного расширения, Т − изменение температуры
T от ее начального состояния 0T .
Равенство (1), с учетом (1′), легко преобразуется к виду
2 2( 2 ) (3 2 ) 2( 2 ) 0, .
d dy dT
r r y r
dr dr dr
λ + µ − λ + µ α − λ + µ = ∈Ω
(2)
Изменение температуры Т удовлетворяет уравнению
2
2
1
,
d dT
r k f r
dr drr
− = ∈Ω
. (3)
На внутренней и внешней поверхностях сферы заданы напряжения
( ) , 1, 2
ir r r iy p i=σ = − = , (4)
плотность теплового потока на внутренней поверхности
1,
dT
k u r r
dr
− = = , (5)
которую считаем неизвестной, а на внешней поверхности − краевое условие
первого рода
1 2, .T и r r= = (6)
Предполагаем, что на внешней поверхности сферы известно смещение
02 )( fry = . (7)
Получена задача (2)−(7), состоящая в определении вещественного числа
( , )u ∈ = −∞ +∞U , при котором первая компонента у =
у(u) классического реше-
ния ( ) ( ( ), ( ))Y Y u y u T u= = краевой задачи (2)−(6) удовлетворяет равенству (7).
Вместо классического решения ),( TyY = краевой задачи (2)−(6) будем ис-
пользовать ее обобщенное решение. Для этого домножим левую часть равенства
(2) на произвольную функцию 1
1 2 1 2(( , ))z V W r r∈ = и результат проинтегрируем
по отрезку ],[ 21 rr . С учетом ограничений (4) получим
}
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2 2
( 2 ) (3 2 )
2( 2 ) 2 (3 2 ) ( )
( ) ( ) ( 2 ) (3 2 )
r
r
r
r r
r
r r
r
d dy
r y y T
dr dr r r
y r T zdr r y z
dy z y z y z z
r y z T
dr r r r r r r
λ λ − λ + µ + − − λ + µ α −
− λ + µ + λ + µ α = − σ +
+ σ ε + λ + λ + µ + λ − λ + µ α +
∫
∫
В.С. ДЕЙНЕКА
Компьютерная математика. 2010, № 1 20
2
1
2( 2 ) (3 2 ) ( ) r
r r
dy z y z y z z
T dr r y z
dr r r r r r r
+ λ + λ + λ + µ − λ + µ α = − σ +
( )
2
2
1
1
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r
r
r r r r
r
r y z y z y z dr r y zϕ ϕ θ θ+ σ ε + σ ε + σ ε = − σ +∫
( ){ (
2
1
2 ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r
r r r
r
r y z y z y z y zϕ ϕ θ θ ϕ+ λ + µ ε ε + ε ε + ε ε + λ ε ε +∫
)}( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r ry z y z y z y z y z drθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ+ ε ε + ε ε + ε ε + ε ε + ε ε −
( )
2
2
1
1
2 2(3 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )
r
r
r r r
r
r T z z z dr r y z a y zϕ θ− λ + µ α ε + ε + ε = − σ + −∫
( )
2
1
2(3 2 ) ( ) ( ) ( )
r
r
r
r T z z z drϕ θ− λ + µ α ε + ε + ε∫ , (8)
где ( ) , ( ) , ( ) ,r
dy y y
y y у
dr r rϕ θε = ε = ε =
2
1
2( , ) ( 2 ) 2 2 .
r
r
dy dz y z dy z y dz y z
a y z r dr
dr dr r r dr r r dr r r
= λ + µ + + λ + +
∫
Следовательно, если при фиксированном u∈U вектор-функция Y =
( ) ( ( ), ( ))Y u y u T u= = – классическое решение краевой задачи (2)−(6), то оно
1 1
1 2 0 2 1 2 0( , ) (( , ))z z z V W r r V∀ = ∈ = × удовлетворяет системе тождеств
);(),( 11 zTlzya = , (9)
);(),( 2121 zulzTa = , (10)
где
2
1
1 1 2 2
0 2 1 2 2 1 2{ ( , ) : ( ) 0}, ( , ) ,
r
r
dT dz
V v W r r v r a T z r k dr
dr dr
= ∈ = = ∫
)()(
2
)23();( 212
2
2111
2
1
112
1
2
1
rzprrzprdr
r
z
dr
dz
TrzTl
r
r
−+
++= ∫ αµλ ,
2
1
2 2
1 2 2 1 2 1( ; ) ( )
r
r
l u z r f z dr r uz r= +∫ .
