Численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра
Рассмотрены вопросы решения с помощью градиентных методов обратных краевых задач для упруго деформированного полого толстого цилиндра. Представлены результаты решения некоторых модельных обратных краевых задач. Розглянуто питання розв’язання, за допомогою градієнтних методів, зворотних крайових зада...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Компьютерная математика |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84600 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра / В.С. Дейнека, А.А. Аралова // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 3-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860122535915421696 |
|---|---|
| author | Дейнека, В.С. Аралова, А.А. |
| author_facet | Дейнека, В.С. Аралова, А.А. |
| citation_txt | Численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра / В.С. Дейнека, А.А. Аралова // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 3-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Рассмотрены вопросы решения с помощью градиентных методов обратных краевых задач для упруго деформированного полого толстого цилиндра. Представлены результаты решения некоторых модельных обратных краевых задач.
Розглянуто питання розв’язання, за допомогою градієнтних методів, зворотних крайових задач для пружно деформованого довгого товстого порожнистого циліндра. Представлені результати розв’язання деяких модельних зворотних крайових задач.
The problem of solution to inverse problem for elastic deformation of thick hollow cylinder with the use of gradient methods is considered. The solutions to sample inverse boundary problems are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:40:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2011, № 1 3
Ìàòåìàòè÷åñêîå
ìîäåëèðîâàíèå
Рассмотрены вопросы решения с
помощью градиентных методов
обратных краевых задач для
упруго деформированного полого
толстого цилиндра. Представле-
ны результаты решения неко-
торых модельных обратных кра-
евых задач.
В.С. Дейнека, А.А. Аралова,
2011
ÓÄÊ 519.6:539.3
Â.Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ, À.À. ÀÐÀËÎÂÀ
×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ
ÎÁÐÀÒÍÛÕ ÊÐÀÅÂÛÕ ÇÀÄÀ×
ÎÑÅÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÍÎÃÎ
ÄÅÔÎÐÌÈÐÎÂÀÍÈß ÄËÈÍÍÎÃÎ
ÒÎËÑÒÎÃÎ ÏÎËÎÃÎ ÖÈËÈÍÄÐÀ
Введение. В работах [1–3] на основе резуль-
татов теории оптимального управления со-
стояниями различных многокомпонентных
распределенных систем [4, 5] предложена
технология построения явных выражений
градиентов функционалов-невязок для иден-
тификации градиентными методами [6] раз-
личных параметров различных многокомпо-
нентных распределенных систем. В работах
[7–9] эта технология распространена на зада-
чи упругого, термоупругого деформирования
многокомпонентных тел.
В данной статье рассмотрены вопросы ре-
шения с помощью градиентных методов об-
ратных краевых задач для упруго деформи-
рованного полого толстого цилиндра. Пред-
ставлены результаты решения некоторых
модельных обратных краевых задач.
1. Идентификация внешнего давления
полого цилиндра при известных значени-
ях давления и смещения на внутренней
его поверхности.
Рассмотрим длинный толстый полый изо-
тропный круговой цилиндр. С учетом сим-
метрии, следуя [10], напряженно-дефор-
мированное состояние описывается уравне-
нием равновесия
1 20, ( , )rrd
r r r
dr r
ϕσ − σσ + = ∈ , (1)
где r1, r2 = const > 0 – радиусы, соответствен-
но, внутренней и внешней круговых поверх-
ностей; r – радиальная координата цилин-
дрической системы координат (r, φ, z),
В.С. ДЕЙНЕКА, А.А. АРАЛОВА
Компьютерная математика. 2011, № 1 4
ось z совпадает с осью вращения рассматриваемого тела; rσ , ϕσ – составляю-
щие тензора напряжений:
2 , 2 ,
, , , 0,
r r
r z r z
du u dw
dr r dz
ϕ ϕ
ϕ ϕ
σ = λθ + µε σ = λθ + µε
θ = ε + ε + ε ε = ε = ε = =
(2)
λ 0, µ – постоянные Ляме; u , w – смещения, соответственно, в направлениях
Оr, Оz, 0w ≡ ; rε , ϕε , zε – составляющие тензора деформации.
