Учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях
Предлагается процедура нечеткой многомерной линейной интерполяции, разработанная для вычисления апостериорных оценок в нечетких байесовских сетях по представленной нечеткими числами информации относительно нахождения вершин сети в недетерминированных состояниях. Пропонується процедура нечіткої багат...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84665 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях / О.В. Веревка // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 98-109. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84665 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Веревка, О.В. 2015-07-11T20:42:42Z 2015-07-11T20:42:42Z 2011 Учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях / О.В. Веревка // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 98-109. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84665 681.3: 06.51 Предлагается процедура нечеткой многомерной линейной интерполяции, разработанная для вычисления апостериорных оценок в нечетких байесовских сетях по представленной нечеткими числами информации относительно нахождения вершин сети в недетерминированных состояниях. Пропонується процедура нечіткої багатовимірної лінійної інтерполяції, розроблена для обчислення апостеріорних оцінок у нечітких байєсівських мережах за представленою нечіткими числами інформацією відносно знаходження вершин мережі в недетермінованих станах. Procedure of fuzzy multidimensional linear interpolation developed for calculating a posteriori estimates in fuzzy Bayesian networks using the information represented by fuzzy numbers regarding the location of network vertexes in nondeterministic states is proposed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Экспертные системы, методы индуктивного вывода Учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях Урахування недетермінованих свідчень при апостеріорному оцінюванні в нечітких байєсівських мережах Nondeterministic evidence account to a posteriori estimation in Bayesian fuzzy networks Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях |
| spellingShingle |
Учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях Веревка, О.В. Экспертные системы, методы индуктивного вывода |
| title_short |
Учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях |
| title_full |
Учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях |
| title_fullStr |
Учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях |
| title_full_unstemmed |
Учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях |
| title_sort |
учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях |
| author |
Веревка, О.В. |
| author_facet |
Веревка, О.В. |
| topic |
Экспертные системы, методы индуктивного вывода |
| topic_facet |
Экспертные системы, методы индуктивного вывода |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Компьютерная математика |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Урахування недетермінованих свідчень при апостеріорному оцінюванні в нечітких байєсівських мережах Nondeterministic evidence account to a posteriori estimation in Bayesian fuzzy networks |
| description |
Предлагается процедура нечеткой многомерной линейной интерполяции, разработанная для вычисления апостериорных оценок в нечетких байесовских сетях по представленной нечеткими числами информации относительно нахождения вершин сети в недетерминированных состояниях.
Пропонується процедура нечіткої багатовимірної лінійної інтерполяції, розроблена для обчислення апостеріорних оцінок у нечітких байєсівських мережах за представленою нечіткими числами інформацією відносно знаходження вершин мережі в недетермінованих станах.
Procedure of fuzzy multidimensional linear interpolation developed for calculating a posteriori estimates in fuzzy Bayesian networks using the information represented by fuzzy numbers regarding the location of network vertexes in nondeterministic states is proposed.
|
| issn |
ХХХХ-0003 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84665 |
| citation_txt |
Учет недетерминированных свидетельств при апостериорном оценивании в нечетких байесовских сетях / О.В. Веревка // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 98-109. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT verevkaov učetnedeterminirovannyhsvidetelʹstvpriaposteriornomocenivaniivnečetkihbaiesovskihsetâh AT verevkaov urahuvannânedetermínovanihsvídčenʹpriaposteríornomuocínûvannívnečítkihbaiêsívsʹkihmerežah AT verevkaov nondeterministicevidenceaccounttoaposterioriestimationinbayesianfuzzynetworks |
| first_indexed |
2025-11-25T11:49:36Z |
| last_indexed |
2025-11-25T11:49:36Z |
| _version_ |
1850514098112954368 |
| fulltext |
98 Компьютерная математика. 2011, № 2
Экспертные системы,
методы индуктивного
вывода
Предлагается процедура нечет-
кой многомерной линейной интер-
поляции, разработанная для вы-
числения апостериорных оценок
в нечетких байесовских сетях по
представленной нечеткими чис-
лами информации относительно
нахождения вершин сети в неде-
терминированных состояниях.
О.В. Веревка, 2011
УДК 681.3: 06.51
О.В. ВЕРЕВКА
УЧЕТ
НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ
СВИДЕТЕЛЬСТВ
ПРИ АПОСТЕРИОРНОМ
ОЦЕНИВАНИИ В НЕЧЕТКИХ
БАЙЕСОВСКИХ СЕТЯХ
Введение. Апостериорное оценивание веро-
ятностей в байесовских сетях (БС) произво-
дится в соответствии с цепной формулой
учетом информации, однозначно опреде-
ляющей те состояния, в которых пребывают
переменные (свидетельства, симптомы) не-
которого подмножества данной сети. В каче-
стве результата используются соответст-
вующие оценки условных вероятностей.
