Алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов
Рассматривается задача моделирования консолидационных процессов с учетом засоленности вод, температурного режима и осмотических процессов. Предлагается расширение модели на трехмерный случай. Приводятся данные экспериментального анализа применимости различных специальных численных методов к решению...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Компьютерная математика |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84582 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов / В.А. Богаенко // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 2. — С. 11-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859716935047970816 |
|---|---|
| author | Богаенко, В.А. |
| author_facet | Богаенко, В.А. |
| citation_txt | Алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов / В.А. Богаенко // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 2. — С. 11-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Рассматривается задача моделирования консолидационных процессов с учетом засоленности вод, температурного режима и осмотических процессов. Предлагается расширение модели на трехмерный случай. Приводятся данные экспериментального анализа применимости различных специальных численных методов к решению задач относительно этой модели.
Розглядається задача моделювання консолідаційних процесів з урахуванням засоленості вод, температурного режиму та осмотичних процесів. Пропонується розширення моделі на тривимірний випадок. Наводяться дані експериментального аналізу застосовності різних спеціальних чисельних методів до розв’язання задач щодо цієї моделі.
A problem of consolidation processes modeling subject to salinity of water, temperature conditions, and osmotic processes is considered. Extension of the model to three-dimensional case is proposed. Analysis of applicability to solving problems regarding this model of ad hoc numerical methods based on experimental data is given.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:12:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2010, № 2 11
Èíôîðìàöèîííûå
òåõíîëîãèè â ýêîëîãèè
Рассматривается задача модели-
рования консолидационных про-
цессов с учетом засоленности
вод, температурного режима и
осмотических процессов. Предла-
гается расширение модели на
трехмерный случай. Приводятся
данные экспериментального ана-
лиза применимости различных
специальных численных методов к
решению задач относительно
этой модели.
В.А. Богаенко, 2010
ÓÄÊ 519.6
Â.À. ÁÎÃÀÅÍÊÎ
ÀËÃÎÐÈÒÌÛ ÐÅØÅÍÈß
ÒÐÅÕÌÅÐÍÛÕ ÐÅËÀÊÑÀÖÈÎÍÍÛÕ
ÇÀÄÀ× ÔÈËÜÒÐÀÖÈÎÍÍÎÉ
ÊÎÍÑÎËÈÄÀÖÈÈ Ñ Ó×ÅÒÎÌ
ÎÑÌÎÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
Введение. Изменение режимов грунтовых
или наземных вод может стать причиной раз-
вития опасных процессов, таких как проседа-
ние поверхности в результате фильтрацион-
ной консолидации грунтов. Существенное
влияние на данные процессы имеет засолен-
ность вод и температурный режим.
Развитие таких процессов на протяжении
длительного периода времени может привес-
ти к ухудшению качественных показателей
построенных на соответствующих грунтах
объектов или природных систем.
Возникает необходимость достаточно точ-
ного моделирования консолидационных про-
цессов путем построения более общих мате-
матических моделей и особенно численных
алгоритмов решения на их основе практиче-
ских задач.
Рассматривается задача фильтрационной
консолидации с учетом релаксации, процес-
сов осмоса и термоосмоса [1] в трехмерной
постановке и алгоритмы ее численного ре-
шения. Поскольку задача эта нелинейная, а
при небольших значениях релаксационных
коэффициентов становится еще и жесткой,
возникает необходимость решать ее с малым
шагом по времени и большой размерностью
сетки, что обуславливает использование спе-
циальных алгоритмов.
Трехмерная математическая модель.
Математическую модель фильтрационной
консолидации с учетом осмотических и
термоосмотических процессов построим в
векторной форме, отталкиваясь от таких
исходных зависимостей.
В.А. БОГАЕНКО
12 Компьютерная математика. 2010, № 2
Обобщенный закон Дарси–Герсеванова [1, 2], который учитывает
релаксационность фильтрационного процесса, осмотическую и термоосмо-
тическую фильтрацию, запишем в виде
1 2 1 1grad( ) grad( ) grad( )T
u H C T
u k H v C k T
t t t t
∂ ∂ ∂ ∂+ λ = − + λ + + λ + + λ
∂ ∂ ∂ ∂
�
�
, (1)
где u
�
– скорость фильтрации; 1λ – параметр релаксации скорости фильтрации;
2λ – параметр релаксации давления; k – коэффициент фильтрации; H – избы-
точный напор; ν – коэффициент осмоса; С – концентрация солей в жидкой
фазе; Tk – коэффициент термоосмоса; T – температура.
