О бифуркациях и аналитическом решении в модели Рикитаки
В рамках качественного анализа установлено существование плоского аттрактора и бифуркации траектории модели Рикитаки. В координатах, связанных с плоскостью, получено аналитическое решение. Определена сигнатура спектра характеристических показателей Ляпунова в случае неустойчивой орбиты движения....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84639 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О бифуркациях и аналитическом решении в модели Рикитаки / Н.В. Никитина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 56-63. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84639 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-846392025-02-23T20:12:51Z О бифуркациях и аналитическом решении в модели Рикитаки Про бiфуркацiї та аналiтичний розв’язок в моделi Рiкiтакi About bifurcations and an analytical solution in the Rikitaki model Никитина, Н.В. Механіка В рамках качественного анализа установлено существование плоского аттрактора и бифуркации траектории модели Рикитаки. В координатах, связанных с плоскостью, получено аналитическое решение. Определена сигнатура спектра характеристических показателей Ляпунова в случае неустойчивой орбиты движения. У рамках якiсного аналiзу встановлено iснування плоского атрактора та бiфуркацiї траєкторiї в моделi Рiкiтакi. В координатах, зв’язаних з площиною, наведено аналiтичний розв’язок. Знайдено сигнатуру спектра характеристичних показникiв Ляпунова у випадку нестiйкої орбiти руху. Within the framework of a qualitative analysis, the existence of a flat attractor and the bifurcation of a trajectory in the Rikitaki model is established. An analytical solution in the coordinates on a plane is found. The signature of the spectrum of characteristic Lyapunov indices is found for an unsteady orbit of motion. 2012 Article О бифуркациях и аналитическом решении в модели Рикитаки / Н.В. Никитина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 56-63. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84639 531 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Никитина, Н.В. О бифуркациях и аналитическом решении в модели Рикитаки Доповіді НАН України |
| description |
В рамках качественного анализа установлено существование плоского аттрактора и бифуркации траектории модели Рикитаки. В координатах, связанных с плоскостью, получено аналитическое решение. Определена сигнатура спектра характеристических показателей Ляпунова в случае неустойчивой орбиты движения. |
| format |
Article |
| author |
Никитина, Н.В. |
| author_facet |
Никитина, Н.В. |
| author_sort |
Никитина, Н.В. |
| title |
О бифуркациях и аналитическом решении в модели Рикитаки |
| title_short |
О бифуркациях и аналитическом решении в модели Рикитаки |
| title_full |
О бифуркациях и аналитическом решении в модели Рикитаки |
| title_fullStr |
О бифуркациях и аналитическом решении в модели Рикитаки |
| title_full_unstemmed |
О бифуркациях и аналитическом решении в модели Рикитаки |
| title_sort |
о бифуркациях и аналитическом решении в модели рикитаки |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84639 |
| citation_txt |
О бифуркациях и аналитическом решении в модели Рикитаки / Н.В. Никитина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 56-63. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT nikitinanv obifurkaciâhianalitičeskomrešeniivmodelirikitaki AT nikitinanv probifurkaciítaanalitičnijrozvâzokvmodelirikitaki AT nikitinanv aboutbifurcationsandananalyticalsolutionintherikitakimodel |
| first_indexed |
2025-11-25T00:59:34Z |
| last_indexed |
2025-11-25T00:59:34Z |
| _version_ |
1849722011177189376 |
| fulltext |
УДК 531
© 2012
Н.В. Никитина
О бифуркациях и аналитическом решении в модели
Рикитаки
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
В рамках качественного анализа установлено существование плоского аттрактора и би-
фуркации траектории модели Рикитаки. В координатах, связанных с плоскостью, по-
лучено аналитическое решение. Определена сигнатура спектра характеристических по-
казателей Ляпунова в случае неустойчивой орбиты движения.
Методы качественной теории в нелинейной механике берут свое начало в работах Пуан-
каре, Андронова и получили развитие в современных работах [1, 2]. Данная работа связа-
на с проблемой классификации физических объектов, порождающих многомерные аттрак-
торы, а также с анализом простых и сложных движений многомерных систем, которые
вызываются бифуркационным процессом и неустойчивостью орбит [3]. В работе качествен-
ный анализ связан с симметрией аттракторов и уравнением в вариациях. Прикладная за-
дача, которая рассмотрена в работе, относится к базовым моделям в теории земного ди-
намо [4].
