Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач

Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач

Рассмотрены задачи оптимального управления в коэффициентах главной части нелинейных эллиптических уравнений. Показано, что такие задачи разрешимы на классе обобщенно соленоидальных управлений. Розглядаються задачі оптимального керування коефіцієнтами головної частини нелінійних еліптичних рівнянь. П...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Компьютерная математика
Дата:2010
Автори: Капустян, В.Е., Когут, О.П.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Теми:
Теория и методы оптимизации
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84577
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 138-144. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84577
record_format dspace
spelling Капустян, В.Е.
Когут, О.П.
2015-07-10T14:53:02Z
2015-07-10T14:53:02Z
2010
Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 138-144. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
ХХХХ-0003
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84577
517.9:519.3
Рассмотрены задачи оптимального управления в коэффициентах главной части нелинейных эллиптических уравнений. Показано, что такие задачи разрешимы на классе обобщенно соленоидальных управлений.
Розглядаються задачі оптимального керування коефіцієнтами головної частини нелінійних еліптичних рівнянь. Показана їх розв’язність на класі узагальнено соленоїдальних керувань.
In the paper, the problems of optimal control of coefficients of the main part of nonlinear elliptic equations are considered. Solvability of such problems in the class of generalized solenoidal controls is proved.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Компьютерная математика
Теория и методы оптимизации
Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
Соленоїдальні керування в коефіцієнтах нелінійних еліптичних крайових задач
Solenoidal controls in coefficients of nonlinear elliptic boundaryvalue problems
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
spellingShingle Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
Капустян, В.Е.
Когут, О.П.
Теория и методы оптимизации
title_short Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
title_full Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
title_fullStr Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
title_full_unstemmed Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
title_sort соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач
author Капустян, В.Е.
Когут, О.П.
author_facet Капустян, В.Е.
Когут, О.П.
topic Теория и методы оптимизации
topic_facet Теория и методы оптимизации
publishDate 2010
language Russian
container_title Компьютерная математика
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Соленоїдальні керування в коефіцієнтах нелінійних еліптичних крайових задач
Solenoidal controls in coefficients of nonlinear elliptic boundaryvalue problems
description Рассмотрены задачи оптимального управления в коэффициентах главной части нелинейных эллиптических уравнений. Показано, что такие задачи разрешимы на классе обобщенно соленоидальных управлений. Розглядаються задачі оптимального керування коефіцієнтами головної частини нелінійних еліптичних рівнянь. Показана їх розв’язність на класі узагальнено соленоїдальних керувань. In the paper, the problems of optimal control of coefficients of the main part of nonlinear elliptic equations are considered. Solvability of such problems in the class of generalized solenoidal controls is proved.
issn ХХХХ-0003
