Подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса Надра-3D
Рассмотрены особенности метода исчерпывания и реализующего его алгоритма, использованные при разработке подсистемы триангуляции специализированных слоистых областей программного комплекса Надра-3D. Розглянуто особливості методу вичерпування та алгоритму, що його реалізує, використані при розробці пі...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84606 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса Надра-3D / М.В. Белоус, В.С. Дейнека // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 56-62 . — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860253808722968576 |
|---|---|
| author | Белоус, М.В. Дейнека, В.С. |
| author_facet | Белоус, М.В. Дейнека, В.С. |
| citation_txt | Подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса Надра-3D / М.В. Белоус, В.С. Дейнека // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 56-62 . — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Рассмотрены особенности метода исчерпывания и реализующего его алгоритма, использованные при разработке подсистемы триангуляции специализированных слоистых областей программного комплекса Надра-3D.
Розглянуто особливості методу вичерпування та алгоритму, що його реалізує, використані при розробці підсистеми триангуляції спеціалізованих шаруватих областей програмного комплексу Надра-3D.
Peculiarities and algorithms of advancing-front technique used in Nadra-3D mesh generator for layered regions are considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:46:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
56 Компьютерная математика. 2011, № 1
Èíñòðóìåíòàëüíûå
ñðåäñòâà
èíôîðìàöèîííûõ
òåõíîëîãèé
Рассмотрены особенности мето-
да исчерпывания и реализующего
его алгоритма, использованные
при разработке подсистемы три-
ангуляции специализированных сло-
истых областей программного
комплекса Надра-3D.
М.В. Белоус, В.С. Дейнека,
2011
ÓÄÊ 004.021
Ì.Â. ÁÅËÎÓÑ, Â.Ñ. ÄÅÉÍÅÊÀ
ÏÎÄÑÈÑÒÅÌÀ ÒÐÈÀÍÃÓËßÖÈÈ
ÑËÎÈÑÒÛÕ ÒÅË ÏÐÎÃÐÀÌÌÍÎÃÎ
ÊÎÌÏËÅÊÑÀ ÍÀÄÐÀ-3D
Введение. Одним из подготовительных эта-
пов при проведении расчетов методом ко-
нечных элементов является построение сетки
триангуляции исследуемой области, т. е.
представления области в виде совокупности
треугольников в двумерном случае и в виде
совокупности тетраэдров в трехмерном.
Исследования и разработка алгоритмов
триангуляции ведутся на протяжении дли-
тельного времени и по-прежнему являются
актуальными, о чем свидетельствует значи-
тельное количество публикаций по вопросам
генерирования и оптимизации сетки. При-
чем, если для двумерного случая вопрос три-
ангуляции произвольной области практиче-
ски решен [1–4], то для произвольной трех-
мерной области этот вопрос все еще остается
открытым.
Сетки триангуляции различают двух ви-
дов: регулярные сетки (для построения эле-
мента которых достаточно знать его номер в
некоторой системе, определяемой исполь-
зуемым шаблоном) и нерегулярные. Методы
построения сеток первого типа не требуют
больших ресурсов памяти и достаточно бы-
стры, однако они применимы к построению
сеток для ограниченного количества облас-
тей. Для триангуляции областей произволь-
ной формы, со сложной границей или какими
либо особенностями, требующими сгущения
сетки, используются методы построения не-
регулярных сеток.
В данной работе рассматривается метод
исчерпывания, использованный при реализа-
ции подсистемы триангуляции программного
комплекса Надра-3D.
ПОДСИСТЕМА ТРИАНГУЛЯЦИИ СЛОИСТЫХ ТЕЛ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА …
Компьютерная математика. 2011, № 1 57
Методы исчерпывания (advancing front) основаны на концепции исполь-
зования «фронта» – динамически изменяемого набора элементов разбиения гра-
ницы области (отрезков для двумерного случая и треугольников для трехмерно-
го), которые возможно использовать при построении элементов сетки триангу-
ляции (треугольников в двумерном случае и тетраэдров в трехмерном). Общая
последовательность шагов методов исчерпывания имеет следующий вид:
1. Задание функции распределения размеров элементов сетки триангуляции.
2. Построение триангуляции для каждого фрагмента границы области (в дву-
мерном случае – это аппроксимация кривых границы ломаными, сегменты
которых удовлетворяют заданным пользователем ограничениям на длину).
Особенностью методов исчерпывания является то, что это начальное разбие-
ние в процессе работы алгоритма не изменяется.
3. Инициализация фронта сеткой триангуляции границы.
