Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии
Рельєф денної поверхнi наведений табличною функцiєю горизонтальних координат. Розглянуто двi задачi. Перша — дає змогу табличну функцiю описувати аналiтичним виразом. Тодi немає потреби в iнтерпретацiйних розрахунках. Друга — маси, що розташованi нижче денної поверхнi, характеризуються щiльнiсним па...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8462 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии / Е. Г. Булах // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 107-112. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859766574140882944 |
|---|---|
| author | Булах, Е.Г. |
| author_facet | Булах, Е.Г. |
| citation_txt | Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии / Е. Г. Булах // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 107-112. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рельєф денної поверхнi наведений табличною функцiєю горизонтальних координат. Розглянуто двi задачi. Перша — дає змогу табличну функцiю описувати аналiтичним виразом. Тодi немає потреби в iнтерпретацiйних розрахунках. Друга — маси, що розташованi нижче денної поверхнi, характеризуються щiльнiсним параметром. Вiн може бути функцiєю координат точок, в яких розмiщенi гiрськi породи. В точках зовнiшнього простору приповерхневий шар створює гравiтацiйне поле. Побудовано алгоритмiчне розв’язання, яке дозволяє встановити це поле.
The ground surface relief is submitted by a tabulated function of horizontal coordinates. Two tasks are considered. The first allows us to describe the tabulated function analytically. Then there is no need in the interpretation of calculations. The second — masses located below the ground surface are characterized by the parameter of density. It can be a function of coordinates of points, at which rocks are located. At points of the external space, the near-surface layer creates a gravitational field. The software support which allows one to establish this field is constructed.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:11:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 550.8
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины Е.Г. Булах
Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа
дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии
Рельєф денної поверхнi наведений табличною функцiєю горизонтальних координат. Роз-
глянуто двi задачi. Перша — дає змогу табличну функцiю описувати аналiтичним ви-
разом. Тодi немає потреби в iнтерпретацiйних розрахунках. Друга — маси, що розта-
шованi нижче денної поверхнi, характеризуються щiльнiсним параметром. Вiн може
бути функцiєю координат точок, в яких розмiщенi гiрськi породи. В точках зовнiшньо-
го простору приповерхневий шар створює гравiтацiйне поле. Побудовано алгоритмiчне
розв’язання, яке дозволяє встановити це поле.
В практике геофизических и геодезических работ сведения об особенностях дневной поверх-
ности исследователь получает из топографических карт. Рельеф дневной поверхности Zi
есть функция координат точек. Обычно эта функция представлена таблично:
(xi, yi) → Zi, i = 1, 2, . . . , n. (1)
Часто в исследовательских работах необходимо найти значения определенных интегралов.
При этом подынтегральная функция содержит своим элементом функцию (1), которая
должна быть определена в специально фиксированных точках. Они могут не попасть в ис-
ходный массив (1). Интерполяционный поиск — задача трудоемкая, и она довольно часто
порождает существенные погрешности.
Поставим задачу описать рельеф дневной поверхности аналитической функцией коор-
динат точек:
Z = f(x, y). (2)
Аналитическая аппроксимация функции (1) может существенно облегчить решение доста-
точно сложных интерпретационных задач. Сама задача не новая. Можно обратиться к ра-
ботам В.Н. Страхова, И.Э. Степановой, А.С. Долгаля и др. [1–5]. В нашей работе изло-
жен иной аппроксимационный подход. Задача стала существенно нелинейной. При этом
аппроксимационная конструкция обеспечивает достаточно точное представление сложных
рельефных полей.
1. Постановка задачи. Выделим два подхода к рассматриваемой задаче.
Первый. Отметки рельефа снимаются с топографических карт. Начало координат вы-
брано в точке на уровне моря. Ось аппликат направлена вертикально вверх, тогда коорди-
натная плоскость XOY размещена горизонтально. В такой постановке необходимо рельеф
описать как функцию координат.