Однако часто в практических ситуациях в
случаях, когда переменные сети являются
индикаторами наличия некоторого свойства
или признака у исследуемой системы, сим-
птомы могут быть недетерминированными,
т. е. неяркая выраженность наблюдаемых
проявлений не позволяет точно указать, при-
сутствует данное свойство или нет, хотя не-
которые соображения относительно этого все
же имеются. В байесовских экспертных сис-
темах, базирующихся на аналогичном мате-
матическом фундаменте, в подобных ситуа-
циях используется величина, оценивающая
степень проявления указанного свойства е,
например, коэффициент определенности u(e),
принимающий значение u(e) = +1 в случае
яркой выраженности наличия данного при-
знака, u(e) = –1 при его несомненном отсут-
ствии, u(e) = 0 в случае полной неопределен-
ности, и промежуточные между +1 и –1 зна-
чения, соответствующие экспертной оценке
степени проявления свойства e в наблюдае-
Компьютерная математика. 2011, № 2 99
мой ситуации [1]. Учет сви-
детельств выпол- няется по-
следовательно, на каждом
шаге
в качестве оценки принима-
ется результат
О.В. ВЕРЕВКА
Компьютерная математика. 2011, № 2 100
линейной интерполяции на траверзе u(e)∈[−1, 1] по двум опорным точкам:
оценке, полученной на предыдущем шаге (она соответствует опорному траверзу
полной неопределенности u(e) = 0), и той из вычисленных оценок условных ве-
роятностей анализируемого допустимого состояния (при отсутствии свойства e
и при его наличии), соответствующий траверз которой (−1 или +1) расположен
ближе к u(e). Аналогичный подход может быть использован при создании дре-
вовидных нечетких БС с последовательным учетом свидетельств, информация
относительно которых представлена нечетким показателем определенности с
носителем в интервале [–1, 1], с привлечением процедуры нечеткой линейной
интерполяции [2, 3]. Однако в общем случае при разработке нечетких сетей с
графом высокой связности учет поступивших свидетельств может быть лишь
синхронным, и это требует существенной модификации интерполяционного
подхода.
В данной работе предложена многомерная процедура линейной интерполя-
ции, позволяющая учитывать информацию относительно недетерминированных
состояний подмножества вершин в нечетких БС произвольной структуры.
1. Основные обозначения
Рассмотрим (N + 1) вершину сети v0, {vn} N
n 1= с допустимыми состояниями со-
ответственно Vn и nV (или –Vn). Для оценки P(V0 /U1, …, UN) условной вероятно-
сти пребывания вершины сети v0 в состоянии V0 при условии, что вершины
{ vn} N
n 1= пребывают в состояниях {Un} N
n 1= , где Un = ± Vn, будем использовать обо-
значение (P
(
j1,…, jN) = P(V0 /U1,…, UN), где jn = 1, если Un = Vn; jn = –1, если
Un = nV ; jn = 0, если состояние вершины vn в условии отсутствует. Естественно,
P( 0V /U1,…, UN) образует с P(V0 /U1, …, UN) отношение с ограничением
P( 0V /U1, …, UN) + P(V0 /U1, …, UN) = 1.
Значению ,0(P
(
…, 0) соответствует априорная оценка безусловной вероятности
P(V0). Для множества уровня α, α ∈ (0, 1] нечеткой оценки (P
(
j1, …, jN) будем
использовать обозначение [ (LPα
(
j1, …, jN), (RPα
(
j1, …, jN)].
Сформулируем решаемую задачу следующим образом: для значений про-
межуточных на отрезке [–1, 1] нечетких траверзов { ∗
nu } N
n 1= процедурой нечеткой
линейной интерполяции определить оценку (P
( ∗
1u ,…, ∗
Nu ).
Процедура нечеткой многомерной линейной интерполяции базируется на
принципе обобщения, позволяющем корректно определять и выполнять
операции над нечеткими множествами на основе ранее заданных операций, в
следующей формулировке [4, 5]. Пусть А – нечеткое множество на универсуме Ω
с функцией принадлежности (ф.п.) µ А (х), Аα – его множество α – уровня, так что
А = ∫
1
0
α α A или А = α
α
α ,A∑ (1)
УЧЕТ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СВИДЕТЕЛЬСТВ ПРИ АПОСТЕРИОРНОМ ОЦЕНИВАНИИ ...
Компьютерная математика. 2011, № 2 101
и f – некоторое четкое преобразование Ω → R1. Тогда образ нечеткого множе-
ства А под действием четкого преобразования f является нечетким множеством
f(А) на универсуме R1 с ф.п.
µ f (А) (y) = sup { µ А (х) y = f(x), x∈Ω, y∈ R1}, (2)
f(А) = ∫
1
0
α )( α Af или f(А) = α
α
α ( ).f A∑ (3)
В соответствии с приведенными соотношениями решение задачи нечеткой
линейной интерполяции в общем случае может быть сведено к выполнению ука-
занной процедуры для уровневых множеств опорных оценок и точечных значе-
ний показателей определенности с последующим нахождением максимальных
достижимых значений ф.п. для точек носителя результата.
2. Линейная интерполяция для уровневых множеств на точечном траверзе
Предположим, что известны точечные показатели определенности ∗
nu с но-
сителем ∗
nx ∈ (–1, 1) и ф.п. µ ∗
nx
× δ(xn – ∗
nx ), n = N,1 , являющиеся оценками пре-
бывания вершин {vn} N
n 1= в состояниях {Un} N
n 1= . Апостериорные нечеткие оценки
(P
(
j1, …, jN) для любых наборов (j1, …, jN), jn ∈ {–1, 0, 1}, т. е. для детерминиро-
ванных состояний вершин {vn} N
n 1= , могут быть получены в соответствии с на-
чальными оценками связей в сети [2, 6]. Будем считать их известными, учиты-
вающими также все заданные детерминированные свидетельства.
