Идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов
Предложена методика идентификации параметров диффузии в неоднородных наномультикомпозитных средах с использованием методологии оптимального управления состоянием сложных многокомпонентных систем и интегральных преобразований. Произведено восстановление функциональных зависимостей от времени компонен...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Компьютерная математика |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84686 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 1. — С. 41-51. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860195477491810304 |
|---|---|
| author | Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. |
| author_facet | Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. |
| citation_txt | Идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 1. — С. 41-51. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Предложена методика идентификации параметров диффузии в неоднородных наномультикомпозитных средах с использованием методологии оптимального управления состоянием сложных многокомпонентных систем и интегральных преобразований. Произведено восстановление функциональных зависимостей от времени компонентов коэффициентов диффузии для Fe/Dy-наномультикомпозита для различных поверхностей наблюдения.
Запропонована методика ідентифікації параметрів дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах з використанням методології оптимального керування багатокомпонентними системами та інтегральних перетворень. Виконано відновлення функціональних залежностей від часу коефіцієнтів дифузії для Fe/Dy-наноструктур.
The method of functional identification of parameters of diffusion in heterogeneous nano-multilayer composites using the methodology of distributed system optimal control and of integral transformations is proposed. Time dependencies for diffusion coefficients of Fe/Dy-nano-multilayers are restored.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:07:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2012, № 1 41
Предложена методика иденти-
фикации параметров диффузии в
неоднородных наномультикомпо-
зитных средах с использованием
методологии оптимального упра-
вления состоянием сложных мно-
гокомпонентных систем и инте-
гральных преобразований. Произ-
ведено восстановление функцио-
нальных зависимостей от време-
ни компонентов коэффициентов
диффузии для Fe/Dy-наномуль-
тикомпозита для различных по-
верхностей наблюдения.
В.С. Дейнека, М.Р. Петрик,
2012
УДК 519.6: 539.3
В.С. ДЕЙНЕКА, М.Р. ПЕТРИК
ИДЕНТИФИКАЦИЯ
КИНЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
НЕОДНОРОДНЫХ ЗАДАЧ
ДИФФУЗИИ В
НАНОМУЛЬТИКОМПОЗИТАХ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ГРАДИЕНТНЫХ МЕТОДОВ
Введение. Исследование диффузионной ки-
нетики многослойных нанокомпозитов и
тонких нанопленок дает возможность созда-
ния на базе материалов с известными свойст-
вами материалов и сред с новыми свойства-
ми (новые явления электрической и магнит-
ной проводимости, адсорбционные эффек-
ты). Подобные эффекты связаны со струк-
турными изменениями сред при агрегации
нанослоев с разными свойствами и наличием
переменных градиентов концентраций на по-
верхностях раздела пластов [1−4]. Это требу-
ет создания новых методов и моделей иден-
тификации параметров переноса в таких на-
ноструктурах с учетом интерфейсных взаи-
модействий между нанослоями [5−8]. Акту-
альнымы являются также исследования сгу-
щенных (Fe/Dy, Fe/Te) магнитных много-
слойных пленок с поочередной агрегацией
нанослоев с высоко- и низкопроводными ма-
териалами (магнетики и редкоземельные
элементы (тербий, диспрозиум и т. п.). Одни
из первых таких нанообразцов и концентра-
ционные профили их составляющих получе-
ны методами атомной томографии в Универ-
ситете г. Руан (Франция) [1, 2]. Отдельные
В.С. ДЕЙНЕКА, М.Р. ПЕТРИК
Компьютерная математика. 2012, № 1 42
расчеты диффузных характе-
ристик этих сред выполня-
лись при участии авторов.
ИДЕНТИФИКАЦИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНЫХ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ…
Компьютерная математика. 2012, № 1 43
Математическая модель с учетом двусторонних градиентных взаимо-
действий. Рассматривается мультикомпозитная наносреда, состоящая с n двой-
ных нанослоев двух материалов с разными свойствами. Диффузия атомов ком-
понентов 1 и 2 между сопредельными слоями, вызвана наличием переменных во
времени градиентов концентраций на интерфейсных границах, что приводит к
химическому смешиванию границ раздела (рис. 1).