Второй. Исследователя интересует влияние рельефных масс на численные значения
поля аномалии силы тяжести. В этом случае система координат изменяется. Целесообразно
ее начало выбрать в точке вне рельефной поверхности. Удобно начало координат размес-
тить в точке, топографическая отметка которой имеет максимальное значение. Как обычно
принято в гравиметрических работах, ось аппликат направлена вертикально вниз. В этом
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 107
случае координатная плоскость XOY размещена горизонтально. Все гравитирующие массы
располагаются в точках, аппликаты которых z > 0 (или ζ > 0).
Отметим одно обстоятельство. Горные породы, которые размещены ниже дневной по-
верхности, характеризуются своей плотностью. Этот параметр может быть числом посто-
янным или плотность есть функция горизонтальных координат.
Задача состоит в том, что нужно найти функцию, которая отражает действие гравити-
рующих масс рельефа в точках вне этих масс.
2. Первая задача. Аналитическая аппроксимация рельефа дневной поверхности. Ак-
центируем внимание на выборе системы координат. Начало ее размещено в точке уровен-
ной поверхности — на уровне моря. Ось аппликат направлена вертикально вниз. Тогда
координатная плоскость XOY или ξoη размещена горизонтально и совпадает с уровенной
поверхностью.
В области исследования выберем прямоугольную область D. В этой области будут за-
даны все исходные данные для решения задачи. Запишем
D : [a 6 x 6 b; c 6 y 6 d]. (3)
В области D определены топографические особенности рельефа дневной поверхности.
Обратимся к функции (1). Представим ее аналитическим выражением:
Zt(x, y) =
m
∑
j=1
Aj
[1 + Q1j(x − x0j)2 + Q2j(y − y0j)2]α
. (4)
Эту функцию перепишем так:
Zt(x, y) =
m
∑
j=1
Aj exp
[
− α ln
[
1 + Q1j(x − x0j)
2 + Q2j(y − y0j)
2
]]
. (4.1)
В такой записи параметр α может относиться не только к классу натуральных чисел,
но и принадлежать к более широкому классу вещественных чисел.
Для построения функции (4) необходимо четко зафиксировать массив узловых точек
(x0j ; y0j), j = 1, 2, . . .,m. (5)
Каждое j-е слагаемое в формуле (4) есть псевдодельта-функция. В j-й точке это сла-
гаемое равно Aj, а далее быстро убывает. Если Q1 6= Q2, то это убывание зависит от
направления.
Обратимся к массиву (1) и в каждой фиксированной точке вычислим теоретическую
функцию (4). Имеем
Zt = Zt(xi, yi, P ) = Zt(i, P ), i = 1, 2, . . . , n. (6)
Здесь отмечено, что теоретическая функция определена параметрами. Запишем
P = [W1;W2];
W1 = [m;x0j ; y0j ; j = 1, 2, . . . ,m]; W2 = [Aj ;Q1j ;Q2j ; j = 1, 2, . . . ,m].
(7)
Обратимся к записи (7). Параметры представлены двумя группами. Первая группа па-
раметров определяет положение каркасных или узловых точек. При решении задачи эта
108 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
группа не меняет своих численных значений. Естественно, если следователь решил повто-
рить решение, то он может образовать иную каркасную сеть.
Вторая группа содержит параметры, которые при решении задачи изменяются.
Сопоставим теперь табличную функцию — запись (1) и теоретическую (4). Сопоставле-
ние сделаем в метрике L2, тогда образован такой функционал:
F =
n
∑
i=1
[Zn(i) − Zt(i,P)]2. (8)
Требуется найти такие значения параметров P, чтобы функционал (8) был минимален.
Воспользуемся градиентным методом минимизации. Необходимо перед решением задачи
выбрать P
(0) — начальные численные значения составляющих кортежа P. Далее в итераци-
онном цикле составляющие P изменяются и при P = P
∗ получен минимум функционала (8).
Отметим, что градиентный метод исходит еще от Коши (Couchy Огюст Луи, 1785–1857).
Далее метод совершенствовался, и значительное развитие он получил в работах Л.В. Кан-
торовича [6]. Метод сходится, но точка сходимости зависит от параметров начальной мо-
дели [7]. Решение задачи устойчиво. Сошлемся на работу В.И. Старостенко и С.М. Ога-
несян [8]. Для решения задач разведочной геофизики метод получил широкое применение
в работах В.Н. Страхова [9]; Е. Г. Булаха [10–12], а также в публикациях В.И. Старостен-
ко [13], А.И. Кобрунова [14] и других ученых.
