Приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y)
Сформулированы и доказаны теоремы, касающиеся свойств операторов приближения функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) в норме L2[0,1]2 . Сформульовано та доведено теореми щодо властивостей операторів наближення функції f (x, y) сумами вигляду φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) у нормі L2[0,1]2 . T...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84671 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) / О.Н. Литвин, Е.В. Ярмош // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 151-159. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84671 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Литвин, О.Н. Ярмош, Е.В. 2015-07-11T21:00:31Z 2015-07-11T21:00:31Z 2011 Приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) / О.Н. Литвин, Е.В. Ярмош // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 151-159. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84671 519.6 Сформулированы и доказаны теоремы, касающиеся свойств операторов приближения функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) в норме L2[0,1]2 . Сформульовано та доведено теореми щодо властивостей операторів наближення функції f (x, y) сумами вигляду φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) у нормі L2[0,1]2 . Theorems on the properties of operators of function f (x, y) approximation with the sums φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) in the norm L2[0,1]2 are formulated and proved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Теория и методы оптимизации Приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) Наближення функції f (x, y) сумами вигляду φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) An approximation of the function f (x, y) with the sums φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) |
| spellingShingle |
Приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) Литвин, О.Н. Ярмош, Е.В. Теория и методы оптимизации |
| title_short |
Приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) |
| title_full |
Приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) |
| title_fullStr |
Приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) |
| title_full_unstemmed |
Приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) |
| title_sort |
приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φn(x)ψn(y) |
| author |
Литвин, О.Н. Ярмош, Е.В. |
| author_facet |
Литвин, О.Н. Ярмош, Е.В. |
| topic |
Теория и методы оптимизации |
| topic_facet |
Теория и методы оптимизации |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Компьютерная математика |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Наближення функції f (x, y) сумами вигляду φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) An approximation of the function f (x, y) with the sums φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) |
| description |
Сформулированы и доказаны теоремы, касающиеся свойств операторов приближения функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) в норме L2[0,1]2 .
Сформульовано та доведено теореми щодо властивостей операторів наближення функції f (x, y) сумами вигляду φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) у нормі L2[0,1]2 .
Theorems on the properties of operators of function f (x, y) approximation with the sums φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) in the norm L2[0,1]2 are formulated and proved.
|
| issn |
ХХХХ-0003 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84671 |
| citation_txt |
Приближение функции f(x,y) суммами вида φ0(x)ψ0(y)+…+ φN(x)ψN(y) / О.Н. Литвин, Е.В. Ярмош // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2011. — № 2. — С. 151-159. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT litvinon približeniefunkciifxysummamividaφ0xψ0yφnxψny AT ârmošev približeniefunkciifxysummamividaφ0xψ0yφnxψny AT litvinon nabližennâfunkcíífxysumamiviglâduφ0xψ0yφnxψny AT ârmošev nabližennâfunkcíífxysumamiviglâduφ0xψ0yφnxψny AT litvinon anapproximationofthefunctionfxywiththesumsφ0xψ0yφnxψny AT ârmošev anapproximationofthefunctionfxywiththesumsφ0xψ0yφnxψny |
| first_indexed |
2025-11-26T22:40:37Z |
| last_indexed |
2025-11-26T22:40:37Z |
| _version_ |
1850778709165867008 |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2011, № 2 151
Сформулированы и доказаны
теоремы, касающиеся свойств
операторов приближения функ-
ции ( , )f x y суммами вида
0 0( ) ( ) ... ( ) ( )N Nx y x yϕ ψ + + ϕ ψ в
норме
2
2[0,1]L . В частности,
исследован случай, когда опе-
ратор приближения имеет
вид 1 2 1 2( ) ( , )A A A A f x y+ − , где
1 ( , )A f x y , 2 ( , )A f x y –- операто-
ры приближения ),( yxf в норме
2[0,1]L по переменным x и ,y
соответственно.
О.Н. Литвин, Е.В. Ярмош, 2011
УДК 519.6
О.Н. ЛИТВИН, Е.В. ЯРМОШ
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
( , )f x y СУММАМИ ВИДА
ϕ ψ + + ϕ ψ0 0( ) ( ) ... ( ) ( )N Nx y x y
Введение. Задача приближения функции
двух переменных ( , )f x y суммами
0 0( ) ( ) ... ( ) ( )N Nx y x yϕ ψ + + ϕ ψ возникает, на-
пример, при решении интегральных уравне-
ний – замена ядра ( , )G x y интегрального
уравнения ( ) ( , ) ( ) ( )
b
a
y x G x t y t dt f x= λ +∫ ука-
занной суммой дает возможность найти ре-
шение уравнения в аналитической форме.
