Асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей
Рассматриваются условия, при которых возможна аппроксимация критериальной функции марковского процесса заданного гиббсовским распределением с единственной точкой минимума ее эмпирической оценкой. Доказываются теоремы о сходимости приближенных оценок, полученных методом максимального правдоподобия, к...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84698 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей / А.С. Самосенок // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 1. — С. 142-149. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84698 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Самосенок, А.С. 2015-07-12T18:07:10Z 2015-07-12T18:07:10Z 2012 Асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей / А.С. Самосенок // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 1. — С. 142-149. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84698 519.21 Рассматриваются условия, при которых возможна аппроксимация критериальной функции марковского процесса заданного гиббсовским распределением с единственной точкой минимума ее эмпирической оценкой. Доказываются теоремы о сходимости приближенных оценок, полученных методом максимального правдоподобия, как для случая конечного множества состояний марковского процесса, так и для случая произвольного множества. Розглядаються умови, за яких можлива апроксимація критеріальної функції марківського процессу заданого гібсовським розподілом з єдиною точкою мінімуму її емпіричною оцінкою. Доводяться теореми про збіжність наближених оцінок, отриманих методом максимальної правдоподібності, як для випадку кінечної множини станів марківського процесу, так і для випадку довільної множини. The article focuses on asymptotic consistency of maximum likelihood estimators applied to Markov fields with Gibbs distribution. Theorems on the approximate estimate convergence are proved. The estimates are obtained with the maximum likelihood method for cases of finite set of states of Markov process and for arbitrary set. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математические модели в биологии и медицине Асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей Асимптотичні властивості оцінки максимальної правдоподібності для гібсовських полів Asymptotic properties of maximum likelihood estimator for Gibbs fields Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей |
| spellingShingle |
Асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей Самосенок, А.С. Математические модели в биологии и медицине |
| title_short |
Асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей |
| title_full |
Асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей |
| title_fullStr |
Асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей |
| title_full_unstemmed |
Асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей |
| title_sort |
асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей |
| author |
Самосенок, А.С. |
| author_facet |
Самосенок, А.С. |
| topic |
Математические модели в биологии и медицине |
| topic_facet |
Математические модели в биологии и медицине |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Компьютерная математика |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Асимптотичні властивості оцінки максимальної правдоподібності для гібсовських полів Asymptotic properties of maximum likelihood estimator for Gibbs fields |
| description |
Рассматриваются условия, при которых возможна аппроксимация критериальной функции марковского процесса заданного гиббсовским распределением с единственной точкой минимума ее эмпирической оценкой. Доказываются теоремы о сходимости приближенных оценок, полученных методом максимального правдоподобия, как для случая конечного множества состояний марковского процесса, так и для случая произвольного множества.
Розглядаються умови, за яких можлива апроксимація критеріальної функції марківського процессу заданого гібсовським розподілом з єдиною точкою мінімуму її емпіричною оцінкою. Доводяться теореми про збіжність наближених оцінок, отриманих методом максимальної правдоподібності, як для випадку кінечної множини станів марківського процесу, так і для випадку довільної множини.
The article focuses on asymptotic consistency of maximum likelihood estimators applied to Markov fields with Gibbs distribution. Theorems on the approximate estimate convergence are proved. The estimates are obtained with the maximum likelihood method for cases of finite set of states of Markov process and for arbitrary set.
