Квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения
Рассматривается алгоритм приближенного вычисления интегралов по сфере или поверхностей вращения на основе использования поверхностной трехмерной спиральной кривой для выполнения триангуляции поверхности интегрирования с целью получения квадратурной формулы асимптотического типа. Розглядається алгори...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84589 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения / В.М. Колодяжный, Д.А. Лисин, В.А. Рвачев // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 2. — С. 83-90. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859797374754357248 |
|---|---|
| author | Колодяжный, В.М. Лисин, Д.А. Рвачев, В.А. |
| author_facet | Колодяжный, В.М. Лисин, Д.А. Рвачев, В.А. |
| citation_txt | Квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения / В.М. Колодяжный, Д.А. Лисин, В.А. Рвачев // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 2. — С. 83-90. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Рассматривается алгоритм приближенного вычисления интегралов по сфере или поверхностей вращения на основе использования поверхностной трехмерной спиральной кривой для выполнения триангуляции поверхности интегрирования с целью получения квадратурной формулы асимптотического типа.
Розглядається алгоритм наближеного обчислення інтегралів по сфері або поверхні обертання на основі використання поверхневої тривимірної спіральної кривої для здійснення триангуляції поверхні інтегрування з метою отримання квадратурної формули асимптотичного типу.
Algorithm for approximate calculation of integrals on the sphere or on the surfaces of revolution based on the use of three-dimensional spiral curve to perform triangulation of the surface of integration in order to obtain quadrature formula of asymptotic type is cosidered.
|
| first_indexed | 2025-12-02T14:10:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2010, № 2 83
Âû÷èñëèòåëüíûé
ýêñïåðèìåíò
Рассматривается алгоритм при-
ближенного вычисления интегра-
лов по сфере или поверхностей
вращения на основе использования
поверхностной трехмерной спи-
ральной кривой для выполнения
триангуляции поверхности ин-
тегрирования с целью получения
квадратурной формулы асимп-
тотического типа.
В.М. Колодяжный, Д.А. Лисин,
В.А. Рвачев, 2010
ÓÄÊ 519.95
Â.Ì. ÊÎËÎÄßÆÍÛÉ, Ä.À. ËÈÑÈÍ, Â.À. ÐÂÀ×ÅÂ
ÊÂÀÄÐÀÒÓÐÍÀß ÔÎÐÌÓËÀ
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÒÈÏÀ
ÄËß ÑÔÅÐÛ È ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÅÉ
ÂÐÀÙÅÍÈß
Введение. Построение атомарной функции
трех переменных [1–2] предусматривает
применение процедуры вычисления поверх-
ностного интеграла по сфере единичного или
произвольного радиуса. Доказательство су-
ществования соответствующих атомарных
функций требует реализации такой процеду-
ры интегрирования по поверхности сферы,
которая асимптотически сходится к точному
значению интеграла. Применение квадратур-
ных формул гауссовского типа, например,
квадратичной формулы гауссовского типа
131-го порядка для единичной сферы, кото-
рая инвариантна относительно группы окта-
эдра с инверсией [3–4], не удовлетворяют
схеме доказательства. В статье рассматрива-
ется алгоритм построения квадратурной
формулы вычисления поверхностных инте-
гралов по сфере асимптотического типа, ко-
торый расширяется на случай замкнутых по-
верхностей, что формируются в результате
вращения непрерывных кривых вокруг оси.
Атомарные радиальные базисные функ-
ции. Рассматриваемая в работе процедура
интегрирования поверхностных интегралов
применяется при построении атомарных ра-
диальных базисных функций трех перемен-
ных, которые являются финитными бес-
конечно дифференцируемыми решениями
функционально-дифференциальных уравне-
ний вида
В.М. КОЛОДЯЖНЫЙ, Д.А. ЛИСИН, В.А. РВАЧЕВ
84 Компьютерная математика. 2010, № 2
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3
1
( , , ) [3( ),3( ),3( ) (3 ,3 ,3 ),
K
N
k
k
Lu x x x u x x x d u x x x
= ∂Ω
= λ − ξ − ξ − ξ ω + µ∑ ∫∫
где L – дифференциальный оператор вида 2 2 2 2 2 2
1 2 3/ / /x x x∆ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ,
2∆ ± δ , ∆∆ ; k∂Ω – сфера соответствующего радиуса: 2 2 2 2
1 2 3 krξ + ξ + ξ = ; kλ
и µ – параметры, определяемые в процессе решения уравнения, δ – параметр
оператора Гельмгольца; N – параметр, зависящий от вида дифференциального
оператора L .
