Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями
С применением метода Бубнова–Галеркина рассмотрена задача о вынужденных резонансных колебаниях круглой гибкой вязкоупругой пластины при электромеханическом нагружении. Приведены результаты расчета резонансных характеристик пластины
 с двумя пьезопреобразователями с учетом геометрической нели...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84638 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями / В.И. Гололобов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 50-55. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860264095358386176 |
|---|---|
| author | Гололобов, В.И. |
| author_facet | Гололобов, В.И. |
| citation_txt | Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями / В.И. Гололобов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 50-55. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | С применением метода Бубнова–Галеркина рассмотрена задача о вынужденных резонансных колебаниях круглой гибкой вязкоупругой пластины при электромеханическом нагружении. Приведены результаты расчета резонансных характеристик пластины
с двумя пьезопреобразователями с учетом геометрической нелинейности.
Iз застосуванням методу Бубнова–Гальоркiна розглянуто задачу про вимушенi резонанснi коливання круглої гнучкої в’язкопружної пластини при електромеханiчному навантаженнi. Наведено результати розрахунку резонансних характеристик пластини з двома
п’єзоперетворювачами з урахуванням геометричної нелiнiйностi.
By the Bubnov–Galerkin method, the problem of forced resonance vibrations of a flexible circular
viscoelastic plate under an electromechanical load is considered. The results of calculations of the
resonance characteristics of a plate with two piezoelectric transducers with regard for a geometric
nonlinearity are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:58:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539
© 2012
В.И. Гололобов
Осесимметричные резонансные колебания гибкой
шарнирно опертой вязкоупругой пластины
с пьезослоями
(Представлено академиком НАН Украины Ю.Н. Шевченко)
С применением метода Бубнова–Галеркина рассмотрена задача о вынужденных резо-
нансных колебаниях круглой гибкой вязкоупругой пластины при электромеханическом
нагружении. Приведены результаты расчета резонансных характеристик пластины
с двумя пьезопреобразователями с учетом геометрической нелинейности.
Для уменьшения интенсивности вибраций конструктивных элементов широко применяются
демпфирующие материалы. Наряду с этим, нанесение пьезослоев на поверхности пластин
и использование их в качестве электромеханических преобразователей дает возможность
оказывать дополнительное воздействие с целью частичной компенсации вибронагрузок и та-
ким образом осуществлять управление интенсивностью колебаний электрическим путем.
В работе рассматривается задача о колебаниях тонкой пластинки под поперечной на-
грузкой, синусоидально изменяющейся во времени в области частот, близких к резонан-
сной. Трехслойная пластина радиусом a с вязкоупругим внутренним слоем толщиной h
имеет два наружных пьезокерамических слоя толщиной δ. Эти слои поляризованы в осе-
вом направлении и на их поверхности нанесены круговые электроды, к которым приложе-
но компенсационное электрическое напряжение, синусоидально изменяющееся во времени
и совпадающее по частоте с основной нагрузкой.
Отнесем сечение пластины к осям r и γ, где ось γ направлена параллельно оси вращения,
совместив начало координат с точкой пересечения оси вращения со срединной плоскостью
основного слоя. Электрическое напряжение амплитуды V приложено к пьезослоям таким
образом, что возникающие в защемленном элементе пластины механические напряжения
эквивалентны моменту Me. Нагрузки представим в виде
p(r, t) = p1(t)p0(r), Me(r, t) = m1(t)[H(r)−H(r − r2)],
где H(r) — единичная ступенчатая функция; при r2 = a выражение для Me представляет
равномерно распределенную по площади пластины электрическую нагрузку.
Обозначим через u(r) и w(r) амплитуды перемещений точек срединной поверхности
основного слоя в направлении осей r и γ.
При вибрационном возбуждении колебаний пластинки в околорезонансной области по-
перечные перемещения не будут малыми по сравнению с толщиной и для описания дина-
мического процесса используется геометрически нелинейная теория изгиба пластин. При
этом влияние пьезоэлектрических слоев учитывается на основе предположения о незави-
симости электрической индукции от толщинной координаты. Вследствие этого для вычис-
лении жесткостных характеристик элемента пластинки в случае растяжении используется
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
жесткостная характеристика пьезоматериала для плоского напряженного состояния cE11, а
в случае изгиба — приведенная жесткость материала [1]
c = cE11 +
e2
ε
(
1−
3
4
h2 + 2hδ + δ2
3
4
h2 + 3
2
hδ + δ2
)
,
где величины cE11, e и ε определяются по стандартным характеристикам пьезоматериала [2]
cE11 =
sE
11
(sE
11
)2 − (sE
12
)2
, e =
d31
sE
11
+ sE
12
, ε = εT33 − 2d31e.