4. Выбор с помощью некоторого критерия элемента фронта, на котором, как на
основании, будет построен элемент сетки триангуляции, расположенный
внутри ограниченной фронтом области.
5. Вычисление положения «идеального узла» для выбранного элемента фронта.
6. Выбор из фронта узлов, которые возможно использовать вместо «идеального
узла», генерация дополнительных точек в окрестности «идеального узла».
7. Сортировка полученных на этапах 5, 6 узлов в соответствии с некоторым
критерием, построение элемента сетки триангуляции на выбранном элементе
фронта и первом узле списка. Проверка непересечения созданным элементом
сетки элементов фронта. Если с использованием имеющихся вершин не уда-
лось построить такой элемент, переходим к п. 4.
8. Обновление фронта и сетки триангуляции. Из фронта удаляются все принад-
лежащие ему элементы (отрезки либо треугольники), использованные для
построения элемента сетки, и во фронт добавляются элементы, образованные
в сгенерированном элементе сетки и ранее не принадлежавшие фронту.
В сетку триангуляции добавляется созданный на этапе 7 элемент.
9. Если фронт не пуст, переходим к п. 4.
10. Оптимизация полученной сетки триангуляции.
Задание распределения размеров генерируемых элементов может быть
выполнено явно либо неявно. При явном задании на всем пространстве должна
быть аналитически задана функция f(x, y, z), определяющая размеры элементов
сетки в любой точке области. При неявном задании размер генерируемого эле-
мента либо вычисляется исходя из дискретизации границы области, либо путем
интерполяции значений, заданных в узлах контрольного пространства, пред-
ставляющего собой покрывающую область дополнительную сетку (часто упо-
минается в публикациях как background mesh – «фоновая сетка»), в каждом узле
которой определены значения, задающие размер. Сетка контрольного простран-
ства может быть регулярной либо произвольной, сконструированной пользова-
телем. Для построения в окрестности некоторой точки сетки равносторонних
элементов пользователю необходимо задать в этой точке желаемую длину
М.В. БЕЛОУС, В.С. ДЕЙНЕКА
Компьютерная математика. 2011, № 1 58
стороны. Для построения сетки элементов, размеры которых различаются в за-
висимости от направления, необходимо задать n взаимно ортогональных на-
правлений и значения размеров по этим направлениям (n – размерность про-
странства).
Для сложных пространственных областей определение адекватной фоновой
сетки вручную может оказаться достаточно затратной задачей. В этом случае
целесообразней использовать механизм распределения источников (distribution
of sources). В этом подходе пространственное распределение размеров элемен-
тов сетки задается как функция расстояния от рассматриваемой точки до неко-
торого «источника», причем в некоторой окрестности «источника» значение раз-
мера обычно постоянно, а за пределами этой окрестности начинает быстро рас-
ти, что дает возможность генерирования сетки с плавным переходом к областям
ее сгущения.
Например, в [1] используются «источники» в виде точки, линии или тре-
угольника, а функция определения размеров элемента имеет вид
1( ) , cx x xδ = δ ≤ , 1( ) exp ,c
c
c
x x
x x x
D x
−δ = δ ≥ −
,
где x – расстояние от точки, где вычисляется значение, до источника, а значения
1δ , D, xc задаются пользователем.
Выбор активного элемента фронта, т. е. элемента, на котором будет по-
строен элемент сетки триангуляции, может осуществляться с использованием
различных критериев: выбор элемента, содержащего ребро минимальной длины;
элемента с минимальной площадью; выбор элемента с учетом минимизации
фронта (с целью уменьшения количества проверок и снижения общего времени
триангуляции за счет использования локальной информации, вычисленной на
предыдущих этапах). Также одной из стратегий является создание локально
наилучших элементов сетки, опираясь на наихудший элемент фронта.
Следует отметить [2], что генерирование сетки триангуляции обычно прои-
сходит не локально, а скорее осуществляется случайным образом для разных
элементов границы области. Это поведение имеет такие нежелательные эффек-
ты как ненужное усложнение фронта, уменьшение возможностей использования
полученной на предыдущих этапах локальной информации, общее уменьшение
скорости работы алгоритма.
Вычисление положения «идеального узла» для выбранного элемента
фронта включает в себя проверку на соответствие некоторым критериям
следующих точек:
1. «Идеальный узел», вычисленный для активного элемента фронта. Поло-
жение узла вычисляется так, чтобы построенный на нем и активном элементе
фронта элемент сетки триангуляции находился внутри ограниченной фронтом
области и был как можно ближе по форме к «идеальному элементу» (равносто-
роннему треугольнику, правильному тетраэдру).