Вычисление площади сферы. Пусть в трехмерном евклидовом простран-
стве 3
1 2 3( , , ) ωR x x x d задана сфера :S 2 2 2
1 2 3 1x x x+ + = и необходимо определить
1 2 3( , , )
S
f x x x dω∫∫ , где Sω∈ . При выполнении триангуляции поверхности при-
ближенное значение искомого поверхностного интеграла определяется по фор-
муле 1 2 3
1
( , , )
M
i i i i
i
f x x x T
=
∆∑ , где 1 2 3( , , )i i ix x x – координаты точек пересечения ме-
диан треугольника iT∆ . Задача состоит в отыскании алгоритма триангуляции
поверхности, который позволил бы совершать предельный переход в исполь-
зуемой квадратурной формуле при устремлении M к бесконечности.
Такой алгоритм предлагается и реализуется на примере процедуры вычис-
ления площади сферы. Без ограничений общности считаем, что сфера имеет
единичный радиус. Процедура триангуляции сферы, т.е. определение координат
вершин треугольников, которые будут плотно покрывать исходную поверх-
ность, выполняется по следующей схеме. На поверхности шара (сфере) форми-
руем спиралевидную кривую, которая начинается в одном из полюсов и оканчи-
вается в противоположном.
Координаты ( , ,x y z ) точек на сфере выписываем в сферической системе
координат ( , , rϕ ϑ ): sin cosx r= ϕ ϑ , sin siny r= ϕ ϑ , cosz r= ϕ . Учитывая,
что 1r = , для определения координат точки на поверхности достаточно задать
значения лишь углов 0 2≤ ϕ ≤ π и 0 ≤ ϑ ≤ π , т. е. ( , ,1ϕ ϑ ). Координаты точек,
которые определяют полюсы сферы, получают следующие значения ( 0,0,1 )
и ( 2 , ,1π π ). Координаты точек на поверхности, которые будут располагаться на
кривой спиралевидного вида, будем определять на основе следующего алгорит-
ма. Пусть параметр k задает количество оборотов спиралевидной кривой, пара-
метр m определяет количество точек, которые принадлежат одной скрутке этой
кривой: {1, }, {1, },k N m M∈ ∈ где N и M целые числа; параметры k и m
участвуют в процедуре дискретизации спирали, которая формируется на сфере.
Шаги дискретизации значений угла ϕ определяются величиной 2 / k∆ ϕ = π ,
а угла ϑ – величиной /( )k m∆ ϑ = π ⋅ . Координаты искомых точек на поверхности
КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ТИПА ДЛЯ СФЕРЫ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ....
Компьютерная математика. 2010, № 2 85
определяем по следующим формулам: , 1,2,...,i i kϕ = ∆ ϕ = ; ijϑ = ∆ ϑ ,
1,2,..., ; 1, 2,...,i k j m= = . Точки ( , ,1ϕ ϑ ) расположены на поверхностной спи-
рали. Из этих точек формируются вершины треугольников, которыми покрыва-
ем поверхность (сферу). Процедура построения треугольников состоит из двух
этапов. Создаются
1) треугольники, которые расположены на сфере вблизи полюсов сферы и
формируются в промежутке поверхности, что ограничивается первой скруткой
спирали, вытекающей из полюса с координатами ( 0,0,1 ), и на сфере в проме-
жутке поверхности скрутки спирали, втекающей в полюс с координатами
( 2 , ,1π π ), – координаты вершин совокупности таких треугольников:
( 0,0,1 ), ( , ,1i iϕ ϑ ), ( 1 1, , 1i i= +ϕ ϑ ), где , , 0,1,..., ;i ii i i kϕ = ∆ ϕ ϑ = ∆ ϑ =
( 2 , ,1π π ),( , ,1i iϕ ϑ ), ( 1 1, ,1i i+ +ϕ ϑ ), где , , 0,1,..., ;i ii im i kϕ = ∆ ϕ ϑ = ∆ ϑ =
2) треугольники, которые формируются в промежутке поверхности, ограни-
ченной двумя последовательными скрутками спирали, – координаты вершин
совокупности таких треугольников следующие:
( , ,1i jϕ ϑ ), ( 1, ,1i j+ϕ ϑ ),( 1, ,1i j+ϕ ϑ ) и ( 1, ,1i j+ϕ ϑ ), ( 1, ,1i j+ϕ ϑ ), ( 1, ,1i j+ϕ ϑ ),
где , , 0,1,..., ; 1,2,...,i ii im i k j mϕ = ∆ ϕ ϑ = ∆ ϑ = = .