Представим свойства материала вязкоупругого слоя в виде [3]
σ(t) = E0ε(t) +
t
∫
0
ε(τ)
dE(t − τ )
d(t− τ)
dτ = E0E ∗ ε(t),
где E0 — мгновенный модуль; E(t) — релаксационный модуль.
Считая, что коэффициент ν принимает одинаковые значения для всех слоев, опреде-
ляющие соотношения для элемента пластины можно записать в виде
Nr = (D′′
N +D′
NE∗)(εr + νεθ), Mr = (D′′
M +D′
ME∗)(κr + νκθ) +Me,
Nθ = (D′′
N +D′
NE∗)(νεr + εθ), Mθ = (D′′
M +D′
ME∗)(νκr + κθ) +Me,
где
D′
N =
E0h
1− ν2
, D′
M =
E0h
3
12(1 − ν2)
, D′′
N = 2cE11δ,
D′′
M =
2
3
c
[(
h
2
+ δ
)3
−
(
h
2
)3]
, ν = −
sE
12
sE
11
, Me = e(δ + h)V.
Остальные уравнения геометрически нелинейной теории колебаний пластинки [4] имеют
вид:
геометрические
εr =
∂u
∂r
+
1
2
(
∂w
∂r
)2
, εθ =
u
r
, κr = −
∂2w
∂r2
, κθ = −
1
r
∂w
∂r
, ϑ = −
∂w
∂r
,
уравнений движения
1
r
∂
∂r
(rMr) =
1
r
Mθ +Q,
1
r
∂
∂r
[
r
(
Q+Nr
∂w
∂r
)]
= ρh
∂2w
∂t2
− p,
∂
∂r
(rNr) = Nθ,
где ρh = ρ1h + 2ρ2δ — удельная масса элемента пластинки. Здесь не учитывается состав-
ляющая сил инерции, действующая в плоскости пластинки.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 51
Введем безразмерные величины
r = aρ, h = a
⌢
h, w = a
⌢
w, σ = E0
⌢
σ, p = E0q, κr =
1
a
⌢
κρ, κθ =
1
a
⌢
κθ,
E = E0
⌢
E, τ =
√
E0
ρha
t, ωt =
⌢
ωτ, Q = E0a
⌢
Q, Nr = E0a
⌢
Nρ, Nθ = E0a
⌢
N θ,
Mr = E0a
2
⌢
Mρ, Mθ = E0a
2
⌢
Mθ, Me = E0a
2
⌢
M e, D′
N = E0a
⌢
D
′
N , D′
M = E0a
3
⌢
D
′
M .
Исключив Q из уравнений движения, преобразуем полученное уравнение
1
r
∂
∂r
[
∂(rMr)
∂r
−Mθ
]
+
1
r
∂
∂r
[
(rNr)
∂w
∂r
]
− ρh
∂2w
∂t2
+ p(r, t) = 0
и остальные исходные уравнения к виду
(
⌢
D
′′
M +
⌢
D
′
ME∗
)
∆∆
⌢
w −
(
⌢
Nϑ
1
ρ
∂
⌢
w
∂ρ
+
⌢
Nρ
∂2
⌢
w
∂ρ2
)
−∆
⌢
Me +
∂2
⌢
w
∂τ2
−
⌢
q(ρ, τ ) = 0,
∂
∂ρ
(
ρ
⌢
N θ
)
=
⌢
Nρ −
1− ν2
2
(
⌢
D
′′
N +
⌢
D
′
NE∗
)(
∂
⌢
w
∂ρ
)2
,
∂
∂ρ
(
ρ
⌢
Nρ
)
=
⌢
N θ,
где ∆ — оператор
∂2
∂ρ2
+
1
ρ
∂
∂ρ
.
Граничные условия для шарнирного опирания наружного контура имеют вид
при r = 0 Q = ϑ = 0, Nθ = Nr,
при r = a w = Mr = 0, Nr = 0 (Nθ − νNr = u = 0).