С учетом (2), уравнение равновесия (1) можем записать в виде
( ) ( )2 2 0
y y
r
r r r
∂ ∂ − λ + µ − λ + µ = ∂ ∂
, r ∈Ω , (3)
где 1 2( , )r rΩ = , ( ) ( )y y r u r= = .
Пусть на внутренней и внешней поверхностях цилиндра заданы напряжения
ir r r ip=σ = − , 1,2i = , (4)
где р2 считаем неизвестным, а р1 – задано. При этом считаем, что на внутренней
поверхности цилиндра известно смещение, т. е.
1 0( )y r f= . (5)
Полученная задача (3)–(5), состоит в определении элемента
( )2 ,u p U R= ∈ = = −∞ +∞ , при котором решение ( ) ( ; )y y u y u r= = задачи
(3)–(4) удовлетворяет равенству (5).
Следуя [11], при каждом ,u U∈ вместо классического решения краевой
задачи (3)–(4) будем рассматривать ее обобщенное решение, как функцию
( )y y r H= ∈ , ( )1
2 1 2,H W r r= – пространство Соболева, которая ( )z r∀ ∈
0 ,H H∈ = удовлетворяет равенству
( ; ) ( ; )a y z l u z= , (6)
где
( ) ( )
2
1
1 1 1 2 2 2
( ; ) 2 2 ,
( ; ) ( ) ( ).
r
r
dy dz y dz dy z y z
a y z r dr
dr dr r dr dr r r r
l u z r p z r r p z r
= λ + µ + λ + + λ + µ
= −
∫ (6’)
Для каждого u U∈ функционал энергии имеет вид
( ; ) ( ; ) 2 ( ; )u z a z z l u zΦ = − , z H∈ . (7)
Функция ( )y r , минимизирующая на H этот функционал, называется реше-
нием задачи (7). Справедливо утверждение
Лемма 1. При каждом фиксированном u U∈ задачи (6), (7) эквивалентны и
имеют единственное решение ( ; ) .y y u r H= ∈
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ …
Компьютерная математика. 2011, № 1 5
Введем в рассмотрение функционал-невязку
21
1 02( ) ( ( ; ) )J u y u r f= − . (8)
Вместо задачи (3)–(5) решаем задачу (6), (8), состоящую в определении
элемента u, минимизирующего на U функционал (8) при ограничении (6).
Задачу (6), (8) будем решать с помощью градиентных методов [6],
где (n+1)-е приближение 1nu + решения u U∈ находится по формуле
1n n n nu u p+ = − β (9)
начиная с некоторого приближения 0u U∈ , а направление спуска np и коэффи-
циент nβ для метода минимальных ошибок находим по формулам [6]
' ,
nn up J=
2
2 .
'
n
n
n
u
e
J
β = (10)
Здесь '
nuJ – градиент функционала ( )J u в точке nu u= , 0n ne Au f= − ,
1( ; )n nAu y u r= .
Введем обозначения
( )
( )0
( , ) ( ) (0), ( ) (0) ,
( ) (0), ( ) (0) ,
u v u v
L v f v
π = ϒ − ϒ ϒ − ϒ
= − ϒ ϒ − ϒ
(10’)
где ( ) .v Avϒ =
Так как
( )0 02 ( ) ( , ) 2 ( ) (0), (0)J v v v L v f f= π − + − ϒ − ϒ ,
то
( )
( )
0
0
( ) ( )
lim ( , ) ( )
( ) , ( ) ( ) ' , . (11)u
J u v u J u
u v u L v u
u f v u J v u
λ→
+ λ − −
= π − − − =
λ
= ϒ − ϒ − ϒ = −
Следуя [8, 9, 11] для определения (n+1)-го приближения 1nu + решения
u U∈ задачи (6), (8) введем в рассмотрение сопряженную задачу
( )
1 2
1
( ) ( ) ( ) 0, ,
1
( ) , ( ) 0.
r r
r r r n r r r
d
r r
dr
e
r
ϕ
= =
− σ Ψ − σ Ψ − σ Ψ = ∈Ω
σ Ψ = σ Ψ =
(12)
Определение 1. Обобщенным решением краевой задачи (12) называется
функция ( )r HΨ ∈ , которая z H∀ ∈ удовлетворяет тождеству
1( , ) ( ).na z e z rΨ = (13)
В.С. ДЕЙНЕКА, А.А. АРАЛОВА
Компьютерная математика. 2011, № 1 6
Выбирая в тождестве (13) вместо функции z разность 1( ) ( )n ny u y u+ − ,
с учетом (6), (11) получаем
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 2 2
' , ; ; ; ( ) ( )
( ); ( ); ; ; ( ).
