Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген
Исследуются вопросы равномерной ограниченности, неотрицательности и непрерывной зависимости от начальных значений и параметров решений системы уравнений, представляющей модель гуморальной иммунной реакции на неразмножающийся молекулярно-дисперсный антиген. Модель основана на вероятностном подходе к...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84574 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген / Т.А. Лазебная // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 110-117. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860057744200957952 |
|---|---|
| author | Лазебная, Т.А. |
| author_facet | Лазебная, Т.А. |
| citation_txt | Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген / Т.А. Лазебная // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 110-117. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Исследуются вопросы равномерной ограниченности, неотрицательности и непрерывной зависимости от начальных значений и параметров решений системы уравнений, представляющей модель гуморальной иммунной реакции на неразмножающийся молекулярно-дисперсный антиген. Модель основана на вероятностном подходе к описанию взаимодействий В-лимфоцитов и их продуктов с антигеном.
Досліджуються питання рівномірної обмеженості, невід’ємності та неперервної залежності від початкових значень і параметрів рішень системи рівнянь, яка описує модель гуморальної імунної реакції на молекулярно-дисперсний антиген, що не розмножується. Модель базується на ймовірнісному підході до опису взаємодій В-лімфоцитів та їх продуктів з антигеном.
The aspects of non-negativity, uniform boundarity and continuous dependency on initial conditions and parameters of the solutions of system of equations are investigated. The system presented describes the model of humoral immune reaction on non-reproducting molecular-disperse antigen, which is based on probability approach to the description of B-lymphocytes and its products with antigen interaction.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:02:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
110 Компьютерная математика. 2010, № 1
Исследуются вопросы равномерной
ограниченности, неотрицательно-
сти и непрерывной зависимости от
начальных значений и параметров
решений системы уравнений, пред-
ставляющей модель гуморальной
иммунной реакции на неразмно-
жающийся молекулярно-дисперсный
антиген. Модель основана на веро-
ятностном подходе к описанию
взаимодействий В-лимфоцитов и их
продуктов с антигеном.
© Т.А. Лазебная, 2010
ÓÄÊ 519.6
Ò.À. ËÀÇÅÁÍÀß
ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ
ÌÎÄÅËÈ ÃÓÌÎÐÀËÜÍÎÉ
ÈÌÌÓÍÍÎÉ ÐÅÀÊÖÈÈ ÍÀ ÀÍÒÈÃÅÍ. I
Введение. В реальных задачах, связанных
с решением дифференциальных уравнений,
начальные значения обычно известны лишь с
некоторым приближением, так как они опре-
деляются экспериментально или вычисляют-
ся, а это неизбежно связано с появлением
погрешностей. Кроме того, в правые части
уравнений могут входить какие-либо пара-
метры, характеризующие физическую при-
роду изучаемой системы, и значения данных
параметров также определяются приближен-
но. В связи с этим возникает вопрос о том,
как изменяется решение начальной задачи
при небольших изменениях начальных зна-
чений и параметров и зависит ли оно от этих
величин непрерывно. Этому вопросу и по-
священа настоящая статья, в которой рас-
сматривается зависимость решений ниже-
приведенной системы уравнений (1) от на-
чальных значений (2) и параметров [1].
Данная система уравнений представляет
собой модель гуморальной иммунной реак-
ции на неразмножающийся молекулярно-
дисперсный антиген [1, 2], которая построена
на основе вероятностного подхода к описа-
нию взаимодействий В-лимфоцитов и их
продуктов с антигеном с учетом допущений и
постулатов, приведенных в [3]. Вопросы су-
ществования и единственности решений сис-
темы уравнений (1) с начальными условиями
(2) подробно были исследованы в [1, 4].
