Об исследовании одной задачи амплитудного управления
Предлагается подход к исследованию задачи формирования заданных свойств акустического поля в подводных неоднородных волноводах, используя параболические аппроксимации волнового уравнения Гельмгольца. Сформулирована задача амплитудного управления для параболического уравнения типа Шредингера, исследо...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84681 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об исследовании одной задачи амплитудного управления / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая, Д.В. Ткачук // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84681 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. Ткачук, Д.В. 2015-07-12T17:09:27Z 2015-07-12T17:09:27Z 2012 Об исследовании одной задачи амплитудного управления / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая, Д.В. Ткачук // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84681 517.9:519.6 Предлагается подход к исследованию задачи формирования заданных свойств акустического поля в подводных неоднородных волноводах, используя параболические аппроксимации волнового уравнения Гельмгольца. Сформулирована задача амплитудного управления для параболического уравнения типа Шредингера, исследованы дифференциальные свойства интегрального критерия эффективности. Полученное выражение для градиента позволяет использовать градиентные методы оптимизации для численного решения задачи амплитудного управления. Розглянуто підхід до дослідження задачі амплітудного керування для хвильового параболічного рівняння типу Шредінгера в неоднорідному хвилеводі. Запропоновано критерій ефективності, досліджені його диференціальні властивості, отримано вираз для градієнта. An approach to investigation of the problem of amplitude control for the wave parabolic equation of Schrodinger type in inhomogeneous waveguide is considered. The criterion of efficiency is proposed, its differential properties are studied, and expression for the gradient is obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Об исследовании одной задачи амплитудного управления Про дослідження однієї задачі амплітудного керування About investigation of a problem in amplitude control Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об исследовании одной задачи амплитудного управления |
| spellingShingle |
Об исследовании одной задачи амплитудного управления Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. Ткачук, Д.В. Математическое моделирование |
| title_short |
Об исследовании одной задачи амплитудного управления |
| title_full |
Об исследовании одной задачи амплитудного управления |
| title_fullStr |
Об исследовании одной задачи амплитудного управления |
| title_full_unstemmed |
Об исследовании одной задачи амплитудного управления |
| title_sort |
об исследовании одной задачи амплитудного управления |
| author |
Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. Ткачук, Д.В. |
| author_facet |
Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. Ткачук, Д.В. |
| topic |
Математическое моделирование |
| topic_facet |
Математическое моделирование |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Компьютерная математика |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про дослідження однієї задачі амплітудного керування About investigation of a problem in amplitude control |
| description |
Предлагается подход к исследованию задачи формирования заданных свойств акустического поля в подводных неоднородных волноводах, используя параболические аппроксимации волнового уравнения Гельмгольца. Сформулирована задача амплитудного управления для параболического уравнения типа Шредингера, исследованы дифференциальные свойства интегрального критерия эффективности. Полученное выражение для градиента позволяет использовать градиентные методы оптимизации для численного решения задачи амплитудного управления.
Розглянуто підхід до дослідження задачі амплітудного керування для хвильового параболічного рівняння типу Шредінгера в неоднорідному хвилеводі. Запропоновано критерій ефективності, досліджені його диференціальні властивості, отримано вираз для градієнта.
An approach to investigation of the problem of amplitude control for the wave parabolic equation of Schrodinger type in inhomogeneous waveguide is considered. The criterion of efficiency is proposed, its differential properties are studied, and expression for the gradient is obtained.