nu n n n n n n
n n n n n
J u e y u r y u r a y u y u
a y u a y u l u l u r u r
+ +
+ +
∆ = − = Ψ − =
= Ψ − Ψ = Ψ − Ψ = − ∆ Ψ
Следовательно,
' ,
nu nJ = Ψɶ (14)
где 2 2( ).n r rΨ = − Ψɶ
Задача (6), (8) решается с помощью градиентных методов (9), (10), где пря-
мая (6) и сопряженная (13) задачи решены с использованием метода конечных
элементов (МКЭ) путем минимизации соответствующего функционала энергии.
На примере задачи (7) его реализация состоит в следующем. Введем в рас-
смотрение подпространство 1
NH H∈ непрерывных на [ ]1 2,r r , линейных,
1 1 2( )N i iV r rα α= + , на каждом элементарном отрезке 1,i ir r + , 1r =
0 1
2
Nr r r r= < < < =… функций. Имеем 1 1 1 1( ; ) ( ; ) 2 ( ; )N N N N
n nu v a v v l u vΦ = − .
С учетом конечно-элементного разбиения получаем
2
1
1 1 1 1 1 1 1( ; ) (( 2 ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))
r
N N N N N N N
n r r r r
r
u v r v v v v v vϕ ϕΦ = λ + µ ε ε + λ ε ε +ε ε +∫
( ) ( ) ( )
2
1
2
1 1 1 1 1 1 2 1 2 1( 2 ) ( ) ( )) 2 ( ) ( ) 2 ( )
r
N N N N N
n r
r
v v dr r p v r r u v r r v drϕ ϕ+ λ + µ ε ε − − = λ + µ ε +∫
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
21 1 11 1 2
2
1 2 2
0 00 0 0
2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )
2 2
r r
N N N N N
r n
r r
iN N
i i i
i i i
i ii
r v v dr r v dr r p v r r u v r
r h h d d d
h
ϕ ϕ
− −
= =
+ λ ε ε + λ + µ ε − − =
β
= λ + µ + η η + λ β β η + β η η +
∫ ∫
∑ ∑∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
2
11
1 2
1 1 1 1 2 1 2
0 0
2 2 ( ) ( )
i iN
N N
i n
i i i
h d r p v r r u v r
r h
−
=
β + β η
+ λ + µ η − − =
+ η
∑ ∫
( )
1 1
0 0
1 1 1 012 2 1 1 0 1
N N
T Ti
i i i i
i ii
r
h
− −
= =
− − = λ + µ + ϖ ϖ + λ ϖ ϖ + −
∑ ∑
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ …
Компьютерная математика. 2011, № 1 7
( )
1
0
1 0 2 1
2 (ln 1 ln
0 0 1 0
N
T Ti i i i i
i i i i
i i i i
r h r r h
r h r
−
=
− + ++ λ + µ ϖ ϖ + − ϖ ϖ +
∑
( )
2
1 1 1 2 2
1 11
ln 2 ( ) ( )
1 12
Ti i i i
i i n
i i i
r r h r
r p z r r u z r
h r h
− +
+ − + ϖ ϖ − − = −
,T TV AV V B= − (14’)
где ( )0 1, , ,T
NV V V V= … – значения решения 1 ( ; )N
ny u r в узловых точках ri,
0,i N= , А – симметричная положительно определенная матрица размерностью
(N+1)×(N+1), { } 0
N
i i
B b
=
= , i
ir r= . С помощью преобразования i ir r h= + η ,
1i i
ih r r+= − , 1 1 2( ( ))N i iV r η = β + β η , где 1 2,i iβ β =const. На основании (14’) получа-
ем систему линейных алгебраических уравнений AV B= .
