Інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій Гріна
Пропонується параметричний алгоритм iнтерполяцiї, в якому використовується метод функцiй Грiна та спрощенi математичнi моделi фiзичних процесiв, до яких вiдносяться аналiзованi данi. Предлагается параметрический алгоритм интерполяции, в котором используется метод функций Грина и упрощенные математи...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84632 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій Гріна / В.О. Богаєнко, Ю.Ю. Даниленко, Г.С. Фiнiн // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 30-33. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84632 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Богаєнко, В.О. Даниленко, Ю.Ю. Фінін, Г.С. 2015-07-11T19:44:52Z 2015-07-11T19:44:52Z 2012 Інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій Гріна / В.О. Богаєнко, Ю.Ю. Даниленко, Г.С. Фiнiн // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 30-33. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84632 519.6 Пропонується параметричний алгоритм iнтерполяцiї, в якому використовується метод функцiй Грiна та спрощенi математичнi моделi фiзичних процесiв, до яких вiдносяться аналiзованi данi. Предлагается параметрический алгоритм интерполяции, в котором используется метод функций Грина и упрощенные математические модели физических процессов, к которым относятся анализируемые данные. A parametric interpolation algorithm that uses Green’s function method and simplified mathematical models of physical processes, on which the analyzed data rely, has been proposed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій Гріна Интерполяция геоинформационных данных с использованием метода функций Грина Interpolation of geoinformational data using Green’s functions method Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій Гріна |
| spellingShingle |
Інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій Гріна Богаєнко, В.О. Даниленко, Ю.Ю. Фінін, Г.С. Інформатика та кібернетика |
| title_short |
Інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій Гріна |
| title_full |
Інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій Гріна |
| title_fullStr |
Інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій Гріна |
| title_full_unstemmed |
Інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій Гріна |
| title_sort |
інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій гріна |
| author |
Богаєнко, В.О. Даниленко, Ю.Ю. Фінін, Г.С. |
| author_facet |
Богаєнко, В.О. Даниленко, Ю.Ю. Фінін, Г.С. |
| topic |
Інформатика та кібернетика |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Интерполяция геоинформационных данных с использованием метода функций Грина Interpolation of geoinformational data using Green’s functions method |
| description |
Пропонується параметричний алгоритм iнтерполяцiї, в якому використовується метод функцiй Грiна та спрощенi математичнi моделi фiзичних процесiв, до яких вiдносяться аналiзованi данi.
Предлагается параметрический алгоритм интерполяции, в котором используется метод
функций Грина и упрощенные математические модели физических процессов, к которым относятся анализируемые данные.
A parametric interpolation algorithm that uses Green’s function method and simplified mathematical
models of physical processes, on which the analyzed data rely, has been proposed.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84632 |
| citation_txt |
Інтерполяція геоінформаційних даних з використанням методу функцій Гріна / В.О. Богаєнко, Ю.Ю. Даниленко, Г.С. Фiнiн // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 30-33. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT bogaênkovo ínterpolâcíâgeoínformacíinihdanihzvikoristannâmmetodufunkcíigrína AT danilenkoûû ínterpolâcíâgeoínformacíinihdanihzvikoristannâmmetodufunkcíigrína AT fíníngs ínterpolâcíâgeoínformacíinihdanihzvikoristannâmmetodufunkcíigrína AT bogaênkovo interpolâciâgeoinformacionnyhdannyhsispolʹzovaniemmetodafunkciigrina AT danilenkoûû interpolâciâgeoinformacionnyhdannyhsispolʹzovaniemmetodafunkciigrina AT fíníngs interpolâciâgeoinformacionnyhdannyhsispolʹzovaniemmetodafunkciigrina AT bogaênkovo interpolationofgeoinformationaldatausinggreensfunctionsmethod AT danilenkoûû interpolationofgeoinformationaldatausinggreensfunctionsmethod AT fíníngs interpolationofgeoinformationaldatausinggreensfunctionsmethod |
| first_indexed |
2025-11-26T16:17:27Z |
| last_indexed |
2025-11-26T16:17:27Z |
| _version_ |
1850627646367465472 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2012
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.6
© 2012
В.О. Богаєнко, Ю. Ю. Даниленко, Г.С. Фiнiн
Iнтерполяцiя геоiнформацiйних даних з використанням
методу функцiй Грiна
(Представлено академiком НАН України В. Н. Редьком)
Пропонується параметричний алгоритм iнтерполяцiї, в якому використовується ме-
тод функцiй Грiна та спрощенi математичнi моделi фiзичних процесiв, до яких вiдно-
сяться аналiзованi данi.