Предварительные сведения. Палеомагнитные исследования показали, что магнит-
ное поле Земли претерпевает изменение направления (полярности) на обратное. В течение
последних сотен миллионов лет смена направления происходит нерегулярным образом. По-
мимо подробной магнитогидродинамической модели построены простые модели. Базовой
моделью в теории земного динамо является модель Рикитаки, предложенная в 1955 го-
ду [4]. Эта модель описывает систему из двух дисков динамо, соединенных, как показано
на рис. 1. Диски этой модели могут рассматриваться как имитация двух больших вихрей
в ядре Земли. Рассмотрим возбуждения полей в двух дисках. Ток I1 вызывает магнитное
поле, в котором второй диск индуцирует ток I2. Этот ток в свою очередь вызывает поле,
Рис. 1
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
в котором первый диск индуцирует ток I1. Нелинейность возникает при учете обратной
реакции момента электромагнитной силы на движение, т. е. на угловые скорости Ω1 и Ω2.
Согласно законам механики и электродинамики, система уравнений имеет вид
L
dI1
dτ
+RI1 = MI2Ω1, L
dI2
dτ
+RI2 = MI1Ω2. (1)
Здесь L — индуктивность дисков; R — сопротивление контуров; M — взаимная индуктив-
ность между контуром и диском. Система (1) есть уравнения динамо. Система
J
dΩ1
dτ
= G−MI1I2, J
dΩ2
dτ
= G−MI1I2, (2)
где J — момент инерции дисков; G — момент внешних сил, описывает обратную реакцию
электромагнитных сил на движение. Введем безразмерные переменные, следуя Рикита-
ки [4], x1, x2, x3, x4, t
I1 = x1
√
G
M
, I2 = x2
√
G
M
, Ω1 = x3
√
GL
JM
, Ω2 = x4
√
GL
JM
, τ = t
√
JL
MG
.
Система (1), (2) в безразмерном виде запишется так:
dx1
dt
= −µx1 + x2x3,
dx2
dt
= −µx2 + x1x4,
dx3
dt
= 1− x1x2,
dx4
dt
= 1− x1x2. (3)
Здесь µ = R
√
J/(GLM ) — коэффициент омической диссипации. Из системы (3) вытекает,
что разность угловых скоростей есть величина постоянная x3 − x4 = a, где a = const.
Предположим, что a = 0, тогда x3 = x4. Найдены особые точки системы (3): точка A
(x1 = 1, x2 = 1, x3 = µ); точка B (x1 = −1, x2 = −1, x3 = µ).
Условия существования замкнутой траектории. Введем новые переменные x =
= x1 − 1, y = x2 − 1, z = x3 − µ и составим уравнения движения относительно особой
точки A
dx
dt
= −µ(x− y) + z + yz,
dy
dt
= −µ(y − x) + z + xz,
dz
dt
= −(x+ y)− xy. (4)
Представим систему (4) в виде
dx
dt
= Fx,
dy
dt
= Fy,
dz
dt
= Fz. (5)
Проанализируем выполнение в трехмерной системе (5) условий замыкания траекторий
в плоскостях Axz, Ayz, Axy. Для этого привлечем принцип симметрии и кососиммет-
рии [5, 6].
На плоскости Axz выполняются условиe четности функции Fz(x, z) относительно z и не-
четности функции Fx(x, z) относительно z Fx(x,−z) = −Fx(x, z), Fz(x,−z) = Fz(x, z). То-
гда в системе (5) на плоскости Axz существует замкнутая кривая и ось Ax является осью
симметрии.
На плоскости Ayz выполняются условиe четности функции Fz(y, z) относительно z и не-
четности функции Fy(y, z) относительно z Fy(y,−z) = −Fy(y, z), Fz(y,−z) = Fz(y, z). Тогда
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 57
в системе (5) на плоскости Ayz существует замкнутая кривая и ось Ay является осью сим-
метрии.
На плоскости Axy выполняются условия кососимметрии функций Fx(x, y) и Fy(x, y)
Fx(−x, y) = −Fx(x,−y), Fy(−x, y) = −Fy(x,−y). Проанализируем поведение траектории
уравнений (3), приведенных к особой точке B. Также выполняются условия симметрии
в плоскостях Bxz, Byz и условие кососимметрии в плоскости Bxy. В системе (5) на плос-
кости Axy замкнутая кривая может иметь оси кососимметрии Ax, Ay. Можно предполо-
жить, что траектория проецируется на плоскость Axy в виде отрезка прямой вдоль линии
AB. Если это предположение будет доказано, то имеет место существование плоского ат-
трактора.
