Математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена
Построена математическая модель для изучения локально-неравновесных во времени геомиграционных процессов солевых растворов в условиях массообмена. Поставлена соответствующая нелинейная краевая задача и приведен алгоритм получения ее приближенного решения. Побудовано математичну модель для вивчення л...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Компьютерная математика |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84702 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена / В.М. Булавацкий, А.В. Гладкий // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 3-9. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84702 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Булавацкий, В.М. Гладкий, А.В. 2015-07-13T15:18:56Z 2015-07-13T15:18:56Z 2012 Математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена / В.М. Булавацкий, А.В. Гладкий // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 3-9. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84702 517.954:532.546 Построена математическая модель для изучения локально-неравновесных во времени геомиграционных процессов солевых растворов в условиях массообмена. Поставлена соответствующая нелинейная краевая задача и приведен алгоритм получения ее приближенного решения. Побудовано математичну модель для вивчення локально-нерівноважних у часі геоміграційних процесів сольових розчинів за умов масообміну. Поставлена відповідна нелінійна крайова задача та наведено алгоритм отримання її наближеного розв’язку. The mathematical model for research of local - nonequilibrium geomigration process of solute solutions is constructed. The statement of corresponding nonlinear boundary-value problem and the algorithm of receipt of its approximation solution are given. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена Математичне моделювання локально-нерівноважного геоміграційного процесу за умов масообміну Mathematical modeling of local-nonequilibrium geomigration process in conditions mass transfer Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена |
| spellingShingle |
Математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена Булавацкий, В.М. Гладкий, А.В. Математическое моделирование |
| title_short |
Математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена |
| title_full |
Математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена |
| title_fullStr |
Математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена |
| title_sort |
математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена |
| author |
Булавацкий, В.М. Гладкий, А.В. |
| author_facet |
Булавацкий, В.М. Гладкий, А.В. |
| topic |
Математическое моделирование |
| topic_facet |
Математическое моделирование |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Компьютерная математика |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Математичне моделювання локально-нерівноважного геоміграційного процесу за умов масообміну Mathematical modeling of local-nonequilibrium geomigration process in conditions mass transfer |
| description |
Построена математическая модель для изучения локально-неравновесных во времени геомиграционных процессов солевых растворов в условиях массообмена. Поставлена соответствующая нелинейная краевая задача и приведен алгоритм получения ее приближенного решения.
Побудовано математичну модель для вивчення локально-нерівноважних у часі геоміграційних процесів сольових розчинів за умов масообміну. Поставлена відповідна нелінійна крайова задача та наведено алгоритм отримання її наближеного розв’язку.
The mathematical model for research of local - nonequilibrium geomigration process of solute solutions is constructed. The statement of corresponding nonlinear boundary-value problem and the algorithm of receipt of its approximation solution are given.
|
| issn |
ХХХХ-0003 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84702 |
| citation_txt |
Математическое моделирование локально-неравновесного геоимиграционного процесса в условиях массообмена / В.М. Булавацкий, А.В. Гладкий // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 3-9. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bulavackiivm matematičeskoemodelirovanielokalʹnoneravnovesnogogeoimigracionnogoprocessavusloviâhmassoobmena AT gladkiiav matematičeskoemodelirovanielokalʹnoneravnovesnogogeoimigracionnogoprocessavusloviâhmassoobmena AT bulavackiivm matematičnemodelûvannâlokalʹnonerívnovažnogogeomígracíinogoprocesuzaumovmasoobmínu AT gladkiiav matematičnemodelûvannâlokalʹnonerívnovažnogogeomígracíinogoprocesuzaumovmasoobmínu AT bulavackiivm mathematicalmodelingoflocalnonequilibriumgeomigrationprocessinconditionsmasstransfer AT gladkiiav mathematicalmodelingoflocalnonequilibriumgeomigrationprocessinconditionsmasstransfer |
| first_indexed |
2025-11-24T16:23:46Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:23:46Z |
| _version_ |
1850485156881629184 |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2012, № 2 3
Математическое
моделирование
Построена математическая мо-
дель для изучения локально-нерав-
новесных во времени геомиграци-
онных процессов солевых раство-
ров в условиях массообмена. Пос-
тавлена соответствующая нели-
нейная краевая задача и приведен
алгоритм получения ее прибли-
женного решения.