На рис. 1 показаны возможные варианты расположения на поверхности
сферы треугольников, которые получаются при практической реализации опи-
санного алгоритма триангуляции (на начальной скрутке спиралевидной спирали
и последующем пространстве между двумя скрутками спирали).
РИС. 1. Реализация алгоритма триангуляции поверхности сферы на начальной скрутке
спиралевидной кривой и последующем пространстве между двумя скрутками спирали
В.М. КОЛОДЯЖНЫЙ, Д.А. ЛИСИН, В.А. РВАЧЕВ
86 Компьютерная математика. 2010, № 2
Рассматриваемая процедура триангуляции проста в управлении, так как для
получения новой триангуляционной сетки достаточно заменить величины толь-
ко двух параметров – m и k . Заметим, что выбор этих параметров влияет на
качество приближения при расчете площади поверхности.
Программный продукт, в котором реализован данный алгоритм интегриро-
вания, предусматривает различные способы отображения (визуализации) самого
процесса интегрирования при вычислении площади поверхности или поверхно-
стного интеграла. Примеры таких отображений показаны на рис. 2, 3.
Результат расчетов площади сферы единичного радиуса с 16 значащими
цифрами приведены в табл. 1, 2. Площадь сферы определяется по формуле
24S r= π , приближенное значение которой при 1r = составляет величину
12,56637061435917 .
В табл. 1, 2 рассмотрены разные соотношения количества оборотов спирали
на сфере и количества точек, выбираемых на одном обороте (одной скрутке)
спирали. Из результатов табл. 1 следует, что выбор значений параметров m
и k , при которых k : m = 1 : 1, соответствуют худшим результатам при расчетах
площади сферы, чем в случае, когда k : m = 2 : 3 (табл. 2).
На рис. 2 последовательно на поверхности сферы воспроизводятся тре-
угольники, площади которых в текущий момент расчета формируют соответ-
ствующее слагаемое квадратурной формулы.
РИС. 2. Отображение информации о процессе интегрирования по поверхности шара
в виде динамической спирали, которая пошагово изменяется,
указывая на правую нижнюю точку ( 1, ,1i j+ϕ ϑ ) треугольника на сфере
КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ТИПА ДЛЯ СФЕРЫ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ....
Компьютерная математика. 2010, № 2 87
а б
РИС. 3. Отображение информации о процессе интегрирования по поверхности шара в виде
треугольников на сфере (а) и на поверхности тела вращения (б), для которых в те-
кущий момент времени выполняется расчет площади
Предлагаемый метод вычисления поверхностных интегралов может приме-
няться и в случае, когда поверхность интегрирования является поверхностью
вращения, для которой известно уравнение описывающей поверхность кривой. На
рис. 2, б представлен вариант триангуляции поверхности параболоида вращения.
ТАБЛИЦА 1. Расчеты площади поверхности шара единичного радиуса при одинаковом
количестве оборотов и количества точек на одном обороте спирали
Количество Количество
оборотов
спирали, k
точек на одной
скрутке спирали, m
Площадь сферы,
вычисляемая по предлагаемому
алгоритму, k m=
10 10 12,01665169797735
20 20 12,42547216354158
40 40 12,53091999078062
80 80 12,55749353371516
160 160 12,56415042627891
320 320 12,56581550892169
640 640 12,56623183428060
1280 1280 12,56633591910255
2560 2560 12,56636194052888
5120 5120 12,56636844590069
В.М. КОЛОДЯЖНЫЙ, Д.А. ЛИСИН, В.А. РВАЧЕВ
88 Компьютерная математика. 2010, № 2
ТАБЛИЦА 2. Расчеты площади поверхности шара единичного радиуса при различном
количестве оборотов и количества точек на одном обороте спирали
Количество Количество
оборотов
спирали, k
точек на одной
скрутке спирали, m
Площадь сферы,
вычисляемая по предлагаемому
алгоритму, 1,5m k=
8 12 12,05697742329874
16 24 12,43536291104473
32 48 12,53337378862397
64 96 12,55810542511927
130 195 12,56436638817540
260 390 12,56586949424821
520 780 12,56624533020032
1040 1560 12,56633929305193
2100 3150 12,56636306163893
4200 6300 12,56636869388224
Интегрирование поверхностного интеграла по сфере. Для демонстрации
возможностей предлагаемого алгоритма при интегрировании поверхностных
интегралов рассмотрим интеграл от функции ( )f M – непрерывной функции
точки, 3M R∈ , на поверхности S , уравнение которой ( , )z x y= ϕ – по поверх-
ности S . Интеграл по поверхности S приводится к интегралу по плоской
области xyσ :
( )
( )
| cos( , ) | xy
S
f N
f M d S d
n Zσ
= σ∫∫ ∫∫ , где xydσ – проекция dS
на плоскость XOY ; 2 2cos( , ) 1/ 1 [ ( , ) / ] [ ( , ) / ]n Z x y x x y y= ± + ∂ϕ ∂ + ∂ϕ ∂ ;
n – нормаль к поверхности S ; считая, что cos( , )n Z отличен от нуля и ( )f N в
точке N области σ совпадает со значением заданной на поверхности S функ-
ции ( )f M в той точке M S∈ , проекция которой совпадает с N ∈ σ .
