Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач

Рассмотрены задачи оптимального управления в коэффициентах главной части нелинейных эллиптических уравнений. Показано, что такие задачи разрешимы на классе обобщенно соленоидальных управлений....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Капустян, В.Е., Когут, О.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Назва видання:	Компьютерная математика
Теми:	Теория и методы оптимизации
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84577
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 138-144. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84577
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-845772025-02-09T13:57:10Z Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач Соленоїдальні керування в коефіцієнтах нелінійних еліптичних крайових задач Solenoidal controls in coefficients of nonlinear elliptic boundaryvalue problems Капустян, В.Е. Когут, О.П. Теория и методы оптимизации Рассмотрены задачи оптимального управления в коэффициентах главной части нелинейных эллиптических уравнений. Показано, что такие задачи разрешимы на классе обобщенно соленоидальных управлений. Розглядаються задачі оптимального керування коефіцієнтами головної частини нелінійних еліптичних рівнянь. Показана їх розв’язність на класі узагальнено соленоїдальних керувань. In the paper, the problems of optimal control of coefficients of the main part of nonlinear elliptic equations are considered. Solvability of such problems in the class of generalized solenoidal controls is proved. 2010 Article Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 138-144. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84577 517.9:519.3 ru Компьютерная математика application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Теория и методы оптимизации Теория и методы оптимизации
spellingShingle	Теория и методы оптимизации Теория и методы оптимизации Капустян, В.Е. Когут, О.П. Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач Компьютерная математика
description	Рассмотрены задачи оптимального управления в коэффициентах главной части нелинейных эллиптических уравнений. Показано, что такие задачи разрешимы на классе обобщенно соленоидальных управлений.
format	Article
author	Капустян, В.Е. Когут, О.П.
author_facet	Капустян, В.Е. Когут, О.П.
author_sort	Капустян, В.Е.
title	Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
title_short	Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
title_full	Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
title_fullStr	Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
title_full_unstemmed	Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
title_sort	соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Теория и методы оптимизации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84577
citation_txt	Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 138-144. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Компьютерная математика
work_keys_str_mv	AT kapustânve solenoidalʹnyeupravleniâvkoéfficientahnelinejnyhélliptičeskihkraevyhzadač AT kogutop solenoidalʹnyeupravleniâvkoéfficientahnelinejnyhélliptičeskihkraevyhzadač AT kapustânve solenoídalʹníkeruvannâvkoefícíêntahnelíníjnihelíptičnihkrajovihzadač AT kogutop solenoídalʹníkeruvannâvkoefícíêntahnelíníjnihelíptičnihkrajovihzadač AT kapustânve solenoidalcontrolsincoefficientsofnonlinearellipticboundaryvalueproblems AT kogutop solenoidalcontrolsincoefficientsofnonlinearellipticboundaryvalueproblems