|
| issn |
ХХХХ-0003 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84698 |
| citation_txt |
Асимптотические свойства оценки максимального правдоподобия для гиббсовских полей / А.С. Самосенок // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 1. — С. 142-149. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT samosenokas asimptotičeskiesvoistvaocenkimaksimalʹnogopravdopodobiâdlâgibbsovskihpolei AT samosenokas asimptotičnívlastivostíocínkimaksimalʹnoípravdopodíbnostídlâgíbsovsʹkihpolív AT samosenokas asymptoticpropertiesofmaximumlikelihoodestimatorforgibbsfields |
| first_indexed |
2025-11-27T01:20:39Z |
| last_indexed |
2025-11-27T01:20:39Z |
| _version_ |
1850790628710940672 |
| fulltext |
142 Компьютерная математика. 2012, № 1
Рассматриваются условия, при
которых возможна аппроксима-
ция критериальной функции мар-
ковского процесса заданного
гиббсовским распределением с
единственной точкой минимума
ее эмпирической оценкой. Доказы-
ваются теоремы о сходимости
приближенных оценок, получен-
ных методом максимального
правдоподобия, как для случая
конечного множества состояний
марковского процесса, так и для
случая произвольного множества.
А.C. Самосенок, 2012
УДК 519.21
А.С. САМОСЕНОК
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА ОЦЕНКИ
МАКСИМАЛЬНОГО
ПРАВДОПОДОБИЯ
ДЛЯ ГИББСОВСКИХ ПОЛЕЙ
Введение. Точное решение любой задачи
возможно только при наличии строгих усло-
вий, но поскольку в реальном мире связи и
отношения между объектами настолько
сложны и многообразны, то в математиче-
ском аспекте значительный класс задач
сводится к востановлению по эксперимен-
тальным данным некоторых неизвестных
параметров объекта. Процесс выбора таких
характеристик модели из заданного класса
для наилучшего описания результатов и
подразумевают под понятием оценивания.
В терминологии теории статистических
решений эти задачи тесно связаны с асим-
птотическими свойствами оценок неизвест-
ных параметров, а именно, состоятельно-
стью, асимптотическим распределением,
скоростью сходимости оценок и т. д. И если
при этом предположение о состоятельности
оценок было сделано без достаточных
оснований, то практическое использование
таких алгоритмов нецелесообразно. Кроме
этого, естественно, что условия сходимости
существенным образом зависят от функции
критерия и вероятностных свойств случай-
ных величин, от которых она зависит. В
данной работе будем рассматривать модели,
общий вид распределения которых известен,
имеет форму гиббсовского и обладает
марковским свойством.
Рассмотрим стохастическую модель, в
которой семейство вероятностных распре-
Компьютерная математика. 2012, № 1 143
делений формирует
марковское поле с диск-
ретным временем, зависящее от неизвестного
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ...
Компьютерная математика. 2012, № 1 143
параметра v ( v ∈θ ), который может быть как одномерным, так и многомерным.
Будем предполагать, что каждый элемент поля s S∈ с некоторой вероятностью
может находиться в одном из своих состояний , 1,2,..., ,s
ix i n= принадлежащих
некоторому множеству Х. Марковость в нашем случае будет означать, что это
значение зависит лишь от состояний, принадлежащих окрестности s∂ вершины
s. Сами распределения имеют форму гиббсовских:
1
1
П( ; ) ( ) exp ( , ) ,
m
i
i
x v Z v H x v−
=
=
∑
где ( , )iH x v некоторые действительные функции, которые назовем потен-
циалами, v ∈θ – неизвестный параметр, ( )Z v – нормирующий множитель,
равный сумме всех потенциалов системы.
Последовательность состояний такой системы локально независима
в следующем смысле:
\( | ; ) ( | ; ),s S s s
s T s T
sx x v x x v∂
∈ ∈
Π = Π∏ ∏
где Т – некоторое конечное подмножество множества вершин S; sx – состояние
вершины s.
Задача состоит в оценивании значения неизвестного параметра 0v или
нахождении некоторой неизвестной функции от этого параметра 0( )g v на осно-
вании результатов наблюдений x X∈ . Зачастую такой функцией может быть
математическое ожидание и, поскольку, на практике его вид неизвестен мы
можем аппроксимировать его известными функциями ( ; )nG x v .
В нашем случае эти функции имееют следующий вид:
( ) (ln ( ; )),g v E x v= Π с точкой максимума 0v ;
1
1
1
( ,... ; ) ln ( ; ),
n
n n i
i
G x x v x v
n =
= Π∑ с точкой максимума nv .
