Об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем
Рассматривается линейная динамическая система с неопределенной или частично определенной дифференциальной моделью. По дискретным и дискретно-непрерывным наблюдениям за входом-выходом системы идентифицируется интегральная модель системы и восстанавливаются коэффициенты (все или часть) ее дифференциал...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84658 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем / В.А. Стоян, О.В. Сороцкая // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 42-50. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860214359479812096 |
|---|---|
| author | Стоян, В.А. Сороцкая, О.В. |
| author_facet | Стоян, В.А. Сороцкая, О.В. |
| citation_txt | Об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем / В.А. Стоян, О.В. Сороцкая // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 42-50. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Рассматривается линейная динамическая система с неопределенной или частично определенной дифференциальной моделью. По дискретным и дискретно-непрерывным наблюдениям за входом-выходом системы идентифицируется интегральная модель системы и восстанавливаются коэффициенты (все или часть) ее дифференциального эквивалента. Устанавливается точность и выписываются условия однозначности решения задачи.
Розглядається лінійна динамічна система з невизначеною або частково визначеною диференціальною моделлю. За дискретними і дискретно-неперервними спостереженнями за входом-виходом системи ідентифікується інтегральна модель системи та відновлюються коефіцієнти (всі або частина) її диференціального еквівалента. Встановлюється точність і виписуються умови однозначності розв’язання задачі.
The linear dynamic system with undefined or partially defined differential model is considered. By discrete and discrete-uninterrupted observations of the input-output of a system, the integrated model of it is identified and the coefficients (all or the part of them) of its differential equivalent are restored. The accuracy and the uniqueness conditions of the problem solution are established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:15:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
42 Компьютерная математика. 2011, № 2
Рассматривается линейная динами-
ческая система с неопределенной
или частично определенной диф-
ференциальной моделью. По диск-
ретным и дискретно-непрерывным
наблюдениям за входом-выходом
системы идентифицируется инте-
гральная модель системы и
восстанавливаются коэффициенты
(все или часть) ее дифференци-
ального эквивалента. Устанавлива-
ется точность и выписываются
условия однозначности решения
задачи.
В.А. Стоян, О.В. Сороцкая,
2011
УДК 517.95 : 519.86
В.А. СТОЯН, О.В. СОРОЦКАЯ
ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ
ПАРАМЕТРОВ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
Введение. Известные математические под-
ходы к исследованию динамики пространст-
венно сосредоточенных систем предполага-
ют наличие их дифференциальных моделей.
Классические подходы к построению таких
моделей основываются на изучении и фор-
мализации физико-технологических свойств
описываемых ими процессов и явлений, что
становится малоперспективным по мере
усложнения природы последних. Далее будет
предложена методика построения линейных
динамических моделей пространственно со-
средоточенных систем, лишенная необходи-
мости изучения их сущности, предполагаю-
щая, однако, наличие серии наблюдения за
состоянием таких систем и внешнединами-
ческих факторов, которые его вызывают.
В основу исследования будут положены
псевдоинверсные подходы [1, 2] к решению
задачи идентификации линейных алгебраи-
ческих [3] преобразований и их обобщения
на линейно интегрирующие [4, 5] и функ-
ционально распределяющие [5, 6] системы.
Постановка задачи. Рассмотрим прост-
ранственно сосредоточенный динамический
процесс, функция ( )y t состояния которого
зависима от функции ( )u t внешнединамиче-
ских воздействий на него.
Компьютерная математика. 2011, № 2 43
В общем случае зависи-
мость эта вкладывается в
дифференциальную модель
вида
( ) ( ) ( )tL y t u t∂ = ,
(1)
В.А. СТОЯН, О.В. СОРОЦКАЯ
Компьютерная математика. 2011, № 2 44
где t∂ – оператор дифференцирования, ( 0, )ia i n= – параметры модели,
а ( )tL ∂ = 0 1
n
t n ta a a= + ∂ + + ∂K .
Будем исходить из того, что эквивалентным представлением (1) является
интегральное соотношение [5]
( ) ( ) ( )y t G t t u t dt
∞
−∞
′ ′= −∫ , (2)
где
( )1 1
( )
2 ( )
i t tG t t e d
L i
∞
′λ −
−∞
′− = λ
π λ∫ (3)
– гриновская функция рассматриваемого процесса, которая при известном
( )tL ∂ может быть построена методами функции комплексной переменной [7].