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ГУМОРАЛЬНОЙ ИММУННОЙ РЕАКЦИИ …
Компьютерная математика. 2010, № 1 111
Постановка задачи. Пусть дана система уравнений
( ) { ( ) ( )} ( ))(1
1 11 2 ,
d y t
y t y t y t
dt
= −α − θ
( ) { ( ) ( ) ( ) ( )} ( ))(2
2 3 4 4 22 1 3
,
d y t
y t y t y t y t y t
dt
= −α − + α + α θ
( ) [ ( ( )) ( )3
5 3 31 ,
dy t
n t y t
dt
= α + − Φ ℓ
( ) )( )( ))((
( ))( )( ( )1 1 14
3 1 3 1 1 6 4
1 1 0
,
gy tdy t
y t t t y t
dt gy t
Φ − γ
= − γ Φ − γ θ − γ − α
Φ
ℓ
ℓ
( ) ( ) ( )
))((
( ))(
1 15
3 3
1 1 0
1
gy tdy t
y t t
dt gy t
Φ
= Φ −
Φ
ℓ
ℓ
(1)
с начальными условиями
( ) 0
101 yty = ; ( ) 0
202 yty = ; ( ) 004 =ty ; ( ) 005 =ty ; ( ) 03 =ty для [ )0 0 2,t t t∈ + γ ;
( ) { ( ( ))[ ( ( )) } ( ( ))3 0 2 0 1 1 0 2 1 0 3 0 21y t gy t gy t y t+ γ = α Φ − Φ θ + γℓ ℓ , (2)
где
0 1; 1,6;i i< α < = ( )( ) ( )
( )
1, 1
, 1,3;
0, 1
i
i
i
y t
y t i
y t
≥θ = =
<
( )i
v =Φ
( 2
2
)1
exp
22
v
i
ii
u x
du
−∞
−
−
σπσ
∫ ,
( ) ( ) 0
1/ , 1,2.iiy t y t y i= = (3)
1. Утверждается, что решения системы уравнений (1) с начальными усло-
виями (2) и при ограничениях (3) равномерно ограничены.
Чтобы доказать равномерную (не зависящую от (t)) ограниченность всех ре-
шений системы уравнений (1), достаточно доказать равномерную ограничен-
ность числа пролиферирующих клеток )(3 ty , так как остальные типы клеток
(как видно из (1)) являются их производными.
Найдем )(max 3 ty
t
. Для этого запишем решение )(3 ty в виде
( )
( ) ( ))(5 2 3
0 2
1
3 0 ,
t
t
t n v dv
y t C e +γ
α −γ + −Φ∫
=
ℓ
где ( ))( ( ))(0 0 1 1 0 2 1 01 .C a gy t gy t = Φ − Φ
ℓ ℓ
Т.А. ЛАЗЕБНАЯ
112 Компьютерная математика. 2010, № 1
Очевидно, что
( ) ( ))( )( ( ))(
)( ( ))( )( ( ))(
5 2 3 5 2 3
0 2 0 2
5 2 5 2
0 2
1 1
3 0 0
0 3 0 3
( )
1 1 .
t t
t i t
t n Ф v dv t n Ф i
t
t t
i t
y t a e a e
a e Ф i a e Ф t
+γ = +γ
α −γ + − α −γ + −
α −γ α −γ
= +γ
∫ ∑
≤ ≈ =
= − ≤ −∏
ℓ ℓ
Очевидно, что
)( ( ))(5 2
3lim 1 0t
t
e Ф tα −γ
→∞
− = и значение )(3 ty будет отлично от
нуля при ( ) 13 <tФ . Таким образом, можно найти константу
)( ( ))(5 2
0 3max 1
t
t
С a e Ф t
α −γ= − .
Используя вышеполученный результат, получаем
54
03
)(
03 1052,11019,0))(1(max)(max 25 ⋅=⋅⋅=Φ−== − ateatyC t
tt
γα
при 3 3 5 2114, 10, 0,086, 18x = σ = α = γ = (что соответствует реальным значени-
ям параметров модели (1)).
Докажем теперь, что число плазматических клеток )(4 ty равномерно огра-
ничено. Решением дифференциального уравнения при 1t〉γ и начальных усло-
виях (2)
4 1 1 1
3 1 3 1 1 6 4
1 1 0
( ) (lg ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
(lg ( ))
dy t y t
y t t t y t
dt y t
Φ − γ= − γ Φ − γ θ − γ − α
Φ
будет следующее выражение:
1
6 1
0
( )1 1 1
4 3 1 3 1
1 1 0
(lg ( ))
( ) ( ) ( )
(lg ( ))
t
t
t
y t
y t y e d
y t
−γ
−α −τ−γΦ − γ= τ − γ Φ τ − γ τ
Φ∫ .