Для фиксированного α∈ (0, 1] принципиальная схема выполнения линейной
интерполяции для уровневого множества [ (LPα
(
j1, …, jN), (RPα
(
j1, …, jN)] выглядит
следующим образом. В (N + 1) – мерном пространстве N размерностей (по осям
0xn, n = N,1 ) ставятся в соответствие значениям допустимых точечных траверзов
(это точки, принадлежащие отрезкам [–1, 1]), а (N + 1)-я размерность (ось 0t) со-
ответствует оценкам уровневых множеств, т. е. на многомерном траверзе
(j1, …, jN) по оси 0t направлен интервал [ (LPα
(
j1, …, jN), (RPα
(
j1, …, jN)]. Определя-
ется (N + 1) ближайший к точке ( ∗
1x ,…, ∗
Nx ) четкий опорный траверз
{( j k
1 , …, j k
N )} N
k 0= , j k
n ∈ {–1, 0, 1}. Кроме начала координат (j 0
1 , …, j 0
N ) =
= (0, …, 0), всегда также выбирается точка 1j
v
= ( j1
1 ,..., j1
N ): j1
n := sign( ∗
nx ), т. е.
j1
n = –1 при ∗
nx < 0 и j1
n = 1 при ∗
nx > 0, эта точка определяет 1/2N часть области до-
пустимых траверзов, в которой производится интерполяция. Еще (N – 1) траверз
(j k
1 , …, j k
N ), k = N,1 – это вершины гиперкуба [–1, 1]×…×[–1, 1], точки
пересечения его граней с осями и ребер с координатными плоскостями, оценки
(P
(
j k
1 , …, j k
N ) для которых известны; при этом более информативные показатели
О.В. ВЕРЕВКА
Компьютерная математика. 2011, № 2 102
определенности ∗
nu (у которых ∗
nx ближе к 1) имеют больший приоритет.
Через точки {( j k
1 ,…, j k
N , (LPα
(
j k
1 ,…, j k
N ))} и {( j k
1 ,…, j k
N , (RPα
(
j k
1 ,…, j k
N ))},
k = N,0 , с учетом их взаимного расположения, проводятся гиперплоскости
(плоскости при N = 2, прямые при N = 1). Отрезок [tL, tR] между нижней (L) и
верхней (R) гиперплоскостями на траверзе ( ∗
1x , …, ∗
Nx , 0) интерпретируется
как нечеткий интервал с ф.п. ρ(α, ∗
1x ,…, ∗
Nx ) = {α ×∏
=
∗
N
n
xn
µ
1
}, носитель
[SL(α, ∗
1x ,…, ∗
Nx ), SR(α, ∗
1x ,…, ∗
Nx )] которого принадлежит соответствующему
уровневому множеству искомой линейной интерполяции (P
( ∗
1u , …, ∗
Nu ).
В вышепринятых обозначениях
[SL(α, ∗
1x ,…, ∗
Nx ), SR(α, ∗
1x ,…, ∗
Nx )] ⊆
⊆ [ (
1
µα
L
N
n
nx
P
∏
=
∗×
( ∗
1u ,…, ∗
Nu ), (
1
µα
R
N
n
nx
P
∏
=
∗×
( ∗
1u , …, ∗
Nu )]. (4)
Рассмотрим более подробно предложенную процедуру для N = 1, 2, 3
и общего случая N > 3.
Случай N = 1. Траверзы расположены на отрезке [–1, 1] оси 0x1. По оси 0t на
траверзах j ∈ {–1, 0, 1} направлены интервалы носителей α – уровня [ (LPα
(
j),
(RPα
(
j)]. По оси 0x1 задан нечеткий точечный траверз ∗
1u : носитель ∗
1x ∈ (–1, 1) и
ф.п. µ ∗
1x
× δ(x1 – ∗
1x ).
1. На оси траверзов 0x1 j
0 := 0; j 1 := sign( ∗
1x ).
2. Точки (j0, (LPα
(
j0)) и (j1, (LPα
(
j1)), (j0, (RPα
(
j0)) и (j1, (RPα
(
j1)) плоскости t0x1 со-
единяем отрезками прямых:
)()(
)(
0,
α
1,
α
0,
α
,
01
0
1
jPjP
jPt
jj
jx
RLRL
RLRL
((
(
−
−=
−
−
, или t L, R = x1 × ( )()( 0,
α
1,
α jPjP RLRL
((
− ) + )( 0,
α jP RL
(
.
3. Результатом является интервал между интерполирующими прямыми на
траверзе ∗
1x ,
[ (
1
L
µα
x
P
∗×
( ∗
1u ), (
1
R
µα
x
P
∗×
( ∗
1u )] ⊇ [SL(α, ∗
1x ), SR(α, ∗
1x )] =
= [ ∗
1x × ( )()( 0
α
1
α jPjP LL
((
− ) + )( 0
α jPL
(
, ∗
1x × ( )()( 0
α
1
α jPjP RR
((
− ) + )( 0
α jPR
(
]. (5)
Случай N = 2. Траверзы располагаются в квадрате [–1, 1]×[–1, 1] плоскости
0x1x2. По оси 0t на траверзах (j1, j2), j1, j2 ∈ {–1, 0, 1} направлены интервалы
α – уровня [ (LPα
(
j1, j2), (RPα
(
j1, j2)]. По осям 0x1 и 0x2 заданы нечеткие точечные
траверзы, соответственно ∗
1u – {носитель ∗
1x , ф.п. µ ∗
1x
× δ(x1 – ∗
1x )} и ∗
2u – {носи-
тель ∗
2x , ф.п. µ ∗
2x
× δ(x2 – ∗
2x )}, ∗
1x , ∗
2x ∈ (–1, 1).
УЧЕТ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СВИДЕТЕЛЬСТВ ПРИ АПОСТЕРИОРНОМ ОЦЕНИВАНИИ ...
Компьютерная математика. 2011, № 2 103
1. На плоскости траверзов 0x1x2
0j
v
= (j 0
1 , j 0
2 ) = (0, 0), 1j
v
= ( j1
1 , j1
2 ),
т. е. j1
n := sign( ∗
nx ).
2. Если ∗
1x = ∗
2x , то выполняется интерполяционная процедура для слу-
чая N = 1 в соответствии с выражением, полученным из (5) подстановкой 0j
v
и 1j
v
вместо j0 и j1.