Введем малые отклонения δx, δy, δz в системе (4) от частных решений x(t), y(t), z(t)
и составим уравнения в вариациях δx = x − x, δy = y − y, δz = z − z
dδx
dt
= −µδx+ (µ+ z)δy + (1 + y)δz,
dδy
dt
= (µ+ z)δx − µδy + (1 + x)δz,
dδz
dt
= −(1 + y)δx− (1 + x)δy.
(6)
Характеристическое уравнение системы в вариациях (6) имеет вид
λ3 + 2µλ2 + λ(µ2 + (1 + x)2 + (1 + y)2 − (µ + z)2) + 2(µ + z)(1 + x)(1 + y) +
+ µ((1 + x)2 + (1 + y)2) = 0. (7)
Положим значение параметра µ = 1. Исследование с помощью уравнения (7) показало,
что точка A (x = 0, y = 0, z = 0) и также точка B (x = −2, y = −2, z = 0) — устойчи-
вые узел-центры, для которых λ1, λ2 — мнимые величины, λ1,2 = ±i
√
2, λ3 = −2. Точка
C(x = −1, y = −1, z = 0) лежит на разделе областей существования двух видов семейств
замкнутых траекторий системы (4). В точке C уравнение (7) имеет корни λ1 = 0, λ2 = 0,
λ3 = −2µ. Система (4) несамовозбуждаемая.
Переход к новым переменным. Качественный анализ. Перейдем к координатам,
которые более удобны тем, что фазовый рисунок может проецироваться на фазовую плос-
кость в натуральную величину. Введем новые оси Au, Av поворотом старых Ax, Ay на угол
α = π/4. Новые координаты связаны со старыми следующим образом:
u = x cosα+ y sinα, v = −x sinα+ y cosα.
В новой системе координат Auvz уравнения (4) примут вид
du
dt
=
√
2z + uz,
dv
dt
= −2µv − vz,
dz
dt
= −
√
2u− u2
2
+
v2
2
. (8)
Возвратимся к вопросу о замыкании траектории. Первое уравнение системы (8) не со-
держит в правой части переменную v, второе уравнение не содержит переменную u. Второе
и третье уравнения системы (8) связаны лишь нелинейными составляющими. При такой
характеристике правых частей системы (8) замкнутые траектории системы (8) распо-
лагаются в плоскости Auz. Таким образом, замкнутая траектория в трехмерном про-
странстве проецируется на плоскость Axy в виде отрезка прямой под углом π/4 к оси Ax.
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
Рис. 2
Введем малые отклонения δu, δv, δz в системе (8) от частных решений u(t), v(t), z(t)
и составим уравнения в вариациях
dδu
dt
= zδu+
(
√
2+ u
)
δz,
dδv
dt
= −(2µ + z)δv− vδz,
dδz
dt
= −
(
√
2 + u
)
δu+ vδv. (9)
Так как траектория располагается в плоскости Auz, то v = 0. Характеристическое уравне-
ние системы в вариациях (9) имеет вид
λ3 + 2µλ2 + λ
((
u+
√
2
)2 − 2µz − z2
)
+ (2µ + z)
(
u+
√
2
)2
= 0. (10)
Здесь учтено, что v = 0.
Приведем анализ качества точек замкнутой кривой, построенной численным способом.
В системе координат Oxyz, Auz замкнутые кривые не содержат точку C. Наиболее от-
даленные от узел-центра замкнутые кривые (рис. 2, a, б — сплошная линия) определяют
две области устойчивых траекторий. Между двумя замкнутыми кривыми проходит одна
ось Cz. На уровне физических представлений: точка C не может принадлежать двум
замкнутым траекториям.
С помощью уравнения (10) находим точки, в которых изменяется качество корней. На
кривой от точки, близкой к C, до точки 1 (не включая точек на концах отрезка) по ходу
часовой стрелки имеют место действительные корни (рис. 2, a, б ) λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0.