Логично, что вероятностные свойства рассматриваемых случайных величин
в большой мере влияют на условия сходимости таких оценок к истинным
параметрам. В работах [1, 2] эти подходы тщательно проанализированы, в них
же приведен обзор основных результатов, полученных в этой области. В данной
же статье для решения задачи оценивания неизвестного параметра рас-
сматривается метод максимального правдоподобия и исследуются условия
сходимости таких оценок к истинным значениям параметра.
Определим функцию максимального правдоподобия
1 2( , ) ( ; ) ( ; ) ... ( ; ).n
nL x v x v x v x v= Π ⋅ Π ⋅ ⋅ Π
А.С. САМОСЕНОК
Компьютерная математика. 2012, № 1 144
Поскольку согласно методу максимального правдоподобия наблюдаемые
результаты соответствуют параметру, при котором вероятность получения этих
данных максимальна, то оценкой оптимального параметра 0v будет решение
задачи максимизации функции максимального правдоподобия:
arg max ( , ).n nv L x v=
Так как функция ln ( , )nL x v при фиксированных х достигает максимума
в той же точке, что и ( , ),L x v то в дальнейшем будем рассматривать следующую
функцию:
( )1
1
ln ( , ) ln ( ; ) ... ( ; ) ln ( ; ).
n
n i
n
i
L v x v x v x v
=
⋅ = Π ⋅ ⋅ Π = Π∑
При решении поставленной задачи будем рассматривать два случая: случай
конечного фазового пространства значений марковского поля и случай
произвольного множества состояний марковской последовательности.
Множество параметров θ в обоих случаях является компактным подмно-
жеством .ℜ
1. Состоятельность оценки максимального правдоподобия в случае
конечного множества состояний марковского поля. Предварительно сформу-
лируем утверждения, которые необходимы для доказательства утверждений о
состоятельности таких оценок.
Теорема 1 [3]. Пусть ( , , )U PΩ – вероятностное пространство, К – компакт-
ное подмножество некоторого банахова пространства с нормой � .
Пусть { , }nU n N∈ – последовательность σ -алгебр, nU U⊂ ,
1 2n nU U⊂ , 1 2n n< .
Пусть { ( ) ( , ) : ( , ) , }n nQ s Q s w s w K n N= ∈ × Ω ∈ – семейство действительных функ-
ций, удовлетворяющее следующим условиям:
1) для фиксированных n, w функция ( , )nQ s w , s K∈ непрерывна;
2) для любых n, s функция ( , )nQ s w , w∈Ω Un – измерима;
3) для некоторого элемента 0s K∈ и любого s K∈ 0( , ) ( ; )nQ s w s s→ Φ ,
n → ∞ по вероятности, где 0( ; )s sΦ , s K∈ – действительная функция, непре-
рывная на К и удовлетворяющая условию 0 0 0( ; ) ( ; )s s s sΦ < Φ , 0s s≠ ;
4) Cуществуют 0γ 0> и функция (γ)c : γ 0,> ( ) 0,c γ → γ 0,→ такие что
при всех s K′∈ и 0: 0 ,γ < γ < γ имеем
|| ||
lim sup | ( ) ( ) | ( ) 1.n n
n s s
P G s G s c
→∞ ′− <γ
′− < γ =
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ...
Компьютерная математика. 2012, № 1 145
Тогда если arg max ( ),n n
s K
s Q s
∈
= то последовательность { }, 1ns n ≥ сходится
по вероятности к 0s :
для любого 0ε >
{ }0lim 0,n
n
P s s
→∞
− > ε =
а последовательность { ( ), 1}n nQ s n ≥ сходится по вероятности к 0 0( ; ).s sΦ
Теорема 2 [4]. Пусть { , }i i Nξ ∈ – однородная цепь Маркова с при-
митивным марковским ядром Р на конечном множестве Х. Тогда для любого
начального распределения v и любой функции :f X → ℜ по вероятности
1
1
( ) ( ), ,
n
i
i
f E f n
n µ
=
ξ → → ∞∑
где µ – инвариантное распределение марковского ядра Р.