Обобщенный закон Фика [3], учитывающий релаксационные явления,
запишем следующим образом:
1 2grad( )
q C
q D C
t t
∂ ∂+ τ = − + τ
∂ ∂
�
�
, (2)
где q
�
– диффузионный поток; 1τ – параметр релаксации диффузионного
потока; 2τ – параметр релаксации концентрации; D – коэффициент диффузии.
Уравнение конвективной диффузии растворителя при фильтрации
порового раствора получается из уравнения баланса массы в виде [4]
div div 0
C
q Cu
t
∂σ + + =
∂
� �
, (3)
где σ – пористость.
Учитывая (2) получаем
2
1 1 22
div( ( )) div( grad( ))
C C C
Cu Cu D C
t t t t
∂ ∂ ∂ ∂στ + σ + + τ = + τ
∂ ∂ ∂ ∂
� �
. (4)
С учетом (1) –
2
1 22
div( grad( ))
C C C
D C
t t t
∂ ∂ ∂στ + σ = + τ +
∂ ∂ ∂
12 2
1 1 0
1 1 1
div (1 )( grad ) (1 )div (1 )( grad )
t
tk k
C H C He d
t t
−τ−
λ
λ ∂ λ ∂ + + τ + − + τ τ − λ ∂ λ λ ∂
∫
1 1div (1 )( grad ) div (1 )( grad ) .Tv C C k C T
t t
∂ ∂ − + τ − + τ ∂ ∂
(5)
Уравнение для избыточного напора получается с учетом (1) из линейного
закона уплотнения [5]
div 0
1
a H
u
e t
γ ∂+ =
+ ∂
�
,
где a – коэффициент уплотнения; γ – удельный вес жидкости; e – среднее
значение коэффициента пористости, и имеет вид
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ...
Компьютерная математика. 2010, № 2 13
2
1 2 12
div( grad( )) div( grad( ))v
H H H C
C H C
t t t t
∂ ∂ ∂ ∂λ + = + λ − µ + λ −
∂ ∂ ∂ ∂
1div( grad( )),
T
T
t
∂− θ + λ
∂
(6)
где
(1 )
v
k e
C
a
+=
γ
– коэффициент консолидации, vC
v
k
µ = , v
T
C
k
k
θ = .
Уравнение теплопереноса примем в виде
div( grad ) div( )T
T
C T C Tu
t ρ
∂ = λ − ρ
∂
�
.
После подстановки в него уравнения (1) получим
11 2 2
0 0
1 1 1
div( grad ) div( grad ) (1 )div grad
t
tT k k
T T H T He d
t
−τ−
λ
∂ λ λ= λ + + − τ −
∂ λ λ λ
∫
1 2div( grad ) div( grad ),v T C k T T− − (7)
где TC – объемная теплоемкость грунта; Cρ – удельная теплоемкость грунта;
λ – коэффициент теплопроводности грунта; ρ – плотность раствора; 0
TC
λλ = ,
1
T
k C
k
C
ρρ
= , 1
T
v C
v
C
ρρ
= , 2
T
T
k C
k
C
ρρ
= .