[ (
21
L
µ µα
xx
P
∗∗××
( ∗
1u , ∗
2u ), (
21
R
µ µα
xx
P
∗∗××
( ∗
1u , ∗
2u )] ⊇ [SL(α, ∗
1x , ∗
2x ), SR(α, ∗
1x , ∗
2x )] =
= [ ∗
1x × ( )()( 0
α
1
α jPjP LL
((
− ) + )( 0
α jPL
(
, ∗
1x × ( )()( 0
α
1
α jPjP RR
r((
− ) + )( 0
α jPR
(
]. (6)
3. ∗
1x ≠ ∗
2x .
Точка 1j
v
= (j 1
1 , j1
2 ) определяет на плоскости 0x1x2 квадрат, ограниченный
прямыми x1 = 0 и x2 = 0, x1 = j 1
1 и x2 = j1
2 , в котором расположен точечный не-
четкий траверз ( ∗
1x , ∗
2x ). На пересечении сторон этого квадрата находится тре-
тий опорный траверз 2j
v
= (j 2
1 , j 2
2 ), это точка (j 1
1 , 0) при ∗
1x > ∗
2x и точка (0,
j 1
2 ) при ∗
1x < ∗
2x , т. е. ближайшая к ( ∗
1x , ∗
2x ) из точек (j 1
1 , 0) и (0, j 1
2 ). Через
точки ( 0j
v
, (LPα
(
0j
v
)), ( 1j
v
, (LPα
(
1j
v
)), ( 2j
v
, (LPα
(
2j
v
)) и ( 0j
v
, (RPα
(
0j
v
)), ( 1j
v
,
(RPα
(
1j
v
)), ( 2j
v
, (RPα
(
2j
v
)) проводим нижнюю (L) и верхнюю (R) интерполирую-
щие плоскости
t L, R = RLC ,
1 × x1 + RLC ,
2 × x2 + (,RLPα
(
0j
v
), (7)
где коэффициенты RLC ,
1 и RLC ,
2 определяются из систем уравнений
1, , 1 , 1 , 0
1 1 2 2
2 0, , 2 , 2 ,
1 1 2 2
( ) = + + ( ),
( ) ( ).
L R L R L R L R
L R L R L R L R
P j C j C j P j
P j C j C j P j
α α
α α
× ×
= × + × +
( (
( ( (8)
Результат – интервал между интерполирующими плоскостями на траверзе ( ∗
1x , ∗
2x ),
[ (
21
L
µ µα
xx
P
∗∗××
( ∗
1u , ∗
2u ), (
21
R
µ µα
xx
P
∗∗××
( ∗
1u , ∗
2u )] ⊇ [SL(α, ∗
1x , ∗
2x ), SR(α, ∗
1x , ∗
2x )] =
= [ LC1 × ∗
1x + LC2 × ∗
2x + (LPα
(
0j
v
), RC1 × ∗
1x + RC2 × ∗
2x + (RPα
(
0j
v
)]. (9)
Следствием выбора значений опорных траверзов 1j
v
и 2j
v
является возмож-
ность получения оценки (9) в более удобном для дальнейшего применения пред-
ставлении:
t L, R = RLD ,
1 × x1 + RLD ,
2 × x2 + (,RLPα
(
0j
v
), (10)
[
1 2
µ µ (
x x
L
α P
∗ ∗× ×
( ∗
1u , ∗
2u ), (
21
R
µ µα
xx
P
∗∗××
( ∗
1u , ∗
2u )] ⊇
⊇ [ LD1 × ∗
1x + LD2 × ∗
2x + (LPα
(
0j
v
), RD1 × ∗
1x + RD2 × ∗
2x + (RPα
(
0j
v
)], (11)
О.В. ВЕРЕВКА
Компьютерная математика. 2011, № 2 104
где коэффициенты RLD ,
1 = RLC ,
1 × sign( ∗
1x ) и RLD ,
2 = RLC ,
2 × sign( ∗
2x ) определяются
из систем уравнений
1, , 1 , 1 , 0
1 1 2 2
2 0, , 2 , 2 ,
1 1 2 2
( )= + + ( ),
( ) ( ).
L R L R L R L R
L R L R L R L R
P j D j D j P j
P j D j D j P j
α α
α α
× ×
= × + × +
( (
( ( (12)
Случай N = 3. Траверзы расположены в кубе [–1, 1] × [–1, 1] × [–1, 1] под-
пространства 0x1x2x3. По оси 0t на траверзах (j1, j2, j3, 0), j1, j2, j3 ∈ {–1, 0, 1}
направлены интервалы α – уровней [ (LPα
(
j1, j2, j3), (RPα
(
j1, j2, j3)]. По осям 0x1, 0x2
и 0x3 заданы нечеткие точечные траверзы, соответственно ∗
1u { ∗
1x , µ ∗
1x
× δ(x1 –
– ∗
1x )}, ∗
2u { ∗
2x , µ ∗
2x
× δ(x2 – ∗
2x )} и ∗
3u { ∗
3x , µ ∗
3x
× δ(x3 – ∗
3x )}, ∗
1x , ∗
2x , ∗
3x ∈ (–1, 1).
1. В подпространстве траверзов 0x1x2x3 0j
v
= (j 0
1 , j 0
2 , j 0
3 ) = (0, 0, 0); 1j
v
=
= ( j1
1 , j1
2 , j1
3 ): j1
n := sign( ∗
nx ).
2. При ∗
1x = ∗
2x = ∗
3x выполняется интерполяционная процедура для
случая N = 1 с использованием аналога соотношения (6):
[ (
321
L
µ µ µα
xxx
P
∗∗∗ ×××
( ∗
1u , ∗
2u , ∗
3u ), (
321
R
µ µ µα
xxx
P
∗∗∗ ×××
( ∗
1u , ∗
2u , ∗
3u )] ⊇
⊇ [ ∗
1x × ( )()( 0
α
1
α jPjP LL
((
− ) + )( 0
α jPL
(
, ∗
1x × ( )()( 0
α
1
α jPjP RR
r((
− ) + )( 0
α jPR
(
].