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84577
citation_txt Соленоидальные управления в коэффициентах нелинейных эллиптических краевых задач / В.Е. Капустян, О.П. Когут // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 1. — С. 138-144. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT kapustânve solenoidalʹnyeupravleniâvkoéfficientahnelineinyhélliptičeskihkraevyhzadač
AT kogutop solenoidalʹnyeupravleniâvkoéfficientahnelineinyhélliptičeskihkraevyhzadač
AT kapustânve solenoídalʹníkeruvannâvkoefícíêntahnelíníinihelíptičnihkraiovihzadač
AT kogutop solenoídalʹníkeruvannâvkoefícíêntahnelíníinihelíptičnihkraiovihzadač
AT kapustânve solenoidalcontrolsincoefficientsofnonlinearellipticboundaryvalueproblems
AT kogutop solenoidalcontrolsincoefficientsofnonlinearellipticboundaryvalueproblems
first_indexed 2025-11-26T14:06:14Z
last_indexed 2025-11-26T14:06:14Z
_version_ 1850624337045880832
fulltext 138 Компьютерная математика. 2010, № 1 Рассмотрены задачи оптималь- ного управления в коэффициентах главной части нелинейных эллип- тических уравнений. Показано, что такие задачи разрешимы на классе обобщенно соленоидальных управлений.  В.Е. Капустян, О.П. Когут, 2010 ÓÄÊ 517.9:519.3 Â.Å. ÊÀÏÓÑÒßÍ, Î.Ï. ÊÎÃÓÒ ÑÎËÅÍÎÈÄÀËÜÍÛÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß Â ÊÎÝÔÔÈÖÈÅÍÒÀÕ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÝËËÈÏÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÊÐÀÅÂÛÕ ÇÀÄÀ× Введение. Основным объектом исследова- ния данной работы выступает задача оптимального управления в коэффициентах главной части нелинейной эллиптической краевой задачи с условиями Дирихле либо Неймана на границе. Цель работы – установ- ление условий разрешимости таких задач. Исследованию такого класса задач посвя- щена достаточно обширная литература (см., например, [1–3]). Но, проблема их раз- решимости (без предположения о гладкости допустимых управлений, как это сделано в работах [2, 3]) остается открытой (см. [1, 4]). Как правило, к несуществованию опти- мальных решений даже в линейном случае приводит отсутствие непрерывной зависи- мости решений краевых задач от параметров управления (см. [1]). Разрешимость задачи оптимального управления в коэффициентах нелинейной эллиптической задачи Дирихле. Рассмот- рим эллиптическую задачу Дирихле. Пусть Ω – открытое ограниченное множество с границей ∂ Ω , непрерывной по Липшицу. Пусть 1ξ и 2ξ – элементы пространства ( )L∞ Ω такие, что 1 20 ( ) ( ) п. в. наx x< β ≤ ξ ≤ ξ Ω . (1) Пусть 1 ( )L∞ Ωα = ξ , (1, )p ∈ +∞ – задан- ное, а , ( )pM α β Ω – класс квадратных сим- метричных матриц , 1 ,( ) { ( )}i j i j nx a x ≤ ≤=U таких, что СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КОЭФФИЦИЕНТАХ … Компьютерная математика. 2010, № 1 139 , 2| ( ) | ( ) п. в. на , {1,2,..., },i ja x x i j n≤ ξ Ω ∀ ∈ (2) ( )2 2( )([ ] [ ] ), 0 п. в. на , n p px − −ζ ζ − η η ζ − η ≥ Ω R U (3) 2 , 1 , 1 ( ) | | ( ) | | п. в. на , n p p i j i i j p i j a x x− = η η η ≥ ξ η Ω∑ (4) где 2 2 2 2 1 2[ ] diag{| | ,| | ,...,| | },p p p p n − − − −η = η η η 1 | | | | n p p p i i= η = η∑ .n∀η∈R Рассмотрим нелинейный оператор , 1 1: ( ) ( ) ( )p p qB M W Wα β −Ω × Ω → Ω � : 2 2 0( , ) div( ( )[( ) ] y)+a ( ) | | ,p pB y x y x y y− −= ∇ ∇U U (5) 0 0a ( ) 0для п. в. ; a ( ) ( ).x x x L∞≥ β > ∈Ω ∈ Ω (6) Свяжем с оператором B для произвольных 1, ( )py v W∈ Ω � форму: 2 2 0 1 , =1 ( , ), = ( ) ( ) | | . ( ) pn p ij j j iW i jp y y v B y v a x dx a x y yvdx x x x − − Ω Ω  ∂ ∂ ∂ 〈 〉 +  ∂ ∂ ∂Ω   ∑∫ ∫� U (7) Пусть задан функционал стоимости 1: ( ) ( ) .n n pL L W× ∞ Ω × Ω → � R С