Для доказательства сходимости оценки максимального правдоподобия по
вероятности докажем справедливость следующего утверждения.
Теорема 3. Пусть множество состояний X случайной последователь-
ности является конечным, и 0v – единственная точка максимума функции ( )g v ,
тогда для любой точки максимума nv функции 1( ,... ; )n nG x x v справедливо
0 ,nv v n→ → ∞ по вероятности.
Доказательство. Для доказательства используем теорему 1. Возьмем
n
nQ G= и { , 1, }i
nu x i n= σ = и проверим все 4 условия для нашего случая.
Условия 1) и 2) очевидны в силу выбора функции .nG
Согласно закону больших чисел для марковских цепей
1
1
ln ( ; ) (ln ( ; )) 1,
n
i
i
P x v E v n
n =
Π − Π ⋅ ≤ δ → → ∞
∑
для каждого v ∈ θ и любого положительного δ . Откуда и следует условие 3).
Перейдем к доказательству выполнимости условия 4). Обозначим
, :
( , ) sup ln ( , ) ln ( , ) , 0, .
u v
u v
x x u x v x X
∈θ
− <γ
ψ γ = Π − Π γ > ∈
Для всех n, u, 1u ∈θ , 0γ >
1
1
1
1
sup ( ) ( ) ( , ).
n
n n i
u u i
G u G u x
n− <γ =
− ≤ ψ γ∑
А.С. САМОСЕНОК
Компьютерная математика. 2012, № 1 146
Согласно теореме 2
( ) ( )
1
1
, (, ) ,
n
i
i
x E n
n µ
=
ψ γ → ψ γ → ∞∑ по вероятности.
При любом x X∈ ( , ) 0xψ γ → при 0.γ →
Обозначив ( ) 2 { (, )}c Eγ = ψ γ мы и получим, что ( ) 0, 0c γ → γ → , а значит,
выполняется условие 4) теоремы 1. Следовательно, из теоремы 1 следует
теорема 3. �
2. Сильная состоятельность оценки максимального правдоподобия
Для доказательства сильной состоятельности нам потребуются некоторые
ранее доказанные факты и условия, которые необходимы для доказательства
сходимости с вероятностью 1.
Пусть прошлое процесса Хt определяется σ -алгебрами вида U τ
−∞ ,
а будущее – вида .U ∞
τ
Определение. Стационарный процесс в узком смысле Хt называется
удовлетворяющим условию сильного перемешивания если
0
1
,
s u p ( ) ( ) ( ) ( )
A U B U
C
P A B P A P B
∞
− ∞ τ
+ ε
∈ ∈
− = α τ ≤
τ
и 0τ > , 0ε > , с > 0.
Функцию ( )α τ будем называть коэффициентом сильного перемешивания,
очевидно, что она монотонно не возрастает.
Определение. Если на σ -алгебре UX существует конечная мера m
с m(U) > 0, целое число v > 1 и число 0ε > такие, что вероятность перехода за
v шагов ( )( , ) 1vp Aξ ≤ − ε , при ( ) ,m A ≤ ε то будем говорить, что выполняется
гипотеза Деблина.
Если выполняется гипотеза Деблина и существует только один
эргодический класс, причем он не содержит подклассов, тогда существует такое
распределение p(A) на UX, что
( )
,
sup ( , ) ( ) ,n n
x A
p x A p A c− ≤ ρ (1)
где c > 0, 0 < ρ < 1 – константы (см. [4], глава 19).
Вернемся к нашему случаю, согласно [4] если справедливо соотношение (1)
и начальное распределение 0( , )x vΠ стационарно, то стационарный процесс Хt
удовлетворяет условию сильного перемешивания с коэффициентом ( ) 2 .nn cα ≤ ρ
Теорема 4 [3]. Пусть ( , , )U PΩ – вероятностное пространство, К –
компактное подмножество некоторого банахова пространства с нормой � .