РИС. 1. Схематизация элемента градиентного взаимодействия компонентов
между смежными нанослоями среды
Концентрационные профили для такой многокомпонентной системы полу-
чаются из системы уравнений переноса на основании закона Фика в комбина-
ции с краевыми условиями внешних нанослоев и системой интерфейсных усло-
вий между последовательными слоями. Математическая модель такого переноса
описывается в виде следующей смешанной краевой задачи. На областях
( )( )1 0 1 1, , 1, 1, 0 ...(0, )
T k k k nk k l l k n l l l lT − +Ω = = + = < < < = < ∞Ω = × Ω концен-
трации 1 2( , ), ( , )
k k
U t z U t z , с учетом [3, 4] удовлетворяют системе уравнений
в частных производных
( )
2 2
1 11 1 12 22 2
, ,
k k k k k
U t z D U D U
z z
∂ ∂= −
∂ ∂
( )
2 2
2 21 1 22 22 2
, .
k k k k k
U t z D U D U
t z z
∂ ∂ ∂= − +
∂ ∂ ∂
(1)
Начальные условия:
( ) ( ) [ ]
( ) [ ]
1
1 01
1
0, , , 2 1; 0, / 2
, ,
1, , , 2 2; 0, / 2 2k k
k k
t o
k k
z l l k i i n
U t z U
z l l k i i n
−
=
+
∈ = + =≡ =
∈ = + = −
( ) ( ) [ ]
( ) [ ]
1
2 02
1
1, , , 2 1; 0, / 2
, .
0, , , 2 2; 0, / 2 2k k
k k
t o
k k
z l l k i i n
U t z U
z l l k i i n
−
=
+
∈ = + =≡ =
∈ = + = −
(2)
В.С. ДЕЙНЕКА, М.Р. ПЕТРИК
Компьютерная математика. 2012, № 1 44
Граничные и интерфейсные условия между тонкими слоями по z
( )
( )
( )
( ) ( )1
1
1 1
1 1
2 20
, ,
0, 0, 0, ,
, ,
n
n
n
z lz
U t z U t z
D D t T
z zU t z U t z+
==
∂ ∂= = ∈
∂ ∂
(3)
( ) ( )
1
, , 0, 1,2
k k
k
s s
z l
U t z U t z s
+ =
− = = ,
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
s1
1 1
2 2
s2
, ,
0 ; 1, ,
, ,
s s
s s
kz l
U t z U t z
z z t
D D k n
U t z U t z
z t z =
∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − = =
∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂
(4)
где 11 12k k
21 22k k
k
D D
D
D D
−
=
−
, [ ]
[ ]
1 2
1 2
, 1; 2 1; 0, / 2 ,
1, ; 2 1; 0, / 2 .
s k s k k i i n
s k s k k i i n
= = + = + =
= + = = + =
С позиции практических применений важные случаи есть, когда
12k
0D = или
21k
0D = , отвечающие кинетике взаимодействия двух элементов с противопо-
ложными показателями кинетических параметров: «активной» (высокий показа-
тель) и «пассивной» компоненты (низкий) и как подтверждают эксперименты
приводит к получению новых физических эффектов [1, 2]. Процесс диффузии
атомов в такой системе с наличием элементных взаимодействий «активный
элемент» (Fe – ферромагнетик) – «пассивный элемент» (Dy – редкоземельный
элемент) лимитируется ограниченной проницаемостью «пассивного» элемента
в сопредельный пласт, заполненный «активным» и будет сопровождаться значи-
тельной проницаемостью «активного» элемента в зону «пассивного».
В работе [4] нами установлены условия разрешения задачи и построено ме-
тодом функций влияния Коши и преобразования Лапласа общее аналитическое
решение задачи. С помощью обобщенного нами в [5] интегрального преобразо-
вания Фурье получаем единственное решение краевой задачи (1)−(4):
( ) ( ) ( )
1
1 1
1
2 , 02
1
, , , ,
k
k k
k
ln
k k k
k l
U t z t z U d
−
+
=
= − τ ξ ξ σ ξ∑ ∫ H h
( ) ( ) ( ) ( )
1 11 1 1
1 1
21
1 , 12 2 012
10
, , , ( , ) , 1, 1.
k
k k k k
k
lt n
k k k
k l
U t z t z D U U d d k n
z
−
+
+
=
∂= −τ ξ τ ξ − ξ δ τ σ ξ τ = + ∂
∑∫ ∫Hh (5)
Здесь ( ) ( ) ( )
( )
2
1
1, 12
1
1
, ,
, , ; , 1, 1
,
m k m k mt
k k
m m
V z V
t z e k k n
V z
∞
−β
=
β ξ β
ξ = = +
β
∑Hh − матрица влияния Коши
(МВК), ( ), , ; 1, .k m mV z mβ β = ∞ – компоненты собственных функций и значений [5].
ИДЕНТИФИКАЦИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНЫХ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ…
Компьютерная математика. 2012, № 1 45
Постановка прямой задачи идентификации. Следуя [4, 7, 8], рассмотрим
прямую краевую задачу идентификации коэффициентов диффузии в параметри-
ческой и функциональной постановках.
Задача идентификации. На областях
TkΩ концентрации ( ) ( )1 2, , ,
k k
U t z U t z
с учетом [4, 7] удовлетворяют системе уравнений в частных производных (1) с
начальными (2), граничными и интерфейсными условиями между тонкими
слоями по z (3) и
( )
( )
( )
( )
1
k+1
1
1 1
2 2
, ,
0
, ,
k k
k
k k
kz l
U t z U t z
D D
z U t z U t z
+
+ =
∂
− =
∂
( ), 1, , 0,k n t T= ∈ . (6)
Для получения решения задачи в форме реализации процедуры функцио-
нальной идентификации при условии, что известны следы решения для каждого
тонкого k-го сегмента, 1, 1k N= + , задача (1)−(3), (6) трансформируется в систему
однородных краевых задач для последовательных тонких нанослоев (1), (2) и
краевыми условиями первого рода
( ) ( )
1
1
, ; , , 1,2
k k k k
k k
s sl s slz l z l
U t z U U t z U s
−
−= =
= = = . (7)
Выбор функционала-невязки. Считаем, что коэффициенты диффузии
sp , , 1,2,D s p = задачи (1)−(3), (6) неизвестны. Однако на поверхностях обла-
стей , 1, 1k k k nγ ⊂ Ω = + , неоднородной среды известны следы решений
( ) ( ), ,
k k
k k
s sU t z f t z
γ γ
= . (8)
Тем самым полученная задача (1)−(3), (6), (8), которая состоит в нахождении
функций
kspD D∈ , где ( ){ }, : ( ), 0, 1, 1 .
k TT
kD t z C k nΩ= ν ν ∈ Ω ν> = +
Функционал-невязку, определяющего отклонение искомого решения от сле-
дов решения, полученного эмпирическим путем на поверхностях kγ , для задачи
параметрической идентификации запишется в виде [7, 8]:
( ) ( )k
2
1
1 2
sp ( )
1
1
( ) ( , , ) ,
2
k
k k
k
k
ln
s sp s s kL
k l
J D t U z D f dz
−
+
γ
=
= τ − σ∑∫ (9)
где
2
2 2
( )m
m
mL
d
γ
γ
ϕ = ϕ γ∫ − квадрат нормы. Здесь ( )
2 ( )
, .
m mL z
t z
γ =γ
ϕ = ϕ
При известных концентрациях ( , )
ms
U t z краевая задача (1)−(3), (6), (8) может
быть рассмотренная для каждой точки z, для каждого m-го сегмента. Функционал-
В.С. ДЕЙНЕКА, М.Р. ПЕТРИК
Компьютерная математика. 2012, № 1 46
невязка отклонения искомого решения от его следов на поверхностях
наблюдения mγ ∈Ω запишется в виде (для функциональной идентификации):
( ) ( )k
2
2
sp ( )
0
1
( , , ) .
2 k k
k
T
s sp s k s L
J D U t l D f dt
γ
= −∫ (10)
Построение решений прямых задач идентификации (1)−(3), (6) и (1), (2), (7)
выполнено в [4] с установлением условий их разрешимости.
Постановки неоднородных сопряженных задач идентификации. В соот-
ветствии с исходной краевой задачей и краевой задачей для приращений [4],
следуя [6−8], для каждого приближения int int,n n
er m ra mD D , решения int int,er m ra mD D
вводим к рассмотрению неоднородную сопряженную краевую задачу парамет-
рической идентификации
( ) ( ) ( )
2
1 11 1 1 12
, , ,
m k k k k
k
n
z
t z D t z U f
t z =γ
∂ ∂
φ + φ = −
∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 12 1 22 2 2 22 2 , 1, 1
, , , .
k k k k k k k
k
n
z k n
t z t z D t z U f
t z z
D
=γ = +
∂ ∂ ∂
φ − φ + φ = −
∂ ∂ ∂
(11)
Условия при t T=
( ), 0.