Пусть 3||)( zMf = . Легко установить, что
2 2 2 2 2 2 2
2
3 2 2 2 2 2 5
0 0: :
| | 2 ( ) 2 ( ) .
R
xy
S x y z R x y R
z dS R R x y d R R r rdrd R
π
+ + = σ + =
= − − σ = − ϕ = π∫∫ ∫∫ ∫ ∫
В случае, когда 1R = , приближенные значения рассматриваемого интегра-
ла, при различных соотношениях выбора параметров m и k , и обеспечении ше-
стнадцатью значащими цифрами результата, приведены в табл. 3 и 4.
Аналитически вычисленное значение интеграла при рассматриваемой точ-
ности результата соответствует величине 3.141592653589793.
КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ТИПА ДЛЯ СФЕРЫ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ....
Компьютерная математика. 2010, № 2 89
ТАБЛИЦА 3. Приближенные значения поверхностного интеграла по поверхности шара
единичного радиуса при одинаковом количестве оборотов и количества точек
на одном обороте спирали
Количество Количество
оборотов
спирали, k
точек на одной
скрутке спирали, m
Приближенное значение
интеграла,
k m=
10 10 2.891178592584516
20 20 3.077037131311679
40 40 3.125407662054767
80 80 3.137553492451510
160 160 3.140584542284629
320 320 3.141340884945218
640 640 3.141529746927820
1280 1280 3.141576931558283
2560 2560 3.141588723673713
5120 5120 3.141591671185323
ТАБЛИЦА 4. Приближенные значения поверхностного интеграла по поверхности шара
единичного радиуса при различном количестве оборотов и количества точек
на одном обороте спирали
Количество Количество
оборотов
спирали, k
точек на одной
скрутке спирали, m
Приближенное значение
интеграла,
1,5m k=
8 12 2.850317680675072
16 24 3.066059712787389
32 48 3.122692044425243
64 96 3.136886024318035
80 160 3.138892727968388
100 200 3.139866377850510
130 260 3.140572167731049
160 320 3.140919397892284
640 1280 3.141550668209549
1280 2560 3.141582161386922
Заключение. Квадратуры для приближенного вычисления поверхностных
интегралов, которые строятся по предлагаемому алгоритму, могут использо-
ваться не только при построении атомарных функций трех переменных, порож-
даемых различными дифференциальными операторами [2], но при численном
интегрировании поверхностных интегралов тел вращения при решении задач
математического моделирования.
В.М. КОЛОДЯЖНЫЙ, Д.А. ЛИСИН, В.А. РВАЧЕВ
90 Компьютерная математика. 2010, № 2
В.М. Колодяжний, Д.О. Лісін, В.О. Рвачов
КВАДРАТУРНА ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧНОГО ТИПУ ДЛЯ СФЕРИ
ТА ПОВЕРХОНЬ ОБЕРТАННЯ
Розглядається алгоритм наближеного обчислення інтегралів по сфері або поверхні обертання
на основі використання поверхневої тривимірної спіральної кривої для здійснення триан-
гуляції поверхні інтегрування з метою отримання квадратурної формули асимптотичного
типу.
V.M. Kolodyazhny, L.O. Lisin, V.O. Rvachov
QUADRATURE FORMULA OF ASYMPTOTIC TYPE FOR THE SPHERE
AND SURFACES OF REVOLUTION
Algorithm for approximate calculation of integrals on the sphere or on the surfaces of revolution
based on the use of three-dimensional spiral curve to perform triangulation of the surface of
integration in order to obtain quadrature formula of asymptotic type is cosidered.