|
| issn |
ХХХХ-0003 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84681 |
| citation_txt |
Об исследовании одной задачи амплитудного управления / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая, Д.В. Ткачук // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 1. — С. 3-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gladkiiav obissledovaniiodnoizadačiamplitudnogoupravleniâ AT gladkaâûa obissledovaniiodnoizadačiamplitudnogoupravleniâ AT tkačukdv obissledovaniiodnoizadačiamplitudnogoupravleniâ AT gladkiiav prodoslídžennâodníêízadačíamplítudnogokeruvannâ AT gladkaâûa prodoslídžennâodníêízadačíamplítudnogokeruvannâ AT tkačukdv prodoslídžennâodníêízadačíamplítudnogokeruvannâ AT gladkiiav aboutinvestigationofaprobleminamplitudecontrol AT gladkaâûa aboutinvestigationofaprobleminamplitudecontrol AT tkačukdv aboutinvestigationofaprobleminamplitudecontrol |
| first_indexed |
2025-11-26T22:40:44Z |
| last_indexed |
2025-11-26T22:40:44Z |
| _version_ |
1850778712053645312 |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2012, № 1 3
Математическое
моделирование
Предлагается подход к исследо-
ванию задачи формирования за-
данных свойств акустического
поля в подводных неоднородных
волноводах, используя параболиче-
ские аппроксимации волнового
уравнения Гельмгольца. Сформу-
лирована задача амплитудного
управления для параболического
уравнения типа Шредингера,
исследованы дифференциальные
свойства интегрального критерия
эффективности. Полученное вы-
ражение для градиента позво-
ляет использовать градиентные
методы оптимизации для числен-
ного решения задачи амплитуд-
ного управления.
А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая,
Д.В. Ткачук, 2012
УДК 517.9:519.6
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ, Д.В. ТКАЧУК
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ОДНОЙ
ЗАДАЧИ АМПЛИТУДНОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Введение. Актуальность развития методов
математического моделирования процессов
распространения и оптимизации звуковых
волн в неоднородных волноводах в значите-
льной мере объясняется потребностями дис-
танционного зондирования и акустического
мониторинга [1–7]. Большой интерес пред-
ставляют вопросы формирования акустичес-
ких полей с заданными свойствами и иссле-
дования особенностей распространения зву-
ковых волн в неоднородных волноводах с
учетом поглощения в среде.
В работе рассматривается подход к иссле-
дованию задачи формирования заданных
свойств акустического поля в подводных
неоднородных волноводах, используя пара-
болические аппроксимации волнового урав-
нения Гельмгольца. Сформулирована задача
амплитудного управления для параболиче-
ского уравнения типа Шредингера, предло-
жен интегральный критерий эффективности,
исследованы дифференциальные свойства
экстремальной задачи. Полученное выраже-
ние для градиента позволяет использовать
градиентные методы оптимизации для чис-
ленного решения задачи амплитудного
управления.
Постановка задачи. Для описания акусти-
ческого поля в осесимметричном волноводе
{ }0,0, 00 ><<∞<<= rHzrrG , где ),( zr –
цилиндрические кординаты и ось z направле-
на вертикально вниз, рассмотрим краевую за-
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ, Д.В. ТКАЧУК
4 Компьютерная математика. 2012, № 1
дачу для волнового уравнения
типа Шредингера с
ными коэффициентами [2, 3]
2
2 2
0 02
2 ( ( , ) 1 ( , )) 0.
p p
ik k n r z i r z p
r z
∂ ∂+ + − + υ =
∂ ∂
(1)
Здесь ),( zrp – комплекснозначная функция; 1−=i – мнимая единица;
00 /2 cfk π= – волновое число; 0c – нормировочная скорость звука;
0( , ) / ( , ),n r z c c r z= 0),( ≥υ zr – непрерывные достаточно гладкие функции
(коэффициенты преломления и поглощения соответственно).
Дифференциальное уравнение (1) является базовым для определения даль-
него комплекснозначного акустического давления ),( zrP , создаваемого гармо-
ническим источником. Вне источника это давление удовлетворяет уравнению
Гельмгольца
0)),(),((
1 22
02
2
=υ++
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
Pzrizrnk
z
P
r
P
r
rr
и при 10 >>rk представляется в виде ),()(),( 0
)1(
0 zrprkHzrP = , где )()1(
0 ⋅H –
функция Ханкеля первого рода нулевого порядка.