Система интегро-дифференциальных уравнений (5)–(7) преобразовывается
в систему дифференциальных уравнений заменой
1
1 V
H V
t
∂= +
λ ∂
и принимает вид
2
1 22
( grad( ))
C C C
div D C
t t t
∂ ∂ ∂στ + σ = + τ +
∂ ∂ ∂
2
1 1
1 1
div (1 )( grad ) div (1 )( grad )
k k V
C V C
t t t
∂ λ ∂ ∂ + + τ + + τ − λ ∂ λ ∂ ∂
1 1div (1 )( grad ) div (1 )( grad ) ,Tv C C k C T
t t
τ τ∂ ∂ − + − + ∂ ∂
(8)
3 2 2
2
1 1 1 2 1 22 2 2
div( grad( ( ) ))v
V V V V V
C V
t t t t t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂λ + λ + = + λ + λ + λ λ −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2div( grad( )) div( grad( )),
C T
C T
t t
∂ ∂− µ + λ − θ + λ
∂ ∂
(9)
В.А. БОГАЕНКО
14 Компьютерная математика. 2010, № 2
1 2
0
1 1
div( grad ) div( grad ) div( grad )
T k k V
T T V T
t t
∂ λ ∂= λ + + −
∂ λ λ ∂
1 2div( grad ) div( grad ).v T C k T T− − (10)
Краевые условия к задаче (8)–(10) поставим следующим образом [2]:
– на непроницаемой части границы 1Г области решенияΩ
1
{ , , }
0
Г
C H T
n
∂ =
∂�
, откуда
1
{ , }
0
Г
V
V
t
n
∂∂
∂ =
∂�
; (11)
– на дренированной части границы 2Г области решения Ω для функции
избыточных напоров
2
( )
Г
H H t= ɶ , откуда
2
2
1( ) ( ), 0
Г
Г
V
V V t H t
t
∂= = λ =
∂
ɶ ɶ , (12)
для функции концентрации солей при втекании солевого раствора
2
( ),
Г
C C t= ɶ (13)
для функции концентрации солей при быстром их выносе
2
0.
Г
C
n
∂ =
∂�
(14)
Для поля температур поставим следующие краевые условия. На границе 3Г
контакта грунта с нагретой водой теплообмен будем описывать следующим
образом:
( )
3
3
( )T Г
Г
T
T t T
n
∂λ = ω −
∂
ɶ
� , (15)
где ( )T tɶ – температура воды, а Tω – коэффициент скорости теплообмена.
На границе 4Г , где грунт контактирует с воздухом, кроме теплообмена
будем учитывать и такие процессы как поглощение грунтом солнечной
радиации, тепловое излучение грунта как «черного тела» и испарение. Для
функции избыточных напоров краевое условие на границе испарения
следующее [6]:
4
4
s Г
Г
H
k T
n
∂ = −γ
∂�
. (16)
Краевое условие для поля температур в этом случае принимает вид [6]
4 4 4
4
4( ( ) ) ( ) ( )s s T a TГ Г Г
Г
T H
R T t T T k Q C T
n nρ
∂ ∂λ = γ + ω − − σ + σρ +
∂ ∂
ɶ
� � ,
а после подстановки (16)
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ...
Компьютерная математика. 2010, № 2 15
4 4 4
4
2 4( ) ( ) ( ) ( ) ,s s T a T s s TГ Г Г
Г
T
R T t Q T C T T
n ρ
∂λ = γ + ω − ω + γ σρ − γ σρ − σ
∂
ɶ
� (17)
где sγ – коэффициент поглощения солнечной энергии грунтом; sR – солнечная
энергия на единицу площади грунта; ( )aT tɶ – температура воздуха; Tσ – коэф-
фициент излучения грунта как «черного тела»; Q – теплоемкость испарения.
Методика численного решения.
Приближенное решение задачи (8)–(15) в трехмерном случае будем искать
с использованием продольной схемы метода прямых [7] по аналогии с
использованием этой схемы к одномерным задачам фильтрационной
консолидации в [1].
Введем в рассмотрение сетку
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
{ ( , , ) ( , , ),
( , , ) 0,( 1, 1, 1), },
0.5
h
i
i
i
x x x x i h i h i h
l
i i i i N N N h
N
ω = = =
= = + + + =
+
�
�
�
где il – линейные размеры области решения, а iN – количество шагов дискре-
тизации по каждому измерению.
Решение будем искать в виде вектор-функций , ,C V T
� � �
, каждый компонент
которых отвечает определенному узлу сетки. Введем функцию преобразования
трехмерной нумерации узлов сетки к одномерной нумерации функций в вектор-
функциях:
1 2 2( , , )I i j k iN N jN k= + + .