k t T
t z
=
φ = (12)
Граничные и интерфейсные условия по переменной z
( ) ( ) ( )
1 10
, 0; , 0, 0,
Ns sz z l
t z t z t T
z z += =
∂ ∂φ = φ = ∈
∂ ∂
; (13)
и интерфейсные условия между тонкими слоями по z
( ) ( )
1
, , 0
m m
m
s s z l
t z t z
+ =
φ − φ = ,
( ) ( )11 21 11 21s 1 s 1 s 2 s 21 1 2 2
1 2 1 1 0,
s s s s
kz l
D D D D
z z =
∂ ∂ φ + φ − φ + φ = ∂ ∂
( ) ( ) ( )
k 22 1k+1
22 2 2 0, 1, , 0,
k k
kz l
D D k n t T
z z +
=
∂ ∂ φ − φ = = ∈ ∂ ∂
. (14)
С учетом того, что решение прямой задачи необходимо иметь в форме,
удобной для реализации процедуры функциональной идентификации и при
условии, что известные следы решения для каждого довольно тонкого k-го сег-
мента, 1, 1k N= + , можно переформатировать сопряженную краевую задачу
ИДЕНТИФИКАЦИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНЫХ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ…
Компьютерная математика. 2012, № 1 47
(11)−(14) в систему однородных краевых задач для последовательных тонких
диффузионных нанослоев (11), (12) и краевыми условиями первого рода:
( ) ( )
1
, 0; , 0, 1,2
k k
k k
s sz l z l
t z t z s
−= =
φ = φ = = . (15)
Аналитическое решение сопряженной неоднородной краевой задачи.
Для построения аналитического решения сопряженной неоднородной краевой
задачи параметрической идентификации (11)−(14) применялся подход, описан-
ный выше для прямой задачи с использованием предложенного интегрального
преобразования [4, 5]. В результате получаем
( ) ( ) ( )
1
1 11 1
11 11
1
1 , 1 1
1
, , , ( ) ,
k
k k k
k
k
lT n
n
k k k
zkt l
t z t z U f d
−
+
= γ=
φ = − τ ξ − τ σ ξ
∑∫ ∫ H h (16)
( ) ( )
1
1 1 11 1 1
11 11
21
2 , 2 2 12 1 12
1
( , ) , , ( , ) , , 1, 1.
k
k k k k k
k
k
lT n
n
k k k
zkt l
t z t z U f D d k k n
z
−
+
=γ=
∂φ = −τ ξ − + φ τ ξ σ ξ = + ∂
∑∫ ∫ Hh
Здесь ( ) ( ) ( )
( )
2
1
1, 12
1
1
, ,
, , ; , 1, 1
,
m k m k mt
k k
m m
V z V
t z e k k n
V z
∞
β
=
β ξ β
ξ = = +
β
∑H , − сопряженная МВК.
Теорема (о существовании и единственности решения сопряженной неодно-
родной краевой задачи (11)−(14)). Если выполняются условия
( ) ( ) ( )
1 11
2
1 1 ,
m k
n
m k k
m
d
t U f
dt
− β φ = τ γ − τ
, ( )1 0m t T
t
=
φ = ,
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 11 1 1
2
2
2 2 2 12 12
, ,
m k k k
n
m k k
m
d
t U f D z
dt z
∂ − β φ = τ γ − τ + φ τ ∂
,
( )2 0m t T
t
=
φ = , (17)
то ограниченное решение сопряженной неоднородной краевой задачи (11)−(14)
существует, единственно и определяется формулами (16).
Установление факта разрешимости неоднородной сопряженной краевой за-
дачи непосредственно получается путем применения методики интегрального
преобразования Фурье для многокомпонентной неоднородной среды [5].
