Визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84640 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках / П.I. Баранський, Г.П. Гайдар // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 64-69. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860267312043524096 |
|---|---|
| author | Баранський, П.І. Гайдар, Г.П. |
| author_facet | Баранський, П.І. Гайдар, Г.П. |
| citation_txt | Визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках / П.I. Баранський, Г.П. Гайдар // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 64-69. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| first_indexed | 2025-12-07T19:02:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2012
ФIЗИКА
УДК 621.315.592.3
© 2012
П. I. Баранський, Г. П. Гайдар
Визначення параметра анiзотропiї термоерс захоплення
в багатодолинних напiвпровiдниках
(Представлено членом-кореспондентом НАН України П.М. Томчуком)
Розглянуто один iз способiв визначення параметра анiзотропiї термоерс захоплення
електронiв фононами M = αф
‖ /α
ф
⊥ у багатодолинних кристалах n-Ge i n-Si. Встановлено
зв’язок термоерс у недеформованому (α0) i в сильно деформованому (α∞) кристалi (при
механiчному навантаженнi X → ∞) з поперечною фононною компонентою (αф
⊥) i з па-
раметром анiзотропiї термоерс захоплення електронiв фононами М, а також зв’язок
термоерс захоплення у недеформованому кристалi з параметром анiзотропiї рухливос-
тi електронiв у рамках окремо взятого iзоенергетичного елiпсоїда K = µ⊥/µ‖. Наведено
формули для розрахунку концентрацiйних залежностей параметра анiзотропiї рухли-
востi K = K(ne, Nd, Na) у випадку невиродженого електронного газу в кристалах.
Внаслiдок кубiчної симетрiї кристалiв Ge i Si у природному (тобто, механiчно не напру-
женому) станi вони характеризуються iзотропнiстю всiх кiнетичних коефiцiєнтiв. Отже,
всi кiнетичнi явища в цих кристалах (у тому числi й термоерс) описуються при названих
умовах за допомогою скалярних величин. Зокрема на макрорiвнi (тобто на рiвнi кристала)
скаляром є i коефiцiєнт термоерс. В одновiсно пружно-деформованих кристалах Ge i Si
ситуацiя змiнюється i коефiцiєнт термоерс стає тензорною величиною.
На прикладi багатодолинного напiвпровiдника n-Ge розглянемо задачу визначення па-
раметра анiзотропiї термоерс в областi захоплення електронiв фононами
M = αф
‖ /α
ф
⊥, (1)
де αф
‖ , αф
⊥ — поздовжня i поперечна (вiдносно довгої осi iзоенергетичного елiпсоїда) компо-
ненти термоерс, обумовленої захопленням електронiв, якi належать одному елiпсоїду, довго-
хвильовими фононами. Параметр M є фундаментальним параметром теорiї анiзотропного
розсiяння, узагальненої на випадок захоплення електронiв фононами. З’ясуємо методику
визначення параметра M за результатами вимiрювань дiагональних компонентiв тензора
термоерс.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
Оскiльки у загальному випадку експериментально вимiрюванi значення коефiцiєнта ди-
ференцiйної термоерс α складаються з суми двох компонент
α = αe + αф, (2)
де αe i αф — електронна i фононна складовi термоерс вiдповiдно, а також зважаючи на те,
що в пружно-деформованому вздовж кристалографiчного напрямку [111] n-Ge термоерс
може бути наведена у виглядi тензора другого рангу α̂ у лабораторнiй системi координат
(пов’язанiй з осями iзоенергетичного елiпсоїда, розмiщеного на осi деформацiї) [1]
α̂ =
∣∣∣∣∣∣
α11 0 0
0 α22 0
0 0 α33
∣∣∣∣∣∣
, (3)
де α11 = α22 i α33 — дiагональнi члени тензора термоерс, то α11 = αe
11+αф
11
i α33 = αe
33+αф
33
.
Зауважимо, що при одновiснiй пружнiй деформацiї n-Ge в напрямку [111] мiнiмум енергiї,
орiєнтований в цьому напрямку, змiщується вниз по шкалi енергiй, тодi як три останнi
мiнiмуми змiщуються вверх. Позначимо через N1 концентрацiю носiїв струму в мiнiмумi,
який опускається, а через N2 — концентрацiю носiїв струму в будь-якому з трьох мiнiмумiв,
якi пiднiмаються.