first_indexed	2025-11-26T14:06:14Z
last_indexed	2025-11-26T14:06:14Z
_version_	1849862102664085504
fulltext	138 Компьютерная математика. 2010, № 1 Рассмотрены задачи оптималь- ного управления в коэффициентах главной части нелинейных эллип- тических уравнений. Показано, что такие задачи разрешимы на классе обобщенно соленоидальных управлений.  В.Е. Капустян, О.П. Когут, 2010 ÓÄÊ 517.9:519.3 Â.Å. ÊÀÏÓÑÒßÍ, Î.Ï. ÊÎÃÓÒ ÑÎËÅÍÎÈÄÀËÜÍÛÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß Â ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀÕ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÝËËÈÏÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÊÐÀÅÂÛÕ ÇÀÄÀ× Введение. Основным объектом исследова- ния данной работы выступает задача оптимального управления в коэффициентах главной части нелинейной эллиптической краевой задачи с условиями Дирихле либо Неймана на границе. Цель работы – установ- ление условий разрешимости таких задач. Исследованию такого класса задач посвя- щена достаточно обширная литература (см., например, [1–3]). Но, проблема их раз- решимости (без предположения о гладкости допустимых управлений, как это сделано в работах [2, 3]) остается открытой (см. [1, 4]). Как правило, к несуществованию опти- мальных решений даже в линейном случае приводит отсутствие непрерывной зависи- мости решений краевых задач от параметров управления (см. [1]). Разрешимость задачи оптимального управления в коэффициентах нелинейной эллиптической задачи Дирихле. Рассмот- рим эллиптическую задачу Дирихле. Пусть Ω – открытое ограниченное множество с границей ∂ Ω , непрерывной по Липшицу. Пусть 1ξ и 2ξ – элементы пространства ( )L∞ Ω такие, что 1 20 ( ) ( ) п. в. наx x< β ≤ ξ ≤ ξ Ω . (1) Пусть 1 ( )L∞ Ωα = ξ , (1, )p ∈ +∞ – задан- ное, а , ( )pM α β Ω – класс квадратных сим- метричных матриц , 1 ,( ) { ( )}i j i j nx a x ≤ ≤=U таких, что СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КОЭФФИЦИЕНТАХ … Компьютерная математика. 2010, № 1 139 , 2\| ( ) \| ( ) п. в. на , {1,2,..., },i ja x x i j n≤ ξ Ω ∀ ∈ (2) ( )2 2( )([ ] [ ] ), 0 п. в. на , n p px − −ζ ζ − η η ζ − η ≥ Ω R U (3) 2 , 1 , 1 ( ) \| \| ( ) \| \| п. в. на , n p p i j i i j p i j a x x− = η η η ≥ ξ η Ω∑ (4) где 2 2 2 2 1 2[ ] diag{\| \| ,\| \| ,...,\| \| },p p p p n − − − −η = η η η 1 \| \| \| \| n p p p i i= η = η∑ .n∀η∈R Рассмотрим нелинейный оператор , 1 1: ( ) ( ) ( )p p qB M W Wα β −Ω × Ω → Ω � : 2 2 0( , ) div( ( )[( ) ] y)+a ( ) \| \| ,p pB y x y x y y− −= ∇ ∇U U (5) 0 0a ( ) 0для п. в. ; a ( ) ( ).x x x L∞≥ β > ∈Ω ∈ Ω (6) Свяжем с оператором B для произвольных 1, ( )py v W∈ Ω � форму: 2 2 0 1 , =1 ( , ), = ( ) ( ) \| \| . ( ) pn p ij j j iW i jp y y v B y v a x dx a x y yvdx x x x − − Ω Ω  ∂ ∂ ∂ 〈 〉 +  ∂ ∂ ∂Ω   ∑∫ ∫� U (7) Пусть задан функционал стоимости 1: ( ) ( ) .n n pL L W× ∞ Ω × Ω → � R С множе- ством , ( )pM α β Ω , оператором B , заданным распределением 1( )qf W −∈ Ω и функционалом L свяжем следующую задачу оптимального управления: ( ) inf ,L y →U (8) ( ) = ,B y fU (9) , 1( ) ( ) ( ).p py M W ° α β∈ Ω × ΩU (10) Пару 1( ) ( ) ( )n n py L W× ∞∈ Ω × Ω � U будем называть допустимым решением для задачи (8)–(10), если она связана соотношениями (9)–(10). Пусть Ξ обозначает множество всех допустимых решений задачи (8)–(10). Задачу оптимального управления называют регулярной, если множество ее допустимых решений непустое. Из соотношений (3)–(6), используя известные оценки (см. [4]), имеем: 1 2 1 2 1 ( ) ( ), ( )Wp B y B y y y〈 − − 〉 ≥ Ω � U U ( )2 2 1 1 2 2 1 2 1 2\| \| \| \| )( > 0приp py y y y y y dx y y− − Ω ≥ β − − ≠∫ . (11) В.