Условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по Смейлу
Исследованы вопросы, касающиеся одного типа устойчивости к возмущениям исходных данных векторных задач целочисленной оптимизации на конечном множестве. Получен ряд новых необходимых и достаточных условий устойчивости для задач поиска решений, оптимальных по Смейлу. Досліджені питання, які стосуються...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84598 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по Смейлу / Т.Т. Лебедева, Т.И. Сергиенко // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 2. — С. 156-163. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860094458027048960 |
|---|---|
| author | Лебедева, Т.Т. Сергиенко, Т.И. |
| author_facet | Лебедева, Т.Т. Сергиенко, Т.И. |
| citation_txt | Условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по Смейлу / Т.Т. Лебедева, Т.И. Сергиенко // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 2. — С. 156-163. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Исследованы вопросы, касающиеся одного типа устойчивости к возмущениям исходных данных векторных задач целочисленной оптимизации на конечном множестве. Получен ряд новых необходимых и достаточных условий устойчивости для задач поиска решений, оптимальных по Смейлу.
Досліджені питання, які стосуються одного типу стійкості до збурень вхідних даних векторних задач цілочислової оптимізації на скінченній множині. Отримано ряд нових необхідних і достатніх умов стійкості для задач пошуку розв’язків, оптимальних за Смейлом.
The paper presents the results of investigating one type of stability with respect to perturbations of initial data of vector integer optimization problems with finite set of feasible solutions. Necessary and sufficient conditions are proved for considered version of stability for problems of finding the solutions from the Smale set.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:25:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
156 Компьютерная математика. 2010, № 2
Исследованы вопросы, касающие-
ся одного типа устойчивости к
возмущениям исходных данных
векторных задач целочисленной
оптимизации на конечном мно-
жестве. Получен ряд новых необ-
ходимых и достаточных условий
устойчивости для задач поиска
решений, оптимальных по Смейлу.
Т.Т. Лебедева, Т.И. Сергиенко,
2010
ÓÄÊ 519.6
Ò.Ò. ËÅÁÅÄÅÂÀ, Ò.È. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ
ÓÑËÎÂÈß ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
ÂÅÊÒÎÐÍÛÕ ÖÅËÎ×ÈÑËÅÍÍÛÕ
ÇÀÄÀ× ÏÎÈÑÊÀ ÐÅØÅÍÈÉ,
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÕ ÏÎ ÑÌÅÉËÓ
Введение. В данной работе продолжены ис-
следования устойчивости многокритериаль-
ных (векторных) задач целочисленной опти-
мизации, ориентированные на изучение ус-
ловий, при которых множеству оптимальных
по Парето, Слейтеру или Смейлу решений
той или иной задачи присуще некоторое на-
перед заданное свойство, определенным
образом характеризующее ее устойчивость к
малым возмущениям исходных данных [1–5].
Известны пять различных типов ( 1T , 2T , 3T ,
4T , 5T ) устойчивости задач указанного клас-
са. Здесь изучены вопросы, касающиеся од-
ного типа устойчивости ( 3T -устойчивости)
векторной квадратичной задачи оптимизации
на конечном множестве. Получен ряд новых
необходимых и достаточных условий устой-
чивости в случае поиска решений, оптималь-
ных по Смейлу.
Рассмотрим задачу
( ( , )) : max{ ( ) },Z M F X F x x X∈
которая заключается в максимизации вектор-
ного критерия 1( ,..., )F f f= ℓ ,
где 1 : nf R Ri → , ( ) ,i if x x D x= + ,ic x −
квадратичные функции, n n
iD R ×∈ , ic =
1( ,..., )i in
nc c R= ∈ , i∈ Nℓ={1,…, ℓ }, 2≥ℓ ,
на конечном множестве nX G Z= ∩ цело-
численных точек выпуклого многогранника
( , )G G A b= = { }nx R Ax b∈ ≤ , где 2 X≤ < ∞ ,
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ВЕКТОРНЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ЗАДАЧ ПОИСКА РЕШЕНИЙ ...
