Очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели
У рамках пiдходу до описання осередку землетрусу з позицiй механiки збудливих середовищ дослiджується отримана автором як результат схеми оптимального конструювання обмежена в часi функцiя стрибка зсуву. Для вiдповiдної “квазiдинамiчної” моделi будуються “наведенi” теоретичнi сейсмограми, аналiзуєть...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8467 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели / А.С. Костинский // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 119-123. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859764298461478912 |
|---|---|
| author | Костинский, А.С. |
| author_facet | Костинский, А.С. |
| citation_txt | Очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели / А.С. Костинский // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 119-123. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | У рамках пiдходу до описання осередку землетрусу з позицiй механiки збудливих середовищ дослiджується отримана автором як результат схеми оптимального конструювання обмежена в часi функцiя стрибка зсуву. Для вiдповiдної “квазiдинамiчної” моделi будуються “наведенi” теоретичнi сейсмограми, аналiзується характер залежностi вiд параметрiв моделi.
In the context of an approach to the description of earthquake foci from the positions of excitable medium mechanics, a bounded-in-time displacement discontinuity function obtained by the author as a result of the optimal construction scheme is studied. For the corresponding “quasidynamic” model, “reduced” theoretical seismograms are plotted, and the pattern of the dependence on model parameters is analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-02T04:50:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 550.34.013
© 2009
А.С. Костинский
Очаг землетрясения как возбудимая среда:
теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной
модели
(Представлено академиком НАН Украины В. И. Старостенко)
У рамках пiдходу до описання осередку землетрусу з позицiй механiки збудливих середо-
вищ дослiджується отримана автором як результат схеми оптимального конструю-
вання обмежена в часi функцiя стрибка зсуву. Для вiдповiдної “квазiдинамiчної” моделi
будуються “наведенi” теоретичнi сейсмограми, аналiзується характер залежностi вiд
параметрiв моделi.
В пространстве “квазидинамических” моделей очага [1–3] выражение для смещения в даль-
ней зоне
Ui(~r, t) =
γiγpγqνk
4πρα3
∫∫
Σ
cjkpq
|~ξ − ~r|
∂
∂t
[
Uj
(
~ξ, t −
|~ξ − ~r|
α
)]
dΣ(ξ) +
+
(δip − γiγp)γqνk
4πρβ3
∫∫
Σ
cjkpq
|~ξ − ~r|
∂
∂t
[
Uj
(
~ξ, t −
|~ξ − ~r|
β
)]
dΣ(ξ) (1)
есть линейный оператор, действующий на функцию [Uj(. . .)], и, поскольку размеры пло-
щадки малы, можно полагать, что
∫∫
Σ
(· · · )
∂
∂t
[U(· · · )]dΣ =
∫∫
Σ
(· · · )
(
∂
∂t
n(t) · |[U(· · · )]| + n(t) ·
∂
∂t
|[U(· · · )]|
)
dΣ,
где единичный вектор направления n(t) и его производная по времени вычисляются в не-
которой средней точке площадки. Характеристика системы при этих предположениях, сле-
довательно, есть векторное поле
~Θ(~ξ, t) =
∂
∂t
n(t) · |[U(~ξ, t)]| + n(t) ·
∂
∂t
|[U(~ξ, t)]|, ~ξ ∈ Σ,
и для логики традиционного кинематического конструирования это была отправная точка,
а путь определялся уверенностью, что для ~Θ(. . .) можно найти “земной” математический
образ. Отсюда плоскость разрыва, распространяющаяся трещина сдвига и “нефизическое”
решение самоподобной задачи [4]
∂
∂t
n(t) = 0, n(t) =
−−−→
const(t), (2)
n(t) · ~Θ ≡ ∆U s(ρ, t) = Kv
√
t2 −
(
ρ
v
)2
· H
(
t −
ρ
v
)
· {1 − H(ρ − ρ0)}, K = const, (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 119
бесконечно возрастающее со временем. Тупик хаотических попыток “усовершенствовать”
зависимость (3) можно преодолеть, если некоторая физическая конструкция, определен-