Решение каждой k-ой задачи функциональной идентификации (11), (12),
(15) с использования конечных интегральных преобразований Фурье имеет
вид [4, 5]:
В.С. ДЕЙНЕКА, М.Р. ПЕТРИК
Компьютерная математика. 2012, № 1 48
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )211
1 1 11 1
1 1 1
1
2
, sin , ,
n
k m
k k
T D t
n
m k k k
m t
t z z l e U f d
l
β
∞ −τ
=
φ = β − τ γ − τ τ ∆
∑ ∫
( )
( ) ( ) ( )
1
1 11222 1
1
1 1
2
2 2
2
1
12 12
2
,
( , ) ( )
sin ,
( , )
k
n k
k m
k k
n
T k kD t
m k
m t
t z
l
U f
z l e d
D z
z
β
∞ −τ
=
φ = ×
∆
τ γ − τ +
× β − τ ∂
+ φ τ
∂
∑ ∫
1 1 1, ; 1, 1 .m k k
m
l l l k N
l −
πβ = ∆ = − = +
∆ (18)
Аналитические выражения для компонентов градиентов функционала-
невязки получаются, следуя [6−8], для компонентов коэффициентов диффузии
D с учетом вида функционала-невязки (10):
( )
22 2 1 11 11
2
22
( , ) ( , )
k kk
D k kJ t t U t
z
∂∇ = φ γ γ
∂
, ( )
11 1 1 111
2
12
( , ) ( , )
k kk
D k kJ t t U t
z
∂∇ = φ γ γ
∂
,
( )
12 1 1 11 11
2
2 1 12
( , ) ( , ), 1, 1.
k kk
D k kJ t t U t k N
z
∂∇ = −φ γ λ = +
∂
(19)
Регуляризационное выражение для 1n + -го шага для определения функ-
циональной зависимости идентификации компоненты коэффициента диффузии
1
1
k
n
spD + от времени, следуя [6−8], с использованием метода минимальных погреш-
ностей, для каждого m-го слоя 1, 1m N= + :
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )1 k1 1 1
1 1 1
1
1
2
sp1
1 12
, ,
, 0, , , 1,2; 1, .
k k
k k spk
spk
k
s k sn n n
sp sp D
n
D
U t D f
D t D t J t t T s p k N
J t
+
γ
γ −
= −∇ ∈ = =
∇
(20)
Результаты численного анализа и идентификации распределений коэф-
фициентов диффузии для двух компонент (Fe и Dy) с использованием предло-
женной модели функциональной идентификации показаны на рис. 2–6 для
разных поверхностей наблюдений
1kγ с общей продолжительностью наблюде-
ния 48 ч. Исследуемая толщина нанокомпозита составляла 20 нм. В качестве
данных наблюдений использовались результаты (рис. 2) для многокомпонент-
ных (Fe/Dy) нанопленок [1].
Нанокомпозитная среда разбивалась на 200 диффундирующих нанослоев по
0.1 нм, включающих соответствующие поверхности наблюдений, что обеспечи-
ло эффективную послойную реализацию методики идентификации. На рис. 3
(диаграмма слева) для поверхности наблюдения, соответствующей значению
координаты толщины среды z = 7 nm, показана эволюция функциональной
ИДЕНТИФИКАЦИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНЫХ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ…
Компьютерная математика. 2012, № 1 49
зависимости во времени коэффициента диффузии
1
11k
nD , восстановленной по ре-
гуляризационной процедуры идентификации (20). Здесь представлены группы
итераций, существенно влияющие на сходимость решения
1
1k
U к его экспери-
ментальному следу
11
1 ( , )
k kf t γ , визуализация которого показана на рис. 4. В ка-
честве начального приближения для идентификации функциональной зависимо-
сти компоненты коэффициента диффузии взято 0 7
11 ( ) 1.48 10
m
D t −= × м/с2. По ме-
ре прохождения итераций функциональная зависимость
111 ( )
k
nD t меняется по
всему временному диапазону. Для последней группы итераций (рис. 4) достига-
ется достаточно устойчивая картина профиля зависимости
1
11 ( )
k
nD t , которая
обеспечивает максимальное приближение модельного решения
11
11 ( , )n
k kU t γ
к экспериментальному следу
1
( )kf t .
Experimental Composition Profile
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 5 10 15 20
Depth (nm)
C
om
po
si
ti
on
(
%
) Dy
Fe
Dy
Dy
Fe
Fe
РИС. 2. Экспериментальные Fe/Dy профили
РИС. 3. Восстановление функциональной зависимости компонентов 11 22m m
D D коэффициен-
тов диффузии от времени на каждой итерации (z = 7 nm): 1) начальное приближе-
ние, итерации: 2) 100-и; 3) 500-и; 4) 1000-и; 5) 2500-и, 6) 3500-и; 7) 4500-и;
8) эксперимент
В.С. ДЕЙНЕКА, М.Р. ПЕТРИК
Компьютерная математика. 2012, № 1 50
РИС. 4. Итерационное приближение концентрационных профилей 1m
U
и 1m
U
к экспериментальным следам решений (z = 7 nm)
На рис. 5 показано эволюцию уменьшения значения функционала-невязки
между значениями решений
11
1 ( , )n
k kU t γ
и следов на каждой группе итераций.