1. Колодяжный В.М., Рвачев В.А. Атомарные функции трех переменных, инвариантные
относительно группы вращения // Кибернетика и системный анализ. – 2004. – № 6.
– С. 118–130.
2. Колодяжный В.М., Рвачев В.А. Атомарные функции. Обобщения на случай многих пере-
менных и перспективные направления практических приложений // Там же. – 2007. –
№ 6. – С. 155–177.
3. Лебедев В.И., Лайков В.Н. Квадратурная формула для сферы 131-го порядка точности //
Докл. РАН. – 1999. – 366, № 6. – С. 741–745.
4. Владимиров В.С., Лайков В.Н. Ядерная энергетика и математика; / В 2 т. Современные
проблемы вычислительной математики и математического моделирования.– М.: Наука,
2005. – Т. 2. – С. 5–37.
Получено 14.04.2010
Об авторах:
Колодяжный Владимир Максимович,
доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой прикладной математики
Харьковского национального автомобильно-дорожного университета,
e-mail: kolodyazhny@univer.kharkov.ua
Лисин Денис Александрович,
аспирант Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины,
e-mail: lisin.d.a@mail.ru
Рвачев Владимир Алексеевич,
доктор физико-математических наук,
профессор Национального аэрокосмического университета им. Н.Е. Жуковского «ХАИ».
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84589 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T14:10:23Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Колодяжный, В.М. Лисин, Д.А. Рвачев, В.А. 2015-07-10T17:34:08Z 2015-07-10T17:34:08Z 2010 Квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения / В.М. Колодяжный, Д.А. Лисин, В.А. Рвачев // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 2. — С. 83-90. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84589 519.95 Рассматривается алгоритм приближенного вычисления интегралов по сфере или поверхностей вращения на основе использования поверхностной трехмерной спиральной кривой для выполнения триангуляции поверхности интегрирования с целью получения квадратурной формулы асимптотического типа. Розглядається алгоритм наближеного обчислення інтегралів по сфері або поверхні обертання на основі використання поверхневої тривимірної спіральної кривої для здійснення триангуляції поверхні інтегрування з метою отримання квадратурної формули асимптотичного типу. Algorithm for approximate calculation of integrals on the sphere or on the surfaces of revolution based on the use of three-dimensional spiral curve to perform triangulation of the surface of integration in order to obtain quadrature formula of asymptotic type is cosidered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Вычислительный эксперимент Квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения Квадратурна формула асимптотичного типу для сфери та поверхонь обертання Quadrature formula of asymptotic type for the sphere and surfaces of revolution Article published earlier |
| spellingShingle | Квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения Колодяжный, В.М. Лисин, Д.А. Рвачев, В.А. Вычислительный эксперимент |
| title | Квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения |
| title_alt | Квадратурна формула асимптотичного типу для сфери та поверхонь обертання Quadrature formula of asymptotic type for the sphere and surfaces of revolution |
| title_full | Квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения |
| title_fullStr | Квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения |
| title_full_unstemmed | Квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения |
| title_short | Квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения |
| title_sort | квадратурная формула асимптотического типа для сферы и поверхностей вращения |
| topic | Вычислительный эксперимент |
| topic_facet | Вычислительный эксперимент |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84589 |
| work_keys_str_mv | AT kolodâžnyivm kvadraturnaâformulaasimptotičeskogotipadlâsferyipoverhnosteivraŝeniâ AT lisinda kvadraturnaâformulaasimptotičeskogotipadlâsferyipoverhnosteivraŝeniâ AT rvačevva kvadraturnaâformulaasimptotičeskogotipadlâsferyipoverhnosteivraŝeniâ AT kolodâžnyivm kvadraturnaformulaasimptotičnogotipudlâsferitapoverhonʹobertannâ AT lisinda kvadraturnaformulaasimptotičnogotipudlâsferitapoverhonʹobertannâ AT rvačevva kvadraturnaformulaasimptotičnogotipudlâsferitapoverhonʹobertannâ AT kolodâžnyivm quadratureformulaofasymptotictypeforthesphereandsurfacesofrevolution AT lisinda quadratureformulaofasymptotictypeforthesphereandsurfacesofrevolution AT rvačevva quadratureformulaofasymptotictypeforthesphereandsurfacesofrevolution |