1. Нерегулярний просторовий розподiл геоiнформацiйних даних ускладнює їх вiзуалiзацiю
та аналiз, зокрема на етапi iнтерполяцiї. З вiдомих методiв iнтерполяцiї, що застосовуються
при постобробцi даних, якi мають просторову прив’язку, найбiльш поширеними є [1]: лiнiйна
iнтерполяцiя, метод обернених зважених вiдстаней, крiгiнг [2], iнтерполяцiя сплайнами та
тренд-iнтерполяцiя.
У згаданих методах iнтерполяцiї не використовується iнформацiя стосовно фiзичної су-
тi аналiзованих даних, тодi як з її врахуванням можна будувати iнтерполяцiї, якi бiльш
адекватно описують модельованi процеси. Зокрема, процеси у грунтових водах описуються
досить складними нелiнiйними системами диференцiальних рiвнянь у частинних похiдних,
якi, до певного наближення, мають характер елiптичних для опису стацiонарного стану.
Маючи спрощену детермiновану математичну модель такого процесу, пропонуємо зада-
чу iнтерполяцiї розглядати як задачу вiдновлення значень функцiї цiєї моделi за даними,
що вимiрюються. Для розв’язання такої задачi використаємо символiчний метод функцiй
Грiна й методику псевдообернення.
2. Для проведення iнтерполяцiї геоiнформацiйних даних розглянемо обернену задачу
щодо рiвняння
div(~k grad y(x)− ~wy(x)) = q(x), x = (x1, x2) ∈ Ω, (1)
де компоненти коефiцiєнта ~k = (k1, k2) — заданi додатнi числа; вектор ~w = (w1, w2); q(x) —
iнтегровна за Рiманом в областi моделювання Ω та обмежена функцiя, а y(x) — шукана
функцiя.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
Крайовi умови для рiвняння (1) мають вигляд
∂y(x)
∂n
∣∣∣∣
x∈γ1
= u1(x), y(x)
∣∣
x∈γ2
= u2(x), (2)
де n — зовнiшня нормаль до γ1; γ1
⋃
γ2 — контур, який обмежує область Ω; u1(x), u2(x) —
заданi функцiї.
Розв’язок задачi (1), (2) будується у виглядi суми
y(s) = y∞(s) + y1(s), s = (x1, x2),
y∞(s) =
∫
R2
G(s − s′)q(s′) ds′,
y1(s) =
∫
S
G(s− s′)q(s′) ds′,
(3)
складовi якої моделюють вплив на стан системи функцiї зовнiшнiх збурень та крайових
умов (2). Тут S = R
2 \Ω; G(·) — функцiя Грiна рiвняння (1) в необмежених областях змiни
координат (x1, x2).
Розв’язання задачi зводиться до визначення функцiї фiктивних зовнiшнiх впливiв q(s′),
яка через складовi (3) враховує дiю крайових умов. При розв’язаннi отримуваних таким
чином задач значення просторових координат s дискретизуються точками s
(1)
l = x
(1)
l ∈ Γ1
(l = 1, L), s(2)m = x(2)m ∈ Γ2, m = 1,M , а s′ — точками sn = xn ∈ S (n = 1, N), що дозволяє
задачу знаходження дискретних значень моделюючих функцiй звести до обернення системи
iнтегральних спiввiдношень
∫
S
Aj(s
′)q(s′) ds′ = Yj , j = 1, 2, (4)
де
Y1
∆
=col
(
u1(s
(1)
l )−
∂
∂n
y∞(s
(1)
l ), l = 1, L
)
,
Y2
∆
=col
(
u2(s
(2)
m )− y∞(s(2)m ), l = 1,M
)
,
A1(s
′)
∆
=col
(
∂
∂n
G(s
(1)
l − s′), l = 1, L
)
,
A2(s
′)
∆
=col
(
G(s(2)m − s′
)
, m = 1,M ).
З використанням методики псевдообернення [3, 4] можна побудувати множини розв’яз-
кiв рiвняння (4), або середньоквадратичних наближень до них у виглядi
Ω =
{
⌢
q (s) :
⌢
q (s) = A(s)+Y + v(s)−A+(s)A(s)v(s), s ∈ S
}
. (5)
Тут v(s) — довiльна функцiя, iнтегровна в областi змiни своїх аргументiв; + — операцiя
псевдообернення; A(s) = {A1(s), A2(s)}, Y = {Y1, Y2}.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 31
У випадку оберненої задачi функцiя u(x) невiдома i знаходиться з умов
y(x) = Y3(x)|D
C , (6)
де Y3(x) — задана функцiя; DC — задана пiдобласть областi моделювання Ω. Область DC
дискретизується точками s3nc = x3nc ∈ Dc (nc = 1, N c).