Как было доказано выше, ;1052,1)( 5
3 ⋅≤ty ))((lg))((lg 01111 tyty Φ≤Φ –
в силу того, что )()( 011 tyty ≤ ; 1)(0 3 〈Φ〈 t .
Отсюда
1 1
6 1 6 1 6
0 0
( ) ( )
4 3 1( ) max ( )
t t
t t
t
t t
y t y t e d Q e e d
−γ −γ
−α −τ−γ −α −γ α τ≤ τ = τ =∫ ∫
6 1
6 1 6 1
( )
( ) ( ) 1
1 1
6 6 6
1 1
( 1)
t
t t
t
e Q
Q e e Q
−α −γ
−α −γ α −γ
→∞
−= − = →
α α α
,
где )(max 31 tyQ
t
= .
Учитывая, что 5
1 1052,1 ⋅=Q ,
5
71
4 2
6
1,52 10
( ) 1,52 10
10
Q
y t −
⋅≤ ≤ = ⋅
α
при 6 0,01α = .
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ГУМОРАЛЬНОЙ ИММУННОЙ РЕАКЦИИ …
Компьютерная математика. 2010, № 1 113
Аналогично можно доказать равномерную ограниченность количества анти-
тел и клеток-памяти, поскольку они также являются производными от количест-
ва пролиферирующих клеток. Число молекул антигена )()( 011 tyty = для всех
5,2
01 10)(1 ≤≤ ty из исследуемого диапазона значений.
2. Утверждается, что решения системы уравнений (1) при неотрицательных
условиях (2) – неотрицательны.
Решения первых двух уравнений системы (1) неотрицательны в силу усло-
вия, наложенного на них, а именно наличия функции ( ( )), 1,2iy t iθ = , на кото-
рую умножаются правые части этих уравнений.
Очевидно, что три последующих уравнения системы (1) могут быть пред-
ставлены в виде
( ) ( , )i
i i i
dy
t y g Y t
dt
= β + , (4)
где }{ 31, yyY = ; 0),( ≥tYgi , 5,3=i ; 0)( 00 ≥= ii yty ; 0≥t , ( )i tβ – постоян-
ные либо ограниченные функции. Тогда, проинтегрировав (4), можно записать
0
0
( ) ( )
0( ) ( , )
T T
i i
t u
d T d
i i i
t
y t y e g Y u e du
β τ τ β τ τ∫ ∫
= + ∫ . (5)
В силу неотрицательности ),(,0 tYgy ii и ограниченности ( )i tβ из (5)
следует неотрицательность )(tyi , 3, 5i = .
Теперь перейдем к исследованию зависимости решения начальной задачи
(1)–(2) от начальных значений (2) и параметров. Заметим, что исследование
зависимости решения начальной задачи (1)–(2) от начальных значений (2) и 0t
можно свести к задаче об изучении зависимости от параметров в правой части
системы (1). Поэтому сначала исследуем зависимость решений системы (1) от па-
раметров jα , 1, 6j = . Для этого покажем, что справедлива следующая теорема.
Теорема. Решение начальной задачи (1)–(2), определенное на отрезке
[ ]Htt +00 , , непрерывно по jα при любом jα из отрезка 0
j j jcα − α ≤ , 1, 6j = .
Доказательство. При каждом фиксированном jα , как показано в [2], на
отрезке [ ]Htt +00 , определены интегральные кривые – решение начальной за-
дачи (1)–(2). Меняя jα получаем на [ ]Htt +00 , семейство кривых ( , ),i jy t α
1, 4,i = 1, 6j = . Теорема будет доказана, если убедимся, что для любого 0jε 〉
существует ( )j jδ ε такое, что при j j∆α 〈δ , 1, 6j = справедливо неравенство
Т.А. ЛАЗЕБНАЯ
114 Компьютерная математика. 2010, № 1
| ( , ) ( , ) | ,i j j i j jy t y tα + ∆α − α 〈ε 1, 4,i = 1, 6j =
для любых jα и j jα + ∆α из отрезка 0
j j jcα − α ≤ .
Для этого воспользуемся леммой о дифференциальных неравенствах [5].