3. ∗
1x = ∗
2x ≠ ∗
3x . Выполняется интерполяционная процедура для слу-
чая N = 2 согласно выражениям, аналогичным (10) – (12): находим третий опор-
ный траверз 2j
v
= ( j 2
1 , j 2
2 , j 2
3 ), это точка ( j 2
1 , j 2
2 , 0) при ∗
1x > ∗
3x и точка (0, 0,
j 2
3 ) при ∗
1x < ∗
3x . Через точки ( 0j
v
, (LPα
(
0j
v
)), ( 1j
v
, (LPα
(
1j
v
)), ( 2j
v
, (LPα
(
2j
v
)) и
( 0j
v
, (RPα
(
0j
v
)), ( 1j
v
, (RPα
(
1j
v
)), ( 2j
v
, (RPα
(
2j
v
)) проводим нижнюю (L) и верхнюю
(R) интерполирующие плоскости
t L, R = RLD ,
1 × x1 + RLD ,
2 × x3 + (,RLPα
(
0j
v
),
где коэффициенты RLD ,
1 и RLD ,
2 определяются из систем уравнений:
1 0, , 1 , 1 ,
1 1 2 2
2 0, , 2 , 2 ,
1 1 2 2
( ) ( ),
( ) ( ).
L R L R L R L R
L R L R L R L R
P j D j D j P j
P j D j D j P j
α α
α α
= × + × +
= × + × +
( (
( (
[ (
321
L
µ µ µα
xxx
P
∗∗∗ ×××
( ∗
1u , ∗
2u , ∗
3u ), (
321
R
µ µ µα
xxx
P
∗∗∗ ×××
( ∗
1u , ∗
2u , ∗
3u )] ⊇
⊇ [ LD1 × ∗
1x + LD2 × ∗
3x + (LPα
(
0j
v
), RD1 × ∗
1x + RD2 × ∗
3x + (RPα
(
0j
v
)].
УЧЕТ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СВИДЕТЕЛЬСТВ ПРИ АПОСТЕРИОРНОМ ОЦЕНИВАНИИ ...
Компьютерная математика. 2011, № 2 105
4. ∗
1x ≠ ∗
2x ≠ ∗
3x ≠ ∗
1x . Точка 1j
v
= (j1
1 , j1
2 , j1
3 ) определяет в подпро-
странстве 0x1x2x3 куб, ограниченный плоскостями x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x1 = j1
1 , x2 =
= j1
2 и x3 = j1
3 , в котором расположен точечный нечеткий траверз ( ∗
1x , ∗
2x , ∗
3x ).
На гранях этого куба находятся третий и четвертый опорный траверзы 2j
v
= (j 2
1 ,
j 2
2 , j 2
3 ) и 3j
v
= (j 3
1 , j 3
2 , j 3
3 ), j 3,2
3,2,1 ∈ {–1, 0, 1}, евклидово расстояние от которых до
точки ( ∗
1x , ∗
2x , ∗
3x ) минимально: 2j
v
– точка с координатой j1
m на оси 0xm, где
xm = max{ ∗
nx , n = N,1 }, а 3j
v
– проекция точки 1j
v
на координатную плос-
кость xl = 0, т. е. точка с нулем на l-й позиции и значениями j1
n , n ≠ l соответст-
венно на всех остальных, где ∗
lx = min{ ∗
nx , n = N,1 }. Через точки ( 0j
v
,
(LPα
(
0j
v
)), ( 1j
v
, (LPα
(
1j
v
)), ( 2j
v
, (LPα
(
2j
v
)), ( 3j
v
, (LPα
(
3j
v
)) и ( 0j
v
, (RPα
(
0j
v
)), ( 1j
v
,
(RPα
(
1j
v
)), ( 2j
v
, (RPα
(
2j
v
)), ( 3j
v
, (RPα
(
3j
v
)) проводим нижнюю (L) и верхнюю (R)
интерполирующие гиперплоскости
t L, R = RLD ,
1 × x1 + RLD ,
2 × x2 + RLD ,
3 × x3 + (,RLPα
(
0j
v
),
где коэффициенты RL
nD , определяются из соответствующей системы уравнений:
, 1 , 1 , 1 , 1 , 0
1 1 2 2 3 3
, 2 , 2 , 2 , 2 , 0
1 1 2 2 3 3
, 3 , 3 , 3 , 3 , 0
1 1 2 2 3 3
( ) ( ),
( ) ( ),
( ) ( ).
L R L R L R L R L R
L R L R L R L R L R
L R L R L R L R L R
P j D j D j D j P j
P j D j D j D j P j
P j D j D j D j P j
α α
α α
α α
= × + × + × +
= × + × + × +
= × + × + × +
v v( (
v v( (
v v( (
[ (
321
L
µ µ µα
xxx
P
∗∗∗ ×××
( ∗
1u , ∗
2u , ∗
3u ), (
321
R
µ µ µα
xxx
P
∗∗∗ ×××
( ∗
1u , ∗
2u , ∗
3u )] ⊇ [ LD1 × ∗
1x + LD2 × ∗
2x +
+ LD3 × ∗
3x + (LPα
(
0j
v
), RD1 × ∗
1x + RD2 × ∗
2x + RD3 × ∗
3x + (RPα
(
0j
v
)].
