Численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра
Рассмотрены вопросы решения с помощью градиентных методов, обратных краевых задач для термоупругого деформирования полого толстого цилиндра. Представлены результаты решения некоторых модельных обратных краевых задач. Розглянуто питання розв’язання за допомогою градієнтних методів, обернених крайових...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84653 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра / В.С. Дейнека, А.А. Аралова // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84653 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дейнека, В.С. Аралова, А.А. 2015-07-11T20:12:33Z 2015-07-11T20:12:33Z 2011 Численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра / В.С. Дейнека, А.А. Аралова // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84653 519.6:539.3 Рассмотрены вопросы решения с помощью градиентных методов, обратных краевых задач для термоупругого деформирования полого толстого цилиндра. Представлены результаты решения некоторых модельных обратных краевых задач. Розглянуто питання розв’язання за допомогою градієнтних методів, обернених крайових задач для термопружного деформованого порожнистого товстого циліндра. Представлені результати розв’язання деяких модельних обернених крайових задач. The problem of solution to inverse problems for thermal-elastic deformation of thick hollow cylinder using gradient methods is considered. The results of solution to sample inverse boundary problems are presented. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра Чисельне розв’язання обернених крайових задач осесиметричного термопружного деформування товстого порожнистого циліндра Numerical solution to inverse boundary problems of axisymmetric thermal-elastic long thick hollow cylinder deformation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра |
| spellingShingle |
Численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра Дейнека, В.С. Аралова, А.А. Математическое моделирование |
| title_short |
Численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра |
| title_full |
Численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра |
| title_fullStr |
Численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра |
| title_full_unstemmed |
Численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра |
| title_sort |
численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра |
| author |
Дейнека, В.С. Аралова, А.А. |
| author_facet |
Дейнека, В.С. Аралова, А.А. |
| topic |
Математическое моделирование |
| topic_facet |
Математическое моделирование |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Компьютерная математика |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Чисельне розв’язання обернених крайових задач осесиметричного термопружного деформування товстого порожнистого циліндра Numerical solution to inverse boundary problems of axisymmetric thermal-elastic long thick hollow cylinder deformation |
| description |
Рассмотрены вопросы решения с помощью градиентных методов, обратных краевых задач для термоупругого деформирования полого толстого цилиндра. Представлены результаты решения некоторых модельных обратных краевых задач.
Розглянуто питання розв’язання за допомогою градієнтних методів, обернених крайових задач для термопружного деформованого порожнистого товстого циліндра. Представлені результати розв’язання деяких модельних обернених крайових задач.
The problem of solution to inverse problems for thermal-elastic deformation of thick hollow cylinder using gradient methods is considered. The results of solution to sample inverse boundary problems are presented.
|
| issn |
ХХХХ-0003 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84653 |
| citation_txt |
Численное решение обратных краевых задач осесимметричного термоупругого деформирования толстого полого цилиндра / В.С. Дейнека, А.А. Аралова // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT deinekavs čislennoerešenieobratnyhkraevyhzadačosesimmetričnogotermouprugogodeformirovaniâtolstogopologocilindra AT aralovaaa čislennoerešenieobratnyhkraevyhzadačosesimmetričnogotermouprugogodeformirovaniâtolstogopologocilindra AT deinekavs čiselʹnerozvâzannâobernenihkraiovihzadačosesimetričnogotermopružnogodeformuvannâtovstogoporožnistogocilíndra AT aralovaaa čiselʹnerozvâzannâobernenihkraiovihzadačosesimetričnogotermopružnogodeformuvannâtovstogoporožnistogocilíndra AT deinekavs numericalsolutiontoinverseboundaryproblemsofaxisymmetricthermalelasticlongthickhollowcylinderdeformation AT aralovaaa numericalsolutiontoinverseboundaryproblemsofaxisymmetricthermalelasticlongthickhollowcylinderdeformation |
| first_indexed |
2025-11-24T18:05:37Z |
| last_indexed |
2025-11-24T18:05:37Z |
| _version_ |
1850485148250800128 |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2011, № 2 3
Математическое
моделирование
Рассмотрены вопросы решения с
помощью градиентных методов,
обратных краевых задач для тер-
моупругого деформирования поло-
го толстого цилиндра. Пред-
ставлены результаты решения
некоторых модельных обратных
краевых задач.