Так, минимизацией функционала (8) решается задача аналитической аппроксимации
рельефа дневной поверхности.
3. Вторая задача. Прямая задача гравиметрии — аномальное поле, обусловленное
массами приповерхностного слоя.
3.1. Введение. Теперь обратимся к задаче второй. Исследователь располагает топогра-
фической картой. Отметки рельефа заданы таблично — запись (1). Это — превышение
точек рельефа дневной поверхности над уровнем моря.
Выберем иную систему координат. Начало системы расположено в точке над рельеф-
ными массами. Эта точка может совпадать с положением экстремальной точки рельефных
масс. Пусть ее отметка на топографической карте равна H0.
Обратимся к координатным осям. Ось аппликат изменяет направление и ориентирована
вертикально вниз. Координатная плоскость XOY размещается горизонтально. Будем оста-
ваться в правой системе координат. Если изменилось направление оси аппликат, то следует
изменить положение еще одной оси — например, оси ординат. Пусть ось абсцисс направлена
на восток, тогда ось ординат имеет южное направление.
Рельеф дневной поверхности представлен таблично. Аппликаты всех точек положи-
тельные.
В нашей задаче необходимо различать точки, содержащие гравитирующие массы, и точ-
ки, расположенные вне этих масс. Если точка M расположена ниже дневной поверхности, то
будем писать M(ξ; η; ζ). В этой точке есть массы, плотность которых определена. Если же
точка M находится выше рельефной поверхности — вне горных пород, то будем писать
M(x; y; z). Рельеф дневной поверхности рассматривается в области D — запись (3).
Перейдем к аппроксимационному построению. Рельеф представим аналитической функ-
цией (4). Эта задача была решена выше. Таким образом, в любой точке M(x, y) можно
найти глубину заложения дневной поверхности:
Zt = Zt(ξ; η). (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 109
Здесь принято, что точки дневной поверхности принадлежат массам приповерхностного
слоя.
Горные породы, которые размещаются ниже дневной поверхности, обладают физичес-
ким параметром — плотностью. Будем полагать, что этот параметр может быть числом
постоянным или быть функцией координат точек. Запишем
σ = σ0 или σ = σ(ξ, η) = σ0(1 + α1ξ + α2η + α3ξη). (10)
Пусть в некоторых n1 точках известно значение плотностного параметра
σi = σ(ξi, ηi), i = 1, 2, . . .,n1.
Функция (10) дает возможность получить n1 линейных уравнений относительно σ0;
σ0α1; σ0α2; σ0α3. Если n1 > 4, то метод наименьших квадратов позволяет найти коэффи-
циенты формулы (10).
Теперь остается основная задача этого раздела. В произвольных точках M(x; y; z), ко-
торые размещены вне горных пород приповерхностного слоя, найти поле аномалии силы
тяжести, которое обусловлено массами приповерхностного слоя. Нужно четко фиксировать
положение горизонтальной плоскости, которая ограничивает распределение масс по глу-
бине заложения. Это может быть уровень моря или уровень самой глубокорасположенной
точки рельефа: H = Hk = const нижний уровень размещения приповерхностных масс.
Задача вычисления поля аномалии силы тяжести приводит нас к интегрированию по
точкам, где размещены приповерхностные массы. Это область D — запись (3) и ее асимп-
тотическое продолжение. Построим асимптоты области D. Для этого стороны граничного
прямоугольника разделим на mx и my частей. Далее асимптотическую часть представим
как совокупность узких, сильно вытянутых прямоугольников. В каждом прямоугольнике
дневную поверхность отождествим горизонтальной плоскостью. Глубина заложения этой
плоскости и значение плотности горных пород соответствуют этим параметрам в точке на
граничном контуре.