ПОДСИСТЕМА ТРИАНГУЛЯЦИИ СЛОИСТЫХ ТЕЛ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА …
Компьютерная математика. 2011, № 1 59
2. Некоторые уже существующие узлы сетки триангуляции, принадлежащие
элементам фронта и близкие к активному элементу. Критерием близости обычно
является расстояние до идеального узла, которое должно быть меньшим, чем
вычисленное в идеальном узле значение h длины стороны элемента сетки триан-
гуляции. Кроме того, независимо от расстояния до идеального узла, рассматри-
ваются узлы элементов фронта, соседних с активным, если углы между ними и
активным элементом меньше некоторого порогового значения. Рассмотрение
узлов этой группы вызвано тем, что предпочтительнее использовать уже суще-
ствующий узел, а не создавать новый.
3. Точки, созданные на предопределенных позициях в окрестности идеаль-
ного узла. Рассмотрение этих точек предлагается некоторыми авторами для раз-
решения задачи выбора оптимального узла при сложной конфигурации фронта.
Набор указанных выше узлов упорядочивается в соответствии с увеличением
расстояния до идеального узла. Согласно этому упорядочению осуществляется
генерирование и проверка возможных элементов сетки триангуляции.
Проверка корректности сгенерированного элемента. Сгенерированный
элемент сетки является корректным, если ни один из элементов его границы не
пересекает ни один элемент фронта и если он не содержит ни один элемент сет-
ки. Таким образом, все проверки в итоге сводятся к проверкам пересечения.
В работе [2] отмечено, что в случае неоптимальной реализации этих проверок
они могут занимать до 80 % времени, затраченного на построение триангуляции.
Тем не менее, использование таких механизмов как фильтры по координатам и
квадрадеревья (октодеревья) может снизить затраченное на проверку пересече-
ний время до 25 % времени всего процесса триангуляции.
Следует также отметить, что элемент сетки триангуляции, удовлетворяю-
щий указанным выше условиям, хотя и является корректным, может модифици-
ровать фронт таким образом, что дальнейшее генерирование элементов сетки
либо будет создавать элементы с плохими свойствами, либо вообще будет не-
возможным. Поэтому целесообразно проверять также расстояние между ребра-
ми нового элемента сетки и элементами фронта, контролируя наличие свободно-
го пространства.
Методы улучшения сетки. Поскольку конечной целью является создание
качественной сетки, созданный элемент, даже если он прошел предварительные
проверки, может быть отброшен в случае неудовлетворения критерию качества.
Обзор возможных критериев оценки качества сетки приведен в [2, 3]. Например,
мерой качества [2] может быть значение max /Q h= α ρ , где hmax – длина наи-
большей стороны элемента, α – нормировочный коэффициент (такой, что
Q = 1, когда элемент правильный), ρ – радиус вписанной сферы. Построенный
элемент сетки отбрасывается, если мера Q превышает некоторое заданное поль-
зователем пороговое значение.
Из методов улучшения сетки обычно применяются следующие [1–4]:
Диагональная перестановка: изменяет связи между узлами в сетке, не изме-
няя положения самих узлов. Этот процесс заключается в переборе всех сторон
М.В. БЕЛОУС, В.С. ДЕЙНЕКА
Компьютерная математика. 2011, № 1 60
сетки (за исключением лежащих на границе). Для каждой стороны АВ, общей
для треугольников АВС и ADB, рассматривается возможность перестановки
сторон AB и CD, заменяя таким образом треугольники ABC и ADB на ADC и
BCD. Перестановка осуществляется, если в результате получившейся замены
некий критерий удовлетворяется лучше, чем при текущей конфигурации сетки.
Операция применима только, если область, ограниченная четырехугольником
ABCD, выпуклая. Критериями перестановки могут быть оптимальная связность
узлов и максимизация минимального угла. Оптимальная связность узлов пред-
ставлена «идеальным» количеством ребер, входящих во внутренний узел. Это
количество равно 6, поскольку совпадает с количеством ребер в сетке из равно-
сторонних треугольников. Для узлов, лежащих на границе, идеальное число
связности зависит от геометрии границы. Для каждого из четырех узлов теку-
щей конфигурации вычисляется разность реальной и идеальной связности и пе-
рестановка выполняется, если она уменьшает сумму этих значений.
Сглаживание сетки: изменяет положение внутренних узлов без изменения
топологии сетки. Стороны элементов рассматриваются как пружины, жесткость
которых пропорциональна длине стороны. Узлы итеративно перемещают до тех
пор, пока система не окажется в состоянии равновесия.