В.С. Дейнека, А.А. Аралова,
2011
В.С. ДЕЙНЕКА, А.А. АРАЛОВА
Компьютерная математика. 2011, № 2 4
УДК 519.6:539.3
В.С. ДЕЙНЕКА, А.А. АРАЛО-
ВА
ЧИСЛЕННОЕ
РЕШЕНИЕ
ОБРАТНЫХ
КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ
ОСЕСИММЕТРИЧНО
ГО
ТЕРМОУПРУГОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ТОЛСТОГО ПОЛОГО
ЦИЛИНДРА
Введение. В работе [1] на
основе результатов теории
оптимального управления
состояниями различных мно-
гокомпонентных распреде-
ленных систем [2, 3] предло-
жена технология построения
явных выражений градиентов
функционалов-невязок для
идентификации градиентны-
ми методами [4] различных
параметров различных мно-
гокомпонентных распреде-
ленных систем. В работах [5–
7] эта технология распро-
странена на задачи упругого
и термоупругого деформиро-
вания многокомпонентных
тел. Численные результаты
решения обратных краевых
задач осесимметричного де-
формирования длинного тол-
стого полого цилиндра, с ис-
пользованием явных выраже-
ний градиентов функционалов-невязок, при-
ведены в [8].
В данной статье рассмотрены вопросы ре-
шения, с помощью градиентных методов, об-
ратных краевых задач термоупругого дефор-
мирования длинного толстого полого цилинд-
ра. Представлены результаты решения неко-
торых модельных задач по идентификации
тепловых потоков на поверхностях тела при
известных смещениях в некоторых его точках.
1. Идентификация плотности теплового
потока на внешней поверхности цилиндра
при известном смещении его внешней
поверхности.
Рассмотрим длинный толстый полый изо-
тропный круговой цилиндр. С учетом сим-
метрии, следуя [9, 10], термоупругое состоя-
ние длинного толстого полого цилиндра опи-
сывается краевой задачей:
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ …
Компьютерная математика. 2011, № 2 5
( ) ( )2 3 2 ( )
d dy y dT
r r f r
dr dr r dr
− λ + µ − − λ + µ α =
, ( )1 2, ,r r r∈ (1)
1
( )
d dT
rk f r
r dr dr
− =
, ( )1 2,r r r∈ , (2)
( )
ir r r iy p=σ = − , 1,2i = , (3)
1 1 1,
dT
k T r r
dr
− = −α + β = , (4)
2,
dT
k u r r
dr
= = , (5)
где r1, r2 = const > 0 – радиусы, соответственно, внутренней и внешней круговых
поверхностей; r – радиальная координата цилиндрической системы координат;
компонента ( , )r y Tσ тензора напряжений имеет вид:
( ) ( )( , ) 2 ( ) 3 2 ,r ry T y Tϕσ = λ + µ ε + λε − λ + µ α (6)
λ , µ – постоянные Ляме; ( )y y r= – смещение в радиальном направлении;
α = const > 0 – коэффициент температурного расширения, α1= const > 0,
β1 = const, pi = const, i = 1, 2; T = T(r) – температура, k = const – коэффициент теп-
лопроводимости, u = const – считаем неизвестным.
Предполагаем, что известно смещение внешней поверхности, т. е.:
2 0( )y r f= . (7)
Получена задача (1)–(5), (7), состоящая в определении вещественного числа
( ),u U R∈ = = −∞ +∞ , при котором первая компонента ( )y y u= решения
( )( ), ( )y r T r задачи (1)–(5) удовлетворяет равенству (7).