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ…
Компьютерная математика. 2010, № 1 21
Определение 1. При каждом фиксированном u∈U обобщенным решением
краевой задачи (2)−(6) называется решение задачи (9), (10), т.е. вектор-функция
VTyY ∈= ),( , которая Vz ∈∀ удовлетворяет системе тождеств (9), (10),
где 1 1
2 1 2 1 1 2 1 2 2 1( , ) , { ( , ) : ( ) }V W r r V V v W r r v r u= × = ∈ = .
Теорема 1. При каждом фиксированном u∈U обобщенное решение
),( TyY = краевой задачи (2)−(6) существует и единственное в V.
Справедливость теоремы устанавливается, следуя [8], на основе леммы
Лакса–Мильграма [9].
Задачу (9), (10), (7) будем решать с помощью градиентных методов
О.М. Алифанова [6]. Функционал-невязка имеет вид
( ) 2
2 0
1
( ) ( ; )
2
J u y u r f= − . (11)
Тем самым получена задача (9)−(11), состоящая в определении элемента u,
минимизирующего на U функционал-невязку (11) при ограничениях (9), (10).
Эту задачу будем решать приближенно с помощью градиентных методов [6],
где (n+1)-е приближение 1+nu решения u∈U находим по формуле
1 , 0,1, ... ,n n n nu u p n n ∗
+ = − β = , (12)
начинается с некоторого начального приближения U∈0u , где направление
спуска np и коэффициент nβ определим используя следующие выражения:
− для метода минимальных ошибок
2
2
,
n
n
n
n u n
u
e
p J
J
′= β =
′
, (13)
− для метода скорейшего спуска
2
2
, n
n
n
u
n u n
u
J
p J
AJ
′
′= β =
′
, (14)
− для метода сопряженных градиентов
1
2
1 0 2 2
( , )
, 0, ,n n
n
n
u u n
n u n n n n
nu
J J p
p J p
ApJ −
−
′ ′
′= + γ γ = γ = β =
′
, (15)
где
nuJ ′ − градиент функционала J(u) в точке 0, ,n n n nu u e Au f Au= = − =
2( ; )ny u r= .
В.С. ДЕЙНЕКА
Компьютерная математика. 2010, № 1 22
Введем обозначения
( , ) ( ( ) (0), ( ) (0)),u v Y u Y Y v Yπ = − −
0( ) ( (0), ( ) (0)),L v f Y Y v Y= − − (16)
где ( )Y v Av= . Так как
0 02 ( ) ( , ) 2 ( ) ( (0), (0))J v v v L v f Y f Y= π − + − − ,
то
0
( ( )) ( )
lim ( , ) ( )
J u v u J u
u v u L v u
λ→
+ λ − − = π − − − =
λ
0( ( ) , ( ) ( )) , .uY u f Y v Y и J v u′= − − = 〈 − 〉 (17)
Для каждого приближения nu решения u∈U задачи (9)−(11) введем в рас-
смотрение следующую сопряженную задачу:
( )
2
1
1
2
2 02
2
2 2
2
( ) (2 ( ) ( ) ( )) 0, ,
1
( ) ( ( ; ) ),
( ) 0,
(3 2 ) ( ) ( ) ( ) 0, ,
0, ( ) 0,
r r
r r r n
r r r
r
r r
d
r r r
dr
y u r f
r
d dp
r k r r
dr dr
dp
k p r
dr
θ ϕ
=
=
ϕ θ
=
− σ ψ − σ ψ − σ ψ − σ ψ = ∈Ω
σ ψ = −
σ ψ =
− − λ + µ α ε ψ + ε ψ + ε ψ = ∈Ω
− = =
(18)
где
2( )
( ) ( 2 ) 2 , ( ) , ( )r
d d
dr r dr rϕ θ
ψ ψ ψ λ + µσ ψ = λ + µ + λ σ ψ = λ + ψ σ ψ =
2( )
, ( ) , ( ) , ( )r
d d
dr r dr r rϕ θ
ψ λ + µ ψ ψ ψ= λ + ψ ε ψ = ε ψ = ε ψ = .