Множини розв’язкiв рiвняння задачi (1), (2), (6), або середньоквадратичних наближень
до них [3, 4] знаходяться з спiввiдношення
∫
S
Aj(s
′)q(s′) ds′ +
∫
R2
Aj(s
′)u(s′) ds′ = uj, j = 1, 3,
й мають вигляд
Ωc =
{
(
⌢
q (s), û(s)) : (
⌢
q (s), û(s)) = Ac(s)+U + v(s)−Ac+(s)Ac(s)v(s), s ∈ S
}
, (7)
де Ac(s)
∆
=col(A1(s), A2(s), A3(s)); U
∆
=col(u1(s), u2(s), u3(s)); A3(s
′) = col(G(s
(3)
nc − s′), nc =
= 1, N c), s′ ∈ R
2, а область визначення матриць A1(s
′) та A2(s
′) розширена до s′ ∈ R
2.
Для проведення iнтерполяцiї геоiнформацiйних даних розглянемо рiвняння (1) за вiд-
сутностi крайових умов (2), але за наявностi умов (6). Вважаємо, що точки s
(3)
nc = x
(3)
nc ∈ Dc
та значення шуканої функцiї в цих точках збiгаються з точками та значеннями функцiї,
вихiдними для задачi iнтерполяцiї. Розв’язок (iнтерполююча функцiя) знаходиться за дис-
кретним аналогом формули (7) з використанням апарату псевдообернення матриць.
Точнiсть розв’язання при цьому залежатиме вiд точностi чисельного iнтегрування, яка,
в свою чергу, буде залежати вiд форми елементiв, на якi буде дискретизуватись область мо-
делювання. В зв’язку з цим доцiльним є використання як такої дискретизацiї трiангуляцiї
Делоне [5]. До початкової трiангуляцiї можна застосовувати рiзноманiтнi методики пiдро-
збиття таким чином, щоб кiлькiсть її елементiв була значно бiльша за кiлькiсть вихiдних
точок. У такому випадку отримуванi пiсля дискретизацiї системи СЛАР будуть недовизна-
ченi й матимуть множину розв’язкiв.
Оскiльки коефiцiєнти рiвняння (1) не фiксованi, а вибiр розв’язку з множини є до-
вiльним, отримуємо параметричний iнтерполятор з трьома параметрами: коефiцiєнтами ~k,
коефiцiєнтами ~w та функцiєю v(s) вибору розв’язку, яку будемо вважати константою v(s) =
= v0.
Запропонований параметричний iнтерполятор програмно реалiзований та тестований на
наборi даних з 52 точок щодо анiонно-катiонного складу води, вiдбiр зразкiв якої проводив-
ся у пунктах, рiвномiрно розмiщених в межах Херсонської областi. При аналiзi таких даних
важливим є виявлення зональностi та азональностi у просторовому розподiлi для встанов-
лення територiй, однорiдних за показником, та дiлянок, в межах яких присутнi фактори,
що ведуть до змiни хiмiчного складу поверхневих вод. Результат iнтерполяцiї при наборi
параметрiв iнтерполятора k1 = k2 = 1, w1 = w2 = 0, v0 = 0 разом з вихiдними точками
зображено на рис. 1.
3. Для випадку процесiв у грунтах та грунтових водах розроблено параметричний ал-
горитм iнтерполяцiї, за допомогою якого проведена iнтерполяцiя й вiзуалiзацiя даних щодо
анiонно-катiонного складу води в межах Херсонської областi. Отриманi результати показа-
ли адекватнiсть iнтерполяцiї фiзичним процесам.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
Рис. 1. Результат iнтерполяцiї
1. Li J., Heap A.D. A review of spatial interpolation methods for environmental scientists. – Canberra:
Geoscience, 2008. – 137 p.
2. Matheron G. Principles of geostatistics // Economic Geology. – 1963. – 58. – P. 1246–1266.
3. Скопецький В.В., Стоян В.А., Кривонос Ю. Г. Математичне моделювання прямих та обернених
задач динамiки систем з розподiленими параметрами. – Київ: Наук. думка, 2002. – 361 с.
4. Стоян В.А. Псевдообращение интегральных операторов в задачах наблюдения, терминального уп-
равления и моделирования динамики систем с распределенными параметрами // Пробл. управления
и информатики. – 1998. – № 4. – С. 112–120.
5. Malanthara A., Gerstle W. Comparative study of unstructured meshes made of triangles and quadri-
laterals // Proc. 6th Internat. Meshing Roundtable, 1997. – P. 437–447.
Надiйшло до редакцiї 15.03.2012Iнститут водних проблем i мелiорацiї
НААН України, Київ
В.О. Богаенко, Ю.Ю. Даниленко, Г. С. Финин
Интерполяция геоинформационных данных с использованием
метода функций Грина
Предлагается параметрический алгоритм интерполяции, в котором используется метод
функций Грина и упрощенные математические модели физических процессов, к которым
относятся анализируемые данные.
V.O. Bohaienko, Ju. Ju. Danylenko, G. S. Finin
Interpolation of geoinformational data using Green’s functions method
A parametric interpolation algorithm that uses Green’s function method and simplified mathematical
models of physical processes, on which the analyzed data rely, has been proposed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 33
|