Следуя [11], при каждом фиксированном u U∈ , вместо классического
решения краевой задачи (1)–(5) будем использовать ее обобщенное решение,
т. е. вектор-функцию ( ) ( ) ( )1 1
2 1 2 2 1 2, , ,y T H W r r W r r∈ = × , которая z∀ =
( )1 2 0( ), ( )z r z r H H= ∈ = удовлетворяет системе равенств
1 1( , ) ( ; )a y z l T z= , (8)
1 2 1 2( , ) ( ; )a T z l u z= , (9)
где
( ) ( )
2
1
1 1 1 1
1( , ) 2 2 ,
r
r
dy dz y dz dy z y z
a y z r dr
dr dr r dr dr r r r
= λ + µ + λ + + λ + µ
∫
2
1
2
1 2 1 1 1 2 1( , ) ( ) ( ),
r
r
dT dz
a T z rk dr r T r z r
dr dr
= + α∫
В.С. ДЕЙНЕКА, А.А. АРАЛОВА
Компьютерная математика. 2011, № 2 6
( )
2
1
1 1
1 1 1 1 1 2 2 2( ; ) 3 2 ( ) ( ),
r
r
dz z
l T z fz r T dr r p z r r p z r
dr r
= + λ + µ α + + −
∫
2
1
1 2 2 1 1 2 1 2 2 2( ; ) ( ) ( ).
r
r
l u z rfz dr r z r r uz r= + β +∫ (10)
Теорема 1. При каждом фиксированном u U∈ решение ( )( ; ), ( ; )y u r T u r
задачи (8), (9) существует и единственно в Н.
Справедливость теоремы 1 устанавливается на основе леммы Лакса –
Мильграма [12].
При каждом фиксированном u U∈ на основе задачи (8), (9) определяем
функционалы энергии:
1 1 1 1( ; ) ( ; ) 2 ( ; )T z a z z l T zΦ = − , (11)
1 2 1 2 2 1 2( ; ) ( ; ) 2 ( ; )u z a z z l u zΦ = − . (12)
Определение 1. При каждом фиксированном u U∈ решением задачи (11),
(12) называется вектор-функция ( )( ; ), ( ; )y u r T u r H∈ , где при фиксирован-
ном u U∈ функция ( ; )T u r доставляет минимум функционалу ( )1 ;Φ ⋅ ⋅ на
1
2 1 2( , )V W r r= , а ( ; )y u r – при фиксированном u U∈ и полученной функции
( ; )T u r V∈ , доставляет минимум на V функционалу (11).
Лемма 1. При каждом фиксированном u U∈ задачи (8), (9); (11), (12) экви-
валентны и имеют единственное решение ( )( ; ), ( ; )y u r T u r H∈ .
Введем в рассмотрения функционал-невязку
2
2 0
1
( ) ( ( ; ) ) .
2
J u y u r f= − (13)
Вместо задачи (1)–(5), (7) решаем задачу (8), (9), (13), состоящую в опреде-
лении элемента u, минимизирующего на U функционал (13) при ограничениях
(8), (9) или (11), (12), что является одним и тем же.
Задачу (13), (8), (9) будем решать с помощью градиентных методов [4],
где (n+1)-е приближение 1nu + решения u U∈ находится по формуле
1n n n nu u p+ = − β , 0,1, , *n n= L , (14)
начиная с некоторого приближения 0u U∈ , а направление спуска np и коэффи-
циент nβ для метода минимальных ошибок определяем с помощью выражений
'
nn up J= ,
2
2 .
'
n
n
n
u
e
J
β = (15)
Здесь '
nuJ – градиент функционала ( )J u в точке nu u= , 0n ne Au f= − ,
2( ; )n nAu y u r= .