В [5] для получения приближенного решения такой системы интегро-дифференциаль-
ных уравнений в области частот, близких к резонансной частоте, используется подход, осно-
ванный на последовательном применении метода Бубнова–Галеркина и метода гармониче-
ского баланса. На первом этапе на основе приближенного представления резонансной фор-
мы колебаний в виде трехчленной полиномиальной функции методом Бубнова–Галеркина
задача приводится к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению относительно
амплитуды.
Следуя в общем этой методике, представим прогиб пластинки в околорезонансной об-
ласти в виде
⌢
w ≈ η(τ)
⌢
w1(ρ),
взяв за основу первую резонансную форму изгибных колебаний
⌢
w1(ρ) для соответствующей
однородной электроупругой задачи
(
⌢
E1
⌢
D
′
M +
⌢
D
′′
M
)
∆∆
⌢
w +
⌢
ω
2⌢
w = 0
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
при тех же граничных условиях. Здесь
⌢
E1(ω) — действительная часть комплексного мо-
дуля. Определение
⌢
w1(ρ) проводится численно и в таком виде используется в дальнейшем.
Принято, что
⌢
w1(0) = 1.
Из уравнений плоской задачи видно, что усилия при этом будут иметь вид
⌢
N θ = N ′
θ(ρ)
(
D′′
N
D′
N
+ E∗
)
η2(τ),
⌢
Nρ = N ′
ρ(ρ)
(
D′′
N
D′
N
+ E∗
)
η2(τ),
где N ′
ρ и N ′
θ являются численным решением краевой задачи
∂
∂ρ
(ρN ′
θ) = N ′
ρ −
1− ν2
2
⌢
D
′
N
(
∂
⌢
w1(ρ)
∂ρ
)2
,
∂
∂ρ
(ρN ′
ρ) = N ′
θ,
N ′
θ −N ′
ρ = 0 при ρ = 0 и N ′
θ − νN ′
ρ = 0 или N ′
ρ = 0 при ρ = 1.
С учетом этого представления прогиба и усилий проинтегрируем по площади уравнение
изгиба, предварительно умноженное на
⌢
w1(ρ).
Полученное уравнение нелинейного осциллятора описывает вынужденные колебания
системы вблизи резонансной частоты
u2η̈ +
⌢
ω
2
1
(
⌢
D
′′
M +
⌢
D
′
M
⌢
E1
)
u2
(
⌢
D
′′
M +
⌢
D
′
ME∗
)
η − u3η
(
D′′
N
D′
N
+ E∗
)
η2 = Q,
где
u1 =
1
∫
0
⌢
w1ρdρ, u2 =
1
∫
0
⌢
w1
⌢
w1ρdρ, u3 =
1
∫
0
(
⌢
N θ
1
ρ
∂
⌢
w1
∂ρ
+
⌢
Nρ
∂2
⌢
w1
∂ρ2
)
⌢
w1ρdρ,
Q = q1(τ)uq +m1(τ)uE , uq =
1
∫
0
q0(ρ)
⌢
w1ρdρ,
uE =
1
m1(τ)
1
∫
0
∆
⌢
M e(ρ)
⌢
w1ρdρ =
1
m1(τ)
lim
ρ1→1
ρ1
∫
0
∆
⌢
Me(ρ)
⌢
w1ρdρ = −
⌢
ϑ1(1).
Пусть q1(τ) = (q′ cos
⌢
ωτ − q′′ sin
⌢
ωτ), m1(τ) = (M ′ cos
⌢
ωτ − M ′′ sin
⌢
ωτ). Тогда уровень
общей электромеханической нагрузки на осциллятор будет
Q = q′ cos
⌢
ωτ − q′′ sin
⌢
ωτ,
где q′ = (q′uq +M ′uE), q
′′ = (q′′uq +M ′′uE).
Отсюда видно, что при известной механической нагрузке уровнем возбуждения можно
управлять электрическим способом путем выбора параметров M ′ и M ′′ или амплитуды
электрического напряжения.