Если модель вида (2) оказалась полезной при математическом моделирова-
нии [5] решений прямых и обратных задач динамики рассматриваемых процес-
сов, то математическая модель вида (1), несмотря на проблемы ее построения,
является незаменимой при точном решении этих задач классическими методами
дифференциальных уравнений и теории уравнения.
Изложим поэтому идентификационные подходы к построению математиче-
ской модели (2), а исходя из нее – и дифференциальной модели вида (1). Рас-
смотрим особенности решения данной проблемы при известной, частично из-
вестной и неизвестной структуре оператора ( )tL ∂ .
Учитывая трудности и проблемы, которые могут возникнуть при решении
задачи идентификации функции ( ),G t t′− остановимся на вопросах построения
матрицы
[ ] ;
0 , 1
( )
l L m M
l m l m
G G t t
= =
=
= −
значений и вектор-функций
1
2
( ) ( ( ), 1, ),
( ) ( ( ), 1, )
l
m
G t col G t t l L
G t str G t t m M
′ ′= − =
′= − =
сечений этой функции. При этом будем исходить из результатов, изложенных в [5].
Задача идентификации линейной интегральной математической модели.
Рассмотрим задачи идентификации сетки 0G и набора сечений 1( )G t′ , 2 ( )G t яд-
ра ( )G t t′− модели (2), которая для этих случаев представится соотношениями:
0G u y= , (4)
1( ) ( )G t u t dt y
∞
−∞
′ ′ ′ =∫ , (5)
2 ( ) ( )G t u y t= , (6)
ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ...
Компьютерная математика. 2011, № 2 45
в которых
( ( ), 1, ),
( ( ), 1, ).
m
l
u col u t m M
y col u t l L
′= =
= =
Задачи решим в предположении, что наблюдению доступны матрицы
(1) ( )
(1) ( )
( , , ),
( , , )
n
n
U u u
Y y y
=
=
K
K
и строки-функции
( )
( )
(1) ( )
(1) ( )
( ) ( ), , ( ) ,
( ) ( ), , ( )
n
n
U t u t u t
Y t y t y t
=
=
K
K
значений ( )iu , ( )iy , ( ) ( )iu t , ( ) ( ) ( 1, )iy t i n= векторов u , y и функций ( )u t , ( )y t
соответственно.
В этом случае проблема построения матрицы 0G и вектор-функций 1( )G t′ ,
2 ( )G t сведется к решению следующих уравнений:
0 ,G U Y= (7)
1( ) ( ) ,G t U t dt Y
∞
−∞
′ ′ ′ =∫ (8)
2 ( ) ( ).G t U Y t= (9)
Полагая
0(1)
0
0( )
,
T
T
L
g
G
g
=
K
(1)
( )
,
T
T
L
y
Y
y
=
K
систему алгебраических уравнений (7) приведем к виду
0( ) ( ) , ( 1, ).T
i iU g y i L= = (10)
Решением (10) таким, чтобы
( )
2
0( ) ( ) ( )min ,
M
i
T
i i i
g R
g ang U g y
∈
= −
будет вектор [5]
0( ) ( )
T T T
i i i ig U y U U
+ +
= + ν − ν (11)
при произвольном M -мерном векторе iν и
1 1T T TU U U U UU U
+ − −
= = .
Заметим, что решение (11) будет однозначным ( 0)iν ≡ , если det( ) 0TUU > ,
а точность его определяется величиной
0 ( )
22
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )min
i
T T T T T
i i i i i i ig
U g y y y y U U y
+
ε = − = − .
В.А. СТОЯН, О.В. СОРОЦКАЯ
Компьютерная математика. 2011, № 2 46
С учетом (11) находим и
0 ,G YU V VUU+ += + − (12)
или, что эквивалентно,
( ) ( )( ) T T
l m l lm lm l mG t t y U UU e+ +− = + ν − ν (13)
(здесь me – m -ый M -мерный орт) при произвольной матрице
,
, 1 ( )[ ] ( , 1, )l L m M T
lm l m lV col l L= =
== ν = ν = , равенство нулю которой, как и выше, опреде-
ляется величиной det( )TUU .