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ …
Компьютерная математика. 2011, № 2 7
Введем обозначения
( )( , ) ( ) (0), ( ) (0) ,u v u vπ = ϒ − ϒ ϒ − ϒ
( )0( ) (0), ( ) (0) ,L v f v= − ϒ ϒ − ϒ (16)
где ( )v Avϒ = , ( ), .ϕ Ψ = ϕΨ
Так как
( )0 02 ( ) ( , ) 2 ( ) (0), (0)J v v v L v f f= π − + − ϒ − ϒ ,
то
( )
0
( ) ( )
lim ( , ) ( )
J u v u J u
u v u L v u
λ→
+ λ − −
= π − − − =
λ
( )0( ) , ( ) ( ) ' , .uu f v u J v u= ϒ − ϒ − ϒ = − (17)
Следуя [1, 11] для определения (n+1)-го приближения 1nu + решения u U∈
задачи (13), (8), (9) введем в рассмотрение сопряженную задачу:
( ) ( ) ( )1 22 2 0, , ,
d d
r r r r
dr dr r
Ψ Ψ − λ + µ − λ + µ = ∈
1 2
2
1
( ) 0, ( ) ,r r r r r r ne
r= =σ Ψ = σ Ψ =
( ) ( )1 23 2 0, , ,
d dp d
rk r r r r
dr dr dr r
Ψ Ψ − − λ + µ α + = ∈
1 21 1( ), 0,r r r r
dp dp
k p r k
dr dr= =− = −α = (18)
где ( )( ) 2r
d
dr r
Ψ Ψσ Ψ = λ + µ + λ .
Определение 2. Обобщенным решением краевой задачи (18) называется
вектор-функция ( )( ), ( )r p r HΨ ∈ , которая ( )1 2 0( ), ( )z z r z r H∀ = ∈ удовлетво-
ряет системе тождеств
1 1( , ) ( ; )na z l e zΨ = , (19)
1 2 1 2( , ) ( ; )a p z l z= Ψ , (20)
где
1 1 2( ; ) ( )n nl e z e z r= , ( )
2
1
1 2 2( ; ) 3 2 .
r
r
l z rz dr
r r
∂Ψ Ψ Ψ = λ + µ α + ∂
∫ (21)
Выбирая в тождестве (20) вместо функции 2z разность 1( ; ) ( ; )n nT u r T u r+ − ,
а в (19) вместо 1z – разность 1( ; ) ( ; )n ny u r y u r+ − получаем
В.С. ДЕЙНЕКА, А.А. АРАЛОВА
Компьютерная математика. 2011, № 2 8
( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 0 1 2 2 2 2' , ; ; ;
nu n n n n nJ u y u r f y u r y u r r p r u+∆ = − − = ∆ .
Следовательно
( )2 2' .
nuJ r p r= (22)
Задача (13), (11), (12) решается с помощью градиентного метода (14), (15),
(22), где прямая (11), (12) и сопряженная (19), (20) задачи решены с помощью ме-
тода конечных элементов (МКЭ), путем минимизации соответствующего функ-
ционала энергии на классе кусочно-линейных функций 1
NH H⊂ , аналогично [8].
Введем в рассмотрение подпространство 1
NH H⊂ непрерывных на [ ]1 2,r r ,
линейных, 1 1 2( )N i iV r r= α + α , на каждом элементарном отрезке 1,i ir r + ,
0 1
1 2
Nr r r r r= < < < =K , функций. Имеем
( )
2
1
2
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1( ; ) ( ; ) 2 ( ; )
r N
N N N N N
n n
r
dv
v a v v l v rk dr r v
dr
Φ Ψ = − Ψ = + α −
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
1
1 2 1
0 0
2 3 2 1
N
i i i i
i i i i i
i i
h r h d
h
−
+
+
=
Ψ − Ψ
− λ + µ α β + β η + η + − η Ψ + Ψ η η =
∑ ∫
1
2
0
0
1 11
1 12
N
Ti
i i
i i
r
k v
h
−
=
− = + ω ω + − −
∑
( )
( )
( )
1
11
0
1 1
2 3 62 3 2 2 ,
2
2 3 6
i i i
i i i iN
T T T
i
i i i
i i i i i
r
h h
V AV V B
r
h h
+
+−
=
+ +
Ψ Ψ Ψ − Ψ + +
− λ + µ αω = −
Ψ Ψ − Ψ + Ψ −
∑ (23)
где ( )0 1, , ,T
NV V V V= K – значения решения 1 ( ; )N
ny u r в узловых точках ir ,
0,i N= , А – симметричная положительно определенная матрица, { } 0
N
i i
B b
=
= .