Можна показати [2], що при довiльному за величиною механiчному навантаженнi X на
кристалi (n-Ge) за умови X//J//〈111〉 (де J — струм)
α33 − αe
33 = αф
⊥
M + γ
8K +M
3
1 + γ
8K + 1
3
. (4)
Тут γ = N2/N1 = e−
4
9
ΞuS44
kT
X = e−0,120X
T — вiдношення концентрацiй носiїв в елiпсоїдах
для довiльних значень X i T ; Ξu — константа деформацiйного потенцiалу зсуву; S44 —
коефiцiєнт податливостi (для n-Ge S44 = 1,46 · 10−11 Па−1); K — параметр анiзотропiї
рухливостi електронiв у рамках окремо взятого iзоенергетичного елiпсоїда. Параметр K
задається виразом
K =
µ⊥
µ‖
=
3
2
ρ∞
ρ0
−
1
2
, (5)
де µ‖, µ⊥ — рухливостi носiїв заряду вздовж i поперек довгої осi iзоенергетичного елiпсоїда
вiдповiдно; ρ0(X = 0) i ρ∞ = lim
X→∞
ρ(X) — питомий опiр недеформованого (при X = 0)
зразка i при X → ∞ (тобто, ρ = ρ(X) в областi насичення).
З (2) видно, що фононнi складовi термоерс без тиску (X = 0) i в насиченнi (X → ∞),
тобто αф
0
i αф
∞, дорiвнюють експериментально вимiряним даним (α0 i α∞) без електрон-
ної складової (αe
4 i αe
1 — у випадку недеформованого i сильно деформованого кристала
вiдповiдно):
αф
0
= α0 − αe
4,
αф
∞ = α∞ − αe
1 ≡ αф
‖ .
(6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 65
Електронну (дифузiйну) складову термоерс αe
N можна визначити за формулою Писарен-
ка [3]:
αe
N =
k
e
[
2 + ln
2(2πm∗kT )3/2
n0h3
]
, (7)
де n0 — концентрацiя носiїв заряду; e — заряд електрона; k — cтала Больцмана; T — темпе-
ратура; h — стала Планка; m∗ = N2/3 3
√
m‖m
2
⊥ — ефективна маса густини станiв; N — число
iзоенергетичних елiпсоїдiв, зокрема для n-Ge N =
{
4 при X = 0,
1 при X = 0,6 ГПа i T = 77 К.
За безпосередньо вимiряним значенням α∞ можна знайти, згiдно з (6), значення αф
‖ =
= α∞ − αe
1. А за допомогою формули (1) знаходимо поперечну фононну компоненту:
αф
⊥ = αф
‖ /M. (8)
З рiвнянь (6) i (8) одержимо
α∞ − αe = αф
‖ = αф
⊥M. (9)
При вiдсутностi на дослiджуваному зразку одновiсного механiчного навантаження
(X = 0) зi спiввiдношення (4), опустивши iндекси 33, одержимо таке рiвняння:
αф
0
= α0 − αe = αф
⊥
2K +M
2K + 1
. (10)
Рiвняння (10) пов’язує (через параметри анiзотропiї K i M) фононну термоерс усього
кристала (при X = 0) з однiєю iз складових фононної термоерс в окремо взятому iзоенер-
гетичному елiпсоїдi αф
⊥.