Диаграммы справа (рис. 3, 4) демонстрируют аналогичные результаты иденти-
фикации, полученные для второй диффундированной компоненты для этой же
поверхности наблюдения (z = 7 nm). В отличие от
1
2 ,
k
U
1
1k
U показывает при-
ближение модельных концентраций сверху к экспериментальному следу. Ана-
логичные результаты получены для других поверхностей.
РИС. 5. Эволюция уменьшения невязок на каждой итерации
На рис. 6 показано сравнительный анализ построенных концентрационных
профилей (Fe) вдоль координаты толщины для фрагмента мультикомпозита в диа-
пазоне 0 < z < 4,3 nm, с учетом восстановленных коэффициентов диффузии 11m
D и
22m
D (1 − сплошная кривая) и профиля, построенного по константным начальным
значениям соответствующих коэффициентов диффузии (2 − пунктирная кривая),
что используются в традиционных приближенных расчетах. Как видно из рис. 6,
кривая 1 существенно отличается (больше 20 %) от кривой 2 (усредненные значе-
ния 11m
D и 22m
D ). Идентифицированные функциональные зависимости коэффици-
ентов диффузии 11m
D и 22m
D отображают их значение для конкретных моментов вре-
мени диффузии, поэтому кривая 1 качественнее кривой 2 описывает кинетику.
ИДЕНТИФИКАЦИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНЫХ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ…
Компьютерная математика. 2012, № 1 51
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Depth (nm)
C
om
po
si
ti
on
(%
)
РИС. 6. Концентрационные Fe профили вдоль координаты толщины: сплошная кривая
(1) – восстановленные коэффициенты диффузии 11 22( ), ( )
m m
D t D t ,
пунктирная (2) – константные значения коэффициентов
Выводы. Обоснованы постановки прямых и обратных задач функциональ-
ной идентификации массопереноса в неоднородных мультикомпозитных средах.
Реализованная с использованием методологии оптимального управления слож-
ными многокомпонентными системами и интегральных преобразований методика
функциональной идентификации коэффициентов диффузии и выполнено их вос-
становление как зависимостей от времени для Fe/Dy-наномультикомпозита.
В.С. Дейнека, М.Р. Петрик
ІДЕНТИФІКАЦІЯ КІНЕТИЧНИХ ПАРАМЕТРІВ НЕОДНОРІДНИХ ЗАДАЧ ДИФУЗІЇ
В НАНОМУЛЬТИКОМПОЗИТАХ З ВИКОРИСТАННЯМ ГРАДІЄНТНИХ МЕТОДІВ
Запропонована методика ідентифікації параметрів дифузії в неоднорідних наномуль-
тикомпозитах з використанням методології оптимального керування багатокомпонентними
системами та інтегральних перетворень. Виконано відновлення функціональних залежностей
від часу коефіцієнтів дифузії для Fe/Dy-наноструктур.
V.S. Deineka, M.R. Petryk
IDENTIFICATION OF KINETIC PARAMETERS OF HETEROGENOUS DIFFUSION
PROBLEMS IN NANO-MULTILAYER COMPOSITES
USING GRADIENT METHODS
The method of functional identification of parameters of diffusion in heterogeneous nano-multilayer
composites using the methodology of distributed system optimal control and of integral transforma-
tions is proposed. Time dependencies for diffusion coefficients of Fe/Dy-nano-multilayers are re-
stored.
1. Tamion A., Ott F., Berche P.-E., Talbot E., Bordel C., Blavette D. Magnetization depth profile
of (Fe/Dy) multilayers // J. of Magnetism and Magnetic Materials. – 2008. – Vol. 320,
Issue 21. – Р. 2650–2659.
2. Mehrer H. Diffusion in Solids. – Springer, 2007. – 650 р.
3. Kärger J., Grinberg F., Heitjans P. Diffusion fundamentals. – Leipziger Unviersite, Leipzig,
2005. – 615 p.
В.С. ДЕЙНЕКА, М.Р. ПЕТРИК
Компьютерная математика. 2012, № 1 52
4. Дейнека В.С., Петрик М.Р. Параметрична ідентифікація кінетичних параметрів дифузії в
багатошарових неоднорідних Fe/Dy-наномультикомпозитах // Математичне та ком-
п’ютерне моделювання. – 2011. – Вип. 5. – С. 85–111.