При каждом nu u= для приближения 1 1( ; )N N
ny u r H∈ решения ( )ny u H∈
задачи (7) имеет место оценка
1
2 1 2
1 ( , )
( ) ( )N
n n W r r
y u y u Ch− ≤ , (15)
где С = const, max .i
i
h h=
С помощью рассмотренного подхода решены некоторые модельные примеры.
Пример 1. При λ =2, µ =1, 1p = – 6, 2p = – 6, 1r =1, 2r =2, классическое
решение краевой задачи(3)–(4) имеет вид y r= .
Считаем в этой задаче 2p u U= ∈ неизвестным. Для приведенных исходных
данных задача (6), (8) решена с помощью градиентных методов (9), (10), где на
каждом шаге определения (n+1)-го приближения 1nu + решения u U∈ прямая
(6) и сопряженная (13) задачи решены с помощью изложенного алгоритма МКЭ
с использованием кусочно-линейных функций метода конечных элементов
путем минимизации соответствующего функционала энергии. Для задачи (6) он
имеет вид
1 1 1 1( ; ) ( ; ) 2 ( ; ).N N N N
n nu v a v v l u vΦ = −
В табл. 1 приведены результаты вычислительного эксперимента, где u0 – на-
чальное приближение итерационного процесса; un – результирующее значение;
en – погрешность; h – шаг разбиения; n – номер итерации, на котором завершает-
ся итерационный процесс.
2. Идентификация внутреннего давления полого цилиндра при извест-
ных значениях давления и смещения на внешней его поверхности.
Состояние системы описывается задачей (3), (4), где р1 считается неизвест-
ным, а р2 задано, т. е. эквивалентными задачами (6), (7) где
1 1 2 2 2( ; ) ( ) ( )l u z ruz r r p z r= − . (16)
В.С. ДЕЙНЕКА, А.А. АРАЛОВА
Компьютерная математика. 2011, № 1 8
ТАБЛИЦА 1
u0 – 10 10 1 – 10 10 – 1 1
un – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6
en 0 0 0 0 0 0 0
h 0,25 0,25 0,25 0,1 0,1 0,01 0,01
p2 = – 6
f0 = 1
n 2 2 2 2 2 2 2
Считаем, что на внешней поверхности цилиндра известно смещение:
2 0( )y r f= . (17)
Функционал-невязка имеет следующий вид:
21
2 02( ) ( ( ; ) ) .J u y u r f= − (18)
Полученную задачу (6), (18), где билинейная форма ( ; )a ⋅ ⋅ определенна вы-
ражением (6’), а функционал ( ; )l ⋅ ⋅ – (16), решаем приближенно с помощью ите-
рационного процесса (9), (10), где 0n ne Au f= − , 2( ; )n nAu y u r= . Справедливы
выражения вида (10’), (11), где ( )v Avϒ = .
Для определения (n+1)-го приближения 1nu + решения u U R∈ = рассмат-
риваемой задачи, следуя [8, 9, 11], сопряженная задача имеет вид
( ) ( )
2 1
2
2 2 0, ,
1
( ) , ( ) 0.r r r n r r r
r r
r r r
e
r= =
∂ ∂Ψ Ψ − λ + µ − λ + µ = ∈Ω ∂ ∂
σ Ψ = − σ Ψ =
(19)
Определение 2. Обобщенным решением краевой задачи (19) называется
функция ( )r HΨ ∈ , которая z H∀ ∈ удовлетворяет равенству
2( , ) ( )na z e z rΨ = . (20)
Теорема 1. Решение задачи (20) существует и единственное в H .
Выбирая в тождестве (20) вместо функции z разность 1( ) ( )n ny u y u+ − ,
с учетом (10’), (11) и задачи вида (6), имеем
( ) ( )( ) ( )1 2 2 1 1' , ; ; ; ( )
nu n n n n n nJ u e y u r y u r l u r u r+∆ = − = ∆ Ψ = ∆ Ψ .
Следовательно,
'
nu nJ = Ψɶ , (21)
где 1 1( ).n r rΨ = Ψɶ
Пример 2. Полагаем 0f = 2, а все остальные исходные данные совпадают
с теми, что приведены в примере 1.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ …
Компьютерная математика. 2011, № 1 9
Для приведенных исходных данных рассматриваемая модельная задача
идентификации внутреннего давления р1 решена с помощью метода минималь-
ных ошибок (9), (10). На каждом шаге определения (n+1)-го приближения 1nu +
решения u U∈ задача вида (6) и сопряженная – вида (20) решены с исполь-
зованием кусочно-линейных функций МКЭ. Справедлива оценка вида (15).