Таким чином, маємо систему двох рiвнянь (9) i (10) з двома невiдомими величинами
(αф
⊥ i M). Щоб розв’язати цю систему i визначити параметр анiзотропiї термоерс захоплен-
ня M , потрiбно спочатку знайти величину параметра анiзотропiї рухливостi K. Це можна
зробити кiлькома методами. По-перше, за експериментально вимiряною величиною п’єзо-
опору в областi насичення (ρ∞) i величиною цього опору без механiчного навантаження (ρ0)
обчислити величину параметра анiзотропiї рухливостi K, скориставшись формулою (5). Iн-
ший можливий метод знаходження параметра K — використання формули
K =
m‖
m⊥
〈τ⊥〉
〈τ‖〉
=
Km
Kτ
, (11)
оскiльки значення параметра анiзотропiї ефективної маси Km = m‖/m⊥ вiдомi з даних що-
до циклотронного резонансу, а концентрацiйну залежнiсть параметра анiзотропiї розсiяння
Kτ = Kτ (ne) можна знайти в опублiкованiй лiтературi (див., наприклад, [2] — для n-Ge,
а [3] — для n-Si). I, нарештi, незалежно вiд названих лiтературних джерел, значення K
(для довiльної концентрацiї, що не призводить ще до виродження електронного газу при
температурi рiдкого азоту) можна розрахувати (причому як для n-Ge, так i для n-Si) за
формулами теорiї анiзотропного розсiяння [4]:
K =
µ⊥
µ‖
=
m‖
m⊥
a⊥
a‖
I2
I1
, (12)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
де m‖ i m⊥ — циклотроннi ефективнi маси для окремо взятого iзоенергетичного елiпсоїда
вздовж великої осi i перпендикулярно до неї вiдповiдно;
m‖ = 1,580m0
m⊥ = 0,082m0
}
для n-Ge i
m‖ = 0,910m0
m⊥ = 0,191m0
}
для n-Si;
m0 — маса вiльного електрона; a‖ i a⊥ — числовi коефiцiєнти, рiзнi для кристалiв n-Ge
i n-Si [2].
Iнтеграли I1 та I2 у випадку невиродженого електронного газу для n-Ge i n-Si задаються
формулами [2]:
I1 =
∞∫
0
e−xx3dx
x2 + b0
; I2 =
∞∫
0
e−xx3dx
x2 + b1
;
b0 =
2,65 · 105
a‖N
T 3
(
32,0 + ln
T 2x
n′
+ 1,26 · 10−14
n′
T 2x
)
для n-Ge,
9,68 · 105
a‖N
T 3
(
32,0 + ln
T 2x
n′
+ 10−14
n′
T 2x
)
для n-Si,
b1 =
3,23 · 106
a⊥N
T 3
(
31,0 + ln
T 2x
n′
+ 2,8 · 10−14
n′
T 2x
)
для n-Ge,
3,47 · 106
a⊥N
T 3
(
31,4 + ln
T 2x
n′
+ 1,46 · 10−14
n′
T 2x
)
для n-Si,
де N = Nd+Na — загальна концентрацiя домiшок у кристалi; ne — концентрацiя електронiв
у зонi провiдностi; Nd i Na — концентрацiя донорних i акцепторних домiшок у кристалi.
Величина n′ = ne + (ne +Na)(1 − (ne +Na)/Nd) враховує вплив компенсуючої домiшки на
екранування. Так, при вiдсутностi компенсуючих домiшок Na = 0 i n′ = ne = N . Видно,
що b0 i b1 залежать вiд температури, загальної концентрацiї домiшок у кристалi, ступеня
їх компенсацiї та є рiзними для n-Ge i n-Si.
При змiнi питомого опору ρ300К у зразках n-Si в дiапазонi вiд 250 до 0,05 Ом·см параметр
анiзотропiї термоерс захоплення електронiв фононами M зменшується трохи бiльше, нiж
у два рази (приблизно вiд 6,5 до 3,2, як показали проведенi нами вимiри при температурi
∼85 К, а також лiтературнi данi).
Оскiльки термоерс захоплення пропорцiйна довжинi вiльного пробiгу довгохвильових
фононiв (lф) [3], одержане експериментально зниження параметра M = αф
‖ /α
ф
⊥ (пов’язане
з бiльш ефективним зменшенням αф
‖ , нiж αф
⊥ з ростом ne ≡ Nd) є наслiдком зменшення lф
зростаючою ефективнiстю розсiяння фононiв на домiшкових атомах. Концентрацiйна зале-
жнiсть параметра анiзотропiї термоерс захоплення електронiв фононами M = M(ne ≡ Nd)
в n-Si була дослiджена авторами [5] в дiапазонi 1,9 · 1013 6 ne ≡ Nd 6 2,6 · 1016 см−3,
а змiна термоерс в L1–∆1 моделi Ge при сильних гiдростатичних тисках теоретично дослi-
джена в роботi [6]. Данi щодо концентрацiйної залежностi параметра анiзотропiї рухливостi
K = µ⊥/µ‖ = K(ne) для широкого дiапазону 3 · 1012 6 ne ≡ Nd 6 8 · 1015 см−3 в n-Si можна
знайти в [7], а для n-Ge — в роботах [8, 9].