множе- ством , ( )pM α β Ω , оператором B , заданным распределением 1( )qf W −∈ Ω и функционалом L свяжем следующую задачу оптимального управления: ( ) inf ,L y →U (8) ( ) = ,B y fU (9) , 1( ) ( ) ( ).p py M W ° α β∈ Ω × ΩU (10) Пару 1( ) ( ) ( )n n py L W× ∞∈ Ω × Ω � U будем называть допустимым решением для задачи (8)–(10), если она связана соотношениями (9)–(10). Пусть Ξ обозначает множество всех допустимых решений задачи (8)–(10). Задачу оптимального управления называют регулярной, если множество ее допустимых решений непустое. Из соотношений (3)–(6), используя известные оценки (см. [4]), имеем: 1 2 1 2 1 ( ) ( ), ( )Wp B y B y y y〈 − − 〉 ≥ Ω � U U ( )2 2 1 1 2 2 1 2 1 2| | | | )( > 0приp py y y y y y dx y y− − Ω ≥ β − − ≠∫ . (11) В.Е. КАПУСТЯН, О.П. КОГУТ 140 Компьютерная математика. 2010, № 1 Используя (11), схему доказательства свойств деминепрерывности и коэрцитивности для оператора ( ),B ⋅U �, взятую из работы [4], можно сделать следующий вывод. Теорема 1. Пусть выполняются исходные предположения (1)–(4). Тогда задача оптимального управления (8)–(10) регулярна. Замечание 1. Типичными представителями класса , ( )pM α β Ω являются матрицы: 1 2 1 1diag{ ( ), ( ),..., ( )}, ( ) ( ) ( )n ix x x x x x= δ δ δ ξ ≤ δ ≤ ξU п.в. на , 1, .i nΩ ∀ = Пусть τ – произведение * -слабой топологии в пространстве ( )n nL × ∞ Ω и слабой топологии пространства 1( )pW Ω . Множество , pM α β , как следует из его определения, секвенциально компактно относительно * -слабой топологии в ( )n nL × ∞ Ω . Вместе с тем, свойство τ -замкнутости для множества допустимых пар Ξ в общем случае не выполняется (см. контр-примеры в [1]), а значит задача оптимального управления (8)–(10) может не иметь решений. С целью добиться выполнения свойства τ -замкнутости множества Ξ , следуя [4], введем в рассмотрение множество обобщенно соленоидальных матриц. Пусть 1 2, ,..., n Q Q Q образуют совокупность непустых выпуклых компактных множеств пространства 1( )qW − Ω . Рассмотрим множество [ ]1 2= { = , , , ( ) : div , =1,2, , },n n n i iV L Q i n× ∞∈ Ω ∈ ∀u u u u… …U (12) где значение оператора div на векторе ( )n qL∈ Ωu определяется как элемент про- странства 1( )qW − Ω такой, что 1 div , = ( , ) ( ) n Wp dx Ω 〈 φ〉 − ∇φ Ω ∫u u � R 1( ).pW∀φ∈ Ω � Введем новое множество допустимых управлений ,= ( )sol pU V M α β∩ Ω (13) предполагая, что , ( )pV M α β∩ Ω ≠ ∅ . Используя схему доказательства леммы 3 из [4], можно установить следующий результат. Лемма 1. solU – секвенциально * -слабо компактное множество в ( )n nL × ∞ Ω . Исходя из переопределения множества допустимых управлений, перейдем к новой задаче оптимального управления: при заданном 1( )qf W −∈ Ω найти ( , ) inf ,L y →U (14) ( , ) = ,B y fU (15) 1, ( ),sol pU y W∈ ∈ Ω � U (16) где оператор B задается правилом (5)–(6). СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КОЭФФИЦИЕНТАХ … Компьютерная математика. 2010, № 1 141 Множеством допустимых решений solΞ задачи (14)–(16) будем называть совокупность пар 1( , ) ( ) ( )n n py L W× ∞∈ Ω × Ω � U , удовлетворяющих (15)–(16). Важную роль при исследовании топологических свойств множества Ξ играют следующие результаты (см. схему доказательства в [4]): Лемма 2. Пусть { } ( )n k k qf L∈ ⊂ ΩN , { } ( )n k k pg L∈ ⊂ ΩN – последовательности вектор-функций такие, что 0kf f→ слабо в ( )n qL Ω и 0kg g→ слабо в ( )n pL Ω при k → ∞ ( = / ( 1)q p p − ). Дополнительно предположим, что {div }k kf ∈N – компактная последовательность в 1( )qW − Ω , а rot = 0, .kg k∀ ∈N Тогда ( ) ( )0 0 0lim , = , , ( ).n nk k k f g dx f g dx C∞ →∞ Ω Ω φ φ ∀φ∈ Ω∫ ∫R R Теорема 