В табл. 2 приведены результаты вычислительного эксперимента, где использо-
вались те же обозначения, что и в примере 1.
ТАБЛИЦА 2
u0 – 10 10 1 – 10 10 – 1 1
un – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6
en 0 0 0 0 0 0 0
h 0,25 0,25 0,25 0,1 0,1 0,01 0,01
p1 = –6
f0 = 2
n 2 2 2 2 2 2 2
3. Идентификация внешнего давления цилиндра при известном смеще-
нии внутренней его точки.
Состояние системы описывается краевой задачей (3), (4), где р1 задано,
а р2 – неизвестно. При этом в некоторой точке 1 1 2( , )d r r∈ известно значение
смещения.
1 0( )y d f= . (22)
Функционал-невязка
21
1 02( ) ( ( ; ) ) .J u y u d f= − (23)
Следовательно, получена задача (6), (23), состоящая в определении элемента
u минимизирующего на U R= функционал (23) при ограничении (6). Задачу
(6), (23) решаем приближенно с помощью итерационного процесса (9), (10).
Справедливы выражения (10’), (11), где ( )v Avϒ = , 1( ; )Av y v r= .
Следуя [8, 9, 11] для определения (n+1)-го приближения 1nu + решения
u U∈ задачи (6), (23), сопряженная задача имеет вид
( ) ( )
[ ] [ ]
1 1 ,
1
2 2 0, ,
1
0, ( ) ( ) 0, 1,2 ,
ir d r r d n r r r
r r
r r r
e i
d= = =
∂ ∂Ψ Ψ − λ + µ − λ + µ = ∈Ω ∂ ∂
ϕ = σ Ψ = − σ Ψ = =
(24)
где 1 2Ω = Ω ∪ Ω , 1 1 1( , )r dΩ = , 2 1 2( , )d rΩ = , [ ]
1 1 1( 0) ( 0)r d d d=ϕ = ϕ + − ϕ − –
скачок функции ( )rϕ в точке 1 1 2( , )r d r r= ∈ .
В.С. ДЕЙНЕКА, А.А. АРАЛОВА
Компьютерная математика. 2011, № 1 10
Вместо классического решения краевой задачи (24) с условиями сопряжения
будем использовать ее обобщенное решение.
Определение 3. Обобщенным решением краевой задачи (24) называется
функция { }1
1
2( ) ( ) : ( ), 1, 2;[ ] 0
i i r dr H v r v W i vΩ =Ψ ∈ = ∈ Ω = = , которая z H∀ ∈
удовлетворяет равенству
( , ) ( ( ); )na z l y u zΨΨ = , (25)
где билинейная форма ( ; )a ⋅ ⋅ имеет вид (6’),
( )1 0 1( ( ); ) ( ; ) ( )n nl y u z y u d f z dΨ = − . (26)
Теорема 2. Решение задачи (25) существует и единственное в H .
Выбирая в тождестве (25) вместо функции z разность 1( ) ( )n ny u y u+ − , с уче-
том выражений вида (10’), (11), где ( )v Avϒ = , 1( ; )Av y v r= , ( ; )y v r – решение
обобщенной задачи (6), имеем
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
1 0 1 1 1
1 1 2 2
' , ; ; ;
; ( ) ( ) ; ; ( ).
nu n n n n
n n n n n
J u y u d f y u d y u d
a y u y u l u l u r u r
+
+ +
∆ = − − =
= Ψ − = Ψ − Ψ = − ∆ Ψ
Следовательно, '
nu nJ = Ψɶ , где 2 2( )n nr u rΨ = − ∆ Ψɶ .
Пример 3. Полагаем 1d =1/2, 0f =3/2, а все остальные исходные данные
совпадают с теми, что приведены в примере 1.
Для приведенных исходных данных рассматриваемая модельная задача
идентификации внешнего давления р2 решена с помощью метода минимальных
ошибок (9), (10). На каждом шаге определения (n+1)-го приближения 1nu +
решения u U R∈ = рассматриваемой задачи прямая задача вида (6) и сопря-
женная вида (25) решены с использованием кусочно-линейных функций МКЭ.