Використання системи двох рiвнянь (9) i (10) при переходi до вивчення n-Si (замiсть
n-Ge) пов’язано з деформуванням цього кристала в напрямку [100] (за умов X//J//〈100〉)
замiсть умов експериментiв X//J//〈111〉, що використовуються при дослiдженнi n-Ge.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 67
Загальний вираз для визначення коефiцiєнта диференцiйної термоерс, пов’язаної з ди-
фузiєю електронiв αe (що входить до рiвнянь (9) i (10)) залежно вiд концентрацiї ne зна-
ходять, при потребi, у роботi [10]. Вiдповiдно до кiнетичної теорiї
αe =
∞∫
0
x3/2τ(x)∂n∂xα(x) dx
∞∫
0
x3/2 ∂n
∂xτ(x) dx
, (13)
де α(x) ≡
k
e
(
E − ζ0
kT
)
— коефiцiєнт термоерс групи електронiв (дiрок) з енергiєю E; τ(x) —
загальний час релаксацiї носiїв струму; ζ0 — хiмiчний потенцiал.
На закiнчення можна зробити такi висновки.
1. У роботi розглянуто фононну та електронну компоненти тензора термоерс i їхнi зв’яз-
ки з параметром анiзотропiї рухливостi K = µ⊥/µ‖ та з параметром анiзотропiї термоерс
захоплення електронiв фононами M = αф
‖ /α
ф
⊥.
2. Встановлено зв’язок термоерс у недеформованому (α0) i в сильно деформованому
(α∞) кристалi з поперечною фононною компонентою (αф
⊥) i з параметром анiзотропiї тер-
моерс захоплення M , а також зв’язок термоерс захоплення у недеформованому кристалi
(α0) з параметром анiзотропiї рухливостi K.
3. Наведено формули для розрахунку концентрацiйних залежностей параметра анiзо-
тропiї рухливостi K = K(ne, Nd, Na), а також аналiтичний вираз для обчислення електрон-
ної (дифузiйної) складової термоерс αe = αe(ne).
1. Баранский П.И., Буда И.С., Даховский И.В. Теория термоэлектрических и термомагнитных явлений
в анизотропных полупроводниках. – Киев: Наук. думка, 1987. – 272 с.
2. Баранский П.И., Буда И.С., Даховский И.В., Коломоец В. В. Электрические и гальваномагнитные
явления в анизотропных полупроводниках. – Киев: Наук. думка, 1977. – 270 с.
3. Стильбанс Л.С. Физика полупроводников. – Москва: Сов. радио, 1967. – 452 с.
4. Самойлович А.Г., Буда И.С., Даховский И.В. Теория анизотропного рассеяния // Физика и техника
полупроводников. – 1973. – 7, № 4. – С. 859.
5. Баранский П.И., Савяк В. В., Щербина Л.А. Определение параметров анизотропии термоэдс увле-
чения в n-кремнии // Там же. – 1979. – 13, № 6. – С. 1219–1221.
6. Черныш В.В., Куамба Б.Ш. Термоэдс в L1 – ∆1 модели германия при сильном гидростатическом
давлении // Термоэлектричество. – 2009. – № 1. – С. 31–41.
7. Баранский П.И., Бабич В.М., Доценко Ю.П. и др. Влияние термообработки на электрофизические
свойства обычных и нейтронно-легированных кристаллов кремния // Физика и техника полупровод-
ников. – 1980. – 14, № 8. – С. 1546–1549.
8. Baranskii P. I., Buda I. S., Kolomoets V.V., Suss B.A. Piezothermoelectromotive force of elastically
deformed n-Ge in [111] direction considering the phonon-drag effect // Рhys. Stat. Sol. – 1975. – 27. – P.
K103-K108.
9. Баранський П. I., Федосов А.В., Гайдар Г.П. Неоднорiдностi напiвпровiдникiв i актуальнi задачi мiж-
дефектної взаємодiї в радiацiйнiй фiзицi i нанотехологiї. – Київ; Луцьк: Ред.-вид. вiддiл Луцького
держ. техн. ун-ту, 2007. – 316 с.