В.М. Булавацкий, А.В. Гладкий,
2012
УДК 517.954:532.546
В.М. БУЛАВАЦКИЙ, А.В. ГЛАДКИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОГО
ГЕОМИГРАЦИОННОГО ПРОЦЕС
СА
В УСЛОВИЯХ МАССООБМЕНА
Введение. Вопросы математического моде-
лирования пространственно-временных про-
цессов геофильтрации и массопереноса
представляют значительный интерес, прежде
всего, при разработке современных геотех-
нологий добычи полезных ископаемых а
также при изучении вопросов охраны подзе-
мных вод и водозаборов от загрязнений, яв-
ляющихся результатом действия техноген-
ных факторов человеческой деятельности
(в частности, знание особенностей динамики
геофильтрационных процессов играет важ-
ную роль при решении задач охраны подзем-
ных вод от загрязнений токсичным содержи-
мым накопителей промстоков [1, 2]).
Отметим, что математическое моделиро-
вание геофильтрационных процессов, явля-
ясь одним из важнейших направлений геои-
нформатики и геогидродинамики, развива-
ется преимущественно в предположении
насыщенности массивов геопористой среды
чистой водой [3]. Однако, в настоящее время
особую актуальность приобретают исследо-
вания в области математического моделиро-
вания динамики указанных процессов в мас-
сивах насыщенных солевыми растворами.
При этом проведены комплексные исследо-
вания в области математического моделиро-
вания динамики геофильтрации солевых
растворов при учете релаксационных свойств
жидкости, релаксационных свойств пористо-
В.М. БУЛАВАЦКИЙ, А.В. ГЛАДКИЙ
Компьютерная математика. 2004, № 1 4
го скелета, учете неизотер-
мичности процесса и термо-
диффузии, теплового расши-
рения жидкой фазы и другие.
[4].
В.М. БУЛАВАЦКИЙ, А.В. ГЛАДКИЙ
Компьютерная математика. 2012, № 2 4
В сложных горно-геологических условиях существенно проявляется нерав-
новесность геофильтрационного процесса, которая обусловлена рядом причин,
изложенных, например в [5]. Это приводит к необходимости разработки методов
математического моделирования динамики локально-неравновесных геофильт-
рационных процессов. Далее построена математическая модель для исследова-
ния динамики процесса фильтрации и массопереноса солевых растворов в гео-
пористой среде (в частности фрактальной структуры) в условиях сильной вре-
менной нелокальности при учете массообмена с вмещающими породами. В рам-
ках предложенной модели выполнена постановка соответствующей краевой
задачи для массива конечной мощности с проницаемыми гранями и разработана
методика приближенного решения указанной краевой задачи.
1. Построение математической модели процесса и постановка краевой
задачи. Используем следующее обобщение геофильтрационного закона Дарси
[3] на случай движения солевых растворов с учетом осмоса в условиях сильной
временной нелокальности:
1
x t
k p C
u D
x x
−β ∂ ∂= − + ν µ ∂ ∂
, (1)
где xu – скорость фильтрации; p – давление; C − концентрация солей в жидкой
фазе; k – коэффициент фильтрации; µ – вязкость жидкости; ν − коэффициент
осмоса [2]; 1
tD −β – оператор дробного дифференцирования Римана – Лиувилля
[6, 7] порядка 1− β (0 1< β ≤ ).
Отсюда с учетом уравнения неразрывности [3]
*
1 0xu p
x t
∂ ∂+ β =
∂ ∂
(2)
( *
1β − коэффициент упругоемкости пласта), получаем уравнение для определе-
ния фильтрационного давления в виде
2 2
1
2 2t
p p C
D
t x x
−β ∂ ∂ ∂= κ − η ∂ ∂ ∂
(3)
или
2 2
( )
2 2
( , )t
p C
D p x t
x x
β ∂ ∂= κ − η
∂ ∂
, (4)
где
*
1
kκ =
µβ
,
*
1
νη =
β
, ( )
tD β − оператор регуляризованной дробной производ-
ной (по Капуто [6, 7]) порядка .β
Предполагая наличие также условий сильной временной нелокальности для
диффузионного процесса, будем исходить из следующего обобщения закона
Фика:
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОГО ...