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ...
Компьютерная математика. 2012, № 1 147
Пусть { , }nU n N∈ – последовательность δ -алгебр, nU U⊂ ,
1 2n nU U⊂ , 1 2n n< .
Пусть { ( ) ( , ) : ( , ) , }n nQ s Q s w s w K n N= ∈ × Ω ∈ – семейство действительных
функций, удовлетворяющее следующим условиям:
1) для фиксированных n,w функция ( , )nQ s w , s K∈ непрерывна;
2) для любых n, s функция ( , ),nQ s w w∈Ω Un – измерима;
3) для некоторого элемента 0s K∈ для любого s K∈ 0( , ) ( ; ),nQ s w s s→ Φ
n → ∞ c вероятностью 1, где 0( ; ),s sΦ s K∈ – действительная функция,
непрерывная на К и удовлетворяющая условию 0 0 0( ; ) ( ; ),s s s sΦ < 0;s s≠
4) существуют 0 0γ > и функция ( ),c γ 0,γ > ( ) 0,c γ → 0,γ → такие что
при всех s K′∈ и 0: 0 ,γ < γ < γ имеем
{lim sup ( ) ( ) ( )} 1.n n
n s s
P Q s Q s c
→∞ ′− <γ
′− < γ =
Для всех n, w элемент ( )n ns s w= определяется соотношением
( ) max ( ).n n n
s K
Q s Q s
∈
=
Такой элемент можно выбрать nU измеримым по w. Тогда
0{ , } 1,nP s s n→ → ∞ =
а последовательность { ( ), 1}n nQ s n ≥ сходится по вероятности к 0 0( ; ).s sΦ
Для доказательства сильной состоятельности оценки максимального правдо-
подобия (с вероятностью 1) покажем, что справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Если функция ( )g v имеет единственную точку максимума 0v ,
последовательность nx удовлетворяет условию Деблина с
1
n c
n +ερ ≤ , и
{sup ln ( , )}
v
E x v
∈θ
Π < ∞ тогда для любой точки максимума nv функции
1( ,... ; )n nG x x v , справедливо 0{ , } 1.nP v v n→ → ∞ =
Доказательство. Для доказательства применим теорему 4, возьмем
n
nQ G= и { , 1, }n
nu x i n= σ = и проверим все 4 условия для нашего случая.
Очевидно, что условия 1), 2) теоремы 4 выполнены в силу выбора функции nG .
Рассмотрим условие 3) теоремы 4. Так как последовательность nx
удовлетворяет условию равномерного сильного перемешивания с коэф-
фициентом – показательной функцией мы можем выбрать ρ таким образом, что
1ln ( , ) ln ( , ) ln ( , ) ln ( , )
1
i j i j c
E x v x v E x v E x v
i j
′+εΠ Π − Π Π ≤
+ −
, 0.′ε >
А.С. САМОСЕНОК
Компьютерная математика. 2012, № 1 148
Обозначим ( ) ( ) ( )n n
n v G v EG vη = − и оценим 2 ( )nE vη :
2
2
1 1
1 1
( ) ln ( , ) ln ( , )
n n
i i
n
i i
E v E x v E x v
n n= =
η = Π − Π =
∑ ∑
2
1 1
1
ln ( , ) ln ( , ) ln ( , ) ln ( , )
n n
i i j j
i j
E x v E x v x v E x v
n = =
= Π − Π Π − Π =
∑∑
2
1 1
1
,
n n
i j
i j
Ey y
n = =
= ∑∑
где ln ( , ) ln ( , ).i i
iy x v E x v= Π − Π
Учитывая условие сильного перемешивания, имеем
1
1
i j
c
Ey y
i j
′+ε≤
+ −
, 0.′ε >
Поэтому
12 2
1 1 1 1
1
1
n n n n
i j
i j i j
c c c
Ey y
n n ni j
′+ ε
= = = =
≤ ≤
+ −
∑∑ ∑∑ .