Компьютерная математика. 2010, № 2 157
nZ − множество всех целочисленных векторов в nR , A= ija
∈ m nR × ,
b=( 1,..., mb b )∈ mR . Обычно векторную задачу ( ( , ))Z M F X , где ( , )M F X ∈
{ }( , ), ( , ), ( , )P F X Sl F X Sm F X∈M= , рассматривают как задачу поиска элемен-
тов одного из множеств: ( , )P F X − множества Парето-оптимальных (эффектив-
ных) решений, ( , )S F Xℓ − множества оптимальных по Слейтеру (слабо эффек-
тивных) решений, ( , )Sm F X − множества оптимальных по Смейлу (строго эф-
фективных) решений, где
{ }( , ) π( , , ) ,P F X x X x F X= ∈ = ∅
{ }( , ) ( , , ) ,S F X x X x F X= ∈ σ = ∅ℓ
{ }( , ) ( , , ) ,Sm F X x X x F X= ∈ η = ∅
{ }( , , ) ( ) ( ), ( ) ( ) ,x F X y X F y F x F y F xπ = ∈ ≥ ≠ {( , , ) ( )x F X y X F yσ = ∈ > }( ) ,F x
{ }( , , ) , ( ) ( ) .x F X y X y x F y F xη = ∈ ≠ ≥ Легко видеть, что
( , ) ( , ) ( , )Sm F X P F X S F X⊂ ⊂ ℓ . (1)
Пусть 1 2( , )u u u= − набор исходных данных задачи ( ( , ))Z M F X , где
( , )M F X ∈M , являющийся элементом некоторого пространства U исходных
данных, которое можно представить как декартово произведение 1 2U U U= ×
пространства 1U исходных данных для описания векторного критерия F и
пространства 2U исходных данных для описания допустимого множества X .
Положим 1 ( , )u D C= ∈ 1
n n nU R R× × ×⊂ ×ℓ ℓ , где 1( ,..., ) n nD D D R × ×= ∈ ℓ
ℓ ,
С= ijc ∈ nR ×ℓ , и 2 ( , )u A b= ∈ 2
m n mU R R×⊂ × .
Для набора 1 2( , )u u u U= ∈ исходных данных задачи ( ( , ))Z M F X и любого
числа 0δ > определим множество ( )O uδ возмущенных исходных данных зада-
чи согласно следующим формулам:
{ }1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ), ( ) ( )O u u u u u O u u O uδ δ δ= δ = δ δ δ ∈ δ ∈ (2)
− при рассмотрении возмущений всех исходных данных задачи,
{ }1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) , ( ) ( )O u u u u u u u O uδ δ= δ = δ δ δ = δ ∈ (3)
− при рассмотрении возмущений исходных данных только в ограничениях,
{ }1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) , ( )O u u u u u O u u uδ δ= δ = δ δ δ ∈ δ = (4)
− при рассмотрении возмущений исходных данных только для векторного кри-
терия. Здесь { }( ) ( ) ( )i i i i i i
O u u U u uδ = δ ∈ δ − δ< , где i⋅ − норма в пространстве
iU , 1,2i = . Символами
1( )uF δ и
2 ( )uX δ будем пользоваться для обозначения
соответственно векторного критерия и допустимой области задачи при возму-
щенных исходных данных 1 2( ) ( ( ), ( )) ( )u u u O uδδ = δ δ ∈ .
Т.Т. ЛЕБЕДЕВА, Т.И. СЕРГИЕНКО
Компьютерная математика. 2010, № 2 158
Исследуем условия 3T -устойчивости задачи ( ( , ))Z M F X относительно
возможных возмущений набора 1 2( , )u u u= ее исходных данных.