Рассмотрим краевую задачу для уравнения (1), ограничиваясь граничными
условиями второго рода на нижней границе волновода:
Gzrpzrizrnk
z
p
r
p
ik ∈=υ+−+
∂
∂+
∂
∂
),(,0))),(1),((2 22
02
2
0 , (2)
0,0
0
=
∂
∂=
=
=
Hz
z z
p
p , (3)
)(0
0
zup
rr
== , (4)
где )(0 zu – заданная комплекснозначная функция.
Математическую постановку задачи формирования звуковых полей в неод-
нородном волноводе сформулируем как решение задачи минимизации некото-
рого функционала для обеспечения заданных характеристик акустического поля.
При этом в качестве управления принимается начальное распределение звуково-
го поля.
Тогда одна из экстремальных задач состоит в обеспечении заданного рас-
пределения звукового поля в некоторой части волновода и сводится к миними-
зации функционала [5, 6]
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ОДНОЙ ЗАДАЧИ АМПЛИТУДНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Компьютерная математика. 2012, № 1 5
2 2
0 0 02
0 0
1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) .
H H
J u z p R z p z dz u z dzε = β − +
ε∫ ∫ (5)
Здесь ),,(),( 0uzRpzRp = – решение задачи (2)–(4), соотвествующее начально-
му условию )(0 zu ; ∞<< Rr0 ; )(0 zp – заданное давление; 0)( >β z – заданная
непрерывная вещественная весовая функция; −)(0 zu комплекснозначное
управление из некоторого выпуклого замкнутого множества
{ })()( 20 Ω∈= LzuU , (0, ).HΩ = Скалярное произведение и норма в )(2 ΩL
определяются по формулам:
( )
1/2 1/2
2
2
( )
, , ( ) ( ) ,
L
w v wvdz w z w z dz
Ω
Ω Ω
= =
∫ ∫
в которых черта означает комплексное сопряжение.
Отметим, что для выделения ограниченного решения в функционал качества
(5) добавлен стабилизирующий функционал при некотором заданном .ε
Представим для удобства изложения комплеснозначную функцию )(0 zu
в виде )exp()()(0 ϕ= ixuzu , где 0 0, arg( ).u u u= φ = В случае задачи амплитуд-
но-фазового управления экстремальная задача состоит в определении комплекс-
нозначного управления 0 ,u U∈ при котором функционал (5) достигает своей
нижней грани:
)(inf)( 0
0
uJwJ
Uu
ε=ε
∈
.
Далее рассматривается задача амплитудного управления, для которой тре-
буется найти такое управление 1Uu ∈ , { }1 2( ) ( ), Im 0 ,U u z L u= ∈ Ω = которое
минимизирует функционал
2 2
0 2
0 0
1
( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) .
H H
J u z p R z p z dz u z dzε = β − +
ε∫ ∫ (6)
Дифференциальные свойства критерия качества. С целью использова-
ния градиентных методов оптимизации исследуем дифференциальные свойства
критерия качества (6) для задачи амплитудного управления. Для этого достаточ-
но оценить главную линейную часть приращения функционала ( )J uε∆ =
( ) ( )J u u J uε ε= + δ − , где uδ – приращение управления.
Пусть )(zu – некоторое фиксированное управление, тогда приращение ре-
шения ),,(),,(),( uzrpuuzrpzrp −δ+=δ удовлетворяет краевой задаче
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ, Д.В. ТКАЧУК
6 Компьютерная математика. 2012, № 1
,0)),(1),((2 22
02
2
0 =δυ+−+
∂
δ∂+
∂
δ∂
pzrizrnk
z
p
r
p
ik (7)
,0,00 =
∂
δ∂=δ
=
=
Hz
z z
p
p (8)
с начальным условием
ϕ
= δ=δ i
rr eup
0
. (9)
Рассматривая выражение для приращения функционала (6), имеем
∫ +
−−−δ+β=ε∆
H
puppuupzuJ
0
2
0
2
0 )()()()(
,
1 22
2
dzuuu
−δ+
ε
+ (10)
где для краткости обозначено ( ) ( , , ), ( ) ( , , ).p u u p R z u u p u p R z u+ δ = + δ =
Учитывая, что
( )2 2 2( ) 2 ,u u u u u u+ δ − = δ + δ ⋅
2 2 2 2
0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p u u p p u p p u u p u p u p p u p+ δ − − − = + δ − + − − − =
2
0( ) 2 Re( ( ( ) )),p p p u p= δ + δ −
приращение функционала (10) можна записать в виде
( ) ∫∫ +⋅δ
ε
+−δβ=ε∆
HH
dzuudzpuppzuJ
0
2
0
0
2
)()(Re2)(
2 2
2
0
1
( ) ( ) .