Определение 2. При каждом фиксированном u∈U обобщенным решением
краевой задачи (18) называется вектор-функция 0( ) ( ( ), ( ))Y Y u y u T u V= = ∈ , ко-
торая 1 2 0( , )z z z V∀ = ∈ удовлетворяет системе тождеств
1 2 0 1 2( , ) ( ( ; ) ) ( )na z y u r f z rψ = − , (19)
2
1
2
1 2 2
2
( , ) (3 2 )
r
r
d
a p z r z dr
dr r
ψ ψ = λ + µ α +
∫ . (20)
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ…
Компьютерная математика. 2010, № 1 23
Выбирая в тождестве (19) вместо функции z1 разность 1( ) ( ),n ny u y u+ −
а в (20) вместо z2 − разность 1( ) ( )n nТ u Т u+ − , с учетом (9), (10) получаем
2
1
2 0 1 2 2 1
2
1
( ( ; ) )( ( ; ) ( ; )) ( ( ) ( ), )
2
(3 2 ) ( ( ) ( ))
n n n n n
r
n n
r
y u r f y u r y u r a y u y u
d
r Т u Т u dr
dr r
+ +
+
− − = − ψ −
ψ ψ − λ + µ α − + +
∫
2
1 1 1 1 1 1 1( ( ) ( ), ) ( ; ) ( ; ) ( ).n n n n na Т u Т u р l u р l u р r u р r+ ++ − = − = ∆ (21)
С учетом (17) на основании (21) имеем )(, 1
2
1 rрruuJ nnun
∆=∆′ . Следова-
тельно,
nu nJ ′ = ψɶ , (22)
где 2 2
1 1 1 1( ), ( )
nn ur р r J r p r′ψ = =ɶ .
Наличие градиента
nuJ ′ позволяет использовать метод минимальных оши-
бок (12), (13) для определения (n+1)-го приближения 1+nu решения и∈U задачи
(9)−(11).
Решив задачу определения вектор-функции ( ) ( ( ), ( )),
n n nu u uY Y J y J T J′ ′ ′= =
которая 1 2 0( , )z z z V∀ = ∈ удовлетворяет тождествам
1 1( , ) ( ( ); ),
nua y z l T J z′=
1 2 1 2( , ) ( ; ),
nua T z l J z′= (23)
получим );( 2rJyJA
nn uu ′=′ , что позволит использовать метод скорейшего спус-
ка (12), (14) для нахождения (n+1)-го приближения un+1 решения u∈U задачи
(9)−(11). Определив направление спуска np с помощью выражений (15), можем
решить задачу вида (23), где вместо
nuJ ′ используем np . Это позволит исполь-
зовать метод сопряженных градиентов (12), (15) для нахождения (n+1)-го при-
ближения 1+nu решения u∈U задачи (9)−(11).
2. Идентификация термонапряженного состояния полой сферы
по смещениям ее внутренней точки.
Пусть при каждом фиксированном u∈U термоупругое состояние полого
сферического тела описывается краевой задачей (2)−(6), т.е. обобщенной зада-
чей (9), (10). Предполагаем, что во внутренней точке ),( 211 ∈ rrd известно сме-
щение, заданное равенством
1 1( )y d f= . (24)
В.С. ДЕЙНЕКА
Компьютерная математика. 2010, № 1 24
В этом случае функционал-невязка имеет вид
2
11 ));((
2
1
)( fduyuJ −= . (25)
Имеют место выражения вида (16), (17), где 1( ) ( ; ), ( ; )Y v y v d y v r= − первая
компонента решения ),( TyY = задачи (9), (10) при u = v.