Во введенных обозначениях, после дискретизации производных по
пространству, система (8)–(10) преобразуется в следующую систему
нелинейных дифференциальных уравнений (тут и в дальнейшем знак вектора
над искомыми вектор-функциями опускаем и считаем все коэффициенты
уравнений постоянными):
2
1 2 12
1
( )
( ) ( ( ) )
2
d C dC k dB C
E D A DAC B C V
dt dt dt
στ + σ − τ = + + τ
λ
+
2
2 1
1 2 2 1 2
1 1
( )
(( ) ( ) ) ( )
2 2
k dB C dV k d V
B C B C
dt dt dt
λ τ+ τ + λ + λ τ + −
λ λ
2 1 1( )
( )
2 2 2
v v dB C v dC
AC C B C
dt dt
τ τ− − − −
���
1
1
( )
( ) ( ( ) ) ,
2 2
T Tk dT k dB C
B C B C T
dt dt
τ τ− − + (18)
В.А. БОГАЕНКО
16 Компьютерная математика. 2010, № 2
3 2
2
1 1 2 1 22 2
2 2
1 1 1 1
(2 ) ( ( ) )
,
v v
v
d V d V dV
E c A E c A
dt dt dt
dC dT
c AV AC A AT A
dt dt
λ + λ − λ + − λ + λ =
= − µλ − µλ − θλ − θλ
(19)
21 2 1 2
0
1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
dT k k dV v k
AT B T V B T B T C AT
dt dt
λ= λ + + − −
λ λ
���
. (20)
Здесь А и B(С) – линейные операторы, являющиеся дискретными аналогами
операторов grad( )div ⋅ и 2 ( grad( ))div C ⋅ , которые в трехмерном случае имеют
следующий вид:
1
(1),
2
A B=
1 2 3( ) ( ) ( ) ( ),B C B C B C B C= + +
[ ]1 ( 1, , ) ( , , ) ( 1, , ) ( 1, , ) ( , , )2( , , )
1
( 1, , ) ( , , ) ( , , ) ( 1, , ) ( 1, , )
1
( ) [( ) ( 2
) ( ) ],
I i j k I i j k I i j k I i j k I i j kI i j k
I i j k I i j k I i j k I i j k I i j k
B C V C C V C C
h
C V C C V
− − −
+ + +
= + − + +
+ + +
где в случае краевых условий (11), (14)
2 2
( 1, , ) ( , , ) 1, , 1 22 2
{ , , , , , } { , , , , , } , { , }I i j k I i j k i j k
dC dV d V dC dV d V
C T V C T V x Г Г
dt dt dt dt dt dt± ±= ∈ ,
в случае краевых условий (12), (13)
2
( 1, , ) ( 1, , ) ( 1, , ) 1, , 2 32
{ , , } { , , } ,{ , , } 0, { , }I i j k I i j k I i j k i j k
dC dV d V
C T V C T V x Г Г
dt dt dt± ± ± ±= = ∈ɶ ɶ ɶ ,
в случае условия (15)
( )1
( 1, , ) ( , , ) ( , , )( , , )
T
I i j k I i j k a I i j kI i j k
h
T T T T±
ω= + −
λ
ɶ ,
в случае условия (16)
1 1
( 1, , ) ( , , ) ( , , )
s
I i j k I i j k I i j k
h
V V T
k±
λ γ= − ,
в случае условия (17)
(1
( 1, , ) ( , , ) ( , , )( , , )
( )I i j k I i j k s s T a T s I i j kI i j k
h
T T R T Q T± = + γ + ω − ω + γ σρ −
λ
ɶ
)2 4
( , , ) ( , , )( ) ( ) .s I i j k T I i j kC T Tρ−γ σρ − σ
Операторы 2 ( )B C и 3( )B C и дискретизация краевых условий на элементах
границы, параллельных координатным плоскостям 0y = и 0z = , имеют
аналогичный вид.
От задачи (18)–(20) переходим к следующей задаче Коши для системы
нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка:
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ...