В теории и практике решения краевых задач
широко используется классический метод
разделения переменных, представляющий
решение предельной задачи в виде ряда
0 0( ) ( ) ... ( ) ( ) ...N Nx y x yϕ ψ + + ϕ ψ + .
В работах М.– Б.А. Бабаева [1], В.В. По-
спелова [2], В.Н. Темлякова [3], М.Р. Шура-
Бура [4] и других рассматривалось нахождение
наилучшего приближения ( , )f x y из заданных
классов с помощью сумм произведений функ-
ций одной переменной.
Постановка задачи. В работе [5] получе-
ны формулы для нахождения функций
( )k xϕ , ( )l yψ , , 0,k l N= и неизвестных по-
стоянных l,kC , где NB – класс функций вида
1,
0
( , ) ( ) ( )
N
k k
k
Z x y y h x
=
= ϕ +∑
2, , 1, 2,
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ),
N N N
l l k l k l
l k l
x h y C h x h y
= = =
+ ψ −∑ ∑∑ (1)
[ ]2
2 0,1
( ) || ( , ) ( , ) || .min
N
L Z B
J Z f x y Z x y
∈
= − → (2)
О.Н. ЛИТВИН, Е.В. ЯРМОШ
Компьютерная математика. 2011, № 2 152
При этом считается, что k,1h и 2, lh – заданная система линейно независимых
функций; функции ( )k yϕ , ( )l xψ и постоянные l,kC считаются неизвестными.
То есть, эти неизвестные должны находиться путем решения следующей
минимизационной задачи:
[ ]
,
1 1
2
, ,
0 0
( ) ( , ) ( , ) .min
k l k lC
J Z f x y Z x y dxdy
ϕ ψ
= − →∫ ∫ (3)
В результате доказана теорема.
Теорема 1. (О.Н. Литвин, [5]). Единственное решение задачи (3) имеет вид:
* 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T TZ x y h x B F y F x B h y h x B FB h y− − − −= + − , (4)
где
1 1,0 1,( ) ( ),..., ( )Nh x h x h x= , 2 2,0 2,( ) ( ),..., ( )Nh y h y h y= ,
1 2( ) ( , ) ( )T
G
F h x f x y h y dx= ∫∫ ;
1
1 1
0
( ) ( ) ( , )T TF y h x f x y dx= ∫ ,
1
2 2
0
( ) ( , ) ( )F x f x y h y dy= ∫ ,
1
1 1 1
0
( ) ( )TB h x h x dx= ∫ ,
1
2 2 2
0
( ) ( )TB h y h y dy= ∫ .
Изложение основного материала. В данной работе сформулировано и до-
казано ряд теорем относительно иного представления *( , )Z x y , которые разре-
шают оценить погрешность приближения ( , )f x y с помощью *( , )Z x y .
Теорема 2. Если система функций ( )k yϕ , 0,k N= , [ ]0( ) ( ),..., ( )Ny y yϕ = ϕ ϕ
находится из условия:
21
1,
( )00
( ) ( , ) ( ) ( ) min
k
N
k k
yk
JX f x y y h x dx
ϕ=
ϕ = − ϕ →
∑∫ , (5)
т. е. 1
1 1( ) ( )T y B F y−ϕ = и система функций ( )l xψ , 0,l N= ,
[ ]0( ) ( ),..., ( )Nx x xψ = ψ ψ находятся из условия:
21
2,
( )00
( ) ( , ) ( ) ( ) min
l
N
l l
xl
JY f x y x h y dy
ψ=
ψ = − ψ →
∑∫ , (6)
т. е. 1
2 2( ) ( )x F x B−ψ = , то формула для *( , )Z x y может быть представлена в виде:
*
1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )Z x y A f x y A f x y A A f x y= + − , (7)
где операторы 1A , 2A определяются формулами:
1
1 1 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )T TA f x y h x y h x B F y−= ϕ = ,
1
2 2 2 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )T TA f x y x h y F x B h y−= ψ = , 1 1
1 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( )TA A f x y h x B FB h y− −= .