Для каждого приближения nu решения u∈U задачи (9), (10), (25) сопряжен-
ная задача имеет вид
2 ( ) (2 ( ) ( ) ( )) 0, ,
( ) 0, 1, 2,
i
r r d
r r r
d
r r r
dr
i
θ ϕ
=
− σ ψ − σ ψ − σ ψ − σ ψ = ∈Ω
σ ψ = =
1 1 1 12
1
1
[ ] 0, [ ( )] ( ( ; ) )d r d ny u d f
d
ψ = σ ψ = − − , (26)
( )2 2(3 2 ) ( ) ( ) ( ) 0, ,r d
d dp
r k r r
dr dr ϕ θ
− − λ + µ α ε ψ + ε ψ + ε ψ = ∈Ω
1
1
1
2
[ ] 0, 0,
0, ( ) 0,
d
d
r r
dp
p k
dr
dp
k p r
dr =
= =
− = =
где компонента ( )rσ ψ определена в п. 1, 1 2 1 1 1, ( , ),d r dΩ = Ω ∪ Ω Ω =
2 1 2( , )d rΩ = .
Определение 3. Обобщенным решением краевой задачи (26) называется
вектор-функция * ( , ) dY р V= ψ ∈ , которая dVzzz ∈=∀ ),( 21 удовлетворяет сис-
теме тождеств
1 1 1 1 1( , ) ( ( ; ) ) ( )na z y u d f z dψ = − , (27)
2
1 2 2
2
( , ) (3 2 ) 0,
d
a p z r z dr
dr r
Ω
ψ ψ − λ + µ α + =
∫ (28)
где
1
1
1 2 2 2 2{ ( , ) : ( ), [ ] 0, , 1, 2, ( ) 0}.
jd i j i r dV v v v v W v i j v rΩ == = ∈ Ω = = =
Выбирая в тождестве (27) вместо функции z1 разность )()( 1 nn uyuy −+ , а в
(28) вместо z2 − разность 1( ) ( )n nТ u Т u+ − , с учетом (9), (10), (17) получаем
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ…
Компьютерная математика. 2010, № 1 25
1 1 1 1 1
2
1 1
2
1 1 1 1 1 1 1
, ( ( ; ) )( ( ; ) ( ; ))
2
( ( ) ( ), ) (3 2 ) ( ( ) ( ))
( ( ) ( ), ) ( ; ) ( ; ) ( ).
nu n n n n
n n n n
n n n n n
J u y u d f y u d y u d
d
a y u y u r Т u Т u dr
dr r
a Т u Т u р l u р l u р u r р r
+
+ +
Ω
+ +
′ ∆ = − − =
ψ ψ = − ψ − λ + µ α − + +
+ − = − = ∆
∫
Следовательно,
nu nJ ′ = ψɶ , где 2
1 1( )n r p rψ =ɶ .
Замечание 1. Если кроме условия (24) также имеем условие (7), то функцио-
нал-невязка имеет вид
.,));((
2
1
)( 20
1
0
2 rdfduyuJ
i
ii =−= ∑
=
(29)
В этом случае имеем задачу (9), (10), (29).
Введем обозначения
( , ) ( ( ) (0), ( ) (0)),
( ) ( (0), ( ) (0)),
u v у u у у v у
L v f у у v у
π = − −
= − −
где ),()),;(),;(()( 1010 fffdvydvyvy == . Так как
2
0−+2−π=2 )()(),()( уfvLvvvJ ,
то
0
( ( )) ( )
lim ( , ) ( )
J u v u J u
u v u L v u
λ→
+ λ − − = π − − − =
λ
( ( ) , ( ) ( )) , .uу u f у v у и J v u′= − − = 〈 − 〉 (30)
Для каждого приближения nu решения u∈U задачи (9), (10), (29) сопря-
женная задача имеет вид (26), где вместо второго выражения, отражающего за-
дание краевых условий, примем
( )1 2 2 02
2
1
( ) 0, ( ) ( ; ) .r r r r nr r
y u r f
r
= =σ ψ = σ ψ = −
Для этой краевой задачи обобщенная задача состоит в нахождении вектор-
функции * ( , ) dY р V= ψ ∈ , которая dVz ∈∀ удовлетворяет тождествам
1
1 1
0
( , ) ( ( ; ) ) ( ),n i i i
i
a z y u d f z d
=
ψ = −∑
В.С. ДЕЙНЕКА
Компьютерная математика. 2010, № 1 26
2
1 2 2
2
( , ) (3 2 ) 0.
d
a p z r z dr
dr r
Ω
ψ ψ − λ + µ α + =
∫ (31)
На основании (31) с учетом (30) получаем 2
1 1( )
nu nJ r р r′ = ψ =ɶ .