В точке 1 происходит исчезновение двух кратных действительных корней и рождение двух
комплексных (Reλ1,2 > 0). Внутри траектории от точки 1 до точки 2 имеют место пара
комплексных корней с положительной действительной частью и действительный корень
λ3 < 0. В точке 2 происходит смена знака действительной части с плюса на минус. Далее
внутри отрезка кривой 2–3 комплексные корни имеют отрицательный знак действительной
части. В точке 3 происходит исчезновение комплексных корней и рождение двух действи-
тельных. В точке 4 наблюдается исчезновение корня λ3 < 0 и рождение корня λ3 > 0.
Для всего многообразия замкнутых траекторий (на рис. 2, б замкнутые траектории изо-
бражены также штриховой линией) существует подобная симметрия, с помощью которой
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 59
Рис. 3
доказывается замыкание траекторий. При такой симметрии сигнатура двух характеристи-
ческих показателей Ляпунова (ХПЛ) имеет вид двух нулей. Распространение симметрии
на корни уравнения (10) формирует ХПЛ. Геометрическая симметрия фазовых траекторий
системы (8) такая, что каждой точки области вверху (относительно оси Au) соответствует
точка внизу области. При сложении корней уравнения (10) на круговой траектории имеем
следующую картину. Корни λ1, λ2 определят в сигнатуре спектра ХПЛ два первых знака
(0, 0, ), что соответствует эллиптической составляющей движения. Корень λ3 определит
притягивающий характер траекторий и связан преимущественно с координатой v. Сигна-
тура спектра ХПЛ замкнутых кривых имеет вид (0, 0,−). Таким образом, геометрическая
симметрия траекторий, симметрия распределения корней позволили установить орбиталь-
ную устойчивость и притягивающий характер замкнутых траекторий. Линейная система,
соответствующая системе (8), распадается, так что первое и третье уравнения определяют
точку A как центр du/dt =
√
2z, dz/dt = −
√
2u. Второе уравнение dv/dt = −2µv определяет
притягивающий характер точки A, делая ее узел-центром.
Аналитическое решение. Введем координату w = u +
√
2 и запишем систему (8)
в системе координат Cwvz
dw
dt
= wz,
dv
dt
= −2µv − vz,
dz
dt
= 1− w2
2
+
v2
2
. (11)
Изобразим на рис. 3, a штриховой линией замкнутые кривые, построенные численно, кото-
рым в начальный момент времени соответствуют следующие значения координат: w(0) =
= 0,000001; v(0) = 0; z(0) = 0 и w(0) = −0,000001; v(0) = 0; z(0) = 0. В общем случае
не известно аналитическое решение уравнений (3). Единственная ситуация µ = 0, a = 0,
в которой известно точное решение [4].
Так как доказано, что траектория лежит в плоскости Auz, также в плоскости Cwz
и v = 0, то аттрактору могут соответствовать два уравнения
dw
dt
= wz,
dz
dt
= 1− w2
2
. (12)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
Исключив время, разделим переменные в системе (12)
z2 = 2 ln |w| − w2
2
+D. (13)
Здесь D — постоянная интегрирования. Предположим, что движение начинается с точки C.
Определим D из следующих условий:
w(0) = 0; z(0) = 0. (14)
Полученный результат — D = ∞ подтверждает физическое представление: точка C не
может принадлежать двум замкнутым траекториям. В данном случае система (12) пока-
зывает границу аттрактора
z = ±
√
2 ln |w| − w2
2
+D. (15)
Здесь D = −2 ln |w(0)| + w(0)2/2, для начальных условий 0 < w(0) 6 wk; z(0) = 0, где
wk — конечное значение. Решение (15) можно назвать точным, однако при начальных усло-
виях (14) имеем z2 → ∞, а не z → ∞. Последнее показывает численное решение. Причина
кроется в том, что система (12) является упрощенной и игнорирование уравнения относи-
тельно v в системе (12) не позволяет найти все интегралы системы (11). На рис. 3, a показано
численное решение с начальными условиями (14). На численное решение (рис. 3, a) нало-
жено аналитическое решение (15), которое при t = 0 имеет следующие значения координат:
w(0) = 0,000001; z(0) = 0. Все это изображено на рис. 3, б.
При переходе к упрощенной системе (12) получено аналитическое решение (15), несмот-
ря на диссипацию. Произошло разделение характеристических показателей: два показателя
связаны с границей аттрактора и порождают сигнатуру спектра (0, 0, ); третий — с дисси-
пацией и определяет притяжение к плоскости аттрактора. Кроме замкнутых траекторий,
существует решение, уходящее на бесконечность. Упрощенная система показывает тенден-
цию ухода на бесконечность, но не показывает знак бесконечности.