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ( , )f x y СУММАМИ ВИДА …
Компьютерная математика. 2011, № 2 153
Доказательство. Из этого вытекает, что операторы 1 ( , )A f x y и )y,x(fA2
являются перестановочными один с другим 1 2 2 1( , ) ( , )A A f x y A A f x y= :
1
1
1 1 1 1
0
( , ) ( ) ( ) ( , )TA f x y h x B h x f x y dx−= ∫ ,
1
1
2 2 2 2
0
( , ) ( , ) ( ) ( )TA f x y f x y h y dyB h y−= ∫ ,
[ ]
1
1
1 2 1 1 1 2
0
( , ) ( ) ( ) ( , )TA A f x y h x B h x A f x y dx−= =∫
1 1
1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
0 0
( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ).T T Th x B h x f x y h y dxdy B h y h x B FB h y− − − −
= =
∫ ∫
Теорема 2 доказана.
Замечание. Таким образом, в теореме 2 утверждается, что решение миними-
зационной задачи (3) можно свести к решению двух одномерных минимизацион-
ных задач (5) и (6). То есть формула (4) – формула смешанной аппроксимации
функции ( , )f x y с использованием метода наименьших квадратов.
Для сравнения приведем формулу для наилучшего приближения в 2
2[0,1]L
функции ( , )f x y конструкциями вида:
, 1, 2, 1 2
0 0
0( , ; ) 0( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
N N
T
k l k l
k l
Z x y C Z x y C h x h y h x Ch y
= =
= = =∑∑ . (8)
Теорема 3. Если в формуле (8) неизвестные постоянные ,k lC находить из
условия:
[ ]
,
1 1
2
0 0
( 0) ( , ) 0( , ) min
k lC
JXY Z f x y Z x y dxdy= − →∫ ∫ , (9)
то для 0( , )Z x y выполняется следующее равенство:
1 20( , ) 0 ( , ) ( , ).Z x y Z f x y A A f x y= =
Доказательство. Для нахождения ,k lC из условия (9) получим следующую
СЛАУ:
,
( 0)
0
p q
JXY Z
C
∂ = ⇒
∂
1 1
, 1, 2, 1, 2,
0 00 0
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , 0,
N N
k l k l p q
k l
f x y C h x h y h x h y dxdy p q N
= =
− = =
∑∑∫∫ .
Преобразуем эту систему и запишем в виде
1, , , 2, , ,
0 0
, , 0,
N N
p k k l l q p q
k l
B C B F p q N
= =
= =∑∑ , (10)
О.Н. ЛИТВИН, Е.В. ЯРМОШ
Компьютерная математика. 2011, № 2 154
1
1, , 1, 1,
0
( ) ( )p k k pB h x h x dx= ∫ ,
1
2, , 2, 2,
0
( ) ( ) ,l q l qB h y h y dy= ∫
1 1
, 1, 2,
0 0
( ) ( , ) ( ) .p q p qF h x f x y h y dxdy= ∫ ∫
Таким образом, систему (10) можно записать в виде
1 2 .B CB F=
Отсюда для неизвестной матрицы C получаем
1 1
1 2 .C B FB− −= (11)
Таким образом, решение C минимизационной задачи (9) представляется в
виде формулы (11), т. е. для функции 0( , )Z x y получаем
1 1 1 1
1 2 1 1 2 2 1 1 2 20( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).T T TZ x y h x Ch y h x B FB h y h x B FB h y− − − −= = =
Учитывая приведенные утверждения теоремы 2, можем записать, что
1 20( , ) ( , )Z x y A A f x y= .
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Погрешность приближения функции ( , )f x y с помощью
0 ( , )Z f x y имеет вид
( )1 2 1 2( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ),Rf x y f x y Z f x y R R R R f x y= − = + −
где 1 1( , ) ( , ) ( , )R f x y f x y A f x y= − , 2 2( ) ( ) ).R f x, y f x, y A f ( x, y= −
Доказательство. Запишем следующий ряд равенств ( I – тождественный
оператор):
1 2 1 2( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )f x y Z f x y f x y A A f x y I A A f x y− = − = − =
[ ]1 2 1 2 1 1 1 2( ) ( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( , )I A I A I A I A f x y R R R R f x y= − + − − − − = + − .
Теорема 4 доказана.