5. Ленюк М.П., Петрик М.Р. Інтегральні перетворення Фурє, Бесселя із спектральним па-
раметром в задачах математичного моделювання масопереносу в неоднорідних і нанопо-
ристих середовищах. – К.: Наук. думка, 2000. − 372 с.
6. Deineka V.S., Petryk M.R., Fraissard J. Identifying kinetic parameters of mass transfer in
components of multicomponent heterogeneous nanoporous media of a competitive diffusion
system // Cybernetics and System Analysis. – Springer New York, 2011. – Vol. 47, N 5. – P.
705–723.
7. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal Control of Distributed Systems with Conjugation Condi-
tions. – New York: Kluwer Aсademic Publishers, 2005. – 400 p.
8. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных
систем – Киев: Наук. думка, 2009. – 640 с.
Получено 01.02.2012
Об авторах:
Дейнека Василий Степанович,
доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Украины,
заведующий отделом Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
e-mail: Vdeineka@ukr.net
Петрик Михаил Романович,
кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедры программной инженерии
Тернопольского национального технического университета им. Ивана Пулюя.
e-mail: Mykhaylo_Petryk@tu.edu.te.ua
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84686 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:07:52Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. 2015-07-12T17:34:07Z 2015-07-12T17:34:07Z 2012 Идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов / В.С. Дейнека, М.Р. Петрик // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 1. — С. 41-51. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84686 519.6: 539.3 Предложена методика идентификации параметров диффузии в неоднородных наномультикомпозитных средах с использованием методологии оптимального управления состоянием сложных многокомпонентных систем и интегральных преобразований. Произведено восстановление функциональных зависимостей от времени компонентов коэффициентов диффузии для Fe/Dy-наномультикомпозита для различных поверхностей наблюдения. Запропонована методика ідентифікації параметрів дифузії в неоднорідних наномультикомпозитах з використанням методології оптимального керування багатокомпонентними системами та інтегральних перетворень. Виконано відновлення функціональних залежностей від часу коефіцієнтів дифузії для Fe/Dy-наноструктур. The method of functional identification of parameters of diffusion in heterogeneous nano-multilayer composites using the methodology of distributed system optimal control and of integral transformations is proposed. Time dependencies for diffusion coefficients of Fe/Dy-nano-multilayers are restored. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Системный анализ Идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов Ідентифікація кінетичних параметрів неоднорідних задач дифузії в наномультикомпозитах з використанням градієнтних методів Identification of kinetic parameters of heterogenous diffusion problems in nano-multilayer composites using gradient methods Article published earlier |
| spellingShingle | Идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов Дейнека, В.С. Петрик, М.Р. Системный анализ |
| title | Идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов |
| title_alt | Ідентифікація кінетичних параметрів неоднорідних задач дифузії в наномультикомпозитах з використанням градієнтних методів Identification of kinetic parameters of heterogenous diffusion problems in nano-multilayer composites using gradient methods |
| title_full | Идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов |
| title_fullStr | Идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов |
| title_full_unstemmed | Идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов |
| title_short | Идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов |
| title_sort | идентификация кинетических параметров неоднородных задач диффузии в наномультикомпозитах с использованием градиентных методов |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84686 |
| work_keys_str_mv | AT deinekavs identifikaciâkinetičeskihparametrovneodnorodnyhzadačdiffuziivnanomulʹtikompozitahsispolʹzovaniemgradientnyhmetodov AT petrikmr identifikaciâkinetičeskihparametrovneodnorodnyhzadačdiffuziivnanomulʹtikompozitahsispolʹzovaniemgradientnyhmetodov AT deinekavs ídentifíkacíâkínetičnihparametrívneodnorídnihzadačdifuzíívnanomulʹtikompozitahzvikoristannâmgradíêntnihmetodív AT petrikmr ídentifíkacíâkínetičnihparametrívneodnorídnihzadačdifuzíívnanomulʹtikompozitahzvikoristannâmgradíêntnihmetodív AT deinekavs identificationofkineticparametersofheterogenousdiffusionproblemsinnanomultilayercompositesusinggradientmethods AT petrikmr identificationofkineticparametersofheterogenousdiffusionproblemsinnanomultilayercompositesusinggradientmethods |