Компьютерная математика. 2010, № 2 17
[ ]1 2 3 1 2
2
1 2 3 1 22
0
0 0 0
1
( ) ( ), 0,
( ) , , , , , ,
, , , , ,
(0) 0, , , ,0, .
dz
R z z F z t
dt
z t V V V C C T
dV d V dC
V V V V C C C
dt dt dt
H
z H C T
= + >
=
≡ = = ≡ =
= − λ
(21)
Следующие выражения для оператора ( )R z и вектора ( )F z получаем
после подстановки уравнения (20) в уравнения (18), (19).
2 2 2 22
2 1 1 2
1
1
( ) 0,0, ,0, ( ) , ,
2 2
Tv k k
F z k AAT AC B C AT k AT
= θ − + − στ σ
��� ��� ��� ���
31 32 33 34 35 36
51 52 53 54 55 56
61 62 64 66
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
( ) ,
0 0 0 0 0
0 0
E
E
A A A A A A
R z
E
A A A A A A
A A A A
− − −
=
−
−
1 1
31 2
1
1
( ) ,
2v
k
A A c B T
θ λ = − λ
1 1 2
32 1 22
1
1
( ) ( ) ,
2v
k
A c A E AB T
θ λ λ = λ + λ − − λ
[ ]33 2
1
1
2vA c A E= λ −
λ
, 1
34
1
1
( ) ,
2
v
A A B T
θ λ = µ − λ
35A A= µ , 0 1
36
1
,
2
A A E A
θ λ λ = + λ
[ ] 1
51 1 1 2 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ),
2 4
Tk k k
A B C B C B C B T= + τ −
στ λ σλ
[ ] 1 2
52 1 2 1 1 2 2 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
2 4
Tk k k
A B C B C B C B T
λ= τ + λ + τ λ −
στ λ σλ
2
53 1
1
( ),
2
k
A B C
λ=
σλ
1
54 2 1
1
1
[ ( )] ( ) ( ),
2 4
Tv vk
A DA B C B C B T
τ= − +
στ σ
В.А. БОГАЕНКО
18 Компьютерная математика. 2010, № 2
55 2 1
1
1
[ ] ( ),
2
v
A DA E B C= τ − σ −
στ σ
[ ] 0
56 1 1 2 1
1
( ) ( ) ( ) ,
2 2
T Tk k
A B C B C B C A
λ= + τ +
στ σ
1
61
1
( )
2
k
A B T=
λ
, 1 2
62
1
( )
2
k
A B T
λ=
λ
, 64 ( )
2
v
A B T= , 65 0A A= λ .
Система (21) является жесткой и требует использования специальных
численных методов для ее решения. Рассмотрим три метода решения этой
системы – явный адаптивный трехстадийный метод [9] и диагональные неявные
FSAL-методы Рунге–Кутта 2-го и 4-го порядков [10]. Решения систем
нелинейных уравнений при этом будем проводить методом простой итерации.
Заметим, что все эти методы не требуют вычисления якобиана системы
уравнений.
Явный адаптивный трехстадийный метод [9] решения системы (21) опишем
следующим образом (здесь все операции над векторами покомпонентные).
Введем обозначения
( ) ( ) ( )f z R z z F z= + ,
1 1 1( ), ( [( ) ])n i n ik f z k f z k k −= = + τ β − α + α ,
1
1 1 2
, i i
i i
k k
v k v −
−
−= =
βα
.
Пусть
3 3 2
1
2 2 1( )
v k k
v k kα
−
= =
−
Z – покоординатная оценка наибольшего собст-
венного значения якобиана системы, тогда значения вектор-функции на
следующем шаге по времени равно
1 1
1 2
1 1 2 2 2 1 1 1
1
1 1
1/ 2 / 6, | | 1.6,
( ), , 1.6,
1.23 , 1.6.
n nz z v c v cτ − −
+
−
+ ≤
= + + = − − < −
>
Z Z
Z Z Z
Z Z
После каждого шага процедуры осуществляется коррекция параметров
схемы:
1
1min(max | | ,1/ 3), 1−α = β = − αZ .
FSAL-SDIRK схема Рунге–Кутта 2-го порядка [10] может быть описана
следующим образом:
1 1 2 3
1
( (1 )( ) ), 1 2 / 2
2n nz z k k k+ = + τ − γ + + γ γ = − ,
1 ( )nk f z= ,
2 1 2( ( ))nk f z k k= + τγ + ,
3 1 2 3
1
( ( (1 )( ) )).