3. Восстановление коэффициента линейного расширения по поверхно-
стным смещениям. При неизвестном коэффициенте линейного расширения α
компоненты , ,r ϕ θσ σ σ (1′) тензора напряжений принимают вид
( ) ( 2 ) 2 (3 2 )r
dy y
y uT
dr r
σ = λ + µ + λ − λ + µ ,
2( )
( ) (3 2 ) ,
dy
y y uT
dr rϕ
λ + µσ = λ + − λ + µ
2( )
( ) (3 2 ) ,
dy
y y uT
dr rθ
λ + µσ = λ + − λ + µ (32)
где неотрицательная вещественная постоянная u∈U = [0, + ∞) подлежит опреде-
лению.
Учитывая (32), на основании (2) уравнение равновесия принимает вид
2 2( 2 ) (3 2 ) 2( 2 ) 0,
d dy dТ
r иr y r
dr dr dr
− λ + µ − λ + µ − λ + µ = ∈Ω
. (33)
Изменение температуры Т удовлетворяет уравнению (3). На внутренней и
внешней поверхностях полой сферы заданы напряжения (4), а изменение темпе-
ратуры Т удовлетворяет смешанным краевым условиям
1
2 1, ( ) ,
r r
dT
k T r u
dr =
− = β = (34)
где 1, uβ − заданные вещественные числа.
Предполагаем, что на внешней поверхности сферы известны смещения, за-
данные равенством (7).
Тем самым получена задача (33), (34), (3), (4), (7), состоящая в определении
неотрицательного числа u∈U, при котором первая компонента у решения
),( TyY = краевой задачи (33), (34), (3), (4) удовлетворяет равенству (7).
При каждом фиксированном u∈U вместо классического решения
),( TyY = краевой задачи (33), (34), (3), (4) будем использовать ее обобщенное
решение.
Определение 4. При каждом фиксированном u∈U обобщенным решением
краевой задачи (33), (34), (3), (4) называется вектор-функция ( , ) ,Y y T V= ∈ ко-
торая 021 ),( Vzzz ∈=∀ удовлетворяет системе тождеств
1 1( , ) ( , ; ),a y z l и T z= (35)
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ…
Компьютерная математика. 2010, № 1 27
1 2 1 2( , ) ( ),a T z l z= (36)
где билинейные формы a (⋅,⋅), a1 (⋅,⋅) определены в п. 1,
2
1
2
1
2 2 21 1
1 1 1 1 1 2 2 1 2
2 2 1 2
1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1
2
( , ; ) (3 2 ) ( ) ( ),
( ) ( ), { ( , ) ( ( )) : ( ) },
r
r
r
r
dz z
l u T z r иT dr r p z r r p z r
dr r
l z r fz dr r z r V v v v W v r u
= λ + µ + + −
= + β = = ∈ Ω =
∫
∫
1 2
0 1 2 2 2 2{ ( , ) ( ( )) : ( ) 0}.V v v v W v r= = ∈ Ω =
Функционал-невязка имеет вид (11). Задачу (35), (36), (11) будем решать
с помощью градиентных методов (12).
Для каждого приближения nu решения u∈U задачи (35), (36), (11) сопря-
женная задача имеет вид
2( 2 ) 2( 2 ) 0, ,
d d
r r
dr dr
ψ − λ + µ − λ + µ ψ = ∈Ω
1 2 2 02
2
1
( ) 0, ( ) ( ( ; ) ),r r r r nr r
y u r f
r
= =σ ψ = σ ψ = − (37)
где компонента σr(ψ) определена в п. 1.
Определение 5. Обобщенным решением краевой задачи (37) называется
функция 1
1 2 ( )V Wψ ∈ = Ω , которая 11 Vz ∈∀ удовлетворяет тождеству
21 0 1( , ) ( ( ) )n r r
a z y u f z =ψ = − . (38)
Заменив в (38) функцию z1 разностью 1( ) ( ),n ny u y u+ − с учетом (35) получаем
2
1
2 0 1 2 2 1
2
1
( ( ; ) )( ( ; ) ( ; )) ( , ( ) ( ))
2
( , ; ) ( , ; ) (3 2 ) .
n n n n n
r
n n n
r
y u r f y u r y u r a y u y u
d
l u T l u T u r T dr
dr r
+ +
+
− − = ψ − =
ψ ψ = ψ − ψ = ∆ λ + µ +
∫
Следовательно,
nu nJ ′ = ψɶ , где
2
1
2 2
(3 2 )
r
n
r
d
r T dr
dr r
ψ ψ ψ = λ + µ +
∫ɶ .