2. Пусть 1( )qf W −∈ Ω – заданное распределение. Пусть выполня- ются условия (1)–(4), а множество допустимых управлений solU для задачи (14)–(16) непустое. Тогда solΞ – секвенциально τ -замкнутое подмножество пространства 1( ) ( )n n pL W× ∞ Ω × Ω � . Теорема 3. Пусть solU ≠ ∅ , выполняются условия (1)–(4) и функционал 1: ( )sol pL U W× Ω → � R в задаче (14)–(16) τ -полунепрерывный снизу. Тогда задача оптимального управления (14)–(16) имеет непустое множество решений. Заметим, что для доказательства теоремы 3 достаточно установить выпол- нение для оператора B не свойства ( )M , как это делалось в работах [4] (см. теорему 1) и [5], а его можно заменить более слабым свойством ( )ΞM : из того, что ( , )k ku yΞ ∋ , ku u→ ∗ -слабо в U , ky y→ слабо в X , и неравен- ства lim ( , ), ,k k k X X k B u y y d y →∞ 〈 〉 ≤ 〈 〉 следует, что ( , ) ( , )k kB u y B u y→ слабо в *X . Что касается необходимых условий оптимальности для задачи (14)–(16), то их можно получить, привлекая понятие квазисопряженной системы, (см. [6]). Разрешимость задачи оптимального управления в коэффициентах эллиптической задачи Неймана. Рассмотрим задачу оптимального управления в коэффициентах эллиптической краевой задачи Неймана и покажем, что она разрешима на множестве solU . Основным базовым пространством в этой задаче выступает 1( ) ( )n n pL W× ∞ Ω × Ω . В этом случае пространство ( )1( )pW ∗ Ω можно В.Е. КАПУСТЯН, О.П. КОГУТ 142 Компьютерная математика. 2010, № 1 представить в виде прямой суммы ( )1 1/( ) ( )q q pW B ∗− Ω ⊕ ∂Ω , где 1/ ( )q pB ∂Ω обозначает пространство Бесова, а именно, пространство следов на ∂ Ωфункций из 1( )pW Ω . Для каждой матрицы , 1 , ,= { ( )} ( )i j i j n pa x M α β ≤ ≤ ∈ ΩU и заданных функций ( )qf L∈ Ω и ( )1/ ( )q pg B ∗ ∈ ∂Ω рассмотрим краевую задачу Неймана 2 2 0 , 1 ( ) ( ) | | = в , pn p ij i j ji j y y a x a x y y f x x x − − =  ∂ ∂ ∂  + Ω  ∂ ∂ ∂   ∑ (17) = на B y g ∂ ∂Ω ∂ν , (18) где 2 , =1 = ( ) cos( , ) pn ij i B j ji j y y y a x x x x − ∂ ∂ ∂ ν ∂ν ∂ ∂∑ , ν – вектор единичной внешней норма- ли к границе∂ Ω . С задачей (17)–(18) будем связывать оператор ( ), 1 1 1/ 1 2: ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , ) = ( , ) ( , ),q p p q pB M W W B B y B y B y ∗α β −Ω × Ω → Ω ⊕ ∂Ω ⊕U U U (19) 2 2 1 0( , ) = div ( )[( ) ] ( ) | ,p pB y x y y a x y− − − ∇ ∇ + U U ( )2 2 0 0( , ) ( ) ( ) , ,n pB y x y y− = ∆γ ∆γ ν  R U U (20) где 1 1/ 0 : ( ) ( )q p pW Bγ Ω → ∂Ω – оператор следа для функций из 1( )pW Ω на ∂ Ω . Для того, чтобы определить слабое решение задачи (17)–(18) введем в рас- смотрение класс вектор-функций { }( ) = ( ) | div ( ) .n q qX L LΩ ∈ Ω ∈ Ωu u Используя аргументы, приведенные в [7], легко показать, что для элементов этого пространства можно определить понятие слабого следа на ∂ Ω , и для произвольной пары функций 1( , ) ( ) ( )pv X W∈ Ω × Ωu справедлива формула Стокса ( ) 0 1/, div = , , ( )n qB p v v dx v Ω  ∇ + 〈γ γ 〉  ∂Ω∫ uu u R где γu – слабый след ( , ) nνu R на ∂ Ω . Исходя из этой формулы, с оператором B можно связать форму (7) для любых 1, ( )py v W∈ Ω . Тогда, при каждом , ( )pM α β∈ ΩU слабым решением задачи Неймана будем называть элемент 1( )py W∈ Ω , который при всех 1( )pv W∈ Ω удовлетворяет тождество СОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ В КОЭФФИЦИЕНТАХ … Компьютерная математика. 2010, № 1 143 ( )2 2 0( ) ( ) , ( ) | | =p p n x y y v dx a x y yvdx− − Ω Ω  ∇ ∇ ∇ + ∫ ∫U R 1/0= , .