Теорема 5. Погрешность приближения функции ( , )f x y с помощью
( , )Zf x y , где *( , ) ( , )Zf x y Z x y= определяется формулой (4), имеет вид:
1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )Rf x y f x y Zf x y R R f x y= − = .
Доказательство. Перепишем погрешность приближения так:
[1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ( )) ( , ) ( ) ( )f x y Zf x y I A A A A f x y I A I A− = − + − = − + − −
] { [1 2 1 2 1 2( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )I A A f x y I A I A I A I A− − = − + − − − + − −
]} ( )( )1 2 1 2 1 2( )( ) ( , ) ( , ) ( , ).I A I A f x y I A I A f x y R R f x y− − − = − − =
Теорема 5 доказана.
Следствие 1. Предположим, что
1
0 1
( , ) ( , ) ( )max
y
f x y A f x y O
≤ ≤
− = ε , 0 1x≤ ≤ ,
2
0 1
( , ) ( , ) ( )max
x
f x y A f x y O
≤ ≤
− = ε , 0 1.y≤ ≤
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ( , )f x y СУММАМИ ВИДА …
Компьютерная математика. 2011, № 2 155
Тогда для оценки остатка ( , ) ( , )f x y Zf x y− справедлива оценка
[ ]22( , ) ( , ) ( ) ( , ) 0,1f x y Zf x y O x y− = ε ∀ ∈ .
Исследуем, для каких классов функций предложенный метод будет давать
точный ответ.
Теорема 6. Если система линейно-независимых функций 1, ( )kh x , 2, ( )lh y яв-
ляется системой базисных сплайнов первой степени и является разложением
единицы на [ ]0,1 , т. е. 1,
0
( ) 1
N
k
k
h x
=
=∑ , 2,
0
( ) 1
N
l
l
h y
=
=∑ , x E∈ , y E∈ , то
1 ( , ) ( , ) ( , )A f x y f x y f x y C= ∀ = и 2 ( , ) ( , ) ( , ) ,A f x y f x y f x y C= ∀ = (12)
где C – постоянная.
Доказательство. Положим, не ограничивая общности, 1C = . Заметим, что
1
1 1, 1 1 1 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N
T T
k k
k
A f x y y h x h x y h x B F y−
=
= ϕ = ϕ =∑ .
Пусть
1,
1
0, ,
1
1, ,
( ) .
1
1 , ,
1
0,
k
k
x
N
k k
Nx k x
N Nh x
k k
k Nx x
N N
k
x
N
− ≤
− − + < <
= + + − ≤ <
+
≥
(13)
Если ( , ) 1f x y ≡ , то
1 1
1 1, 1,
0 00 0
( ) ( , ) ( ) ( )
N N
T
k k
k k
F y f x y h x dx h x dx
= =
= =
∫ ∫ ,
тогда из условия
21
1 1,
( )00
( ) ( , ) ( ) ( ) min
k
N
k k
yk
J f x y y h x dx
φ=
φ = − φ →
∑∫
получим, если ( , ) 1f x y ≡ ,
1,
0
( ) 1, 0 1
k
N
k
h x x
=
≡ ≤ ≤∑ :
21
1 1,
( )00
( ) 1 ( ) ( ) min
k
N
k k
yk
J y h x dx
ϕ=
ϕ = − ϕ →
∑∫ . (14)
Решая минимизационную задачу (14), получаем в матричной форме:
1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ... ,
2 2
T
TB y F y
N N N N
ϕ = =
О.Н. ЛИТВИН, Е.В. ЯРМОШ
Компьютерная математика. 2011, № 2 156
где
1
1
, 0 , или
3
2
, , , 1, 1
3
1
, 1, , 0,
6
0, 2, , 0,
i j f i j N
N
i j i j N
NB
i j i j N
N
i j i j N
= = = =
= = −=
− = =
− ≥ =
.
Отсюда получаем ( ) 1k yϕ = , 0,k N= .
Последнее равенство получено с учетом следующих утверждений: если
1k k
x
N N
+≤ ≤ , то 1, ( ) 1kh x k Nx= + − , 1, 1( )kh x Nx k+ = − и поэтому 1, ( )kh x +
1, 1( ) 1kh x++ ≡ ⇒ 1,
0
( ) 1
N
k
k
h x
=
=∑ , 0 1x≤ ≤ .