Подставим в характеристическое уравнение (10) w = u+
√
2 и примем w = 0, тогда на
оси Cz характеристические показатели вычисляются так:
λ1 = 0, λ2,3 = −µ±
√
µ2 + z(2µ + z). (16)
Один характеристический показатель (λ3 < 0), cогласно (16), на всей оси Cz показывает
притяжение траектории. Начальные условия (14) порождают решение, которое, попадая на
ось Cz в точку C, уходит на ∞, так как для z > 0 имеет место λ1 = 0, λ2 > 0, λ3 < 0, причем
геометрически λ3 соответствует притяжению к оси Cz, которое направлено вдоль оси Cv.
Неустойчивость орбиты аттрактора. На рис. 3, б замкнутые траектории относи-
тельно особых точек A и B ограничивают области многообразий замкнутых траекторий.
Эти области разделяются осью Cz. Если начальное положение траектории находится не
в точке C и вне областей многообразий правой и левой полуплоскости, то траектория обла-
дает избытком энергии. Изображающая точка при избытке энергии стремится, преодолевая
ось Cz, совершить переход из одной области устойчивых движений в другую. В двух точках
на оси Cz (с координатами z = −2, z = 0) характеристические показатели, согласно (16),
имеют вид:
λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = −2. (17)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 61
Рис. 4
Возможно, что через две точки (17) на Cz траектория переходит из одной полуплоскости
в другую, если система обладает избыточной энергией. Стохастика движения при этом
возникает из-за того, что существует не один путь перехода из области в область. Если
бы путь перехода был один, то через некоторый отрезок времени (переходный период)
траектория замкнулась относительно двух узел-центров A и B, образуя устойчивую орбиту
движения.
На рис. 4 приведен фрагмент орбитально неустойчивой траектории системы (11) (на-
чальные возмущения w(0) = 8,8; v(0) = 0; z(0) = 0). В сигнатуре спектра ХПЛ появляется
знак плюс — (+, 0,−).
Таким образом, в работе приведены достаточные условия существования двух много-
образий замкнутых траекторий в трехмерном пространстве на основе принципа симметрии
и кососимметрии. Доказано, что аттрактор плоский. При переходе к координатам, свя-
занным с плоскостью движения, появляется возможность исключить время и разделить
переменные.
В рассмотренной задаче при равных между собой угловых скоростях дисков (условие
a = 0), которые имитируют вихри в ядре Земли, вызывается стохастическое изменение
направления вектора угловой скорости. Это связано с избыточной начальной энергией, ко-
торая вызывает орбитальную неустойчивость.
1. Шильников Л. П, Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной
динамике. Ч. 1. – Москва: Изд. Ин-та компьют. исследований, 2004. – 416 с.
2. Шильников Л. П, Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной
динамике. Ч. 2. – Москва: Изд. Ин-та компьют. исследований, 2009. – 546 с.
3. Nikitina N.V. Estimating the chaos boundaries of a double pendulum // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47,
No 5. – P. 590–599.
4. Кук А., Робертс П. Система двухдискового динамо Рикитаки // Странные аттракторы. – Москва:
Мир, 1981. – С. 164–292.
5. Немыцкий В.В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – Москва;
Ленинград: Гостехтеориздат, 1949. – 550 с.
6. Никитина Н.В. О принципе кососимметрии // Доп. НАН України. – 2008. – № 2. – С. 69–72.
Поступило в редакцию 24.01.2012Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
Н.В. Нiкiтiна
Про бiфуркацiї та аналiтичний розв’язок в моделi Рiкiтакi
У рамках якiсного аналiзу встановлено iснування плоского атрактора та бiфуркацiї траєк-
торiї в моделi Рiкiтакi. В координатах, зв’язаних з площиною, наведено аналiтичний роз-
в’язок. Знайдено сигнатуру спектра характеристичних показникiв Ляпунова у випадку не-
стiйкої орбiти руху.
N.V. Nikitina
About bifurcations and an analytical solution in the Rikitaki model
Within the framework of a qualitative analysis, the existence of a flat attractor and the bifurcation
of a trajectory in the Rikitaki model is established. An analytical solution in the coordinates on a
plane is found. The signature of the spectrum of characteristic Lyapunov indices is found for an
unsteady orbit of motion.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 63
|