Теорема 2. При каждом nu u= для приближения 1 1 1 1( , )N N N Ny T H H∈ ×
решения ( , )y T H H∈ × задачи (8), (9) имеет место оценка
1
2 1 2
1 ( , )
( ) ( ) ,N
n n W r r
y u y u Ch− ≤
1
2 1 2
1 1( , )
( ) ( ) ,N
n n W r r
T u T u C h− ≤ (24)
где С, С1 = const, max ,i
i
h h= 1 .i i
ih r r+= −
Справедливость теоремы устанавливается, следует [13].
Решены некоторые модельные примеры.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ …
Компьютерная математика. 2011, № 2 9
Пример 1. При λ = 2, µ = 1, α = 3, 1r = 1, 2r = 2, k = 2, 1 1,α = 1 2,β = −
10, 0f f= = классическое решение краевой задачи (1)–(5) имеет вид y r= .
Считаем в этой задаче u U∈ неизвестным.
В табл. 1 приведены результаты вычислительного эксперимента, где u0 –
начальное приближение искомого решения u=4; un – результирующее значение;
en – погрешность; h – шаг разбиения; n – номер итерации, при котором завер-
шается итерационный процесс.
Отметим так же, что если вместо (7) имеем 1 0( )y r f= , то результаты вычи-
слений будут подобными.
ТАБЛИЦА 1
f0 = 2
u0 0 10 100 –10 10 –10 10
un 4 4 4 4 4 4 4
en 1* 1410− –2* 1410− 8* 1310− –4* 1410− –4* 1410− 4* 1310− –2* 1310−
h 0,25 0,25 0,25 0,1 0,1 0,01 0,01
n 2 2 2 2 2 2 2
2. Идентификация плотности теплового потока на внутренней поверх-
ности цилиндра при известном ее смещении.
Состояние системы описывается равенствами (1)– (3) и условиями
1 2 2 2, ,r r r r
dT dT
k u k T
dr dr= =− = = −α + β (25)
где u U R∈ = неизвестно, т. е. обобщенной задачей (8), (9), где
2
1
2
1 2 2 2 2 2 2( , ) ( ) ( ),
r
r
dT dz
a T z rk dr r T r z r
dr dr
= +∫ α
2
1
1 2 2 1 2 1 2 2 2 2( ; ) ( ) ( ).
r
r
l u z rfz dr ruz r r z r= + + β∫ (26)
Считаем, что на внутренней поверхности цилиндра известно смещение, т. е.
1 0( )y r f= . (27)
Функционал-невязка имеет следующий вид:
2
1 0
1
( ) ( ( ; ) ) .
2
J u y u r f= − (28)
Здесь 0n ne Au f= − , 1( ; )n nAu y u r= . Справедливы выражения вида (16),
(17), где ( ) .v Avϒ =
В.С. ДЕЙНЕКА, А.А. АРАЛОВА
Компьютерная математика. 2011, № 2 10
Для определения (n+1)-го приближения 1nu + решения u U R∈ = рассмат-
риваемой задачи, следуя [1, 11] сопряженная задача имеет вид (18), где вместо
второго, третьего, пятого и шестого ограничений имеем
1 2
1
1
( ) , ( ) 0,r r r n r r re
r= =σ Ψ = − σ Ψ =
1 2 2 20, ( ).r r r r
dp dp
k k p r
dr dr= =− = = −α (29)
Так как
( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 0 1 1 1 1 1' , ; ; ;
nu n n n n nJ u y u r f y u r y u r r p r u+∆ = − − = ∆ , то
( )1 1' .
nuJ r p r= (30)
Пример 2. Полагаем 0 2 21, 1, 8,f = α = β = а все остальные исходные дан-
ные совпадают с теми, что приведены в примере 1.
В табл. 2 приведены результаты вычислительного эксперимента.
ТАБЛИЦА 2
f0 = 1
u0 0 10 100 –10 10 –10 10
un – 4 – 4 – 4 –4 – 4 – 4 – 4
en –1*10–14 –2*10–14 1*10–13 –2*10–14 –2*10–14 –6*10–14 –4*10–13
h 0,25 0,25 0,25 0,1 0,1 0,01 0,01
n 2 2 2 2 2 2 2
Здесь точное искомое решение u = – 4.