Определение 1. Задачу ( ( , ))Z M F X , где ( , )M F X ∈M , назовем 3T -устой-
чивой ( 3T -устойчивой по ограничениям, 3T -устойчивой по векторному крите-
рию), если найдется такое число 0δ > , что включение
( )1 2( ) ( ), ( , )u uM F X M F Xδ δ ⊂
выполняется для любого набора 1 2( ) ( ( ), ( )) ( )u u u O uδδ = δ δ ∈ , где множество
( )O uδ определяется согласно формуле (2) (соответственно согласно формуле
(3), если речь идет о 3T -устойчивости по ограничениям, или согласно формуле
(4), если речь идет о 3T -устойчивости по векторному критерию).
Нам понадобятся также понятия 4T - и 5T -устойчивости.
Определение 2. Задачу ( ( , ))Z M F X , где ( , )M F X ∈M , назовем 4T -устой-
чивой ( 4T -устойчивой по ограничениям, 4T -устойчивой по векторному крите-
рию), если найдется такое число 0δ > , что включение
( )1 2( ) ( )( , ) ,u uM F X M F Xδ δ⊂
выполняется для любого набора 1 2( ) ( ( ), ( )) ( )u u u O uδδ = δ δ ∈ , где множество
( )O uδ определяется согласно формуле (2) (соответственно согласно формулам
(3) или (4)).
Определение 3. Задачу ( ( , ))Z M F X , где ( , )M F X ∈M , назовем 5T -устой-
чивой ( 5T -устойчивой по ограничениям, 5T -устойчивой по векторному крите-
рию), если найдется такое число 0δ > , что включение
( )1 2( ) ( )( , ) ,u uM F X M F Xδ δ=
выполняется для любого набора 1 2( ) ( ( ), ( )) ( )u u u O uδδ = δ δ ∈ , где множество
( )O uδ определяется согласно формуле (2) (соответственно согласно формулам
(3) или (4)).
Очевидно, что задача ( ( , ))Z M F X , где ( , )M F X ∈M , является 5T -устой-
чивой ( 5T -устойчивой по ограничениям, 5T -устойчивой по векторному крите-
рию) тогда и только тогда, когда она 3T - и 4T -устойчива (соответственно 3T - и
4T -устойчива по ограничениям, 3T - и 4T -устойчива по векторному критерию).
В дальнейшем воспользуемся следующими утверждениями об устойчивости
задачи к возмущениям исходных данных, необходимых для описания векторно-
го критерия.
Утверждение 1 [2]. Задача ( ( , ))Z Sl F X 3T -устойчива по векторному критерию.
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ВЕКТОРНЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ЗАДАЧ ПОИСКА РЕШЕНИЙ ...
Компьютерная математика. 2010, № 2 159
Утверждение 2 [2]. Задача ( ( , ))Z Sm F X 4T -устойчива по векторному
критерию.
Утверждение 3 [4]. Задача ( ( , ))Z Sl F X 3T -устойчива тогда и только тогда,
когда она 3T -устойчива по ограничениям.
Утверждение 4 [2]. Задача ( ( , ))Z M F X , где { }( , ) ( , ), ( , )M F X P F X Sm F X∈ ,
3T -устойчива по векторному критерию тогда и только тогда, когда
( , ) ( , )M F X Sl F X= .
Утверждение 5 [2]. Задача ( ( , ))Z M F X , где { }( , ) ( , ), ( , )M F X Sl F X P F X∈ ,
4T -устойчива по векторному критерию тогда и только тогда, когда
( , ) ( , )M F X Sm F X= .
Из утверждений 4 и 5 вытекают такие очевидные следствия.
Следствие 1. Задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива по векторному критерию
тогда и только тогда, когда задача ( ( , ))Z Sl F X 4T -устойчива по векторному
критерию.
Следствие 2. Задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива по векторному критерию
тогда и только тогда, когда задача ( ( , ))Z P F X является 3T - и 4T -устойчивой по
векторному критерию.