Дискретизируя точками ( 1, )mt m M′ = и ( 1, )lt l L= с шагом Mt∆ и Lt∆ соот-
ветственно интегральное и функциональное уравнения (5), (6), а следовательно
и (8), (9), аналогично (12) находим значения
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 1, )
T T
m m m U mG t YP U t v t V P U t m M+ +′ ′ ′ ′= + − = , (14)
2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1, )T T
l l l lG t Y t P U v t v t UP U l L+ += + − = (15)
векторных функций 1( )G t′ и 2 ( )G t в точках их дискретизации. Здесь при
1m m mt t+′ ′∆ = −
( )( ) ( ( ), 1, ),
T j
m mU t str u t j n′ ′= =
1
1
( ) ( ) ,
M
U m m M
m
V t U t t
=
′ ′= ν ∆∑
1
( ) ( ) ,
M
T
m m M
m
P U t U t t
=
′ ′= ∆∑
2 ,TP U U=
а 1( )mt′ν , 2 ( )ltν – L и M -мерные столбец и строка значений произвольных
интегрируемых при t−∞ < < + ∞ функций 1 ( ) ( 1, )l t l Lν = и 2 ( ) ( 1, )m t m Mν =
соответственно.
Откуда при ,M L→ ∞ → ∞ находим
( )(1) ( )
1 1( ) ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ),
T Tn T
l l l l uG t t y t y t P U t t P U t+ +− = + ν − νK (16)
( )(1) ( )
2 2 2 2( ) ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T Tn
m m m mG t t y t y t P U t t t UP U t+ +′ ′ ′− = + ν − νK (17)
– L и M сечений функции ( )G t t′− по переменным t и t′ соответственно.
ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ...
Компьютерная математика. 2011, № 2 47
Здесь
,
( ) ( )
, 1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
i j n
T i j
i j
P U t U t dt u t u t dt
=+∞ +∞
−∞ −∞ =
= =
∫ ∫
( )
1 ( ) ( ) , 1, ,j
lu lcol t u t dt j n
+∞
−∞
ν = ν =
∫
а остальные совпадают с принятым выше.
Задача идентификаций структуры и параметров линейных дифферен-
циальных математических моделей. Рассмотрим задачу восстановления опе-
ратора ( )tL ∂ математической модели (1) в предположении, что функция
( )G t t′− интегрального представления (2) этой модели идентифицирована со-
гласно (13), (16), (17). Для этого будем исходить из того, что представленная
соотношением (2)
( )1 1
( ) ,
2 ( )
p t tG t t e dp
i L p
∞
′−
−∞
′− =
π ∫ (18)
где, как и выше, i – мнимая единица.
Из соотношения (18) в предположении, что
( )
1
( ) ,
K
k
k
k
G t t c t t
=
′ ′− = −∑
находим [8]
1
1
( )
!
K
K
K k
k
k
p
L p
k c p
+
−
=
=
∑
,
а следовательно и коэффициенты 0 ,..., na a оператора ( )tL ∂ – они будут совпадать
с коэффициентами разложения функции ( )L p в ряд по степеням аргумента p .
Второй путь определения вектора 0( ,..., )na a a= коэффициентов оператора
( )tL ∂ – это псевдообращение соотношения (18) дискретизированного точками
( 1, )lt l L= и ( 1, )mt m M′ = так, чтобы
( ) ( )
i
i
E p p dp G
+ ∞
− ∞
Λ =∫ (19)
при
( )( )( ), 1, , 1, ,l mG col G t t m M l L′= − = =
( )1
( ) , 1, , 1,
2
l mp t tE p col e m M l L
i
′− = = = π
В.А. СТОЯН, О.В. СОРОЦКАЯ
Компьютерная математика. 2011, № 2 48
и
( ) 1 / ( ).p L pΛ = (20)
Решением ( )pΛ уравнения (19) будет таким, что
2
( )
( ) arg min ( )
p
p p
λλ ∈Ω
Λ = λ (21)
при
2
( )
( ) : ( ) ( ) min
i
p
i
p E p p dp G
+ ∞
λ λ
− ∞
Ω = λ λ − →
∫
будет функция
( ) ( ) ,Tp E p P G+Λ = (22)
в которой знаком "+" обозначена операция псевдообращения матрицы
( ) ( ) .
i
T
i
P E p E p dp
+ ∞
− ∞
= ∫
Множество λΩ при этом определится соотношением
{ }( ) : ( ) ( ) ( ) ( )T T
vp p E p P G p E p P E+ +
λΩ = Λ Λ = + ν −
при произвольной интегрируемой на мнимой оси функции ( )pν и
( ) ( ) .