Случай N > 3. Траверзы расположены в гиперкубе [–1, 1] × … × [–1, 1]
(N множителей) N – мерного подпространства траверзов 0x1x2…xN. По оси 0t на
траверзах (j1,..., jN, 0), jn ∈ {–1, 0, 1} направлены интервалы α – уровней
[ (LPα
(
j1,..., jN), (RPα
(
j1,..., jN)]. По осям 0xn, n = N,1 заданы нечеткие точечные тра-
верзы ∗
nu : носитель ∗
nx ∈[0, 1], ф.п. ∗
nx
µ × δ(xn – ∗
nx ).
1. В пространстве траверзов 0x1x2…xN 0j
v
= (j 0
1 ,..., j 0
N ) = (0, ..., 0), второй
опорный траверз – точка 1j
v
= ( j1
1 ,..., j1
N ): j1
n := sign( ∗
nx ).
2. Упорядочиваем последовательность { ∗
nx } N
n 1= по убыванию модулей. Обо-
значим полученный результат { ∗
nkx } N
n 1= : ∗
1nkx ≥ ∗
2nkx , если
1nk <
2nk .
О.В. ВЕРЕВКА
Компьютерная математика. 2011, № 2 106
3. Группируем последовательность { ∗
nkx } N
n 1= : если ∗
mkx = ∗
+1mkx =…=
= ∗
+ )( mkqmkx , q(km) ≥ 1, образуем из { ∗
nkx } )( mkqm
mn
+
= группу; если значение ∗
mkx в
последовательности { ∗
nkx } N
n 1= не повторяется, группа состоит из одного элемента
∗
mkx и соответствующее q(km) = 0. Обозначим h-ю группу { ∗
nkx } hh
h
qm
mn
+
= , H – количе-
ство полученных групп.
4. Формируем по результату проведенной группировки последовательность
{ ∗
hy } H
h 1= , где ∗
hy – значение ∗
hmkx , входящих в h-ю группу { ∗
nkx } hh
h
qm
mn
+
= .
Все значения в последовательности { ∗
hy } H
h 1= различны и ∗
1hy > ∗
2hy при h1 < h2.
5. В пространстве интерполяции (qh + 1) размерность, соответствующую
h-й группе { ∗
nkx } hh
h
qm
mn
+
= , заменяем одной размерностью yh, спроектировав диаго-
наль гиперкуба (куба, квадрата), на которой расположены { ∗
nkx } hh
h
qm
mn
+
= ,
∗
hmkx =…= ∗
+ hqhmkx , на любую из осей {0xn} hh
h
qm
mn
+
= (например, 0
hmx ) и обозначив
ее 0yh. Все траверзы { ∗
nkx } hh
h
qm
mn
+
= учитываются синхронно; соответствующая тра-
верзу ∗
hy ф.п. равна δ( ).
h h
n
h
m q
hx
n m
y y∗
+
∗
=
µ × −∏
6. Далее полагаем, что размерность подпространства интерполяции равна H
и выполняется она для модифицированных нечетких точечных траверзов
{ ∗
hy } H
h 1= , соответствующих осям {0yh}
H
h 1= . Для интерполяции в H-мерном под-
пространстве необходим (H + 1) опорный траверз { hj
v
} H
h 0= , на котором заданы
оценки [ (LPα
(
hj
v
), (RPα
(
hj
v
)]. Два из них известны – это начало координат 0j
v
=
= (0, …, 0) и 1j
v
= (j1
1 , ..., j1
N ), j1
n := sign( ∗
nx ). Для определения остальных травер-
зов сначала определим набор символов hj ∗v = ( j h∗
1 , ..., j h
H
∗ ), h = H,2 следующим
образом:
Hj ∗v = ( j H∗
1 , ..., j H
H
∗ ) = (#, 0, 0, ..., 0), т. е. j H∗
1 = #, j H
n
∗ = 0 для n > 1;
1−∗Hj
v
= ( j 1
1
−∗H , ..., j 1−∗H
H ) = (#,#,0,...,0), т. е. j 1
1
−∗H = j 1
2
−∗H = #, j 1−∗H
n = 0 для n > 2;
………………………………………………………………..………………….....
hHj −∗v = ( j hH −∗
1 , ..., j hH
H
−∗ ) = (#, ..., #, 0, ..., 0), т. е. j hH
n
−∗ = # для n ≤ h + 1,
j hH
n
−∗ = 0 для n > h + 1;
...................................................................................................................................
3∗j
v
= ( j 3
1
∗ , ..., j 3∗
H ) = (#, #, ..., #, 0, 0), т. е. j 3
1
∗ = …= j 3
2
∗
−H = #, j 3
1
∗
−H = j 3∗
H = 0;
2∗j
v
= ( j 2
1
∗ , ..., j 2∗
H ) = (#, …, #, 0), т. е. j 2
1
∗ = …= j 2
1
∗
−H = #, j 2∗
H = 0.
УЧЕТ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СВИДЕТЕЛЬСТВ ПРИ АПОСТЕРИОРНОМ ОЦЕНИВАНИИ ...
Компьютерная математика. 2011, № 2 107
По введенным символьным наборам lj ∗v = (j l∗
1 , ..., j l
H
∗ ), l = H,2 соответст-
вующие им значения опорных траверзов lj
v
= (j l
1 , ..., j l
N ) определим следующим
образом. Символьное значение j l
h
∗ соответствует h-й группе { ∗
nkx } hh
h
qm
mn
+
= ,
h = H,1 . Если j l
h
∗ = 0, то ∀kn, n = hhh qmm + , j l
kn
:= 0; если же j l
h
∗ = #, то ∀kn,
n = hhh qmm + , j l
kn
:= j1
nk .