Заключение. Построены явные выражения градиентов функционалов-
невязок для реализации градиентных методов идентификации параметров зада-
чи термоупругого деформирования полой сферы.
В.С. ДЕЙНЕКА
Компьютерная математика. 2010, № 1 28
В.С. Дейнека
ІДЕНТИФІКАЦІЯ ПАРАМЕТРІВ ЗАДАЧІ ТЕРМОПРУЖНОГО СТАНУ
ПОРОЖНИСТОЇ СФЕРИ
Побудовані явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для реалізації градієнтних методів
ідентифікації параметрів задачі термопружного деформування порожнистої сфери.
V.S. Deineka
IDENTIFICATION OF THE PARAMETERS OF A HOLLOW SPHERE THERMOELASTIC
STATE PROBLEM
The explicit expressions of the functional-residuals gradients for realization of parameters identifi-
cation gradient methods for a hollow sphere thermoelastic deformation problem are constructed.
1. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Идентификация напряженно-деформированного со-
стояния составного сферического тела // Проблемы управления и информатики. −
2009. − № 4. − С. 5–31.
2. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация термонапряженного состояния состав-
ного цилиндра // Там же. − 2009. − № 5. − С. 25–52.
3. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распреде-
ленными системами. − Киев: Наук. думка, 2003. − 506 с.
4. Дейнека В.С. Оптимальное управление эллиптическими многокомпонентными рас-
пределенными системами. − Киев: Наук. думка, 2005. − 364 с.
5. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal Control of Distributed Systems with Conjugation
Conditions. − New York: Kluwer Aсademic Publishers, 2005. − 400 p.
6. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения не-
корректных задач. − М.: Наука, 1988. − 288 с.
7. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. − Киев: Наук. думка, 1970. − 308 с.
8. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Модели и методы решения задач в неоднородных сре-
дах. − Киев: Наук. думка, 2001. − 606 с.
9. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. − М.: Мир, 1977. −
349 с.
Получено 22.01.2010
Îá àâòîðå:
Дейнека Василий Степанович,
доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Украины,
заведующий отделом Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
e-mail vdeineka@ukr.net
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84563 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:41:53Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дейнека, В.С. 2015-07-10T14:30:49Z 2015-07-10T14:30:49Z 2010 Идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы / В.С. Дейнека // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 18-28. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84563 539.3: 519.6 Построены явные выражения градиентов функционалов-невязок для реализации градиентных методов идентификации параметров задачи термоупругого деформирования полой сферы. Побудовані явні вирази градієнтів функціоналів-нев’язок для реалізації градієнтних методів ідентифікації параметрів задачі термопружного деформування порожнистої сфери. The explicit expressions of the functional-residuals gradients for realization of parameters identification gradient methods for a hollow sphere thermoelastic deformation problem are constructed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы Ідентифікація параметрів задачі термопружного стану порожнистої сфери Identification of the parameters of a hollow sphere thermoelastic state problem Article published earlier |
| spellingShingle | Идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы Дейнека, В.С. Математическое моделирование |
| title | Идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы |
| title_alt | Ідентифікація параметрів задачі термопружного стану порожнистої сфери Identification of the parameters of a hollow sphere thermoelastic state problem |
| title_full | Идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы |
| title_fullStr | Идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы |
| title_full_unstemmed | Идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы |
| title_short | Идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы |
| title_sort | идентификация параметров задачи термоупругого состояния полой сферы |
| topic | Математическое моделирование |
| topic_facet | Математическое моделирование |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84563 |
| work_keys_str_mv | AT deinekavs identifikaciâparametrovzadačitermouprugogosostoâniâpoloisfery AT deinekavs ídentifíkacíâparametrívzadačítermopružnogostanuporožnistoísferi AT deinekavs identificationoftheparametersofahollowspherethermoelasticstateproblem |