Следствие 3. Задача ( ( , ))Z M F X , где ( , )M F X ∈M , 5T -устойчива по век-
торному критерию тогда и только тогда, когда
( , ) ( , ) ( , )Sl F X P F X Sm F X= = . (5)
Имеет место также следующая теорема об условиях 3T -устойчивости по
векторному критерию задачи ( ( , ))Z Sm F X .
Теорема 1. Если задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива по векторному крите-
рию, то 0∃δ > , такое, что 1 1( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ :
( ) ( ) ( )1 1 1( ) ( ) ( )( , ) , ( , ) , ( , ) , . (6)u u uSm F X Sm F X P F X P F X Sl F X Sl F Xδ δ δ= = = = =
Доказательство. Из условия данной теоремы о 3T -устойчивости по вектор-
ному критерию задачи ( ( , ))Z Sm F X , а также из утверждения 2 о 4T -устой-
чивости по векторному критерию этой задачи вытекает, что она и 5T -устойчива
по векторному критерию. Отсюда, принимая во внимание следствие 3, делаем
вывод о 5T -устойчивости по векторному критерию и задач ( ( , ))Z Sl F X ,
( ( , ))Z P F X . Учитывая определение 3, заключаем, что 0∃δ > ,
такое, что 1 1( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ : ( )1( )( , ) ,uSm F X Sm F Xδ= , ( )1( )( , ) ,uSl F X Sl F Xδ= ,
( )1( )( , ) ,uP F X P F Xδ= . Привлекая формулу (5), приходим к соотношениям (6),
справедливым для любого 1 1( ) ( )u O uδδ ∈ .
Т.Т. ЛЕБЕДЕВА, Т.И. СЕРГИЕНКО
Компьютерная математика. 2010, № 2 160
Легко показать, что из теоремы 1 и следствия 3 вытекает такое утверждение.
Следствие 4. Если задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива по векторному крите-
рию, то 0∃δ > , такое, что любая задача
1( )( ( , ))uZ M F Xδ , где ( , )M F X ∈M ,
1 1( ) ( )u O uδδ ∈ , является 5T -устойчивой по векторному критерию.
Исходя из теоремы 1, получаем также следующий результат.
Следствие 5. Если задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива по векторному крите-
рию и 3T -устойчива по ограничениям, то 0∃δ > , такое, что 1 1( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ ,
2 2( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ :
( )2 1( ) ( )( , ) ,u uSm F X Sm F Xδ δ⊂ .
Рассмотрим далее условия 3T -устойчивости задачи ( ( , ))Z M F X ,
( , )M F X ∈M , к возмущениям всех ее исходных данных. Очевидными являются
следующие необходимые условия 3T -устойчивости.
Теорема 2. Если задача ( ( , ))Z M F X , где ( , )M F X ∈M , 3T -устойчива, то
она 3T -устойчива по векторному критерию и 3T -устойчива по ограничениям.
Для задачи ( ( , ))Z Sl F X поиска решений, оптимальных по Слейтеру, необ-
ходимые условия 3T -устойчивости, указанные в теореме 2, являются одновре-
менно и достаточными. Более того, учитывая утверждение 1, для 3T -устой-
чивости этой задачи необходима и достаточна лишь ее 3T -устойчивость по
ограничениям, о чем говорится в утверждении 3.
Для векторной задачи ( ( , ))Z P F X поиска Парето-оптимальных решений
имеют место следующие необходимые и достаточные условия 3T -устойчивости.
Утверждение 6 [3]. Задача ( ( , ))Z P F X 3T -устойчива тогда и только тогда,
когда выполняются два условия:
1) задача ( ( , ))Z P F X 3T -устойчива по векторному критерию;
2) задача ( ( , ))Z Sl F X 3T -устойчива по ограничениям.
Перейдем к изучению условий 3T -устойчивости задачи ( ( , ))Z Sm F X поиска
решений, оптимальных по Смейлу.