Е. КАПУСТЯН, О.П. КОГУТ 140 Компьютерная математика. 2010, № 1 Используя (11), схему доказательства свойств деминепрерывности и коэрцитивности для оператора ( ),B ⋅U �, взятую из работы [4], можно сделать следующий вывод. Теорема 1. Пусть выполняются исходные предположения (1)–(4). Тогда задача оптимального управления (8)–(10) регулярна. Замечание 1. Типичными представителями класса , ( )pM α β Ω являются матрицы: 1 2 1 1diag{ ( ), ( ),..., ( )}, ( ) ( ) ( )n ix x x x x x= δ δ δ ξ ≤ δ ≤ ξU п.в. на , 1, .i nΩ ∀ = Пусть τ – произведение * -слабой топологии в пространстве ( )n nL × ∞ Ω и слабой топологии пространства 1( )pW Ω . Множество , pM α β , как следует из его определения, секвенциально компактно относительно * -слабой топологии в ( )n nL × ∞ Ω . Вместе с тем, свойство τ -замкнутости для множества допустимых пар Ξ в общем случае не выполняется (см. контр-примеры в [1]), а значит задача оптимального управления (8)–(10) может не иметь решений. С целью добиться выполнения свойства τ -замкнутости множества Ξ , следуя [4], введем в рассмотрение множество обобщенно соленоидальных матриц. Пусть 1 2, ,..., n Q Q Q образуют совокупность непустых выпуклых компактных множеств пространства 1( )qW − Ω . Рассмотрим множество [ ]1 2= { = , , , ( ) : div , =1,2, , },n n n i iV L Q i n× ∞∈ Ω ∈ ∀u u u u… …U (12) где значение оператора div на векторе ( )n qL∈ Ωu определяется как элемент про- странства 1( )qW − Ω такой, что 1 div , = ( , ) ( ) n Wp dx Ω 〈 φ〉 − ∇φ Ω ∫u u � R 1( ).pW∀φ∈ Ω � Введем новое множество допустимых управлений ,= ( )sol pU V M α β∩ Ω (13) предполагая, что , ( )pV M α β∩ Ω ≠ ∅ . Используя схему доказательства леммы 3 из [4], можно установить следующий результат. Лемма 1. solU – секвенциально * -слабо компактное множество в ( )n nL × ∞ Ω . Исходя из переопределения множества допустимых управлений, перейдем к новой задаче оптимального управления: при заданном 1( )qf W −∈ Ω найти ( , ) inf ,L y →U (14) ( , ) = ,B y fU (15) 1, ( ),sol pU y W∈ ∈ Ω � U (16) где оператор B задается правилом (5)–(6). СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КОЭФФИЦИЕНТАХ … Компьютерная математика. 2010, № 1 141 Множеством допустимых решений solΞ задачи (14)–(16) будем называть совокупность пар 1( , ) ( ) ( )n n py L W× ∞∈ Ω × Ω � U , удовлетворяющих (15)–(16). Важную роль при исследовании топологических свойств множества Ξ играют следующие результаты (см. схему доказательства в [4]): Лемма 2. Пусть { } ( )n k k qf L∈ ⊂ ΩN , { } ( )n k k pg L∈ ⊂ ΩN – последовательности вектор-функций такие, что 0kf f→ слабо в ( )n qL Ω и 0kg g→ слабо в ( )n pL Ω при k → ∞ ( = / ( 1)q p p − ). Дополнительно предположим, что {div }k kf ∈N – компактная последовательность в 1( )qW − Ω , а rot = 0, .kg k∀ ∈N Тогда ( ) ( )0 0 0lim , = , , ( ).n nk k k f g dx f g dx C∞ →∞ Ω Ω φ φ ∀φ∈ Ω∫ ∫R R Теорема 2. Пусть 1( )qf W −∈ Ω – заданное распределение. Пусть выполня- ются условия (1)–(4), а множество допустимых управлений solU для задачи (14)–(16) непустое. Тогда solΞ – секвенциально τ -замкнутое подмножество пространства 1( ) ( )n n pL W× ∞ Ω × Ω � . Теорема 3. Пусть solU ≠ ∅ , выполняются условия (1)–(4) и функционал 1: ( )sol pL U W× Ω → � R в задаче (14)–(16) τ -полунепрерывный снизу. Тогда задача оптимального управления (14)–(16) имеет непустое множество решений. Заметим, что для доказательства теоремы 3 достаточно установить выпол- нение для оператора B не свойства ( )M , как это делалось в работах [4] (см. теорему 1) и [5], а его можно заменить более слабым свойством ( )ΞM : из того, что ( , )k ku yΞ ∋ , ku u→ ∗ -слабо в U , ky y→ слабо в X , и неравен- ства lim ( , ), ,k k k X X k B u y y d y →∞ 〈 〉 ≤ 〈 〉 следует, что ( , ) ( , )k kB u y B u y→ слабо в X . Что касается необходимых условий оптимальности для задачи (14)–(16), то их можно получить, привлекая понятие квазисопряженной системы, (см. [6]). Разрешимость задачи оптимального управления в коэффициентах эллиптической задачи Неймана. Рассмотрим задачу оптимального управления в коэффициентах эллиптической краевой задачи Неймана и покажем, что она разрешима на множестве solU . Основным базовым пространством в этой задаче выступает 1( ) ( )n n pL W× ∞ Ω × Ω . В этом случае пространство ( )1( )pW ∗ Ω можно В.Е. КАПУСТЯН, О.П. КОГУТ 142 Компьютерная математика. 2010, № 1 представить в виде прямой суммы ( )1 1/( ) ( )q q pW B ∗− Ω ⊕ ∂Ω , где 1/ ( )q pB ∂Ω обозначает пространство Бесова, а именно, пространство следов на ∂ Ωфункций из 1( )pW Ω . Для каждой матрицы , 1 , ,= { ( )} ( )i j i j n pa x M α β ≤ ≤ ∈ ΩU и заданных функций ( )qf L∈ Ω и ( )1/ ( )q pg B ∗ ∈ ∂Ω рассмотрим краевую задачу Неймана 2 2 0 , 1 ( ) ( ) \| \| = в , pn p ij i j ji j y y a x a x y y f x x x − − =  ∂ ∂ ∂  + Ω  ∂ ∂ ∂   ∑ (17) = на B y g ∂ ∂Ω ∂ν , (18) где 2 , =1 = ( ) cos( , ) pn ij i B j ji j y y y a x x x x − ∂ ∂ ∂ ν ∂ν ∂ ∂∑ , ν – вектор единичной внешней норма- ли к границе∂ Ω . С задачей (17)–(18) будем связывать оператор ( ), 1 1 1/ 1 2: ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , ) = ( , ) ( , ),q p p q pB M W W B B y B y B y ∗α β −Ω × Ω → Ω ⊕ ∂Ω ⊕U U U (19) 2 2 1 0( , ) = div ( )[( ) ] ( ) \| ,p pB y x y y a x y− − − ∇ ∇ + U U ( )2 2 0 0( , ) ( ) ( ) , ,n pB y x y y− = ∆γ ∆γ ν  R U U (20) где 1 1/ 0 : ( ) ( )q p pW Bγ Ω → ∂Ω – оператор следа для функций из 1( )pW Ω на ∂ Ω . Для того, чтобы определить слабое решение задачи (17)–(18) введем в рас- смотрение класс вектор-функций { }( ) = ( ) \| div ( ) .n q qX L LΩ ∈ Ω ∈ Ωu u Используя аргументы, приведенные в [7], легко показать, что для элементов этого пространства можно определить понятие слабого следа на ∂ Ω , и для произвольной пары функций 1( , ) ( ) ( )pv X W∈ Ω × Ωu справедлива формула Стокса ( ) 0 1/, div = , , ( )n qB p v v dx v Ω  ∇ + 〈γ γ 〉  ∂Ω∫ uu u R где γu – слабый след ( , ) nνu R на ∂ Ω . Исходя из этой формулы, с оператором B можно связать форму (7) для любых 1, ( )py v W∈ Ω . Тогда, при каждом , ( )pM α β∈ ΩU слабым решением задачи Неймана будем называть элемент 1( )py W∈ Ω , который при всех 1( )pv W∈ Ω удовлетворяет тождество СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КОЭФФИЦИЕНТАХ … Компьютерная математика. 2010, № 1 143 ( )2 2 0( ) ( ) , ( ) \| \| =p p n x y y v dx a x y yvdx− − Ω Ω  ∇ ∇ ∇ + ∫ ∫U R 1/0= , .