Пусть функция )(xz непрерывна и имеет кусочно-непрерывную при ][ Xxz ,0∈
производную, удовлетворяющую неравенству
,
dz
N z a
dx
≤ + (6)
где 0, 0N a≥ ≥ – положительные постоянные. (В точках разрыва производной
неравенству (6) удовлетворяют ее предельные значения). Тогда имеет место
оценка
),()( xsxz ≤ )Xxx ,( 0∈ ,
где )(xs – решение начальной задачи для линейного дифференциального
уравнения
,aNs
dx
ds += 0)()( 00 ≥≥= xzbxs .
Доказательство вышеприведенной теоремы начнем с третьего уравнения
системы (1). При каждом фиксированном 5α согласно теореме существования
[2] на отрезке [ ]Htt +00 , определена интегральная кривая – решение начальной
задачи (1)–(2). Меняя 5α , получаем на отрезке [ ]Htt +00 , семейство инте-
гральных кривых 3 5( , )y t α . Теорема будет доказана, если убедимся, что для лю-
бого 0ε〉 существует ( )δ ε такое, что при 5 j∆α 〈δ справедливо неравенство
3 5 5 3 5| ( , ) ( , ) |y t y tα + ∆α − α 〈ε
для любых 5α и 5 5α + ∆α из отрезка 0
5 5 5cα − α ≤ . Для этого, используя выше-
приведенную лемму о дифференциальных неравенствах, запишем
3 5 5 5 5 3 3 5 5( , ) ( ln(1 ( ))) ( , )
d
y t t y t
dt
α + ∆α = α + ∆α + − Φ α + ∆α ,
3 5 5 3 3 5( , ) ( ln(1 ( ))) ( , )
d
y t t y t
dt
α = α + − Φ α .
Вычитая одно соотношение из другого, получаем для разности
3 5 3 5 5 3 5( , ) ( , ) ( , ) :y t y t y t∆ ∆α = α + ∆α − α
3 5 5 5 3 3 5 5( , ) ( ln(1 ( ))) ( , )
d
y t t y t
dt
∆ ∆α = α + ∆α + − Φ α + ∆α −
– 5 3 3 5( ln(1 ( ))) ( , )t y tα + − Φ α =
5 5 3 3 5( ln(1 ( ))) ( , )t y t= α + ∆α + − Φ ∆ ∆α 5 3 5( , )y t+∆α α .
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ГУМОРАЛЬНОЙ ИММУННОЙ РЕАКЦИИ …
Компьютерная математика. 2010, № 1 115
В силу равномерной ограниченности сверху (относительно t ) 3 5( , )y t α
и непрерывности 3 3 5 5( ( , ), , )f y t tα α по совокупности аргументов для любого
5 0ε 〉 существует 5 5( )δ ε такое, что если
5
'
5∆α 〈δ , то
'
3 3 5 5 5 3 3 5 5 5 3 5 5( ( , ), , ) ( ( , ), , ) ( , )f y t t f y t t y tα α + ∆α − α α = ∆α α 〈ε
равномерно относительно [ ]Httt +∈ 00 , .
Исходя из того, что 5 5 3 5 5 4max( ln(1 ( ))) ,
t
t Nα + ∆α + − Φ = α + ∆α =
получаем '
3 5 4 3 5 5( , ) ( , )
d
y t N y t
dt
∆ ∆α 〈 ∆ ∆α + ε .
Согласно лемме о дифференциальных неравенствах
4 0 4
' '
( ) '5 5
3 5 5 5
4 4
( , ) ( 1) ( 1)N t t N Hy t e e
N N
−ε ε∆ ∆α 〈 − ≤ − = ε Ω ,
где 5Ω – не зависящая от '
5ε постоянная.
Выбирая ' '' 5
5 5 5
5
( )
εε 〈δ ε =
Ω
получаем,
3 5 5( , )y t∆ ∆α 〈ε при 0 ' ''
5 5 5 5 5 5 5( ( )) ( )α − α 〈δ δ ε = δ ε ,
что и требовалось доказать.
Для четвертого уравнения системы уравнений (1) (простоты ради не учиты-
ваем временное запаздывание) запишем
1 1
4 6 6 3 3 6 6 4 6 6
1 1 0
(lg ( ))
( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )
(lg ( ))
d y t
y t y t t y t
dt y t
Φα + ∆α = Φ − α + ∆α α + ∆α
Φ
,
1 1
4 6 3 3 6 6 4 6
1 1 0
(lg ( ))
( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )
(lg ( ))
d y t
y t y t t y t
dt y t
Φα = Φ − α + ∆α α
Φ
.
