Чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій
Розглянуто задачу чебишовського (рiвномiрного, мiнiмаксного) наближення функцiй полiномом i рацiональним виразом за неповною системою степеневих функцiй. Встановлено необхiднi й достатнi умови iснування такої апроксимацiї. Одержано характеристичнi властивостi чебишовської апроксимацiї функцiй полiно...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8469 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій / В.В. Скопецький, П.С. Малачiвський // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 39-44. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859667382920806400 |
|---|---|
| author | Скопецький, В.В. Малачівський, П.С. |
| author_facet | Скопецький, В.В. Малачівський, П.С. |
| citation_txt | Чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій / В.В. Скопецький, П.С. Малачiвський // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 39-44. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглянуто задачу чебишовського (рiвномiрного, мiнiмаксного) наближення функцiй полiномом i рацiональним виразом за неповною системою степеневих функцiй. Встановлено необхiднi й достатнi умови iснування такої апроксимацiї. Одержано характеристичнi властивостi чебишовської апроксимацiї функцiй полiномом i рацiональним виразом за неповною системою базисних функцiй iз найменшою абсолютною й вiдносною похибкою. Запропоновано алгоритми для визначення параметрiв таких наближень.
The problem of the Chebyshevian (uniform, minimax) approximation to a given function by a polynomial and a rational expression based on an incomplete system of basic power functions is considered. Both necessary and sufficient conditions of existence for such an approximation are established. The alternance property of polynomial and rational Chebyshevian approximations based on the aforementioned system of functions for both absolute and relative minimal errors are discussed. The algorithm for calculating the parameters of such an approximation is proposed.
|
| first_indexed | 2025-11-30T12:05:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 518.5+531.2
© 2009
Член-кореспондент НАН України В. В. Скопецький,
П.С. Малачiвський
Чебишовське наближення за неповною системою
степеневих функцiй
Розглянуто задачу чебишовського (рiвномiрного, мiнiмаксного) наближення функцiй по-
лiномом i рацiональним виразом за неповною системою степеневих функцiй. Встановле-
но необхiднi й достатнi умови iснування такої апроксимацiї. Одержано характеристич-
нi властивостi чебишовської апроксимацiї функцiй полiномом i рацiональним виразом за
неповною системою базисних функцiй iз найменшою абсолютною й вiдносною похибкою.
Запропоновано алгоритми для визначення параметрiв таких наближень.
Пiд час наближення спецiальних математичних функцiй [1–3] i експериментальних да-
них [3, 4] часто використовують полiноми
Pm,t(a;x) =
m
∑
i=t
aix
i, 1 6 t 6 m, (1)
i рацiональнi вирази
Rk,t,l(a;x) =
k
∑
i=t
aix
i
l−1
∑
j=0
bjx
j + xj
, 1 6 t 6 k, (2)
за неповною системою степеневих функцiй. Вивченню чебишовського наближення вираза-
ми (1) та (2) присвяченi роботи [4–7]. Зокрема, в [4, 5] знаходження чебишовського набли-
ження виразами (1) та (2) деякої функцiї f(x) на вiдрiзку [α, β] зводиться вiдповiдно до
апроксимацiї полiномом Pm−t,0(a;x) степеня (m − t) i рацiональним виразом Rk−t,0,l(a;x)
функцiї f(x)/xt. Такий пiдхiд можна використати лише тодi, коли вiдрiзок [α, β] не охоплює
точку нуль, що, звичайно, обмежує його використання.
Вирази (1) i (2) не задовольняють характеристичнi теореми iснування чебишовського
наближення вiдповiдно полiномом i рацiональним виразом [4, 7]. Тому актуальним є до-
слiдження властивостей чебишовського наближення виразами (1) та (2) на вiдрiзках [α, β],
що охоплюють точку нуль.
1. Чебишовське наближення полiномом за неповною системою степеневих
функцiй. Властивостi такого наближення з найменшою абсолютною похибкою сформу-
льовано у виглядi теореми 1.