2nk f z k k k= + τ − γ + + γ
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ...
Компьютерная математика. 2010, № 2 19
Аналогично, для FSAL-SDIRK схемы 4-го порядка
1 1 2 3 4 5 6
7 2 16 16 31 1
( )
90 15 45 45 180 4n nz z k k k k k kτ+ = + + + + − + ,
1 ( )nk f z= ,
2 1 2
1 1
( ( ))
4 4nk f z k k= + τ + ,
3 1 2 3
1 1 1
( ( ))
16 16 4nk f z k k k= + τ − + ,
4 1 2 3 4
1 1 1 1
( ( ))
16 16 2 4nk f z k k k k= + τ − + + ,
5 1 2 3 4 5
9 77 143 45 1
( ( ))
62 124 123 124 4nk f z k k k k k= + τ − − + + + ,
6 1 2 3 4 5 6
7 2 16 16 31 1
( ( ))
90 15 45 45 180 4nk f z k k k k k k= + τ + + + − + .
Среди методов, требующих вычисления якобиана системы, выделим класс
методов Розенброка [8]. Каждых шаг этих методов требует решения одной или
нескольких систем линейных алгебраических уравнений.
Был реализован L-устойчивый 2-го порядка (2, 2) – метод [11], алгоритм
исполнения шага которого можно записать в виде
1 1 2(1 ) ,n nz z ak a k+ = + + −
1 2 1( ), ( ),n n n nD k f z D k f z ak= τ = τ +
2
, , 1 .
2
n
n n n
z
f
D I a J J a
z
∂= − τ = = −
∂
�
� (22)
Поскольку якобиан правой части системы (21) является разреженной
матрицей большой размерности с большим коэффициентом заполненности,
уравнения (22) целесообразно решать итерационными методами, причем из-за
сложности его вида стоит использовать те методы, которые требуют в процессе
решения только вычисления произведения матрицы системы на некоторый
вектор. В качестве такого метода был выбран метод BiCGSTAB [12].
Тестирование численных алгоритмов на одномерных задачах
В качестве тестовой одномерной задачи рассматривалась задача консоли-
дации грунтового массива, насыщенного солевым раствором, и размещенного на
непроницаемой основе. Задача решалась на сетке размерностью 100 точек,
конечное время моделирования – 10 суток, шаг по времени – 0.056 суток.
Принимались следующие значения параметров задач:
– краевые условия:
350 / , 20 , 10 ;C г л T C H м= = =ɶ ɶ ɶ
– характеристики грунтового массива:
24 , 0.655, 0.001 / , 0.03232;vl м k м доба c= σ = = =
В.А. БОГАЕНКО
20 Компьютерная математика. 2010, № 2
– коэффициенты диффузии и осмоса:
2 5 5 5 20.02м / сутки, 2.5*10 м /кг* сутки, 10 м / град*сутки;TD v k− −= = =
– термические коэффициенты:
6 3 3
3
2*10 дж/кг*м *град, 0.8*10 дж/кг*град,
1100кг/м , 69120 дж/м*град* сутки;
TC Cρ= =
ρ = λ =
– коэффициенты релаксации:
1 2 1 20.001, 0.0005, 0.001, 0.0005.λ = λ = τ = τ =
Полученные решения сравнивались с наиболее точным решением, которое
получается методом Рунге–Кутта четвертого порядка. Остальные рассма-
триваемые методы имеют второй порядок точности.
Данные относительно отличий в решениях и времени работы алгоритмов
приведены в следующей таблице.
ТАБЛИЦА
Алгоритм
Явный
адаптив-
ный
метод
Метод
Рунге–Кутта
2-го порядка
Метод
Рунге–Кутта
4-го порядка
Метод
Розенброка
2-го порядка
Время работы алгоритма, с 99 210 541 55
Сведенная погрешность, % 0.04 0.02 0.08
Максимальная относитель-
ная погрешность
при f > 0.01, %
27 20 38
Так как решения, найденные всеми четырьмя рассматриваемыми схемами,
имеют пренебрежимые расхождения, в дальнейшем алгоритмы сравнивались
исключительно с точки зрения времени решения. В частности, метод Розенброка
оказался самым быстрым из рассматриваемых.