Вычитая одно соотношение из другого, получаем для разности
4 6 4 6 6 4 6( , ) ( , ) ( , ) :y t y t y t∆ ∆α = α + ∆α − α
4 6 6 6 4 6 6 6 4 6( , ) ( ) ( , ) ( , )
d
y t y t y t
dt
∆ ∆α = − α + ∆α α + ∆α + α α =
6 6 4 6 6 4 6( ) ( , ) ( , )y t y t= − α + ∆α ∆ ∆α + ∆α α .
В силу равномерной ограниченности (относительно t ) 4 6( , )y t α и непре-
рывности 4 4 6 6( ( , ), , )f y t tα α по совокупности аргументов для любого 6 0ε 〉
существует 6 6( )δ ε такое, что если
6
'
6−∆α 〈δ , то
'
4 4 6 6 6 4 4 6 6 6 4 6 6( ( , ), , ) ( ( , ), , ) ( , )f y t t f y t t y tα α + ∆α − α α = −∆α α 〈ε
равномерно относительно [ ]Httt +∈ 00 , .
Т.А. ЛАЗЕБНАЯ
116 Компьютерная математика. 2010, № 1
Обозначая 6 6 5( ) N− α + ∆α = , получаем
'
4 6 5 4 6 6( , ) ( , )
d
y t N y t
dt
∆ ∆α 〈 ∆ ∆α + ε .
Согласно лемме о дифференциальных неравенствах
5 0 5
' '
( ) '6 6
4 6 6 6
5 5
( , ) ( 1) ( 1)N t t N Hy t e e
N N
−ε ε∆ ∆α 〈 − ≤ − = ε Ω ,
где 6Ω – не зависящая от '
6ε постоянная.
Выбирая ' '' 6
6 6 6
6
( )
εε 〈δ ε =
Ω
получаем,
4 6 6( , )y t∆ ∆α 〈ε при 0 ' ''
6 6 6 6 6 6 6( ( )) ( )α − α 〈δ δ ε = δ ε , что и требовалось доказать.
Аналогично можно доказать непрерывность решения задачи (1)–(2) на
отрезке [ ]Htt +00 , по другим параметрам jα , 1, 4j = [6].
Следствие. Решение начальной задачи (1)–(2), определенное на отрезке
[ ]Htt +00 , , непрерывно зависит от начальных значений 0
iy , 1, 5i = и 0t .
Исследование зависимости решения начальной задачи (1)–(2) от начальных
значений 0
iy и 0t довольно просто сводится к задаче об изучении зависимости
от параметров в правой части системы путем замены iii zyy += 0 , 1, 5i = ,
0t t= + τ . Учитывая, что 0
iii yyz −= , записываем
{ }( { } { } )0
0, 1, 5 , , , 1, 6 , , 1, 5 ,i
i i j i
dz
z i j y i t
d
= ϕ = τ α = =
τ
, 1, 5i = , (7)
{ }( { } { } )0
0, 1,5 , , , 1,6 , , 1,5 ,i i j iz i j y i tϕ = τ α = = ≡
{ }{ }( )0
0, 1,5, , 1,6 .i i i jf y z i t j≡ + = + τ α =
При 0tt = переменная 0=τ и начальные значения для iz являются фикси-
рованными, т.е. 0)()0( 0
0 =−= iii ytyz .
Значения 0
iy и 0t входят в правые части (7) как параметры наряду с пара-
метрами jα , 1, 6j = . Таким образом, задача сводится к исследованию зависи-
мости iz от параметров 0
iy и 0t .
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ГУМОРАЛЬНОЙ ИММУННОЙ РЕАКЦИИ …
Компьютерная математика. 2010, № 1 117
Т.О. Лазебна
АНАЛІТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ МОДЕЛІ ГУМОРАЛЬНОЇ ІМУННОЇ РЕАКЦІЇ
НА АНТИГЕН. I
Досліджуються питання рівномірної обмеженості, невід’ємності та неперервної залежності
від початкових значень і параметрів рішень системи рівнянь, яка описує модель гуморальної
імунної реакції на молекулярно-дисперсний антиген, що не розмножується. Модель базуєть-
ся на ймовірнісному підході до опису взаємодій В-лімфоцитів та їх продуктів з антигеном.