Тогда ( ) 1 0,k y k Nϕ = ∀ = 1,
0
( ) ( ) 1
N
k k
k
y h x
=
⇒ ϕ ≡∑ и 1( ) 0J ϕ = .
Теорема 6 доказана.
Следствие 1. kA C C= , 1,2k = ⇒ 1 2 1 2( )A A A A C C C R+ − = ∀ ∈ .
Доказательство следствия 1 вытекает из того, что из равенств 1A C C= ,
2A C C= получаем
1 2 1 2 1( )A A C A A C AC C= = = ⇒ 1 2 1 2( )A A A A C+ − = C C C C= + − = .
Теорема 7. В условиях теоремы 6, если ( , )f x y x= , то 1 ( , ) ( , )A f x y f x y= ,
т. е. 1A x x= .
Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 6 находим решение
минимизационной задачи:
( )
21
1,
( )00
( ) ( ) .min
k
N
k k
yk
J x y h x dx
ϕ=
ϕ = − ϕ →
∑∫ (15)
Получим
2
1
1 1 1, 2
0 0,
2
1
, 0
6
( ) ( ) ( ) ; ( ) , 1 1
1 1
,
2 6
T
k k
k N
k
N
k
B y F y xh x dx F y k N
N
k N
N N
=
=
ϕ = = = ≤ ≤ −
− =
∫ .
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ( , )f x y СУММАМИ ВИДА …
Компьютерная математика. 2011, № 2 157
Завершение доказательства утверждения теоремы 7 вытекает из того, что на
интервале
1
,
k k
N N
+
имеем
1, 1,
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
N N
k k k
k k
k
f x f x h x x h x
N= =
− = − =∑ ∑
'' ''
1, 1, 1
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0
1! 1!
x x
k k
k k
N N
k k
t t
N N
h x f t dt h x f t dt+
+
+ − −
= + ≡∫ ∫ ,
поскольку '' ''( ) ( ) 0f x x= = , т. е. 1,
0
( )
N
k
k
k
h x x
N=
≡∑ 0 1x≤ ≤ .
В этом случае ( ) 0J ϕ = , т. е. теорема 7 доказана.
Лемма 1. Если выполняются условия 1,
0
( ) 1
N
k
k
h x
=
≡∑ , 0 1x≤ ≤ и ( , )f x y Сx= ,
то 1 ( , ) ( , )A Cf x y Cf x y= , т. е. 1( )A Cx Cx= .
Доказательство вытекает из утверждений теоремы 7. Если система функ-
ций ( )k yϕ , 0,k N= находится из условия:
21
1,
00
( ) ( )
N
k k
k
J Сx y h x dx
=
= − ϕ
∑∫ ,
то получим
1 1
1 1, 1,
0 00, 0,
( ) ( ) ( )p p
p N p N
B y Сxh x dx С xh x dx
= =
ϕ = =
∫ ∫ .
То есть оператор 1 ( , )A f x y является линейным 1 1( , ) ( , )AСf x y СA f x y= .
Получаем
1 1
1 1
1 1, 1 1,
0 00, 0,
( ) ( ) ( )p p
p N p N
y B Сxh x dx СB xh x dx− −
= =
ϕ = = ⇒
∫ ∫
( )k
Ck
y
N
⇒ ϕ = , 1,
0
( )
N
k
k
Ck
h x Сx
N=
≡∑ , 0 1x≤ ≤ .
Теорема 8. Для двумерного случая получаем
1 2 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3( )( )A A A A a a x a y a xy a a x a y a xy+ − + + + = + + + ,
где 0 1 2 3, , , const.a a a a =
Доказательство. Как известно из леммы 1 1 0 0( )A a a= , 1 1 1( )A a x a x= ,
1 2 2( )A a y a y= , 1 3 3( )A a xy a xy= . Аналогичные равенства справедливы для
оператора 2A . Учитывая, что 1 2 1( )A A C AC C= = , получаем 1 2 0 1 2 0( ) ( )A А a A A a= =
О.Н. ЛИТВИН, Е.В. ЯРМОШ
Компьютерная математика. 2011, № 2 158
1 0 0A a a= = . Аналогично 1 2 1 1( )A А a x a x= , 1 2 2 2( )A А a y a y= , 1 2 1 2 3( )A A A А a xy+ − =
3 3 3 3a xy a xy a xy a xy= + − = . Поэтому
1 2 1 2 0 1 2 3 1 0 1 2 3( )( ) ( )A A A A a a x a y a xy A a a x a y a xy+ − + + + = + + + +
2 0 1 2 3 1 2 0 1 2 3( ) ( )A a a x a y a xy A A a a x a y a xy+ + + + − + + + =
0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3( ) ( ) ( )a a x a y a xy a a x a y a xy a a x a y a xy= + + + + + + + − + + + =
0 1 2 3a a x a y a xy= + + + .