Теорема 1. Нехай функцiя f(x) неперервно диференцiйовна до (t − 1)-го порядку на
вiдрiзку [α, β] (f(x) ∈ C(t−1)[α, β]). Тодi чебишовське наближення функцiї f(x) полiномом
Pm,t(a;x) (1) з найменшою абсолютною похибкою на вiдрiзку [α, β] iснує i єдине, якщо
значення функцiї f(x) та її похiдних до (t− 1)-го порядку в точцi x = 0 дорiвнюють нулю
f(0) = 0 i f (i)(0) = 0, i = 1, t − 1. (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 39
Для того щоб полiном Pm,t(a;x) був чебишовським наближенням iз найменшою абсо-
лютною похибкою на вiдрiзку [α, β] функцiї f(x), яка задовольняє умову (3), необхiдно й
достатньо, щоб для деяких вiдмiнних вiд нуля (m − t + 2)-х точок Z з [α, β]
Z = {zj ∈ [α, β], zj 6= 0, j = 1,m − t + 2} (4)
виконувалися спiввiдношення
f(zj) −
m
∑
i=t
aiz
i
j = (−1)j+tΘ(zj )µ, j = 1,m − t + 2, (5)
де модуль µ — це похибка апроксимацiї
|µ| = max
α6x6β
∣
∣
∣
∣
∣
f(x) −
m
∑
i=t
aix
i
∣
∣
∣
∣
∣
, (6)
Θ(x) — функцiя Гевiсайда
Θ(x) =
{
0, якщо x < 0,
1, якщо x > 0,
(7)
zj (j = 1,m − t + 2) — впорядкованi за зростанням точки чебишовського альтернансу.
Доведення. Справедливiсть цiєї теореми безпосередньо випливає iз властивостей че-
бишовської апроксимацiї з точним вiдтворенням значення функцiї та її похiдних у певнiй
точцi [8]. Справдi, нехай полiномом Pm(a;x)
Pm(a;x) =
m
∑
i=0
aix
i (8)
є полiномом чебишовського наближення функцiї f(x) з найменшою абсолютною похибкою
на вiдрiзку [α, β] i точним вiдтворенням значення функцiї та її похiдних до (t−1)-го порядку
включно в деякiй точцi u
Pm(a;u) = f(u), P (k)
m (a;u) = f (k)(u), k = 1, t − 1. (9)
Тодi, згiдно з [8], параметри цього полiному задовольняють систему рiвнянь
Pm(a;u) = f(u),
P (k)
m (a;u) = f (k)(u), k = 1, t − 1,
f(zi) − Pm(a; zi) = (−1)i+tΘ(zi−u)µ, i = 1,m − t + 2,
(10)
де
|µ| = max
α6x6β
|f(x) − Pm(a;x)|,
Θ(x) — функцiя Гевiсайда (7), похiднi полiнома P (k)
m (a;x) визначаються за формулою
P (k)
m (a;x) =
m
∑
i=k
i!
(i − k + 1)!
aix
i−k,
а zi (i = 1,m − t + 2) — впорядкованi за зростанням точки чебишовського альтернансу.
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Якщо точка iнтерполювання u збiгається з точкою нуль (u = 0) i значення функцiї f(x)
та її похiдних до (t − 1)-го порядку включно в цiй точцi дорiвнюють нулю, то система рiв-
нянь (10) збiгається з системою (5). Отже, чебишовське наближення полiномом Pm,t(a;x) (1)
з найменшою абсолютною похибкою на вiдрiзку [α, β] iснує i єдине для функцiї f(x), якщо
її значення i значення її похiдних до (t − 1)-го порядку включно в точцi x = 0 дорiвнюють
нулю. При цьому значення параметрiв такого чебишовського наближення визначаються
системою рiвнянь (5). Теорему доведено.
Вiдповiдно до альтернансної властивостi (5) в разi парного значення t похибка чебишов-
ської апроксимацiї полiномом Pm,t(a;x) (1) з найменшою абсолютною похибкою в точках
альтернансу має знакозмiнний характер, а для непарного значення t — знаки похибки апро-
ксимацiї в точках альтернансу, сусiднiх iз точкою x = 0, збiгаються. Для знаходження точок
альтернансу zj (j = 1,m − t + 2) (4) у разi визначення параметрiв чебишовської апроксима-
цiї деякої неперервно диференцiйовної функцiї f(x), що задовольняє умову (3), полiномом
Pm,t(a;x) (1) на вiдрiзку [α, β] з найменшою абсолютною похибкою, можна використати
схему Ремеза з одноточковою замiною наближення до точок альтернансу за модифiкова-
ним алгоритмом Валле-Пуссена [9]. При цьому пiд час вибору початкового наближення до
точок альтернансу необхiдно пам’ятати, що точка x = 0 не може входити в альтернанс.