Пусть 2n m= . Тогда согласно лемме Бореля – Кантелли
2{lim 0} 1.
mm
P
→∞
η = =
Обозначим 2
2 2( 1)
sup .m n m
m n m≤ ≤ +
ζ = η − η
Для 2 2( 1)m n m≤ ≤ + справедливо следующее неравенство
2 2
2 2( 1)
sup .n nm m
m n m≤ ≤ +
η ≤ η + η − η
Для mζ запишем
2
2 2 2 2
2
2
( 1) ( 1) 1 1
1
( ) sup sup
n n
m n i jm
m n m m n m i j
E E Ey y
m≤ ≤ + ≤ ≤ + = =
ζ = η − η ≤ ≤∑∑
2 2
2 2
22 2( 1) ( 1)
2 2 2
1 1
1 ( 1) 1
2
m m
i j
i m j m
m m c
E y y c
m m m
+ +
= + = +
+ − −≤ ≤ =
∑ ∑ .
Откуда согласно лемме Бореля – Кантелли {lim 0} 1n
m
P
→∞
ζ = = , тогда
{lim 0} 1n
m
P
→∞
η = = , и следовательно { }lim ( ) lnП( , ) 1n
n
P G v E x v
→∞
= = . А значит и
условие 3) теоремы 4 выполнено.
Перейдем к условию 4). Обозначим
, :
( , ) sup ( , ) ( , ) , 0, .
u v
u v
x x u x v x X
∈θ
− < γ
ψ γ = Π − Π γ > ∈
Для всех n, u, 1u ∈θ , 0γ >
1
1
1
1
su p ( ) ( ) ( , ).
n
n n i
u u i
G u G u x
n− < γ =
− ≤ ψ γ∑
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ...
Компьютерная математика. 2012, № 1 149
Учитывая закон больших чисел ( )
1
1
( , ) (, ) ,
n
i
i
x E n
n µ
=
ψ γ → ψ γ → ∞∑ с вероят-
ностью 1.
При любом x X∈ ( , ) 0xψ γ → при 0γ → . Обозначив ( ) 2 { (, )}c Eγ = ψ γ
получаем, что ( ) 0, 0,c γ → γ → а значит, выполняется условие 4) теоремы 1.
Следовательно из теоремы 1 следует теорема 3.
О.С. Самосьонок
АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ОЦІНКИ МАКСИМАЛЬНОЇ ПРАВДОПОДІБНОСТІ
ДЛЯ ГІБСОВСЬКИХ ПОЛІВ
Розглядаються умови, за яких можлива апроксимація критеріальної функції марківського
процессу заданого гібсовським розподілом з єдиною точкою мінімуму її емпіричною
оцінкою. Доводяться теореми про збіжність наближених оцінок, отриманих методом
максимальної правдоподібності, як для випадку кінечної множини станів марківського
процесу, так і для випадку довільної множини.
A.S. Samosonok
ASYMPTOTIC PROPERTIES OF MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR FOR GIBBS
FIELDS
The article focuses on asymptotic consistency of maximum likelihood estimators applied to Markov
fields with Gibbs distribution. Theorems on the approximate estimate convergence are proved. The
estimates are obtained with the maximum likelihood method for cases of finite set of states of
Markov process and for arbitrary set.
1. Gerhard Winkler. Analysis, Random Fields and Dynamic Monte Carlo Methods. – Springer,
1995.
2. Xavier Guyon. Random Fields on Network. – Springer-Verlag. 1995.
3. Дороговцев А.Я. Теория оценок параметров случайных процессов. – К.: Вища школа,
1982.
4. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. – М.:
Наука, 1980.
Получено 13.12.2011
Об авторе:
Самосенок Александр Сергеевич,
младший научный сотрудник Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
|