Необходимо отметить, что если вместо (27) имеем 2 0( )y r f= , то результаты
вычислений будут подобными.
3. Идентификация плотности теплового потока на внешней поверхно-
сти цилиндра при известном смещении внутренней его точки.
Состояние системы описывается краевой задачей (1)–(5). При этом в неко-
торой точке 1 1 2( , )d r r∈ известно значение смещения:
1 0( )y d f= . (31)
Функционал-невязка имеет вид
( )21
1 02( ) ( ; )J u y u d f= − . (32)
Следовательно, получена задача (1)–(5), (32), состоящая в определении
элемента u минимизирующего на U R= функционал (32) при ограничениях (8),
(9). Задачу решаем приближенно с помощью итерационного процесса (14), (15).
Сопряженная задача задается тремя последними равенствами системы (18)
и системой:
( ) ( )2 2 0, ,r r
r r r
∂ ∂Ψ Ψ − λ + µ − λ + µ = ∈Ω ∂ ∂
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ …
Компьютерная математика. 2011, № 2 11
[ ] [ ]
1 1 ,
1
1
0, ( ) ( ) 0, 1,2,
ir d r r d n r r re i
d= = =ϕ = σ Ψ = − σ Ψ = = (33)
где 1 2Ω = Ω ∪ Ω , 1 1 1( , )r dΩ = , 2 1 2( , )d rΩ = , [ ]
1 1 1( 0) ( 0).r d d d=ϕ = ϕ + − ϕ −
Обобщенная задача имеет вид (19), (20), где 1 1 1( ; ) ( )n nl e z e z d= ,
1
2 (0, )H V W l= × , { }1
1
2( ) : ( ), 1,2; [ ] 0 .
i i r dV v r v W i vΩ == ∈ Ω = =
Следовательно '
nu nJ = Ψ% , где 2 2( )n r p rΨ =% .
Пример 3. Полагаем 1d = 3/2, 0f = 3/2, а все остальные исходные данные
совпадают с теми, что приведены в примере 1. Здесь u = 4.
В табл. 3 приведены результаты вычислительного эксперимента.
ТАБЛИЦА 3
f0=1,5
d1=1,5
u0 0 10 100 –10 10 –10 10
un 4 4 4 4 4 4 4
en –1*10–14 –7*10–15 –7*10–13 –4*10–14 2*10–14 4*10–13 –3*10–15
h 0,25 0,25 0,25 0,1 0,1 0,01 0,01
n 2 2 2 2 2 2 2
4. Идентификация плотности теплового потока на внутренней поверх-
ности цилиндра при известном смещении внутренней его точки.
Состояние системы описывается задачей (1)–(3), (25), где поток при 1r счи-
тается неизвестным, а при 2r – задано условие третьего рода. При этом в неко-
торой точке 1 1 2( , )d r r∈ известно смещение, определенное равенством (31).
Функционал-невязка имеет вид (32).
Следовательно, получена задача (1)–(3), (25), (32) состоящая в определении
элемента u минимизирующего на U R= функционал (32) при ограничениях
(1)–(3), (25). Задачу решаем приближенно с помощью итерационного процесса
(14), (15).
Для определения (n+1)-го приближения 1nu + решения u U∈ этой задачи
сопряженная задача определяется системой (33), двумя последними ограниче-
ниями системы (29) и четвертым уравнением системы (18) с соответствующей
ей обобщенной задачей вида (19), (20). Получаем
1 1' , ( )
nu n nJ u r u p r∆ = ∆ .
Следовательно '
nu nJ = Ψ% , где 1 1( )n r p rΨ =% .
Пример 4. Полагаем 1d = 3/2, 0f = 3/2, а все остальные исходные данные
совпадают с теми, что приведены в примере 2.