i
i
E E p p dp
+ ∞
ν
− ∞
= ν∫
Заметим, что ( ) 0pν ≡ , если
,
, 1lim[ ( ) ( )] 0,T k N l N
k l k l
N
E p E p = =
=→∞
>
а
2
2
( )
min ( ) ( ) .
i
T T
p
i
E p p dp G G G G PP G
λ
+ ∞
+
Λ ∈Ω
− ∞
ε = = Λ − = −∫
Ограничиваясь определенным согласно (21) выражением (22) для решения
уравнения (19) из (20) находим
( ) 1 / ( ).L p p= Λ (23)
Разложение (23) в ряд по степеням p (до степени n включительно) позволит,
как и выше, найти коэффициенты 0 ,..., na a оператора ( )tL ∂ .
Предложенный подход к определению коэффициентов 0 ,..., na a может быть
успешно применен к идентификации оператора ( )tL ∂ и в том случае, когда
часть из этих коэффициентов известна.
ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ...
Компьютерная математика. 2011, № 2 49
Обозначая
0 ,..., T
να α = α
неизвестные (при 0 ,...,k k
t t
ν∂ ∂ ), а
1,...,
T
nν+α α = β
известные (при 1 ,...,k n
t t
ν+∂ ∂ ) коэффициенты вектора 0( ,..., )T
na a a= , оператор
( )tL ∂ представим суммой
( ) ( ) ( ),t t tL L Lα β∂ = ∂ + ∂
в которой
0
( ) ,ik
t i t
i
L
ν
α
=
∂ = α ∂∑
1
( ) .i
n
k
t i t
i
Lβ
=ν+
∂ = α ∂∑
А это значит, что вместо (23) определяющим для нахождения элементов
вектора α будет уравнение
( ) 1 / ( ) ( ),L p p L pα β= Λ −
или, что эквивалентно,
( ) ( ),A p f pα = (24)
где
0( ) ( ,..., ),k kA p p p ν=
( ) 1 / ( ) ( ).f p p L pβ= Λ −
Решением α таким, что
2
arg min
αα∈Ω
α = α
при
( )2
: ( ) ( ) min
i
i
A p f p dp
+ ∞
α α
− ∞
Ω = α α − →
∫ ,
будет вектор
,fP A+α =
в котором
( ) ( ) ,
i
T
i
P A p A p dp
+ ∞
− ∞
= ∫
( ) ( ) .
i
T
f
i
A A p f p dp
+ ∞
− ∞
= ∫
В.А. СТОЯН, О.В. СОРОЦКАЯ
Компьютерная математика. 2011, № 2 50
При этом
{ }1: , ,fP A P P R+ + ν+
αΩ = α α = + ν − ν ∀ν∈
( )2
min ( ) ( ) 0,
i
i
A p f p dp
α
+ ∞
α∈Ω
− ∞
α − =∫
а 0ν ≡ , если det 0.P >
Заключение. Таким образом решена задача построения математических
моделей линейных динамических систем по наблюдениям за функцией состоя-
ния системы и функцией внешнединамических возмущающих факторов, кото-
рые это состояние вызывают. На базе дискретных и дискретно-непрерывных на-
блюдений за этими характеристиками строятся алгебраические интегральные и
функциональные математические модели системы, которые являются частным
случаем интегрального эквивалента линейной дифференциальной модели. Ре-
шены задачи идентификации структуры и параметров таких моделей. На всех
этапах исследования рассматриваемых систем исследованы вопросы точности и
однозначности получаемых математических моделей.
В.А. Стоян, О.В. Сороцька
ПРО ІДЕНТИФІКАЦІЮ ПАРАМЕТРІВ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ
ЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
Розглядається лінійна динамічна система з невизначеною або частково визначеною диферен-
ціальною моделлю. За дискретними і дискретно-неперервними спостереженнями за входом-
виходом системи ідентифікується інтегральна модель системи та відновлюються коефіцієнти
(всі або частина) її диференціального еквівалента. Встановлюється точність і виписуються
умови однозначності розв’язання задачі.
V.A. Stoyan, O.V. Sorotska
ON IDENTIFICATION OF PARAMETERS OF MATHEMATICAL MODELS
OF LINEAR DYNAMIC SYSTEMS
The linear dynamic system with undefined or partially defined differential model is considered. By
discrete and discrete-uninterrupted observations of the input-output of a system, the integrated mod-
el of it is identified and the coefficients (all or the part of them) of its differential equivalent are res-
tored. The accuracy and the uniqueness conditions of the problem solution are established.
ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ...