Результаты решения трехмерных задач
Рассмотрим задачу фильтрационной консолидации слоя глинистого грунта
под флютбетом со шпунтом. Для двухмерного случая задача поставлена в [2].
Рассматривался трехмерный вариант задачи, полученный продолжением двух-
мерной по третьей координате. Область моделирования изображена на рис. 1,
а значения параметров были взяты аналогично вышеописанной одномерной
задаче.
Процесс консолидации моделировался для временного периода в 3600 суток
при дискретизации области сетками размером 8000 (20х20х20), 64000
(40х40х40) и 216000 (60х60х60) ячеек. Шаг по времени выбирался наибольшим,
при котором сходились процессы простой итерации. Независимо от размерности
задачи, минимальное его значение составило 0.002 суток, или же ~3 мин.
Результаты расчетов показали, что использование явной адаптивной схемы
для трехмерных задач является нецелесообразным в связи с ее низким быстро-
действием.
Линии уровня функции избыточных напоров изображены на рис. 2, а,
значения функции избыточных напоров на разрезе z=0.5 – на рис. 2, б (значение
функции здесь отображается высотой).
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ...
Компьютерная математика. 2010, № 2 21
РИС. 1. Область моделирования
а б
РИС. 2. Функция избыточных напоров: а – линии уровня; б – значения функции при z=0.5
Заключение. Анализ результатов вычислительных экспериментов показы-
вает, что рассматриваемая трехмерная задача фильтрационной консолидации
является достаточно сложной, и для эффективных расчетов требует исполь-
зования специальных алгоритмов.
Тестирование разных методов решения дискретизированной задачи пока-
зывает, что методы типа Розенброка являются оптимальными с точки зрения
быстродействия, давая при этом достаточную точность решений.
Верхний
бьеф
H=10 м
С=350 г/м3
T=20 C
Нижний
бьеф
H=0 м
Тело дамбы
В.А. БОГАЕНКО
22 Компьютерная математика. 2010, № 2
В.О. Богаєнко
АЛГОРИТМИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТРИВИМІРНИХ РЕЛАКСАЦІЙНИХ ЗАДАЧ
ФІЛЬТРАЦІЙНОЇ КОНСОЛІДАЦІЇ З УРАХУВАННЯМ ОСМОТИЧНИХ ПРОЦЕСІВ
Розглядається задача моделювання консолідаційних процесів з урахуванням засоленості вод,
температурного режиму та осмотичних процесів. Пропонується розширення моделі на
тривимірний випадок. Наводяться дані експериментального аналізу застосовності різних
спеціальних чисельних методів до розв’язання задач щодо цієї моделі.
V.O. Bohaienko
ALGORITHMS FOR SOLVING THREE-DIMENSIONAL RELAXATIONAL PROBLEMS
OF FILTRATIONAL CONSOLIDATION SUBJECT TO OSMOTIC PROCESSES
A problem of consolidation processes modeling subject to salinity of water, temperature conditions,
and osmotic processes is considered. Extension of the model to three-dimensional case is proposed.
Analysis of applicability to solving problems regarding this model of ad hoc numerical methods
based on experimental data is given.
1. Бомба А.В., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелінійні математичні моделі процесів
геогідродинаміки. – К.: Наук. думка, 2007. – 291 с.
2. Власюк А.П., Мартинюк П.М. Математичне моделювання консолідації грунтів в процесі
фільтрації сольових розчинів. – Рівне: Вид-во УДУВГП, 2004. – 211 с.
3. Лыков А.В., Борковский Б.М. Законы переноса в неньютоновских жидкостях // Тепло- и
массообмен в неньютоновских жидкостях. – М.: Энергия, 1968. – С. 5–14.
4. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. – М.: Наука, 1977. – 664 с.
5. Флорин В.А. Основы механики грунтов: в 2-х т. – Л.: М.: Госстройиздат, 1961. – 2. – 544 с.