Теорема 3. Задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива тогда и только тогда, когда
выполняются два условия:
1) задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива по векторному критерию;
2) 0∃δ > , такое, что 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )u O u u O uδ δ∀ δ ∈ ∀ δ ∈ :
( )1 2 1( ) ( ) ( ), ( , )u u uSm F X Sm F Xδ δ δ⊂ . (7)
Доказательство. Достаточность. Пусть задача ( ( , ))Z Sm F X удовлетворя-
ет обоим условиям теоремы. В соответствии с определением 1 3T -устойчивость
по векторному критерию задачи ( ( , ))Z Sm F X означает: 0′∃δ > , такое, что
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ВЕКТОРНЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ЗАДАЧ ПОИСКА РЕШЕНИЙ ...
Компьютерная математика. 2010, № 2 161
1 1( ) ( )u O u′δ′∀ δ ∈ : ( )1( ) , ( , )uSm F X Sm F X′δ ⊂ . Учитывая это и принимая во вни-
мание второе условие теоремы, приходим к соотношениям
( ) ( )1 2 1( ) ( ) ( ), , ( , )u u uSm F X Sm F X Sm F X′′ ′′ ′′δ δ δ⊂ ⊂ ,
справедливым 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )u O u u O u′′ ′′δ δ′′ ′′∀ δ ∈ ∀ δ ∈ при { }min ,′′ ′δ = δ δ . Согласно
определению 1 делаем вывод, что задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива.
Необходимость. Предположим, что задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива и,
следовательно, 0∃δ° > , такое, что 1 1( ) ( )u O uδ°∀ δ° ∈ , 2 2( )) ( )u O uδ°∀ δ° ∈ :
( )1 2( ) ( ), ( , )u uSm F X Sm F Xδ° δ° ⊂ . Из теоремы 2 вытекает, что задача ( ( , ))Z Sm F X
будет и 3T -устойчивой по векторному критерию, т.е. удовлетворяет первому
условию доказываемой теоремы. Тогда согласно теореме 1 0∃δ > , такое, что
1 1( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ : ( )
1( )( , ) ,uSm F X Sm F Xδ= . Положив { }min ,δ = δ° δ , делаем вы-
вод, что 1 1( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ , 2 2( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ имеет место включение (7) и, следова-
тельно, выполняется второе условие данной теоремы.
Замечание 1. Очевидно, если для задачи ( ( , ))Z Sm F X выполняется условие
2) теоремы 3, то любая возмущенная задача ( )1( )( , )uZ Sm F Xδ , где 1 1( ) ( )u O uδδ ∈ , в
том числе и исходная задача ( ( , ))Z Sm F X , будет 3T -устойчивой по ограничениям.
Теорема 4. Если задача ( ( , ))Z Sm F X удовлетворяет двум условиям:
1) 0∃δ > , такое, что 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )u O u u O uδ δ∀ δ ∈ ∀ δ ∈ :
( )1 2 2( ) ( ) ( ), ( , )u u uSm F X Sm F Xδ δ δ⊂ ;
2) задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива по ограничениям,
то эта задача 3T -устойчива.
Доказательство. В соответствии с определением 1 3T -устойчивость по огра-
ничениям задачи ( ( , ))Z Sm F X означает: 0′∃δ > , такое, что 2 2( ) ( )u O u′δ′∀ δ ∈ :
( )2 ( ), ( , )uSm F X Sm F X′δ ⊂ . Принимая также во внимание первое условие дока-
зываемой теоремы, получаем соотношения
( ) ( )1 2 2( ) ( ) ( ), , ( , )u u uSm F X Sm F X Sm F X′′ ′′ ′′δ δ δ⊂ ⊂ ,
справедливые 1 1( ) ( )u O u′′δ′′∀ δ ∈ , 2 2( ) ( )u O u′′δ′′∀ δ ∈ при { }min ,′′ ′δ = δ δ . Приходим
к выводу о том, что задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива.