ная с максимальной степенью абстракции, займет место “бестелесного” скачка смещения
на разрыве как модели. Требуется, в общем, только способность тонкого слоя вещества ге-
нерировать и распространять возбуждение, т. е. состояние, дополнительное по отношению
к основному состоянию. Это взгляд на явление как на эволюцию возбудимой среды [5], и,
согласившись столь радикально изменить язык описания процесса в очаге, мы получаем
дополнительные “степени свободы” конструирования, позволяющие оптимальным образом
перейти от (3) к решению, более физически приемлемому, ограниченному во времени [6]:
n(t) · ~Θ ≡ ∆Ug(ρ, t) =
= KvTc arccos
ch
(
ρ
vTc
)
ch
(
t
Tc
)
· H
(
t −
ρ
v
)
· {1 − H(ρ − ρ0)}, K = const. (4)
Подставим выражение (4) в (1). Принимая предположения (2) и переходя к приближе-
нию дальней зоны однородной, изотропной среды, получим, что форма импульса смещения
как в P -, так и в S-волне описывается интегралом:
Ωc(~rS , t) = 2Kvρ2
0
Tc
τ
∂
∂
(
t′
τ
)
∫∫
C+
dxdy arccos
ch
τ
Tc
r
ch
τ
Tc
(
t′
τ
+ xγ
)
· H
(
t′
τ
+ xγ − r
)
,
где x, y — безразмерные декартовы координаты, r2 = x2+y2, C+ есть область, ограниченная
верхней единичной полуокружностью и осью Ox. Разрыв зарождается в точке ~r0, t′ = t −
− τ0, τ0 = |~rS − ~r0|/c — время запаздывания системы, ρ0 — радиус площадки, τ = ρ0/v,
γ = v/c sin ϑ. Угол ϑ образован нормалью к площадке и направлением из центра площадки
на точку наблюдения ~rS .
Функция Хевисайда H под знаком интеграла в Ωc приводит к тому, что область инте-
грирования суживается до подобласти C+, точки которой удовлетворяют неравенству
r(x, y) <
t′
τ
+ xγ
(подобласть может совпадать с C+). Когда параметры t′/τ , γ меняются, меняется и область
интегрирования, следуя за положением ограничивающей кривой
r(x, y) =
t′
τ
+ xγ (5)
по отношению к C+. Наглядно представить ситуацию проще, если перейти от переменных
интегрирования x, y к переменным x, r, рассматривая x, r по-прежнему как декартовы
координаты на плоскости. В результате граница области C+ преобразуется в треугольник,
образованный горизонтальной прямой r = 1 и биссектрисами координатных углов r = ±x;
обозначим область, ограниченную треугольником, как S+. Уравнение (5) в переменных x,
r задает прямую
Π: r =
t′
τ
+ xγ,
120 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Рис. 1. Область интегрирования в Ωc: возможные варианты
Рис. 2. “Характеристические” прямые на плоскости переменных t′/τ , γ. Затененные цифры 1, 2 над штри-
ховыми линиями означают номер столбца “матрицы рисунков” рис. 3, цифры справа от штриховых линий
соответствуют одному из вариантов положения прямой Π по отношению к области S+
возможны три варианта положения Π по отношению к S+ (рис. 1, верхняя строка символи-
ческой “матрицы рисунков”). Интеграл в Ωc с функцией H, таким образом, “распадается” на
три интеграла (без H), непрерывно переходящие друг в друга при изменении параметров
t′/τ , γ. Каждый интеграл берется по затененной части S+, каждому соответствует своя
геометрия области интегрирования и своя функциональная зависимость Ωc(t
′/τ, γ).
Преобразование к переменным x, r приводит к появлению под интегралом множителя
(r2−x2)−1/2, сингулярного в точках биссектрис координатных углов r = ±x. Это осложняет
численный расчет теоретических сейсмограмм (интегралы в Ωc не могут быть выражены
через элементарные или специальные функции). Поэтому с точки зрения вычислений удоб-
нее пользоваться декартовыми координатами x, y. Кривая (5) в переменных x, y есть эллипс,
множество точек эллипса, для которых y > 0, есть кривая
E: y =
√
(
t′
τ
+ xγ
)2
− x2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 121
Интегрирование в каждом из вариантов 1, 2, 3 выполняется по части C+, определяемой
неравенством:
y <
√
(
t′
τ
+ xγ
)2
− x2
(см. рис. 1, нижняя строка “матрицы рисунков”).