6. Ваганова Н.А. Моделирование процессов теплообмена во влажном грунте с учетом
конвекции // Проблемы теоретической и прикладной математики: Тр. 39-й Всерос.
молодежной конф. – Екатеринбург: УрО РАН, 2008. – С. 107–113.
7. Лебедев В.И. Уравнения и сходимость дифференциально-разностного метода (метода
прямых) // Вестн. МГУ. Сер. физ.-мат. наук. – 1965. – № 10. – С. 47–58.
8. Rosenbrock H.H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential
equations. // Comp. J. – 1963. – 5, N 4. – Р. 329–331.
9. Скворцов Л.М. Явные адаптивные методы численного решения жестких систем //
Математическое моделирование. – 2000. –12, № 12. – С. 97–101.
10. Скворцов Л.М. Диагонально неявные FSAL-методы Рунге–Кутта для жестких и диф-
ференциально-алгебраических систем // Математическое моделирование. – 2002. – 14,
№ 2. – С. 4–17.
11. Новиков А.Е., Новиков Е.А. Максимальний порядок точности (М,2)-методов решения
жестких систем // Изв. Челябинского научного центра. – 2007. – Вып. 4(38). – С. 3–7.
12. Yousef Saad Iterative methods for sparse linear systems, 2 edition. – Society for Industrial and
Applied Mathematics, 2003. – 528 p.
Получено 09.02.2010
Îá àâòîðå:
Богаенко Всеволод Александрович,
кандидат технических наук, научный сотрудник Института кибернетики
имени В.М. Глушкова НАН Украины.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84582 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:12:50Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Богаенко, В.А. 2015-07-10T17:22:11Z 2015-07-10T17:22:11Z 2010 Алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов / В.А. Богаенко // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 2. — С. 11-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84582 519.6 Рассматривается задача моделирования консолидационных процессов с учетом засоленности вод, температурного режима и осмотических процессов. Предлагается расширение модели на трехмерный случай. Приводятся данные экспериментального анализа применимости различных специальных численных методов к решению задач относительно этой модели. Розглядається задача моделювання консолідаційних процесів з урахуванням засоленості вод, температурного режиму та осмотичних процесів. Пропонується розширення моделі на тривимірний випадок. Наводяться дані експериментального аналізу застосовності різних спеціальних чисельних методів до розв’язання задач щодо цієї моделі. A problem of consolidation processes modeling subject to salinity of water, temperature conditions, and osmotic processes is considered. Extension of the model to three-dimensional case is proposed. Analysis of applicability to solving problems regarding this model of ad hoc numerical methods based on experimental data is given. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Информационные технологии в экологии Алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов Алгоритми розв’язання тривимірних релаксаційних задач фільтраційної консолідації з урахуванням осмотичних процесів Algorithms for solving three-dimensional relaxational problems of filtrational consolidation subject to osmotic processes Article published earlier |
| spellingShingle | Алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов Богаенко, В.А. Информационные технологии в экологии |
| title | Алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов |
| title_alt | Алгоритми розв’язання тривимірних релаксаційних задач фільтраційної консолідації з урахуванням осмотичних процесів Algorithms for solving three-dimensional relaxational problems of filtrational consolidation subject to osmotic processes |
| title_full | Алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов |
| title_fullStr | Алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов |
| title_full_unstemmed | Алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов |
| title_short | Алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов |
| title_sort | алгоритмы решения трехмерных релаксационных задач фильтрационной консолидации с учетом осмотических процессов |
| topic | Информационные технологии в экологии |
| topic_facet | Информационные технологии в экологии |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84582 |
| work_keys_str_mv | AT bogaenkova algoritmyrešeniâtrehmernyhrelaksacionnyhzadačfilʹtracionnoikonsolidaciisučetomosmotičeskihprocessov AT bogaenkova algoritmirozvâzannâtrivimírnihrelaksacíinihzadačfílʹtracíinoíkonsolídacíízurahuvannâmosmotičnihprocesív AT bogaenkova algorithmsforsolvingthreedimensionalrelaxationalproblemsoffiltrationalconsolidationsubjecttoosmoticprocesses |