Особливiсть чебишовського наближення полiномом Pm,t(a;x) (1) з вiдносною похибкою
зумовлена тим, що функцiя f(x) набуває нульового значення в точцi x = 0. Вiдповiдно
до означення чебишовського наближення з найменшою вiдносною похибкою функцiї, що
набуває нульового значення [10], вiдносна похибка апроксимацiї f(x) многочленом Pm(a;x)
в точцi x = 0 дорiвнює нулю
δ(x) =
f(x) − Pm(a;x)
f(x)
, якщо x 6= 0,
0, якщо x = 0.
(11)
Властивостi чебишовського наближення полiномом Pm,t(a;x) (1) з найменшою вiднос-
ною похибкою визначається теоремою 2.
Теорема 2. Нехай функцiя f(x) неперервно диференцiйовна до (t − 1)-го порядку на
вiдрiзку [α, β] (f(x) ∈ C(t−1)[α, β]) набуває нульового значення лише в точцi x = 0. Тодi
чебишовське наближення функцiї f(x) полiномом Pm,t(a;x) (1) з найменшою вiдносною
похибкою на вiдрiзку [α, β] iснує i єдине, якщо значення функцiї f(x) та її похiдних до
(t − 1)-го порядку в точцi x = 0 дорiвнюють нулю (3).
Для того щоб полiном Pm,t(a;x) був чебишовським наближенням iз найменшою вiд-
носною похибкою на вiдрiзку [α, β] функцiї f(x), яка задовольняє умову (3), необхiдно й
достатньо, щоб для деяких вiдмiнних вiд нуля (m − t + 2)-х точок Z з [α, β] (4) викону-
валися спiввiдношення
f(zj) −
m
∑
i=p
aiz
i
j
f(zj)
= (−1)j+(t+1)Θ(zj )µ, j = 1,m − t + 2, (12)
де модуль µ — похибка апроксимацiї
|µ| = max
α6x6β, x 6=0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
f(x) −
m
∑
i=t
aix
i
f(x)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
, (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 41
Θ(x) — функцiя Гевiсайда (7), а zj (j = 1,m − t + 2) — впорядкованi за зростанням точки
чебишовського альтернансу.
Доведення. Доведення цiєї теореми подiбне до доведення теореми 1. Воно грунтується
на характеристичнiй властивостi чебишовської апроксимацiї з найменшою вiдносною похиб-
кою [10] й точним вiдтворенням значення функцiї та її похiдних у певнiй точцi [8]. Множник
(t + 1) перед функцiєю Гевiсайда в рiвняннях (12) з’являється з урахуванням одночасної
змiни знаку похибки апроксимацiї (13) зi змiною знаку функцiї f(x) в точцi x = 0.
Вiдповiдно до альтернансної властивостi (12), в разi непарного значення t похибка че-
бишовської апроксимацiї полiномом Pm,t(a;x) з найменшою вiдносною похибкою в точках
альтернансу має знакозмiнний характер, а для парного значення t — знаки похибки апрок-
симацiї в точках альтернансу, сусiднiх iз точкою x = 0, збiгаються. Для знаходження точок
альтернансу zj (j = 1,m − t + 2) (4) в цьому разi також можна використати схему Ремеза
з одноточковою замiною наближення до точок альтернансу за модифiкованим алгоритмом
Валле-Пуссена [9].
2. Чебишовське наближення рацiональним виразом за неповною системою
степеневих функцiй. Iснування i єдинiсть чебишовського наближення для неперервних
функцiй f(x) рацiональним виразом (2) з найменшою абсолютною похибкою на вiдрiзку
[α, β] визначається теоремою 3.