7. Через точки { hj
v
, (LPα
(
hj
v
)} H
h 0= и { hj
v
, (RPα
(
hj
v
)} H
h 0= проводим нижнюю (L)
и верхнюю (R) интерполирующие гиперплоскости
t L, R = ∑
=
×
H
h
RL
hD
1
, yh + (,RLPα
(
0j
v
),
где коэффициенты RL
hD , определяются из соответствующей системы уравнений:
, 1 , , , , , , 0
1 2 2 1
, 2 , , , , , 0
1 2 2 1
( ) ... ( ),
( ) ... ( ),
..................................................................................
L R L R L R L R L R L R L R
H H H
L R L R L R L R L R L R
H H
P j D D D D D P j
P j D D D D P j
α − − α
α − − α
= + + + + + +
= + + + + +
v v( (
v v( (
, , , , , 0
1 2 1
, , , 0
1
..........
( ) ... ( ),
............................................................................................
( ) ( ),
L R h L R L R L R L R
H h
L R H L R L R
P j D D D P j
P j D P j
α − + α
α α
= + + + +
= +
v v( (
v v( (
или
, , , 0
1
, , , 0 ,
1
1
( ) ( ),
...........................................................................................
( ) ( ) ,
................................
L R L R H L R
H h
L R L R h L R L R
H h n
n
D P j P j
D P j P j D
α α
−
− + α α
=
= −
= − −∑
v v( (
v v( (
1
, , 1 , 0 ,
1
..........................................................
( ) ( ) .
H
L R L R L R L R
H n
n
D P j P j D
−
α α
=
= − −
∑
v v( (
О.В. ВЕРЕВКА
Компьютерная математика. 2011, № 2 108
[ (
1
µα
L
N
n
nx
P
∏
=
∗×
( ∗
1u ,…, ∗
Nu ), (
1
µα
R
N
n
nx
P
∏
=
∗×
( ∗
1u , …, ∗
Nu )] ⊇ [SL(α, ∗
1x ,…, ∗
Nx ), SR(α, ∗
1x ,…, ∗
Nx )] =
= [∑
=
∗×
H
h
h
L
h yD
1
+ (LPα
(
0j
v
), ∑
=
∗×
H
h
h
R
h yD
1
+ (RPα
(
0j
v
)] =
= [∑
=
×
H
h
L
hD
1
∗
hmkx + (LPα
(
0j
v
), ∑
=
×
H
h
R
hD
1
∗
hmkx + (RPα
(
0j
v
)].
3. Линейная интерполяция для нормальных нечетких данных
Пусть известны нечеткие показатели определенности ∗
nu , n = N,1 с носите-
лями [ L
nx∗ , R
nx∗ ] ∈ [–1, 1] (обычно [ L
nx∗ , R
nx∗ ] ∈ [–1, 0] или [ L
nx∗ , R
nx∗ ] ∈ [0, 1]) и
ф.п. µn(x), являющиеся соответственно оценками пребывания вершин {vn} N
n 1= в
состояниях {Un} N
n 1= . ∀α∈(0,1] и xn ∈ [ L
nx∗ , R
nx∗ ] и считаем известными оценки
ф.п. ρ(α, x1,…, xN) = {α ×∏
=
N
n
nn x
1
)(µ } и носителя [SL(α, x1,…, xN), SR(α, x1,…, xN)].
В соответствии с (2), (3) и (4) β-уровневое множество [ (β
LP
( ∗
1u , …, ∗
Nu ), (β
RP
( ∗
1u ,
…, ∗
Nu )], β∈(0,1] искомой оценки (P
( ∗
1u , …, ∗
Nu ) может быть представлено сле-
дующим образом:
(β
LP
( ∗
1u ,…, ∗
Nu ):=
:= min{SL(α, x1,…, xN): ρ(α, x1,…, xN) ≥ β, α∈(0,1], xn∈[ L
nx∗ , R
nx∗ ], n = N,1 },
(β
RP
( ∗
1u ,…, ∗
Nu ):=
:= max{SR(α, x1,…, xN): ρ(α, x1,…, xN) ≥ β, α∈(0,1], xn ∈ [ L
nx∗ , R
nx∗ ], n = N,1 }.
(13)
При проведении компьютерных вычислений нечеткие числа ∗
nu обычно
представлены двумя последовательностями значений. Первая из них, { j
nx } nJ
j 1= ,
соответствует точкам носителя, 1
nx = L
nx∗ , nJ
nx = R
nx∗ , 1j
nx < 2j
nx при j1 < j2, а вторая,
{ µn(
j
nx )} nJ
j 1= , задает соответствующие им оценки ф.п.; на всем отрезке [ L
nx∗ , R
nx∗ ]
в пространстве 0xnt, где размерность t соответствует значениям ф.п., последняя
рассматривается как линейный сплайн по узловым точкам ( j
nx , µn(
j
nx )). При
этом зона максимума ф.п. задается двумя точками с
L
nj
nx max ≤
R
nj
nx max , которые сов-
падают, если ф.п. не является толерантной. Для оценок ф.п. известен порог зна-
чимости ε.
Принципиальная схема выполнения интерполяции в соответствии с (13) во
введенных обозначениях выглядит следующим образом:
УЧЕТ НЕДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СВИДЕТЕЛЬСТВ ПРИ АПОСТЕРИОРНОМ ОЦЕНИВАНИИ ...