В соответствии с методом гармонической линеаризации для слабонелинейных задач
используется представление амплитуды прогиба в виде гармонической функции времени,
соответствующей закону изменения внешней нагрузки
η(τ) = η′ cos
⌢
ωτ − η′′ sin
⌢
ωτ.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 53
На таких историях деформации определяющие соотношения между деформациями и на-
пряжениями формулируются с помощью комплексных модулей, и интегральные операторы
принимают вид
E ∗
(
cos
⌢
ωτ
)
=
⌢
E1 cos
⌢
ωτ −
⌢
E2 sin
⌢
ωτ,
E ∗
(
sin
⌢
ωτ
)
=
⌢
E2 cos
⌢
ωτ +
⌢
E1 sin
⌢
ωτ, E ∗ (1) =
⌢
E∞,
E ∗
(
cos2
⌢
ωτ
)
=
1
2
⌢
E∞ +
1
2
⌢
E11 cos 2
⌢
ωτ −
1
2
⌢
E22 sin 2
⌢
ωτ,
E ∗
(
sin2
⌢
ωτ
)
=
1
2
⌢
E∞ −
1
2
⌢
E11 cos 2
⌢
ωτ +
1
2
⌢
E22 sin 2
⌢
ωτ.
Здесь E∞ — длительный модуль вязкоупругого материала; E1 и E2 — компоненты комп-
лексного модуля при частоте колебаний
⌢
ω, а E11 и E22 — компоненты комплексного модуля
при частоте колебаний 2
⌢
ω.
Представив нелинейный член в уравнении осциллятора двумя элементами из его разло-
жения в ряд Фурье, а именно членами с sin
⌢
ωτ и cos
⌢
ωτ , получим систему двух уравнений
(
⌢
ω
2
c −
⌢
ω
2)
η′ +
(
−
⌢
E2
⌢
E1 +D′′
M/D′
M
⌢
ω
2
1 −
u3
u2
⌢
E22
|η|2
4
)
η′′ =
q′
u2
,
(
−
⌢
E2
⌢
E1 +D′′
M/D′
M
⌢
ω
2
1 −
u3
u2
⌢
E22
|η|2
4
)
η′ −
(
⌢
ω
2
c −
⌢
ω
2)
η′′ =
q′′
u2
,
где
⌢
ω
2
c =
⌢
ω
2
1 + ξ|η|2, ξ =
u3
2u2
(
E∞ +
D′′
N
D′
N
+
1
2
(
E11 +
D′′
N
D′
N
))
—
уравнение скелетной кривой, представляющей зависимость квадрата собственной частоты
колебаний консервативной системы от амплитуды.
Возводя эти уравнения в квадрат и складывая, получаем
[
(
⌢
ω
2
c −
⌢
ω
2)2
+
(
−
⌢
E2
⌢
E1 +D′′
M/D′
M
⌢
ω
2
1 −
u3
u2
⌢
E22
|η|2
4
)2]
|η|2 =
(q′)2 + (q′′)2
u2
2
или
⌢
ω
2
=
⌢
ω
2
1 + ξ|η|2 ±
√
√
√
√
(q′)2 + (q′′)2
u2
2
|η|2
−
(
⌢
E2
⌢
E1 +D′′
M/D′
M
⌢
ω
2
1 +
u3
u2
⌢
E22
|η|2
4
)2
.
Приняв в околорезонансной области значения компонентов комплексных модулей не зави-
сящими от частоты и для E1, E2 отнесенными к частоте ω1, а E11, E22 — к частоте 2ω1,
последнее выражение можем рассматривать как зависимость квадрата частоты от ампли-
туды.
В качестве примера применения изложенной методики рассмотрим установившиеся осе-
симметричные колебания шарнирно опертой трехслойной пластинки при следующих зна-
чениях параметров: a = 0,1 м, h = 0,0025 м, δ = 0, ρ2 = 2500 кг/м3. Материал пьезослоев
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
PZT − 4, а свойства вязкоупругого материала основного слоя определяются стандартной
моделью вязкоупругого тела и характеризуются значениями модулей E0 = 1,1 · 1011 Па,
E∞ = 1011 Па и постоянной времени в релаксационном процессе p1 = 10−6 с. Решение
краевых задач и определение коэффициентов уравнения, описывающего колебания осцил-
лятора, проводилось численными методами. Первая собственная частота электроупругой
пластинки с короткозамкнутыми электродами
⌢
ω1 = 0,00587. Колебания возбуждаются рав-
номерно распределенной по площади пластины электромеханической нагрузкой с амплиту-
дой, эквивалентной 140 Па механической нагрузки. При этом относительный прогиб плас-
тинки w/h равен 0,94, резонансная кривая имеет характерный для жесткой нелинейности
вид и область неоднозначности при
⌢
ω/
⌢
ω1 = 1,003.