Теорема 3. Нехай функцiя f(x) — неперервно диференцiйовна до (t − 1)-го порядку
на вiдрiзку [α, β] (f(x) ∈ C(t−1)[α, β]). Тодi чебишовське наближення функцiї f(x) рацiо-
нальним виразом Rk,t,l(a;x) (2) з найменшою абсолютною похибкою на вiдрiзку [α, β] iснує
i єдине, якщо значення функцiї f(x) та її похiдних до (t − 1)-го порядку в точцi x = 0
дорiвнюють нулю (3).
Для того щоб рацiональний вираз Rk,t,l(a;x) був чебишовським наближенням iз най-
меншою абсолютною похибкою на вiдрiзку [α, β] функцiї f(x), яка задовольняє умову (3),
необхiдно й достатньо, щоб для деяких вiдмiнних вiд нуля (k + l − t + 2)-х точок Z з [α, β]
виконувалися спiввiдношення
f(zj) −
k
∑
i=t
aiz
i
j
l−1
∑
i=0
biz
i
j + zl
j
= (−1)j+tΘ(zj )µ, j = 1, k + l − t + 2, (14)
де модуль µ — похибка апроксимацiї
|µ| = max
α6x6β
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
f(x) −
k
∑
i=t
aix
i
l−1
∑
i=0
bix
i + xj
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
, (15)
zj (j = 1, k + l − t + 2) — впорядкованi за зростанням точки чебишовського альтернансу,
а Θ(x) — функцiя Гевiсайда (7).
Доведення. Подiбно до теореми 1, доведення цiєї теореми грунтується на властивостях
чебишовської апроксимацiї рацiональним виразом iз точним вiдтворенням значення функцiї
та її похiдних у точцi x = 0 [11].
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Параметри чебишовського наближення функцiй f(x) рацiональним виразом (2) з най-
меншою абсолютною похибкою на вiдрiзку [α, β] можна визначити за схемою Ремеза з одно-
точковою замiною наближення до точок альтернансу за модифiкованим алгоритмом Вал-
ле-Пуссена [9]. Для розв’язування задачi чебишовської iнтерполяцiї можна застосувати один
з iтерацiйних алгоритмiв, наведених в [5].
Встановлено також характеристичну властивiсть чебишовського наближення функцiй
рацiональним виразом Rk,t,l(a;x) (2) з найменшою вiдносною похибкою. Вона полягає у ви-
конаннi спiввiдношень
f(zj) −
k
∑
i=t
aiz
i
j
/
(
l−1
∑
i=0
biz
i
j + zl
j
)
f(zj)
= (−1)j+(t+1)Θ(zj )µ, j = 1, n, (16)
де модуль µ — це похибка апроксимацiї
|µ| = max
α6x6β,x 6=0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
f(x) −
k
∑
i=t
aix
i
/
(
l−1
∑
i=0
bix
i + xl
)
f(x)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
, n = k + l − t + 2, (17)
Θ(x) — функцiя Гевiсайда (7), а zj (j = 1, n) — впорядкованi за зростанням точки чеби-
шовського альтернансу.
Отже, вiдзначимо: Чебишовська апроксимацiя неперервно диференцiйовної до (t−1)-го
порядку функцiї f(x) многочленом Pm,t(a;x) (1) або рацiональним виразом Rk,t,l(a;x) (2)
на вiдрiзку [α, β] iснує i єдина, якщо значення функцiї f(x) та її похiдних до (t − 1)-го
порядку в точцi x = 0 дорiвнюють нулю (3). Цi апроксимацiї характеризуються вiдповiдно
альтернансними властивостями (5), (12), (14) i (16). Для знаходження параметрiв таких
апроксимацiй можна використати схему Ремеза з одноточковою замiною наближення до
точок альтернансу за модифiкованим алгоритмом Валле-Пуссена.
1. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. – Москва: Мир, 1980. –
608 с.
2. Попов Б.А., Теслер Г. С. Вычисление функций на ЭВМ. Справочник. – Киев: Наук. думка, 1984. –
599 с.
3. Muller J.M. Elementary functions: algorithms and implementation. – Boston: Birkhäuser, 1997. – 204 p.
4. Попов Б.А. Pавномерное приближение сплайнами. – Киев: Наук. думка, 1989. – 272 с.