H
z p u dz + β δ + δ ε
∫ (11)
Легко показать, что для решения начально-краевой задачи (7)–(9) справед-
ливо неравенство
2 2( ) ( ) ,
r R
z p dz M u dz
=
Ω Ω
β δ ≤ δ∫ ∫
где 0const >=M .
Учитывая эту оценку в (11), для приращения функционала получаем
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ОДНОЙ ЗАДАЧИ АМПЛИТУДНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Компьютерная математика. 2012, № 1 7
( ) ( )
2
0 2 ( )
0 0
2
( ) 2 Re ( ) ( ) .
H H
L
J u z p p u p dz u u dz o u
Ωε∆ = β δ − + δ ⋅ + δ
ε∫ ∫ (12)
Чтобы окончательно определить выражение для главной линейной части
в (12), введем в рассмотрение сопряженную функцию ( , ) ( , , )r z r z uψ = ψ как
решение в области { }0 , 0RG r r R z H= < < < < некоторой краевой задачи,
которую установим следующим образом.
Умножим дифференциальное уравнение (7) на ψ и проинтегрируем по
области { }0 , 0RG r r R z H= < < < < . Принимая во внимание граничные усло-
вия (8), а также условия
0
0, 0,
z
z H
z=
=
∂ ψ
ψ = =
∂
после преобразований получаем
( )
0
2
2 2
0 02
0
2 ( , ) 1 ( , )
R H
r
p p
ik k n r z i r z p drdz
r z
∂δ ∂ δ+ + − + υ δ ψ = ∂ ∂
∫ ∫
= ( )
0
2
2 2
0 02
0
2 ( , ) 1 ( , )
R H
r
ik k n r z i r z pdrdz
r z
∂ψ ∂ ψ− + + − + υ ψ δ + ∂ ∂
∫ ∫
0
00
2 .
H
r R
r r
ik p dz=
=
+ ψ δ∫ (13)
Отсюда следует, что введя сопряженную функцию ),( zrψ как решение уравнения
( )
2
2 2
0 02
2 ( , ) 1 ( , ) 0,ik k n r z i r z
r z
∂ψ ∂ ψ− + + − + υ ψ =
∂ ∂
(14)
с условиями
0 0, 0,z
z Hz=
=
∂ψψ = =
∂
(15)
приходим к соотношению
0
00
2 0.
H
r R dz
r r
ik p =
=
ψδ =∫
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Лемма. Пусть , pψ δ – решения сопряженной задачи (14), (15) и задачи
(7)–(9) соответственно. Тогда имеет место соотношение
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ, Д.В. ТКАЧУК
8 Компьютерная математика. 2012, № 1
0
0 0
.
H H
r r r Rp dz p dz= =ψ δ = ψ δ∫ ∫ (16)
Если сопряженная функция ψ удовлетворяет при Rr = условию
02 ( )( ( ) ),r R z p u p=ψ = β − (17)
то на основании (17) приращение функционала (12) можно переписать в виде
( )
0 2
0 0
2
( ) 2 Re Re .
H H
r rJ u p dz u u dz o u=ε∆ = δ ψ + δ + δ
ε∫ ∫ (18)
Учтем далее в (18) начальное условие (9). Тогда в результате получим представ-
ление для приращения функционала (12)
( )
22 ( )
0 0
2
( ) Re .