Теорема 8 доказана.
Вывод. Таким образом, если 1, ( )kh x , 2, ( )lh y – базисные сплайны первой
степени, то 1 2 1 2 0 1 2 3( ) ( , ) ( , ) ( , )A A A A f x y f x y f x y a a x a y a xy+ − = ∀ = + + + ,
0 1 2 3, , ,a a a a R∈ .
Пример. Для функции 2 2( , ) ln(( ) ( ) )f x y x a y b= + + + , 1a b= = , 10N =
погрешность приближения имеет порядок 3(10 )O −ε = .
Заключение. Таким образом, в данной статье рассмотрена новая форма
представления операторов приближения функции двух переменных конструк-
циями вида (1), из которой следует, что этот оператор приближения является
оператором смешанной аппроксимации. Это позволило доказать теоремы о
представлении остатка приближения и сравнить его с классическим приближе-
нием двумерными сплайнами.
С использованием рассмотренной формы представления операторов при-
ближения функции двух переменных можно найти эффективное использование
при исследовании математических моделей зависимости спроса на образова-
тельные услуги от цены.
Следующим шагом авторы планируют рассмотрение приближения функ-
циями
0
( ) ( )
N
k k
k
x y
=
ϕ ψ∑ функции ( , )f x y , заданной в дискретном наборе точек.
О.М. Литвин, О.В. Ярмош
НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ( , )f x y
СУМАМИ ВИГЛЯДУ 0 0( ) ( ) ... ( ) ( )N Nx y x yϕ ψ + + ϕ ψ
Сформульовано та доведено теореми щодо властивостей операторів наближення функції
),( yxf сумами вигляду 0 0( ) ( ) ... ( ) ( )N Nx y x yϕ ψ + + ϕ ψ у нормі
2
]1,0[2L . Зокрема, дослі-
джено випадок, коли оператор наближення має вигляд 1 2 1 2( ) ( , )A A A A f x y+ − , де
1 ( , )A f x y , 2 ( , )A f x y – оператори наближення ( , )f x y в нормі
2
2[0,1]L за змінними x
та y відповідно.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ( , )f x y СУММАМИ ВИДА …
Компьютерная математика. 2011, № 2 159
O.N. Lytvyn, E.V. Iarmosh
AN APPROXIMATION OF THE FUNCTION ( , )f x y WITH THE SUMS
0 0( ) ( ) ... ( ) ( )N Nx y x yϕ ψ + + ϕ ψ
Theorems on the properties of operators of function ),( yxf approximation with the sums
0 0( ) ( ) ... ( ) ( )N Nx y x yϕ ψ + + ϕ ψ in the norm
2
2[0,1]L are formulated and proved. In particular,
the case when the approximation operator is of the form ),()( 2121 yxfAAAA −+ , where ),(1 yxfA
and ),(2 yxfA are approximation operators for ),( yxf in the norm
2
]1,0[2L on variables x and
y , respectively, is investigated.
1. Бабаев М.-Б.А. Наилучшее приближение функциями меньшего числа переменных //
Докл. АН СССР. – 1984. – 279, № 2. – С. 273–277.
2. Поспелов В.В. О приближении функций нескольких переменных произведениями функ-
ций одного переменного. – М.: 1978. – 40 с.
3. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр.
МИАМ. – 1986. – 178. – С. 1–112.
4. Шура-Бура М.Р. Аппроксимация функций многих переменных функциями, каждая из
которых зависит от одного переменного // Вычислительная математика. – М.: 1957. –
№ 2. – С. 3–19.
5. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування. – Харків: Основа, 2002. –
544 с.
Получено 15.11.2010
Об авторах:
Литвин Олег Николаевич,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики Украинской инженерно-педагогической академии,
academ@kharkov.ua
Ярмош Елена Витальевна,
аспирантка Украинской инженерно-педагогической академии.
yel_mag@mail.ru
|