Сходимость. Для двумерного случая справедлива теорема, утверждающая,
что любая произвольная область, определенная полигональным непересекаю-
щимся контуром, может быть триангулирована без добавления дополнительных
узлов. Ее следствием является тот факт, что в двумерном случае метод исчер-
пывания всегда сходится за конечное число шагов. Для трехмерного случая это
утверждение не выполняется, поскольку существуют примеры простых облас-
тей, триангуляция которых без добавления дополнительных узлов невозможна.
Поэтому при реализации алгоритмов трехмерной триангуляции необходимо ми-
нимизировать вероятность получения тупиковых конфигураций, а в случае их
возникновения – реализовать механизмы удаления некоторых элементов сетки
и ее реконфигурации по другим алгоритмам.
Алгоритм триангуляции. Одна из возможных реализаций метода исчер-
пывания для построения триангуляции двумерной области, идеи которой ис-
пользованы при разработке подсистемы триангуляции программного комплекса
Надра-3D, описана в [1] (авторы – J. Peraire, J. Peiro, K. Morgan). Алгоритм
состоит из следующих шагов:
1. Выбирается имеющая минимальную длину сторона АВ фронта, которая бу-
дет использоваться как основание генерируемого треугольника.
2. На основании значений, заданных в узлах фоновой сетки, и значений «ис-
точников» вычисляется преобразование Т (отображает сетку в нормализиро-
ванное пространство, в котором длина рассматриваемой стороны треуголь-
ника равна 1) в центре М выбранной стороны. Это преобразование применя-
ется к узлам фронта, лежащим внутри окружности с центром в М и радиу-
сом в три раза большим длины рассматриваемой стороны. Пусть А1, В1, М1 –
положение в нормализированном пространстве точек А, В, М.
ПОДСИСТЕМА ТРИАНГУЛЯЦИИ СЛОИСТЫХ ТЕЛ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА …
Компьютерная математика. 2011, № 1 61
3. В нормализированном пространстве вычисляется положение «идеального
узла» Р1. Точка Р1 расположена на расстояниях δ1 от точек А1 и В1 на пря-
мой, перпендикулярной стороне, проходящей через точку М1 перпендику-
лярно стороне А1В1. Направление, в котором расположена точка Р1, зависит
от ориентации стороны АВ и выбирается так, чтобы генерируемый узел ле-
жал внутри ограниченной фронтом области. Значение δ1 выбирается в соот-
ветствии с критерием
1
1.0, 0.55 1 2 ,
0.55 , 1 0.55 ,
2 , 2 1,
L L
L L
L L
× < < ×
δ = × < ×
× × <
где L – расстояние между точками А1 и В1.
Только в ситуациях, когда сторона АВ будет иметь характеристики, очень
отличающиеся от характеристик, определяемых фоновой сеткой, значение δ1
будет отличаться от единицы. Однако приведенное неравенство нужно учи-
тывать для обеспечения геометрической совместимости.
4. Вычисляется положение других узлов, которые возможно использовать вме-
сто идеального, и они упорядочиваются в виде списка. Рассматриваются два
вида узлов: все узлы Q1, Q2, … текущего фронта, которые расположены
в нормализированном пространстве внутри окружности с центром в Р1 и ра-
диусом r = δ1, и набор точек Р1, Р2,…, Р5, сгенерированных вдоль высоты
Р1М1. Для каждой точки Qi строится проходящая через узлы 1 1,, iА В Q
окружность с центром Сi
Q на линии Р1М1. Узлы Qi упорядочиваются в виде
списка, в котором точка с наиболее удаленным от Р1 в направлении Р1М1
центром находится в начале списка. Точки Р1, …, Р5 добавляются в конец
этого списка.
5. Из списка выбирается наилучшая точка. Это первая точка, позволяющая по-
строить корректный треугольник, т. е. такой, стороны которого не пересека-
ют стороны фронта и который не содержит внутри элементы сетки триангу-
ляции.
6. Если был добавлен новый узел, его координаты в физическом пространстве
вычисляются с помощью обратного преобразования Т–1.
7. Сохраняется новый треугольник и обновляется фронт путем добавле-
ния / удаления соответствующих ребер.
Подсистема триангуляции программного комплекса Надра-3D. В про-
граммном комплексе Надра-3D реализован алгоритм построения сеток триангу-
ляции для специализированных моделей геометрии трехмерных слоистых об-
ластей. В работе [5] приведена структура используемой геометрической модели
и коротко описаны основные этапы построения трехмерной сетки конечно-
элементного разбиения. Первым этапом этого алгоритма является построение
методом исчерпывания двумерной сетки треугольников для основания дискре-
тизируемой области. Программная реализация метода во многом основана на
описанном выше алгоритме, адаптированном под внутреннее представление
данных комплекса Надра-3D.