( )qBp f vdx g v Ω + γ ∂Ω∫ (21) Рассмотрим задачу оптимального управления: ( , ) inf ,L y →U (22) 1 2( , ) = , ( , ) = ,B y f B y gU U (23) 1, ( ).sol pU y W∈ ∈ ΩU (24) Множеством допустимых решений solΞ задачи (22)–(24) будем называть совокупность пар 1( , ) ( )sol py U W∈ × ΩU , связанных между собой интегральным тождеством (21). По аналогии с предыдущим разделом можно показать, что оператор ( )*, 1 1: ( ) ( ) ( )p p pB M W Wα β Ω × Ω → Ω – строго монотонен, коэрцитивен и деминепрерывен. Следовательно задача (22)–(24) регулярна. Тогда, основываясь на лемме 4, несложно получить следующий результат. Теорема 4. Пусть выполняются предположения (1)–(4), а множество solU непустое. Тогда для любых ( )qf L∈ Ω и ( )1/ ( )q pg B ∗ ∈ ∂ Ω множество допустимых решений solΞ задачи (22)–(24) непустое и секвенциально τ -замкнутое. Следует отметить, что в этом случае доказательство разрешимости задачи (22)–(24) полностью укладывается в схему доказательства теоремы 1 из [4]. Поэтому, привлекая свойство ( )ΞM для оператора В, которое является след- ствием теоремы 4, можно сделать вывод. Утверждение. Пусть множество допустимых обобщенно соленоидальных управлений solU непустое и функционал 1: ( )sol pL U W× Ω → R в задаче (14)–(16) τ -полунепрерывен снизу. Тогда для любых ( )qf L∈ Ω и ( )1/ ( )q pg B ∗ ∈ ∂ Ω задача оптимального управления (22)–(24) разрешима. Необходимые условия оптимальности для задачи (22)–(24) можно получить, используя методику из [6]. Заключение. Таким образом, в работе показано, что задачи оптимального управления коэффициентами главной части нелинейных эллиптических урав- нений разрешимы в классе обобщенно соленоидальных матриц. В.Е. КАПУСТЯН, О.П. КОГУТ 144 Компьютерная математика. 2010, № 1 В.О. Капустян, О.П. Когут СОЛЕНОЇДАЛЬНІ КЕРУВАННЯ В КОЕФІЦІЄНТАХ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛІПТИЧНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ Розглядаються задачі оптимального керування коефіцієнтами головної частини нелінійних еліптичних рівнянь. Показана їх розв’язність на класі узагальнено соленоїдальних керувань. V.O. Kapustyan, O.P. Kogut SOLENOIDAL CONTROLS IN COEFFICIENTS OF NONLINEAR ELLIPTIC BOUNDARY- VALUE PROBLEMS In the paper, the problems of optimal control of coefficients of the main part of nonlinear elliptic equations are considered. Solvability of such problems in the class of generalized solenoidal controls is proved. 1. Райтум У.Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. – Рига: Зинатне, 1989. – 274 с. 2. Литвинов В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. – М.: Наука, 1987. – 366 с. 3. Тагиев Р.К. Оптимальное управление коэффициентами в параболических системах // Дифференциальные уравнения. – 2009. – 45, № 10. – С. 1492–1501. 4. Капустян В.О., Когут О.П. Про розв'язність одного класу задач оптимального керування коефіцієнтами в головній частині нелінійного еліптичного оператора // Нелінійні коливання. – 2009. – 12, № 1. – С. 59 – 72. 5. Иваненко В.И., Мельник В.И. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. – Киев: Наук. думка, 1988. – 324 с. 6. Cеровайский С.Я. Вариационнные неравенства в нелинейных задачах оптимального управления // Методы и средства математического моделирования. – Алма-Ата, 1977. – С. 156–169. 7. Anzellotti G. Pairings Between Measures and Bounded Functions and Compensated Compactness. – New York: Academic Press, 1975. – 245 p. Получено 07.04.2009 Îá àâòîðàõ: Капустян Владимир Емельянович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования экономических систем НТУ Украины «КПИ», e-mail: kapustyanv@ukr.net Когут Ольга Петровна, ассистент кафедры математического моделирования экономических систем НТУ Украины «КПИ». e-mail: kogut_olga@bk.ru

Схожі ресурси