1. Гололобов В.И. Соотношения упругости для многослойных пьезокерамических пластин // Докл АН
УССР. Сер. А. – 1983. – № 11. – С. 38–40.
2. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций.
Т. 5. Электроупругость. – Киев: Наук. думка, 1989. – 280 с.
3. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. – Москва: Мир, 1974. – 338 с.
4. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. – Киев: Вища
шк., 1983. – 286 с.
5. Карнаухов В. Г., Карнаухова Т.В., Зражевская В.Ф. Активное демпфирование резонансных изгиб-
ных колебаний гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины при помощи пьезоактуаторов //
Теорет. и прикл. механика. – 2009. – Вып. 45. – С. 114–123.
Поступило в редакцию 20.01.2012Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
B. I. Гололобов
Осесиметричнi резонанснi коливання гнучкої шарнiрно опертої
в’язкопружної пластини з п’єзошарами
Iз застосуванням методу Бубнова–Гальоркiна розглянуто задачу про вимушенi резонан-
снi коливання круглої гнучкої в’язкопружної пластини при електромеханiчному наванта-
женнi. Наведено результати розрахунку резонансних характеристик пластини з двома
п’єзоперетворювачами з урахуванням геометричної нелiнiйностi.
V. I. Gololobov
Axisymmetric resonance vibrations of a flexible hindged viscoelastic
laminated piezoelectric plate
By the Bubnov–Galerkin method, the problem of forced resonance vibrations of a flexible circular
viscoelastic plate under an electromechanical load is considered. The results of calculations of the
resonance characteristics of a plate with two piezoelectric transducers with regard for a geometric
nonlinearity are presented.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 55
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84638 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:58:31Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гололобов, В.И. 2015-07-11T19:46:52Z 2015-07-11T19:46:52Z 2012 Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями / В.И. Гололобов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 50-55. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84638 539 С применением метода Бубнова–Галеркина рассмотрена задача о вынужденных резонансных колебаниях круглой гибкой вязкоупругой пластины при электромеханическом нагружении. Приведены результаты расчета резонансных характеристик пластины
 с двумя пьезопреобразователями с учетом геометрической нелинейности. Iз застосуванням методу Бубнова–Гальоркiна розглянуто задачу про вимушенi резонанснi коливання круглої гнучкої в’язкопружної пластини при електромеханiчному навантаженнi. Наведено результати розрахунку резонансних характеристик пластини з двома
 п’єзоперетворювачами з урахуванням геометричної нелiнiйностi. By the Bubnov–Galerkin method, the problem of forced resonance vibrations of a flexible circular
 viscoelastic plate under an electromechanical load is considered. The results of calculations of the
 resonance characteristics of a plate with two piezoelectric transducers with regard for a geometric
 nonlinearity are presented. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями Осесиметричнi резонанснi коливання гнучкої шарнiрно опертої в’язкопружної пластини з п’єзошарами Axisymmetric resonance vibrations of a flexible hindged viscoelastic laminated piezoelectric plate Article published earlier |
| spellingShingle | Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями Гололобов, В.И. Механіка |
| title | Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями |
| title_alt | Осесиметричнi резонанснi коливання гнучкої шарнiрно опертої в’язкопружної пластини з п’єзошарами Axisymmetric resonance vibrations of a flexible hindged viscoelastic laminated piezoelectric plate |
| title_full | Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями |
| title_fullStr | Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями |
| title_full_unstemmed | Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями |
| title_short | Осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями |
| title_sort | осесимметричные резонансные колебания гибкой шарнирно опертой вязкоупругой пластины с пьезослоями |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84638 |
| work_keys_str_mv | AT gololobovvi osesimmetričnyerezonansnyekolebaniâgibkoišarnirnoopertoivâzkouprugoiplastinyspʹezosloâmi AT gololobovvi osesimetričnirezonansnikolivannâgnučkoíšarnirnoopertoívâzkopružnoíplastinizpêzošarami AT gololobovvi axisymmetricresonancevibrationsofaflexiblehindgedviscoelasticlaminatedpiezoelectricplate |