Т.Т. ЛЕБЕДЕВА, Т.И. СЕРГИЕНКО
Компьютерная математика. 2010, № 2 162
Замечание 2. Очевидно, если задача ( ( , ))Z Sm F X удовлетворяет условию
1) теоремы 4, то любая задача ( )2 ( )( , )uZ Sm F X δ , где 2 2( ) ( )u O uδδ ∈ , в том числе
и исходная задача ( ( , ))Z Sm F X , будет 3T -устойчивой по векторному критерию.
Теорема 5. Если выполняются два условия:
1) задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива по векторному критерию;
2) задача ( ( , ))Z Sl F X 3T -устойчива по ограничениям, то задача
( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива.
Доказательство. Пусть задача ( ( , ))Z Sm F X 3T -устойчива по векторному
критерию, а задача ( ( , ))Z Sl F X 3T -устойчива по ограничениям. Согласно
утверждению 3 3T -устойчивость по ограничениям задачи ( ( , ))Z Sl F X означает,
что эта задача является и 3T -устойчивой к возмущениям всех исходных данных.
С учетом включений (1) и утверждения 4 становится очевидным, что 0∃δ > ,
такое, что 1 1( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ , 2 2( ) ( )u O uδ∀ δ ∈ :
( )1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( , ) , ( , ) ( , )u u u uSm F X Sl F X Sl F X Sm F Xδ δ δ δ⊂ ⊂ = ,
что и позволяет сделать вывод о 3T -устойчивости задачи ( ( , ))Z Sm F X .
Напомним, что для векторной задачи ( ( , ))Z P F X поиска Парето-
оптимальных решений условия, аналогичные сформулированным в теореме 5,
являются не только достаточными, но и необходимыми условиями ее
3T -устойчивости, что отражено в утверждении 6.
Заключение. В работе изучены вопросы, касающиеся, в основном, одного
типа устойчивости ( 3T -устойчивости) векторных задач оптимизации на конеч-
ном множестве целочисленных точек выпуклого многогранника. Получен ряд
новых необходимых и достаточных условий устойчивости для случая поиска
решений, оптимальных по Смейлу.
Т.Т. Лебєдєва, Т.І. Сергієнко
УМОВИ СТІЙКОСТІ ВЕКТОРНИХ ЦІЛОЧИСЛОВИХ ЗАДАЧ ПОШУКУ РОЗВ’ЯЗКІВ,
ОПТИМАЛЬНИХ ЗА СМЕЙЛОМ
Досліджені питання, які стосуються одного типу стійкості до збурень вхідних даних
векторних задач цілочислової оптимізації на скінченній множині. Отримано ряд нових
необхідних і достатніх умов стійкості для задач пошуку розв’язків, оптимальних за Смейлом.
T.T. Lebedeva, T.I. Sergienko
STABILITY CONDITIONS OF VECTOR INTEGER OPTIMIZATION PROBLEMS
OF FINDING THE SMALE OPTIMAL SOLUTIONS.
The paper presents the results of investigating one type of stability with respect to perturbations of
initial data of vector integer optimization problems with finite set of feasible solutions. Necessary
and sufficient conditions are proved for considered version of stability for problems of finding the
solutions from the Smale set.
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ВЕКТОРНЫХ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ЗАДАЧ ПОИСКА РЕШЕНИЙ ...
Компьютерная математика. 2010, № 2 163
1. Лебедева Т.Т., Сергиенко Т.И. Сравнительный анализ различных типов устойчивости по
ограничениям векторной задачи целочисленной оптимизации // Кибернетика и системный
анализ. – 2004. − № 1. – С. 63–70.
2. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В., Сергиенко Т.И. Устойчивость векторных задач целочи-
сленной оптимизации: взаимосвязь с устойчивостью множеств оптимальных и неопти-
мальных решений // Кибернетика и системный анализ. – 2005. − № 4. – С. 90–100.