H H
i
L
J u e u dz u u dz o uφ
Ωε∆ = ψ δ + δ ⋅ + δ
ε∫ ∫ (19)
Отсюда следует дифференцируемость функционала )(uJε по )(zu в пространс-
тве )(2 ΩL . Легко также видеть, что функционал (8) выпуклый.
Таким образом, установлена следующая теорема.
Теорема. Функционал (6) является выпуклым на множестве 1U , дифферен-
цируемым по Фреше в пространстве 2 ( ).L Ω Градиент функционала определя-
ется выражением
( ) 2
2
( ) Re .iJ u e uφ
ε′ = ψ +
ε
(20)
Из вышеизложенного следует, что для определения градиента функционала
(6) необходимо при фиксированном ( )u z получить решение двух краевых задач.
Вначале с помощью прямой задачи (2)–(4) следует определить решение
( , , ),p R z u а затем из (14), (15), (17) найти значение сопряженной функции при
0.r r= Приближенное решение задачи амплитудного управления можно полу-
чить, используя градиентные методы [8].
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ОДНОЙ ЗАДАЧИ АМПЛИТУДНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Компьютерная математика. 2012, № 1 9
Заключение. В работе предложен подход к исследованию задачи ампли-
тудного управления для параболического уравнения типа Шредингера. Предло-
жен критерий эффективности, исследованы его дифференциальные свойства,
получено выражение для градиента.
А.В. Гладкий, Ю.А. Гладка, Д.В. Ткачук
ПРО ДОСЛІДЖЕННЯ ОДНІЄЇ ЗАДАЧІ АМПЛІТУДНОГО КЕРУВАННЯ
Розглянуто підхід до дослідження задачі амплітудного керування для хвильового параболіч-
ного рівняння типу Шредінгера в неоднорідному хвилеводі. Запропоновано критерій ефек-
тивності, досліджені його диференціальні властивості, отримано вираз для градієнта.
A.V. Gladky, Yu.A. Gladka, D.V. Tkachuk
ABOUT INVESTIGATION OF A PROBLEM IN AMPLITUDE CONTROL
An approach to investigation of the problem of amplitude control for the wave parabolic equation of
Schrodinger type in inhomogeneous waveguide is considered. The criterion of efficiency is
proposed, its differential properties are studied, and expression for the gradient is obtained.
1. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. – Л.: Гидроме-
теоиздат, 1982. – 264 с.
2. Распространение волн и подводная акустика / Под ред. Дж. Б. Келлера и Дж. Пападаки-
са. – М.: Мир, 1980. – 230 с.
3. Lee D., McDaniel S.T. Ocean acoustic propagation by finite difference method // Comput.
Math. Appl. – 1987. – 14. – P. 305–423.
4. Lee D., Pierse A.D., Shang E.C. Parabolic equation development in the twentieth century
// J. Comput. Acoust. – 2000. – 1, N 4. – P. 527–637.
5. Гладкий А.В., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Численно-аналитические методы исследо-
вания волновых процессов. – Киев: Наук. думка, 2001. – 452 с.
6. Гладкий А.В., Скопецкий В.В., Харрисон Д.А. Анализ и формирование акустических полей
в неоднородных волноводах // Кибернетика и системный анализ. – 2009. – № 2. –
C. 62–71.
7. Завадский В.Ю. Моделирование волновых процессов. – М.: Наука, 1991. – 248 с.
8. Васильев П.Ф. Методы оптимизации. – М.: Факториал Пресс, 2002. – 824 с.
Получено 28.19.2011
Об авторах:
Гладкий Анатолий Васильевич,
доктор физико-математических наук, профессор,
заведущий отделом Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Гладкая Юлия Анатольевна,
доцент Киевского национального торгово-экономического университета,
Ткачук Дмитрий Витальевич,
студент Национального технического университета Украины «КПИ».
|