T.A. Lazebna
AN ANALITICAL INVESTIGATION OF HUMORAL IMMUNE REACTION
ON ANTIGEN MODEL. I
The aspects of non-negativity, uniform boundarity and continuous dependency on initial conditions
and parameters of the solutions of system of equations are investigated. The system presented
describes the model of humoral immune reaction on non-reproducting molecular-disperse antigen,
which is based on probability approach to the description of B-lymphocytes and its products with
antigen interaction.
1. Лазебная Т.А. О некоторых вопросах моделирования иммунной реакции гуморального
типа // Теорія оптимальних рішень. – 2009. – № 8. – С. 154–160.
2. Иванов В.В., Яненко В.М., Дынько Т.А. О математическом и программном обеспечении для
моделирования иммунной реакции организма гуморального типа // Математическое обес-
печение и программно-технические средства для моделирования развивающихся систем.
– Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1986. – С. 133–143.
3. Иванов В.В., Яненко В.М., Фонталин Л.Н., Нестеренко В.Г. Моделирование идиотип-
антиидиотипических взаимодействий иммунной сети с учетом деления лимфоцитов на
субпопуляции // Математические модели в иммунологии и медицине. – М.: Мир, 1986.
– С. 123–135.
4. Дынько Т.А. Исследование математической модели гуморальной иммунной реакции на
антиген // Моделирование функционирования развивающихся систем с изменяющейся
структурой. – Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1989. – С. 49–57.
5. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука,
1985. – 231 с.
6. Дынько Т.А. Исследование математической модели гуморальной иммунной реакции на
антиген (зависимость решений от начальных значений и параметров) // Распознавание и
оптимальное управление развитием систем. – Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова
АН УССР, 1990. – С. 23–27.
Получено 15.12.2009
Îá àâòîðå:
Лазебная Татьяна Александровна,
научный сотрудник Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
E-Mail: tanyalazebna@yahoo.com
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84574 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:02:13Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лазебная, Т.А. 2015-07-10T14:48:28Z 2015-07-10T14:48:28Z 2010 Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген / Т.А. Лазебная // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 110-117. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84574 519.6 Исследуются вопросы равномерной ограниченности, неотрицательности и непрерывной зависимости от начальных значений и параметров решений системы уравнений, представляющей модель гуморальной иммунной реакции на неразмножающийся молекулярно-дисперсный антиген. Модель основана на вероятностном подходе к описанию взаимодействий В-лимфоцитов и их продуктов с антигеном. Досліджуються питання рівномірної обмеженості, невід’ємності та неперервної залежності від початкових значень і параметрів рішень системи рівнянь, яка описує модель гуморальної імунної реакції на молекулярно-дисперсний антиген, що не розмножується. Модель базується на ймовірнісному підході до опису взаємодій В-лімфоцитів та їх продуктів з антигеном. The aspects of non-negativity, uniform boundarity and continuous dependency on initial conditions and parameters of the solutions of system of equations are investigated. The system presented describes the model of humoral immune reaction on non-reproducting molecular-disperse antigen, which is based on probability approach to the description of B-lymphocytes and its products with antigen interaction. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математические модели в биологии и медицине Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген Аналітичне дослідження моделі гуморальної імунної реакції на антиген. I An analitical investigation of humoral immune reaction on antigen model. I Article published earlier |
| spellingShingle | Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген Лазебная, Т.А. Математические модели в биологии и медицине |
| title | Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген |
| title_alt | Аналітичне дослідження моделі гуморальної імунної реакції на антиген. I An analitical investigation of humoral immune reaction on antigen model. I |
| title_full | Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген |
| title_fullStr | Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген |
| title_full_unstemmed | Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген |
| title_short | Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген |
| title_sort | аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на антиген |
| topic | Математические модели в биологии и медицине |
| topic_facet | Математические модели в биологии и медицине |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84574 |
| work_keys_str_mv | AT lazebnaâta analitičeskoeissledovaniemodeligumoralʹnoiimmunnoireakciinaantigen AT lazebnaâta analítičnedoslídžennâmodelígumoralʹnoíímunnoíreakcíínaantigeni AT lazebnaâta ananaliticalinvestigationofhumoralimmunereactiononantigenmodeli |