Компьютерная математика. 2011, № 2 109
– ∀n = N,1 в пространстве 0xnt определить зоны максимума [
L
nj
nx max ,
R
nj
nx max ]
ф.п. µn(xn);
– выбрать разбиение {αm} M
m 1= , α1 = 1, αM = ε, α
1m > α
2m и α
1m – α
2m ≤ α
2m –
– α
3m при m1 < m2 < m3;
– для каждой из ∏
=
N
n
nJ
1
точек {( 1
1
jx , ..., Nj
Nx )} n
n
J
j 1=
N
n 1= , таких, что Θ(j1, …, jN)=
=
1
µ ( ) εn
N
j
n n
n
x
=
≥
∏ , выбрать (N + 1) ближайший четкий опорный траверз
θ(k, j1, …, jN) = {( j ),...,(,
1
1 Njjk , …, j ),...,(, 1 Njjk
N )} N
k 0= , j ),...,(, 1 Njjk
n ∈ {–1, 0, 1}. Многие из
них, имея различную маркировку, совпадают. Различные траверзы θ(k, j1, …, jN)
обозначить {Ψr}
R
r 1= , Ψr = (ψ r
1 , …, ψ r
N ), ψ r
n ∈{–1, 0, 1};
– вычислить { (,
α
RL
m
P
(
Ψr)}
M
m 1= ;
– циклом по m от 1 до M: для αm и всех точек {( 1
1
jx , ..., Nj
Nx )} n
n
J
j 1=
N
n 1= , таких, что
ρ(αm, 1
1
jx , ..., Nj
Nx ) = Θ(j1, …, jN) × αm ≥ ε, двигаясь по n-й размерности xn влево от
L
nj
nx max и вправо от
R
nj
nx max , вычислить [SL(αm, 1
1
jx , ..., Nj
Nx ), SR(αm, 1
1
jx , ..., Nj
Nx )];
– определить зону максимума ф.п. результата,
(
1α
LP
( ∗
1u , …, ∗
Nu ) := min{SL(α1, x1, …, xN): xn∈{
L
nj
nx max ,
R
nj
nx max }, n = N,1 },
(
1α
RP
( ∗
1u , …, ∗
Nu ) := max{SR(α1, x1, …, xN): xn∈{
L
nj
nx max ,
R
nj
nx max }, n = N,1 };
– для любого β ∈ (0, 1) множество β-уровня [ (β
LP
( ∗
1u , …, ∗
Nu ), (β
RP
( ∗
1u , …,
..., ∗
Nu )] оценки (P
( ∗
1u , …, ∗
Nu ) задается соотношениями
(β
LP
( ∗
1u , …, ∗
Nu ) :=
:= min{SL(αm, 1
1
jx , ..., Nj
Nx ): ρ(αm, 1
1
jx , ..., Nj
Nx ) ≥ β, m = M,1 , jn = nJ,1 , n = N,1 },
(β
RP
( ∗
1u , …, ∗
Nu ) :=
:= max{SR(αm, 1
1
jx , ..., Nj
Nx ): ρ(α m, 1
1
jx , ..., Nj
Nx ) ≥ β, m = M,1 , jn = nJ,1 , n = N,1 }.
Носителем (P
( ∗
1u ,…, ∗
Nu ) является интервал [ (L
M
Pα
( ∗
1u ,…, ∗
Nu ), (R
M
Pα
( ∗
1u ,…, ∗
Nu )].
О.В. ВЕРЕВКА
Компьютерная математика. 2011, № 2 110
Заключение. Изложенная методика выполнения нечеткой линейной интер-
поляции через уровневые множества представляется вполне естественной, по-
скольку подобный подход при N > 1 используется при апостериорном оценива-
нии в нечетких БС также для детерминированных состояний вершин (кроме от-
дельных ситуаций, когда графы сети образуют лес). Дополнительным преиму-
ществом предложенного подхода является возможность естественного опреде-
ления точек функционального распараллеливания в вычислениях, что весьма
актуально вследствие их значительного объема.
О.В. Верьовка
УРАХУВАННЯ НЕДЕТЕРМІНОВАНИХ СВІДЧЕНЬ ПРИ АПОСТЕРІОРНОМУ
ОЦІНЮВАННІ В НЕЧІТКИХ БАЙЄСІВСЬКИХ МЕРЕЖАХ
Пропонується процедура нечіткої багатовимірної лінійної інтерполяції, розроблена для обчи-
слення апостеріорних оцінок у нечітких байєсівських мережах за представленою нечіткими
числами інформацією відносно знаходження вершин мережі в недетермінованих станах.
О.V. Verovka
NONDETERMINISTIC EVIDENCE ACCOUNT TO A POSTERIORI ESTIMATION
IN BAYESIAN FUZZY NETWORKS
Procedure of fuzzy multidimensional linear interpolation developed for calculating a posteriori es-
timates in fuzzy Bayesian networks using the information represented by fuzzy numbers regarding
the location of network vertexes in nondeterministic states is proposed.
1. Экспертные системы. Принципы работы и примеры: Пер. с англ. / Под ред. Р. Фор-
сайта. – М.: Радио и связь, 1987. – 224 с.
2. Веревка О.В., Парасюк И.Н. О распространении вероятностей в нечетких байесовских
сетях с недетерминированными состояниями // Кибернетика и системный анализ. −
2008. − № 6. − С. 153–169.
3. Веревка О.В., Парасюк И.Н. Линейная интерполяция в нечетком информационном про-
странстве // Кибернетика и системный анализ. − 2006. − № 2. − С. 55–68.
4. Мациевский С.В. Нечеткие множества. – Калининград: Изд-во Калинингр. ун-та, 2004. –
176 с.
5. Лофти А. Заде. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов приня-
тия решения. – В кн. «Математика сегодня». Пер. с англ. – М.: Знание, 1974. – С. 5–48.
6. Веревка О.В., Парасюк И.Н. Ярусный подход к представлению байесовских сетей //
Компьютерная математика. – 2010. – № 1. – С. 83–93.
Получено 15.11.2010
Об авторе:
Веревка Ольга Викторовна,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
8 (044) 526 6422.
e-mail: ivpar1@i.com.ua
|