Справедлива оценка вида (15). В табл. 3 приведены результаты вычислительного
эксперимента, где использовались те же обозначения, что и в примере 1.
ТАБЛИЦА 3
u0 –10 10 1 –10 10 –1 1
un –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6
en 0 0 0 0 0 0 0
h 0,25 0,25 0,25 0,1 0,1 0,01 0,01
p2 = – 6
f0 = 3/2
1d = 1/2
n 2 2 2 2 2 2 2
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ …
Компьютерная математика. 2011, № 1 11
4. Идентификация внутреннего давления цилиндра при известном сме-
щении внутренней его точки.
Состояние системы описывается краевой задачей (3), (4), где р1 неизвестно,
а р2 – задано. При этом в некоторой точке 1 1 2( , )d r r∈ известно смещение,
определенное равенством (22).
Функционал-невязка имеет вид (23).
Полученную задачу (6), (23), состоящую в определении элемента u U∈ ,
минимизирующую на U R= функционал (23), при ограничении (6), где били-
нейная форма ( ; )a ⋅ ⋅ имеет вид (6’), а ( ; )l ⋅ ⋅ определяется выражением (16), будем
решать с помощью метода минимальных ошибок (9), (10).
Для определения (n+1)-го приближения 1nu + решения u U R∈ = рас-
сматриваемой задачи, сопряженная задача имеет вид (24), с соответствующим ей
обобщением (25). На основе (25), с учетом (10’), (11), (6), (16) получаем
1 1' , ( )
nu n nJ u r u r∆ = ∆ Ψ .
Следовательно, '
nu nJ = Ψɶ , где 1 1( )n r rΨ = Ψɶ .
Пример 4. Полагаем 1d =1/2, 0f =3/2, а все остальные исходные данные сов-
падают с приведенными в примере 2.
Для приведенных исходных данных задача идентификации внутреннего
давления р1 решена с помощью метода минимальных ошибок (9), (10). На каж-
дом шаге определения (n+1)-го приближения 1nu + решения u U R∈ = рассмат-
риваемой задачи прямая задача вида (6) и сопряженная вида (25) решены с ис-
пользованием кусочно-линейных функций МКЭ. Справедлива оценка вида (15).
В табл. 4 приведены результаты вычислительного эксперимента, где использо-
вались те же обозначения, что и в примере 1.
ТАБЛИЦА 4
u0 – 10 10 1 – 10 10 – 1 1
un –6 –6 –6 –6 –6 – 6 –6
en 0 0 0 0 0 0 0
h 0,25 0,25 0,25 0,1 0,1 0,01 0,01
p1= – 6
f0 = 3/2
1d = 1/2
n 2 2 2 2 2 2 2
Заключение. На основе теории оптимального управления построены явные
выражения градиентов функционалов-невязок идентификации параметров упру-
гого деформирования кругового цилиндра. Решены модельные примеры.
В.С. ДЕЙНЕКА, А.А. АРАЛОВА
Компьютерная математика. 2011, № 1 12
В.С. Дейнека, А.А. Аралова
ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗВОРОТНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ОСЕСИМЕТРИЧНОГО
ДЕФОРМУВАННЯ ДОВГОГО ТОВСТОГО ПОРОЖНИСТОГО ЦИЛІНДРА
Розглянуто питання розв’язання, за допомогою градієнтних методів, зворотних крайових
задач для пружно деформованого довгого товстого порожнистого циліндра. Представлені
результати розв’язання деяких модельних зворотних крайових задач.
V.S. Deineka, A.A. Aralova
NUMERICAL SOLUTION TO INVERSE BOUNDARY PROBLEMS FOR LONG THICK
HOLLOW CYLINDER AXISYMMETRIC DEFORMATION
The problem of solution to inverse problem for elastic deformation of thick hollow cylinder with the
use of gradient methods is considered. The solutions to sample inverse boundary problems are
presented.
1. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение коэффициентных обратных задач теплопровод-
ности для составной пластины // Проблемы управления и информатики. – 2007. – № 3.
– С. 21 – 48.
2. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение комбинированных обратных задач для параболи-
ческих многокомпонентных распределенных систем // Кибернетика и системный анализ.
– 2007. – № 5. – С. 48 – 71.
3. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных
систем. – Киев: Наук. думка, 2009. – 640 с.
4. Дейнека В.С., Сергиенко И.В Оптимальное управление неоднородными распределенны-
ми системами. – Киев: Наук. думка, 2003. – 506 с.
5. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation condi-
tions. – New York: Kluwer Academic Publishers, 2005. – 400 p.
6. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некор-
ректных задач. – М.: Наука, 1988. – 288 с.
7. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение комплексных обратных задач термоупругости //
Проблемы управления и информатики. – 2007. – № 5. – С. 64 –87.
8. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация параметров задачи о напряженно-
деформированном состоянии многокомпонентного упругого тела с включением // При-
кладная механика. – 2010. – 46, № 4. – С. 14 – 24.
9. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация параметров задач упругого деформирова-
ния // Проблемы прочности. – 2010. – № 5. – С. 101 –126.
10. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1975. – 576 с.
11. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация напряженно-деформированного состоя-
ний составного цилиндра по известным смещениям // Проблемы управления и информа-
тики. – 2009. – № 3. – С. 42 –48.
Получено 16.12.2010
Îá àâòîðàõ:
Дейнека Василий Степанович,
доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Украины,
заведующий отделом Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
e-mail vdeineka@ukr.net
Аралова Альбина Андреевна,
младший научный сотрудник Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
e-mail aaasquirrel@ukr.net
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84600 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:40:15Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дейнека, В.С. Аралова, А.А. 2015-07-11T16:41:04Z 2015-07-11T16:41:04Z 2011 Численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра / В.С. Дейнека, А.А. Аралова // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 3-12. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84600 519.6:539.3 Рассмотрены вопросы решения с помощью градиентных методов обратных краевых задач для упруго деформированного полого толстого цилиндра. Представлены результаты решения некоторых модельных обратных краевых задач. Розглянуто питання розв’язання, за допомогою градієнтних методів, зворотних крайових задач для пружно деформованого довгого товстого порожнистого циліндра. Представлені результати розв’язання деяких модельних зворотних крайових задач. The problem of solution to inverse problem for elastic deformation of thick hollow cylinder with the use of gradient methods is considered. The solutions to sample inverse boundary problems are presented. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра Чисельне розв’язання зворотних крайових задач осесиметричного деформування довгого товстого порожнистого циліндра Numerical solution to inverse boundary problems for long thick hollow cylinder axisymmetric deformation Article published earlier |
| spellingShingle | Численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра Дейнека, В.С. Аралова, А.А. Математическое моделирование |
| title | Численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра |
| title_alt | Чисельне розв’язання зворотних крайових задач осесиметричного деформування довгого товстого порожнистого циліндра Numerical solution to inverse boundary problems for long thick hollow cylinder axisymmetric deformation |
| title_full | Численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра |
| title_fullStr | Численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра |
| title_full_unstemmed | Численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра |
| title_short | Численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра |
| title_sort | численное решение обратных краевых задач осесимметричного деформирования длинного толстого полого цилиндра |
| topic | Математическое моделирование |
| topic_facet | Математическое моделирование |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84600 |
| work_keys_str_mv | AT deinekavs čislennoerešenieobratnyhkraevyhzadačosesimmetričnogodeformirovaniâdlinnogotolstogopologocilindra AT aralovaaa čislennoerešenieobratnyhkraevyhzadačosesimmetričnogodeformirovaniâdlinnogotolstogopologocilindra AT deinekavs čiselʹnerozvâzannâzvorotnihkraiovihzadačosesimetričnogodeformuvannâdovgogotovstogoporožnistogocilíndra AT aralovaaa čiselʹnerozvâzannâzvorotnihkraiovihzadačosesimetričnogodeformuvannâdovgogotovstogoporožnistogocilíndra AT deinekavs numericalsolutiontoinverseboundaryproblemsforlongthickhollowcylinderaxisymmetricdeformation AT aralovaaa numericalsolutiontoinverseboundaryproblemsforlongthickhollowcylinderaxisymmetricdeformation |