Компьютерная математика. 2011, № 2 51
1. Гантмахер А.Ф. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 287 с.
2. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия, рекуррентное оценивание. – М.: Наука, 1977. –
305 с.
3. Кириченко Н.Ф., Лепеха Н.П. Возмущение псевдообратных и проекционных матриц и их
применение к идентификации линейных и нелинейных зависимостей // Проблемы управ-
ления и информатики. – 2001. – № 1. – С. 6–22.
4. Стоян В.А. О задаче идентификации матричноинтегрирующих систем // Кибернетика и
системный анализ. – 2003. – № 5. – С. 152–164.
5. Скопецький В.В., Стоян В.А., Зваридчук В.Б. Математичне моделювання динаміки роз-
поділених просторово-часових процесів. – К.: Вид-во «Сталь», 2008. – 316 с.
6. Скопецький В.В., Стоян В.А. О задаче идентификации матричнофункциональных систем
// Кибернетика и системный анализ. – 2005. – № 5. – С. 99–110.
7. Стоян В.А., Когут О.В. Про інтегральне представлення систем лінійних диференціаль-
них рівнянь динаміки розподілених просторово-часових процесів // Вісник Київського
університету (серія «Кібернетика»). – 2010. – № 1. – С. 12–15.
8. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.
– М.: Физматгиз, 1961. – 524 с.
Получено 19.01.2011
Об авторах:
Стоян Владимир Антонович,
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры моделирования сложных систем факультета кибернетики
Киевского национального университета имени Тараса Шевченко,
e-mail: v_a_stoyan@ukr.net
Сороцкая Оксана Васильевна,
аспирантка факультета кибернетики
Киевского национального университета имени Тараса Шевченко.
e-mail: oksana.sorotska@mail.ru
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84658 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:15:52Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Стоян, В.А. Сороцкая, О.В. 2015-07-11T20:23:29Z 2015-07-11T20:23:29Z 2011 Об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем / В.А. Стоян, О.В. Сороцкая // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 42-50. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84658 517.95 : 519.86 Рассматривается линейная динамическая система с неопределенной или частично определенной дифференциальной моделью. По дискретным и дискретно-непрерывным наблюдениям за входом-выходом системы идентифицируется интегральная модель системы и восстанавливаются коэффициенты (все или часть) ее дифференциального эквивалента. Устанавливается точность и выписываются условия однозначности решения задачи. Розглядається лінійна динамічна система з невизначеною або частково визначеною диференціальною моделлю. За дискретними і дискретно-неперервними спостереженнями за входом-виходом системи ідентифікується інтегральна модель системи та відновлюються коефіцієнти (всі або частина) її диференціального еквівалента. Встановлюється точність і виписуються умови однозначності розв’язання задачі. The linear dynamic system with undefined or partially defined differential model is considered. By discrete and discrete-uninterrupted observations of the input-output of a system, the integrated model of it is identified and the coefficients (all or the part of them) of its differential equivalent are restored. The accuracy and the uniqueness conditions of the problem solution are established. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем Про ідентифікацію параметрів математичних моделей лінійних динамічних систем On identification of parameters of mathematical models of linear dynamic systems Article published earlier |
| spellingShingle | Об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем Стоян, В.А. Сороцкая, О.В. Математическое моделирование |
| title | Об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем |
| title_alt | Про ідентифікацію параметрів математичних моделей лінійних динамічних систем On identification of parameters of mathematical models of linear dynamic systems |
| title_full | Об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем |
| title_fullStr | Об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем |
| title_full_unstemmed | Об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем |
| title_short | Об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем |
| title_sort | об идентификации параметров математических моделей линейных динамических систем |
| topic | Математическое моделирование |
| topic_facet | Математическое моделирование |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84658 |
| work_keys_str_mv | AT stoânva obidentifikaciiparametrovmatematičeskihmodeleilineinyhdinamičeskihsistem AT sorockaâov obidentifikaciiparametrovmatematičeskihmodeleilineinyhdinamičeskihsistem AT stoânva proídentifíkacíûparametrívmatematičnihmodeleilíníinihdinamíčnihsistem AT sorockaâov proídentifíkacíûparametrívmatematičnihmodeleilíníinihdinamíčnihsistem AT stoânva onidentificationofparametersofmathematicalmodelsoflineardynamicsystems AT sorockaâov onidentificationofparametersofmathematicalmodelsoflineardynamicsystems |