В.С. ДЕЙНЕКА, А.А. АРАЛОВА
Компьютерная математика. 2011, № 2 12
Для приведенных исходных данных задача решена с помощью градиентных
методов (14), (15), где на каждом шаге определения (n+1)-го приближения 1nu +
решения u U∈ прямая и сопряженная задачи решены с помощью изложенного
алгоритма МКЭ с использованием кусочно-линейных функций метода конечных
элементов путем минимизации соответствующего функционала энергии.
В табл. 4 приведены результаты вычислительного эксперимента.
ТАБЛИЦА 4
f0=1,5
d1=1,5
u0 0 10 100 – 10 10 –10 10
un – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4
en –1*10–14 –4*10–14 3*10–14 –3*10–14 3*10–15 –2*10–13 –3*10–13
h 0,25 0,25 0,25 0,1 0,1 0,01 0,01
n 2 2 2 2 2 2 2
Заключение. На основе теории оптимального управления построены явные
выражения градиентов функционалов-невязок идентификации параметров тер-
моупругого деформирования кругового цилиндра. Решены модельные примеры.
В.С. Дейнека, А.А. Аралова
ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ОБЕРНЕНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ОСЕСИМЕТРИЧНОГО
ТЕРМОПРУЖНОГО ДЕФОРМУВАННЯ ТОВСТОГО ПОРОЖНИСТОГО ЦИЛІНДРА
Розглянуто питання розв’язання за допомогою градієнтних методів, обернених крайових
задач для термопружного деформованого порожнистого товстого циліндра. Представлені
результати розв’язання деяких модельних обернених крайових задач.
V.S. Deineka, A.A. Aralova
NUMERICAL SOLUTION TO INVERSE BOUNDARY PROBLEMS OF AXISYMMETRIC
THERMAL-ELASTIC LONG THICK HOLLOW CYLINDER DEFORMATION
The problem of solution to inverse problems for thermal-elastic deformation of thick hollow
cylinder using gradient methods is considered. The results of solution to sample inverse boundary
problems are presented.
1. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных
систем. – Киев: Наук. думка, 2009. – 640 с.
2. Дейнека В.С. Оптимальное управление эллиптическими многокомпонентными распреде-
ленными системами. – Киев: Наук. думка, 2005. – 364 с.
3. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation condi-
tions. – New York: Kluwer Academic Publishers, 2005. – 400 p.
4. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некор-
ректных задач. – М.: Наука, 1988. – 288 с.
5. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация параметров задачи о напряженно-
деформированном состоянии многокомпонентного упругого тела с включением // При-
кладная механика. – 2010. – 46. – № 4. – С. 14 – 24.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ …
Компьютерная математика. 2011, № 2 13
6. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация параметров задач упругого деформирова-
ния // Проблемы прочности. – 2010. – № 5. – С. 101–126.
7. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение комплексных обратных задач термоупругости //
Проблемы управления и информатики. – 2007. – № 5. – С. 64 –87.
8. Дейнека В.С., Аралова А.А. Численное решение обратных краевых задач осесимметрич-
ного деформирования длинного толстого полого цилиндра // Компьютерная математика.
– 2011. – № 1. – С. 3–12.
9. Коваленко А.Д. Термоупрогость. – Киев: Вища школа, 1975. – 216 с.
10. Мотовилевец И.А., Козлов В.И. Механика связанных полей в элементах конструкций.
Т. 1. Термоупругость. – Киев: Наук. думка, 1987. – 264 с.
11. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация термонапряженного состояния составного
цилиндра по известным смещениям // Проблемы управления и информатики. – 2009. –
№ 5. – С. 25 –52.
12. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.: Мир, 1977. –
348 с.
13. Дейнека В.С. Вычислительные алгоритмы повышенного порядка точности для условно-
корректной задачи термоупругости // Компьютерная математика. – 2007. – № 1. –
С. 3–12.
Получено 15.12.2010
Об авторах:
Дейнека Василий Степанович,
доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Украины,
заведующий отделом Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
e-mail vdeineka@ukr.net
Аралова Альбина Андреевна,
младший научный сотрудник Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
e-mail aaasquirrel@ukr.net
|