5. Попов Б.А., Теслер Г. С. Приближение функций для технических приложений. – Киев: Наук. думка,
1980. – 352 с.
6. Попов Б.О., Лаушник О. I. Визначення похибок чебишовського наближення рацiональними сплай-
нами iз ланками, залежними вiд x
p // Доп. НАН України. – 1999. – № 3. – С. 40–43.
7. Малачiвський П.С. Чебишовське наближення рацiональним виразом з двома параметрами // Ком-
п’ютернi технологiї друкарства. – 1999. – № 3. – С. 368–375.
8. Малачiвський П. Чебишовське наближення з точним вiдтворенням значень функцiї та її похiд-
них у заданих точках // Фiз.-мат. моделювання та iнформацiйнi технологiї. – 2007. – Вип. 5. –
С. 119–126.
9. Малачiвський П. Модифiкований алгоритм Валле-Пуссена // Там само. – 2005. – Вип. 2. – С. 159–
166.
10. Малачiвський П.С. Чебишовське наближення з вiдносною похибкою функцiй, що набувають нульо-
вого значення // Доп. НАН України. – 2001. – № 5. – С. 67–73.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 43
11. Малачiвський П. Чебишовське наближення рацiональним виразом з ермiтовою iнтерполяцiєю // Ком-
п’ютернi технологiї друкарства. – 2008. – № 19. – С. 94–103.
Надiйшло до редакцiї 19.08.2008Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова
НАН України, Київ
Центр математичного моделювання IППММ
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.V. Skopeckyy, P. S. Malachivskyy
Chebyshev approximation with an incomplete system of basic power
functions
The problem of the Chebyshevian (uniform, minimax) approximation to a given function by a
polynomial and a rational expression based on an incomplete system of basic power functions is
considered. Both necessary and sufficient conditions of existence for such an approximation are
established. The alternance property of polynomial and rational Chebyshevian approximations based
on the aforementioned system of functions for both absolute and relative minimal errors are di-
scussed. The algorithm for calculating the parameters of such an approximation is proposed.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8469 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T12:05:56Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Скопецький, В.В. Малачівський, П.С. 2010-06-01T08:48:31Z 2010-06-01T08:48:31Z 2009 Чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій / В.В. Скопецький, П.С. Малачiвський // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 39-44. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8469 518.5+531.2 Розглянуто задачу чебишовського (рiвномiрного, мiнiмаксного) наближення функцiй полiномом i рацiональним виразом за неповною системою степеневих функцiй. Встановлено необхiднi й достатнi умови iснування такої апроксимацiї. Одержано характеристичнi властивостi чебишовської апроксимацiї функцiй полiномом i рацiональним виразом за неповною системою базисних функцiй iз найменшою абсолютною й вiдносною похибкою. Запропоновано алгоритми для визначення параметрiв таких наближень. The problem of the Chebyshevian (uniform, minimax) approximation to a given function by a polynomial and a rational expression based on an incomplete system of basic power functions is considered. Both necessary and sufficient conditions of existence for such an approximation are established. The alternance property of polynomial and rational Chebyshevian approximations based on the aforementioned system of functions for both absolute and relative minimal errors are discussed. The algorithm for calculating the parameters of such an approximation is proposed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій Chebyshev approximation with an incomplete system of basic power functions Article published earlier |
| spellingShingle | Чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій Скопецький, В.В. Малачівський, П.С. Інформатика та кібернетика |
| title | Чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій |
| title_alt | Chebyshev approximation with an incomplete system of basic power functions |
| title_full | Чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій |
| title_fullStr | Чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій |
| title_full_unstemmed | Чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій |
| title_short | Чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій |
| title_sort | чебишовське наближення за неповною системою степеневих функцій |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8469 |
| work_keys_str_mv | AT skopecʹkiivv čebišovsʹkenabližennâzanepovnoûsistemoûstepenevihfunkcíi AT malačívsʹkiips čebišovsʹkenabližennâzanepovnoûsistemoûstepenevihfunkcíi AT skopecʹkiivv chebyshevapproximationwithanincompletesystemofbasicpowerfunctions AT malačívsʹkiips chebyshevapproximationwithanincompletesystemofbasicpowerfunctions |