Рис. 3. Форма импульса смещения в дальней зоне для разных значений Tc/τ , γ. Номер столбца “матрицы
рисунков” соответствует номеру сечения γ = const рис. 2, стрелки отделяют участки графика с разной
функциональной зависимостью от t′/τ . Каждая строка “матрицы рисунков” соответствует фиксированному
значению Tc/τ , для первой строки Tc/τ = 0,725, для второй Tc/τ = 2,125, для третьей Tc/τ = 4,225
122 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Перейдем в пространство параметров, в котором переменные t′/τ , γ, Tc/τ играют роль
декартовых координат. Построив координатную плоскость Tc/τ = const, обнаружим на ней
две “характеристические” прямые, их расположение показано на рис. 2. Прямая Π1 соот-
ветствует соотношению параметров t′/τ , γ, при котором точка x = 1, r = 1 принадлежит
прямой Π (t′/τ = 1− γ), прямая Π2 — соотношению t′/τ = 1 + γ, когда точка x = −1, r = 1
принадлежит Π. Теперь легко представить структуру теоретических сейсмограмм (“при-
веденных”, так как функция Ωc описывает только форму импульса смещения). Каждая
такая сейсмограмма (кусочно-гладкая) соответствует вертикальной координатной линии
γ = const (см. рис. 2). Участки гладкости (их три) — это участки неизменной функциональ-
ной зависимости от t′/τ при фиксированном значении γ. Форма теоретических сейсмограмм
на каждом участке зависит от третьей условной координаты Tc/τ , но разбиение на участки
от Tc/τ не зависит и определяется только величиной γ. Видно, как сдвигается вправо “эф-
фективная” максимальная продолжительность импульса по мере увеличения Tc/τ (рис. 3).
1. Molnar P., Tucker B., Brune J. Corner frequencies of P- and S-waves and models of earthquake sources //
Bull. Seism. Soc. Amer. – 1973. – 63. – P. 2091. – 2104.
2. Sato T., Hirasawa T. Body wave spectra from propagating shear crack // J. Phys. Earth. – 1973. – 21. –
P. 415–431.
3. Dahlen F.A. On the ratio of P-wave to S-wave corner frequences for shallow earthquake sources // Bull.
Seism. Soc. Amer. – 1974. – 64. – P. 1159–1180.
4. Burridge R., Willis J. The self-similar problem of the expanding elliptical crack in an anisotropic solid //
Proc. Cambr. Philosoph. Soc. – 1969. – 66. – P. 443–468.
5. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. – Москва: Нау-
ка, 1984. – 304 с.
6. Костинский А.С. Очаг землетрясения как возбудимая среда: простейший пример оптимального кон-
струирования // Доп. НАН України. – 2002. – № 12. – С. 87–94.
Поступило в редакцию 04.08.2008Отдел сейсмологии Института геофизики
им. С.И. Субботина НАН Украины, Симферополь
A. S. Kostinsky
Earthquake focus as an excitable medium: theoretical seismograms of
the simplest optimal model
In the context of an approach to the description of earthquake foci from the positions of excitable
medium mechanics, a bounded-in-time displacement discontinuity function obtained by the author
as a result of the optimal construction scheme is studied. For the corresponding “quasidynamic”
model, “reduced” theoretical seismograms are plotted, and the pattern of the dependence on model
parameters is analyzed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 123
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8467 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T04:50:32Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Костинский, А.С. 2010-06-01T08:44:24Z 2010-06-01T08:44:24Z 2009 Очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели / А.С. Костинский // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 119-123. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8467 550.34.013 У рамках пiдходу до описання осередку землетрусу з позицiй механiки збудливих середовищ дослiджується отримана автором як результат схеми оптимального конструювання обмежена в часi функцiя стрибка зсуву. Для вiдповiдної “квазiдинамiчної” моделi будуються “наведенi” теоретичнi сейсмограми, аналiзується характер залежностi вiд параметрiв моделi. In the context of an approach to the description of earthquake foci from the positions of excitable medium mechanics, a bounded-in-time displacement discontinuity function obtained by the author as a result of the optimal construction scheme is studied. For the corresponding “quasidynamic” model, “reduced” theoretical seismograms are plotted, and the pattern of the dependence on model parameters is analyzed. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели Earthquake focus as an excitable medium: theoretical seismograms of the simplest optimal model Article published earlier |
| spellingShingle | Очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели Костинский, А.С. Науки про Землю |
| title | Очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели |
| title_alt | Earthquake focus as an excitable medium: theoretical seismograms of the simplest optimal model |
| title_full | Очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели |
| title_fullStr | Очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели |
| title_full_unstemmed | Очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели |
| title_short | Очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели |
| title_sort | очаг землетрясения как возбудимая среда: теоретические сейсмограммы простейшей оптимальной модели |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8467 |
| work_keys_str_mv | AT kostinskiias očagzemletrâseniâkakvozbudimaâsredateoretičeskieseismogrammyprosteišeioptimalʹnoimodeli AT kostinskiias earthquakefocusasanexcitablemediumtheoreticalseismogramsofthesimplestoptimalmodel |