М.В. БЕЛОУС, В.С. ДЕЙНЕКА
Компьютерная математика. 2011, № 1 62
Заключение. В работе рассмотрены особенности метода исчерпывания и
реализующего его алгоритма, использованные при разработке подсистемы три-
ангуляции слоистых областей программного комплекса Надра-3D.
М.В. Білоус, В.С. Дейнека
ПІДСИСТЕМА ТРИАНГУЛЯЦІЇ ШАРУВАТИХ ТІЛ
ПРОГРАМНОГО КОМПЛЕКСУ НАДРА-3D
Розглянуто особливості методу вичерпування та алгоритму, що його реалізує, використані
при розробці підсистеми триангуляції спеціалізованих шаруватих областей програмного
комплексу Надра-3D.
M.V. Bilous, V.S. Deineka
NADRA-3D MESH GENERATOR FOR LAYERED REGIONS
Peculiarities and algorithms of advancing-front technique used in Nadra-3D mesh generator for
layered regions are considered.
1. Joe F. Thompson, Bharat K. Sony, Nigel P. Weatherill, editors Handbook of grid generation. –
Boca Raton London, New York Washngton: D.C.: CRC Press., 1999. – 1096 p.
2. Frey P.J., George P.L. Mesh Generation. Application to Finite Elements. – Oxford, Paris:
Hermes Science Publishing, 2000. – 816 p.
3. Галанин М.П., Щеглов И.А. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуля-
ции сложных пространственных областей: прямые методы. – М.: РАН, Ин-т прикладной
математики им. М.В. Келдыша, 2006. – 32 с.
4. Галанин М.П., Щеглов И.А. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуля-
ции сложных пространственных областей: итерационные методы. – М.: РАН, Ин-т при-
кладной математики им. М.В. Келдыша, 2006. – 32 с.
5. Белоус М.В., Дейнека В.С. Использование программного комплекса Надра-3D для моде-
лирования регионального режима фильтрации воды // Компьютерная математика. – 2010.
– № 1. – С. 35–42.
Получено 15.12.2010
Îá àâòîðàõ:
Дейнека Василий Степанович,
доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Украины,
заведующий отделом Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
e-mail vdeineka@ukr.net
Белоус Максим Владимирович,
научный сотрудник Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
e-mail maksbilous@ukr.net
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84606 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:46:38Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Белоус, М.В. Дейнека, В.С. 2015-07-11T16:51:04Z 2015-07-11T16:51:04Z 2011 Подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса Надра-3D / М.В. Белоус, В.С. Дейнека // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 1. — С. 56-62 . — Бібліогр.: 5 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84606 004.021 Рассмотрены особенности метода исчерпывания и реализующего его алгоритма, использованные при разработке подсистемы триангуляции специализированных слоистых областей программного комплекса Надра-3D. Розглянуто особливості методу вичерпування та алгоритму, що його реалізує, використані при розробці підсистеми триангуляції спеціалізованих шаруватих областей програмного комплексу Надра-3D. Peculiarities and algorithms of advancing-front technique used in Nadra-3D mesh generator for layered regions are considered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Инструментальные средства информационных технологий Подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса Надра-3D Підсистема триангуляції шаруватих тіл програмного комплексу Надра-3D Nadra-3D mesh generator for layered regions Article published earlier |
| spellingShingle | Подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса Надра-3D Белоус, М.В. Дейнека, В.С. Инструментальные средства информационных технологий |
| title | Подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса Надра-3D |
| title_alt | Підсистема триангуляції шаруватих тіл програмного комплексу Надра-3D Nadra-3D mesh generator for layered regions |
| title_full | Подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса Надра-3D |
| title_fullStr | Подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса Надра-3D |
| title_full_unstemmed | Подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса Надра-3D |
| title_short | Подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса Надра-3D |
| title_sort | подсистема триангуляции слоистых тел программного комплекса надра-3d |
| topic | Инструментальные средства информационных технологий |
| topic_facet | Инструментальные средства информационных технологий |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84606 |
| work_keys_str_mv | AT belousmv podsistematriangulâciisloistyhtelprogrammnogokompleksanadra3d AT deinekavs podsistematriangulâciisloistyhtelprogrammnogokompleksanadra3d AT belousmv pídsistematriangulâcííšaruvatihtílprogramnogokompleksunadra3d AT deinekavs pídsistematriangulâcííšaruvatihtílprogramnogokompleksunadra3d AT belousmv nadra3dmeshgeneratorforlayeredregions AT deinekavs nadra3dmeshgeneratorforlayeredregions |