10. Баранский П.И., Буда И.С., Савяк В. В. Термоэлектрические и термомагнитные явления в многодо-
линных полупроводниках. – Киев: Наук. думка, 1992. – 268 с.
Надiйшло до редакцiї 30.01.2012Iнститут фiзики напiвпровiдникiв
iм. В. Є. Лашкарьова НАН України, Київ
Iнститут ядерних дослiджень НАН України, Київ
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №10
П.И. Баранский, Г. П. Гайдар
Определение параметра анизотропии термоэдс увлечения
в многодолинных полупроводниках
Рассмотрен один из способов определения параметра анизотропии термоэдс увлечения
электронов фононами M = αф
‖ /α
ф
⊥ в многодолинных кристаллах n-Ge и n-Si. Установлена
связь термоэдс в недеформированном (α0) и сильно деформированном (α∞) кристалле (при
механической нагрузке X → ∞) с поперечной фононной компонентой (αф
⊥) и с параметром
анизотропии термоэдс увлечения электронов фононами М, а также связь термоэдс увлече-
ния в недеформированном кристалле с параметром анизотропии подвижности электронов
в рамках отдельно взятого изоэнергетического эллипсоида K = µ⊥/µ‖. Представлены фор-
мулы для расчета концентрационных зависимостей параметра анизотропии подвижности
K = K(ne, Nd, Na) в случае невырожденного электронного газа в кристаллах.
P. I. Baranskii, G. P. Gaidar
Determination of the anisotropy parameter of
thermoelectromotive-drag in multivalley semiconductors
One of the ways of determining the anisotropy parameter of thermoelectromotive electron-phonon
drag M = αф
‖ /α
ф
⊥ in the multivalley crystals of n-Ge and n-Si is considered. The relation-
ship of the thermoelectromotive forces in unstrained (α0) and strongly deformed (α∞) crystals
(under a mechanical stress X → ∞) with the transverse phonon component (αф
⊥) and with
the anisotropy parameter of thermoelectromotive electron-phonon drag M and the relationship of
the thermoelectromotive-drag in an unstrained crystal with the anisotropy parameter of electron
mobility K = µ⊥/µ‖ in the framework of a single isoenergetic ellipsoid are established. The
formulas for calculating the concentration dependences of the anisotropy parameter of mobility
K = K(ne, Nd, Na) in the case of a non-degenerate electron gas in crystals are presented.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №10 69
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84640 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:02:20Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Баранський, П.І. Гайдар, Г.П. 2015-07-11T19:47:43Z 2015-07-11T19:47:43Z 2012 Визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках / П.I. Баранський, Г.П. Гайдар // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 10. — С. 64-69. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84640 621.315.592.3 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Фізика Визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках Определение параметра анизотропии термоэдс увлечения в многодолинных полупроводниках Determination of the anisotropy parameter of thermoelectromotive-drag in multivalley semiconductors Article published earlier |
| spellingShingle | Визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках Баранський, П.І. Гайдар, Г.П. Фізика |
| title | Визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках |
| title_alt | Определение параметра анизотропии термоэдс увлечения в многодолинных полупроводниках Determination of the anisotropy parameter of thermoelectromotive-drag in multivalley semiconductors |
| title_full | Визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках |
| title_fullStr | Визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках |
| title_full_unstemmed | Визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках |
| title_short | Визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках |
| title_sort | визначення параметра анізотропії термоерс захоплення в багатодолинних напівпровідниках |
| topic | Фізика |
| topic_facet | Фізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84640 |
| work_keys_str_mv | AT baransʹkiipí viznačennâparametraanízotropíítermoerszahoplennâvbagatodolinnihnapívprovídnikah AT gaidargp viznačennâparametraanízotropíítermoerszahoplennâvbagatodolinnihnapívprovídnikah AT baransʹkiipí opredelenieparametraanizotropiitermoédsuvlečeniâvmnogodolinnyhpoluprovodnikah AT gaidargp opredelenieparametraanizotropiitermoédsuvlečeniâvmnogodolinnyhpoluprovodnikah AT baransʹkiipí determinationoftheanisotropyparameterofthermoelectromotivedraginmultivalleysemiconductors AT gaidargp determinationoftheanisotropyparameterofthermoelectromotivedraginmultivalleysemiconductors |