3.2. Вычисление аномального поля, обусловленного массами рельефа дневной поверхно-
сти. Массы с избыточной плотностью σ(ξ, η) располагаются в области D — запись (3)
и далее в ее асимптотических продолжениях. Эти массы по оси аппликат ограничены плос-
костью ζ = Hk = const. В точках вне масс аномальное поле может быть записано так:
∆gs(x, y, z) = ∆g(x, y, z) + f(x, y, z); f(x, y, z) =
q
∑
t=1
f1(x, y, z).
В этом выражении ∆gs — суммарное поле, состоящее из двух слагаемых. Первое сла-
гаемое — эффект масс, размещенных в области D. Второе — гравитационное поле масс,
которые располагаются в асимптотических частях области D. Вся асимптотическая часть
разделена на q элементарных частей, каждая t-я часть содержит массы, расположенные
внутри прямоугольного параллелепипеда. Положение верхней грани и плотностной пара-
метр находятся из граничных точек центральной области D. Таким образом, второе слага-
емое может быть легко вычислено. Обратимся к первому слагаемому. Это гравитационное
поле, обусловленное массами рельефа. Массы сосредоточены в области D. Имеем
∆g(x, y, z) = k
∫∫
D
·
Hk
∫
Zt(ξ,η)
σ(ξ, η)(ζ − z)dζ
[(ξ − x)2 + (η − y)2 + (ζ − z)2]3/2
ds.
110 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Нетрудно выполнить первое интегрирование. Получим разность двух функций. Они
могут быть близки между собой, и это внесет существенные погрешности при численных
расчетах. Преобразуем результат первого интегрирования и получим
∆g(x, y, z) = k
∫∫
D
(Zt(ξ, η) − z)2 − (Hk − z)2
A1 · A2 · (A1 + A2)
ds.
В этой записи
A1 = [(ξ − x)2 + (η − y)2 + (Hk − z)2]1/2;
A2 = [(ξ − x)2 + (η − y)2 + (Zt(ξ, η) − z)2]1/2.
Подынтегральная функция может быть получена в любой точке области D. Не требуется
каких-либо интерполяционных вычислений.
Можно перейти к интегральной сумме. В этом случае целесообразно использовать три-
ангуляционный метод, в котором на прямоугольном элементе области интегрирования
подынтегральная функция заменяется совокупностью плоскостей общего положения. Та-
кой подход был ранее описан в статье [15].
Так, в любой точке вне масс может быть вычислено поле аномалии силы тяжести. Это
поле обусловлено массами слоя, который размещен между дневной поверхностью и фикси-
рованной горизонтальной плоскостью. Последняя размещается ниже пород приповерхност-
ного слоя.
Изложенное выше алгоритмическое решение прошло проверку на модельных и практи-
ческих примерах.
1. Страхов В.Н., Керимов И.А., Страхов А.В. Линейные аналитические аппроксимации рельефа по-
верхности Земли // Геофизика и математика. – Москва: ОИФЗ РАН, 1999. – С. 198–212.
2. Страхов В.Н. Геофизика и математика. – Москва: ОИФЗ РАН, 1999. – 64 с.
3. Страхов В.Н., Керимов И.А., Степанова И.Э. Линейные аналитические аппроксимации рельефа
поверхности Земли и их использование при вычислении поправок за влияние рельефа местности в
гравиметрические наблюдения. Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравита-
ционных, магнитных и электрических полей: Материалы сес. Междунар. сем. им. Д. Г. Успенского. –
Москва: ОИФЗ РАН, 2001. – С. 116–118.
4. Степанова И.Э. О методах учета топографии земной поверхности при интерпретации гравиметри-
ческих данных // Физика Земли. – 2007. – № 6. – С. 26–36.
5. Долгаль А.С., Червоный Н.П. Учет влияния рельефа земной поверхности при аэромагнитных изме-
рениях // Геоiнформатика. – 2008. – № 2. – С. 58–66.
6. Канторович Л.В. О методе наискорейшего спуска // Докл. АН СССР. – 1947. – 56, № 3. – С. 233–236.
7. Булах Е. Г. К вопросу о методе подбора при решении обратных задач гравиметрии и магнитометрии:
Обзор // Физика Земли. – 2006. – № 2. – С. 72–77.
8. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Некорректно поставленные задачи по Адамару и их прибли-
женное решение методом регуляризации по А.Н. Тихонову // Геофиз. журн. – 2001. – 23, № 6. –
С. 3–20.
9. Страхов В.Н. К теории метода подбора // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. – 1964. – № 4. – С. 494–509.
10. Булах Е. Г. Об автоматическом подборе контура возмущающих тел на цифровой электронной вычи-
слительной машине // Там же. Физика Земли. – 1965. – № 8. – С. 85–88.
11. Булах Е. Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод миними-
зации). – Киев: Наук. думка, 1973. – 111 с.
12. Булах Е. Г., Ржаницин В.А., Маркова М.Н. Применение метода минимизации для решения задач
структурной геологии по данным гравиразведки. – Киев: Наук. думка, 1976. – 219 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 111
13. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. – Киев: Наук. думка,
1978. – 228 с.
14. Кобрунов А.И. Теоретические основы решения обратных задач геофизики. – Ухта: Изд. УИИ, 1995. –
228 с.
15. Булах Е. Г., Слободник Н.А. Об одном алгоритме вычисления двойного интеграла при решении пря-
мых задач гравиметрии и магнитометрии // Геоiнформатика. – 2003. – № 1. – С. 49–54.
Поступило в редакцию 07.10.2008Институт геофизики им. С.И. Субботина
НАН Украины, Киев
Corresponding Member of the NAS of Ukraine E.G. Bulakh
About the approximation approach to the description of a relief of the
ground surface in problems of geophysics and gravimetry
The ground surface relief is submitted by a tabulated function of horizontal coordinates. Two tasks
are considered. The first allows us to describe the tabulated function analytically. Then there is no
need in the interpretation of calculations. The second — masses located below the ground surface
are characterized by the parameter of density. It can be a function of coordinates of points, at which
rocks are located. At points of the external space, the near-surface layer creates a gravitational field.
The software support which allows one to establish this field is constructed.
112 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8462 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T06:11:09Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Булах, Е.Г. 2010-06-01T08:27:39Z 2010-06-01T08:27:39Z 2009 Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии / Е. Г. Булах // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 107-112. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8462 550.8 Рельєф денної поверхнi наведений табличною функцiєю горизонтальних координат. Розглянуто двi задачi. Перша — дає змогу табличну функцiю описувати аналiтичним виразом. Тодi немає потреби в iнтерпретацiйних розрахунках. Друга — маси, що розташованi нижче денної поверхнi, характеризуються щiльнiсним параметром. Вiн може бути функцiєю координат точок, в яких розмiщенi гiрськi породи. В точках зовнiшнього простору приповерхневий шар створює гравiтацiйне поле. Побудовано алгоритмiчне розв’язання, яке дозволяє встановити це поле. The ground surface relief is submitted by a tabulated function of horizontal coordinates. Two tasks are considered. The first allows us to describe the tabulated function analytically. Then there is no need in the interpretation of calculations. The second — masses located below the ground surface are characterized by the parameter of density. It can be a function of coordinates of points, at which rocks are located. At points of the external space, the near-surface layer creates a gravitational field. The software support which allows one to establish this field is constructed. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии About the approximation approach to the description of a relief of the ground surface in problems of geophysics and gravimetry Article published earlier |
| spellingShingle | Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии Булах, Е.Г. Науки про Землю |
| title | Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии |
| title_alt | About the approximation approach to the description of a relief of the ground surface in problems of geophysics and gravimetry |
| title_full | Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии |
| title_fullStr | Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии |
| title_full_unstemmed | Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии |
| title_short | Об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии |
| title_sort | об аппроксимационном подходе к описанию рельефа дневной поверхности в задачах геодезии и гравиметрии |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8462 |
| work_keys_str_mv | AT bulaheg obapproksimacionnompodhodekopisaniûrelʹefadnevnoipoverhnostivzadačahgeodeziiigravimetrii AT bulaheg abouttheapproximationapproachtothedescriptionofareliefofthegroundsurfaceinproblemsofgeophysicsandgravimetry |