3. Лебедева Т.Т., Сергиенко Т.И. Устойчивость по векторному критерию и ограничениям
векторной целочисленной задачи квадратичного программирования // Кибернетика и сис-
темный анализ. – 2006. – № 5. – С. 63–72.
4. Сергиенко Т.И. Устойчивость по векторному критерию и ограничениям целочисленных
задач поиска решений, оптимальных по Слейтеру и Смейлу // Компьютерная математика.
– 2008. − № 1. – С. 145–151.
5. Лебедева Т.Т., Сергиенко Т.И. Разные типы устойчивости векторной задачи целочисленной
оптимизации: общий подход // Кибернетика и системный анализ. – 2008. − № 3. –
С. 142–148.
Получено 09.04.2010
Îá àâòîðàõ:
Лебедева Татьяна Тарасовна,
старший научный сотрудник Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Сергиенко Татьяна Ивановна,
научный сотрудник Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84598 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:25:34Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лебедева, Т.Т. Сергиенко, Т.И. 2015-07-10T17:47:33Z 2015-07-10T17:47:33Z 2010 Условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по Смейлу / Т.Т. Лебедева, Т.И. Сергиенко // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2010. — № 2. — С. 156-163. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84598 519.6 Исследованы вопросы, касающиеся одного типа устойчивости к возмущениям исходных данных векторных задач целочисленной оптимизации на конечном множестве. Получен ряд новых необходимых и достаточных условий устойчивости для задач поиска решений, оптимальных по Смейлу. Досліджені питання, які стосуються одного типу стійкості до збурень вхідних даних векторних задач цілочислової оптимізації на скінченній множині. Отримано ряд нових необхідних і достатніх умов стійкості для задач пошуку розв’язків, оптимальних за Смейлом. The paper presents the results of investigating one type of stability with respect to perturbations of initial data of vector integer optimization problems with finite set of feasible solutions. Necessary and sufficient conditions are proved for considered version of stability for problems of finding the solutions from the Smale set. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Теория и методы оптимизации Условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по Смейлу Умови стійкості векторних цілочислових задач пошуку розв’язків, оптимальних за Смейлом Stability conditions of vector integer optimization problems of finding the Smale optimal solutions Article published earlier |
| spellingShingle | Условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по Смейлу Лебедева, Т.Т. Сергиенко, Т.И. Теория и методы оптимизации |
| title | Условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по Смейлу |
| title_alt | Умови стійкості векторних цілочислових задач пошуку розв’язків, оптимальних за Смейлом Stability conditions of vector integer optimization problems of finding the Smale optimal solutions |
| title_full | Условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по Смейлу |
| title_fullStr | Условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по Смейлу |
| title_full_unstemmed | Условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по Смейлу |
| title_short | Условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по Смейлу |
| title_sort | условия устойчивости векторных целочисленных задач поиска решений, оптимальных по смейлу |
| topic | Теория и методы оптимизации |
| topic_facet | Теория и методы оптимизации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84598 |
| work_keys_str_mv | AT lebedevatt usloviâustoičivostivektornyhceločislennyhzadačpoiskarešeniioptimalʹnyhposmeilu AT sergienkoti usloviâustoičivostivektornyhceločislennyhzadačpoiskarešeniioptimalʹnyhposmeilu AT lebedevatt umovistíikostívektornihcíločislovihzadačpošukurozvâzkívoptimalʹnihzasmeilom AT sergienkoti umovistíikostívektornihcíločislovihzadačpošukurozvâzkívoptimalʹnihzasmeilom AT lebedevatt stabilityconditionsofvectorintegeroptimizationproblemsoffindingthesmaleoptimalsolutions AT sergienkoti stabilityconditionsofvectorintegeroptimizationproblemsoffindingthesmaleoptimalsolutions |