( )qBp f vdx g v Ω + γ ∂Ω∫ (21) Рассмотрим задачу оптимального управления: ( , ) inf ,L y →U (22) 1 2( , ) = , ( , ) = ,B y f B y gU U (23) 1, ( ).sol pU y W∈ ∈ ΩU (24) Множеством допустимых решений solΞ задачи (22)–(24) будем называть совокупность пар 1( , ) ( )sol py U W∈ × ΩU , связанных между собой интегральным тождеством (21). По аналогии с предыдущим разделом можно показать, что оператор ( ), 1 1: ( ) ( ) ( )p p pB M W Wα β Ω × Ω → Ω – строго монотонен, коэрцитивен и деминепрерывен. Следовательно задача (22)–(24) регулярна. Тогда, основываясь на лемме 4, несложно получить следующий результат. Теорема 4. Пусть выполняются предположения (1)–(4), а множество solU непустое. Тогда для любых ( )qf L∈ Ω и ( )1/ ( )q pg B ∗ ∈ ∂ Ω множество допустимых решений solΞ задачи (22)–(24) непустое и секвенциально τ -замкнутое. Следует отметить, что в этом случае доказательство разрешимости задачи (22)–(24) полностью укладывается в схему доказательства теоремы 1 из [4]. Поэтому, привлекая свойство ( )ΞM для оператора В, которое является след- ствием теоремы 4, можно сделать вывод. Утверждение. Пусть множество допустимых обобщенно соленоидальных управлений solU непустое и функционал 1: ( )sol pL U W× Ω → R в задаче (14)–(16) τ -полунепрерывен снизу. Тогда для любых ( )qf L∈ Ω и ( )1/ ( )q pg B ∗ ∈ ∂ Ω задача оптимального управления (22)–(24) разрешима. Необходимые условия оптимальности для задачи (22)–(24) можно получить, используя методику из [6]. Заключение. Таким образом, в работе показано, что задачи оптимального управления коэффициентами главной части нелинейных эллиптических урав- нений разрешимы в классе обобщенно соленоидальных матриц. В.Е. КАПУСТЯН, О.П. КОГУТ 144 Компьютерная математика. 2010, № 1 В.О. Капустян, О.П. Когут СОЛЕНОЇДАЛЬНІ КЕРУВАННЯ В КОЕФІЦІЄНТАХ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛІПТИЧНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ Розглядаються задачі оптимального керування коефіцієнтами головної частини нелінійних еліптичних рівнянь. Показана їх розв’язність на класі узагальнено соленоїдальних керувань. V.O. Kapustyan, O.P. Kogut SOLENOIDAL CONTROLS IN COEFFICIENTS OF NONLINEAR ELLIPTIC BOUNDARY- VALUE PROBLEMS In the paper, the problems of optimal control of coefficients of the main part of nonlinear elliptic equations are considered. Solvability of such problems in the class of generalized solenoidal controls is proved. 1. Райтум У.Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. – Рига: Зинатне, 1989. – 274 с. 2. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. – М.: Наука, 1987. – 366 с. 3. Тагиев Р.К. Оптимальное управление коэффициентами в параболических системах // Дифференциальные уравнения. – 2009. – 45, № 10. – С. 1492–1501. 4. Капустян В.О., Когут О.П. Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами в головній частині нелінійного еліптичного оператора // Нелінійні коливання. – 2009. – 12, № 1. – С. 59 – 72. 5. Иваненко В.И., Мельник В.И. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. – Киев: Наук. думка, 1988. – 324 с. 6. Cеровайский С.Я. Вариационнные неравенства в нелинейных задачах оптимального управления // Методы и средства математического моделирования. – Алма-Ата, 1977. – С. 156–169. 7. Anzellotti G. Pairings Between Measures and Bounded Functions and Compensated Compactness. – New York: Academic Press, 1975. – 245 p. Получено 07.04.2009 Îá àâòîðàõ: Капустян Владимир Емельянович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования экономических систем НТУ Украины «КПИ», e-mail: kapustyanv@ukr.net Когут Ольга Петровна, ассистент кафедры математического моделирования экономических систем НТУ Украины «КПИ». e-mail: kogut_olga@bk.ru

Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач

Репозитарії

Схожі ресурси