Компьютерная математика. 2012, № 2 5
1 1
t t x
C
q D d CJ u
x
−β −β∂ = − + ∂
, (5)
где q − диффузионный поток, d − коэффициент диффузии, 1
tJ −β − дробный
интеграл Римана – Лиувилля порядка 1− β [6]. Для получения уравнения кон-
вективной диффузии растворимых веществ при геофильтрации солевых раство-
ров запишем одномерное уравнение баланса массы с учетом межфазного массо-
обмена в виде
0
C N q
t t x
∂ ∂ ∂σ + + =
∂ ∂ ∂
, (6)
где σ − пористость среды, N − концентрация вещества в твердой фазе. Тогда из
соотношения (6), с учетом (1) и (5), в предположении слабой сжимаемости сре-
ды получаем уравнение для определения концентрации солей жидкой фазе
в виде:
2
1
2t
C N C k p C C
D d
t t x x x x
−β ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂σ + = + − ν ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂
(7)
или
2
( ) ( )
2
( , ) ( , )t t
C k p C C
D C x t D N x t d
x x x x
β β ∂ ∂ ∂ ∂σ + = + − ν ∂ µ ∂ ∂ ∂
. (8)
Обобщенное на случай временной нелокальности уравнение кинетики мас-
сообмена с учетом уравнения неравновесной обратимой сорбции при изотерме
Генри запишем в виде
( ) ( )tD N C Nβ = γ σ − α , (9)
где α − коэффициент равновесного сорбционного распределения, γ − коэффи-
циент скорости сорбции.
Таким образом, неклассическая математическая модель геофильтрации со-
левых растворов с учетом осмотических явлений в условиях массообмена и вре-
менной нелокальности базируется на системе уравнений дробного порядка вида
2 2
( )
2 2
( , )t
p C
D p x t
x x
β ∂ ∂= κ − η
∂ ∂
, (10)
2
( ) ( )
2
( , ) ( , )t t
C k p C C
D C x t D N x t d
x x x x
β β ∂ ∂ ∂ ∂σ + = + − ν ∂ µ ∂ ∂ ∂
, (11)
где ( ) ( , )tD N x tβ определяется согласно (9).
Эта модель обобщает на случай наличия локально-неравновесных во време-
ни условий протекания процесса математическую модель равновесного массо-
переноса солевых растворов в деформируемых пористых средах в условиях дей-
ствия осмотических явлений [2]. Действительно, при 1β → из (10), (11) получа-
ем соответствующие соотношения из [2].
В.М. БУЛАВАЦКИЙ, А.В. ГЛАДКИЙ
Компьютерная математика. 2012, № 2 6
В рамках предложенной модели, моделирование динамики полей давлений
и концентраций при геофильтрации в условиях временной нелокальности про-
цесса сводится, например, в случае массива конечной мощности ,l к решению
в области (0, ) (0, )l × + ∞ системы уравнений (9)–(11) с краевыми условиями
(0, ) 0p t = , ( , ) 0p l t = , 0( ,0)p x p= , (12)
0(0, )C t C= ,
( , )
0
C l t
x
∂ =
∂
, ( ,0) 0C x = , 0( , 0)N x N= , (13)
где 0p – начальное давление в массиве, 0C – заданное значение концентрации
солей на входе фильтрационного потока, 0N − заданная начальная концентра-
ция вещества в твердой фазе.
2. Методика получения приближенного решения краевой задачи и вы-
числительный алгоритм. Введем в рассмотрение сеточную область
{ }: ( 0, 1 )h i ix x ih i mω = = = + , где h −шаг сетки по геометрической пере-
менной и поставим в соответствие задаче для вычисленя поля давлений (10),
(12) дифференциально-разностную задачу вида
( )( ) ( )
2
1
( ) 2 ( ) ( )m
tD u t T E u t w t
h
β = − +r r r
, (14)
(0) ,u e=r r
(15)
где обозначено
[ ]1 2 0 0 0( ) ( ), ( ),..., ( ) , ( , ,..., ) ,
T T
mu t p t p t p t e p p p= =r r
[ ] ( )
1 2 3 12
( ) ( ), ( ), ..., ( ) (2 ) ( ) ,
T m
mw t w t w t w t E T V t
h
η
= = − − ω
r rr
[ ]1 2 1( ) ( ), ( ) ,..., ( ) , (1, 0,...,0) ,
T T
mV t C t C t C t= ω =
r r
( ),mT ( )
3
mT – квадратные матрицы порядка ,m определенные в [8], E – единич-
ная матрица порядка .m
Введем также в рассмотрение P – трансформации векторов u
r
и w
r
соот-
ношениями
( ) ( )ˆ ˆ( ) ( ), ( ) ( ),m mu t P u t w t P w t= =
r rr r
(16)
где ( )
, 1
mm
kj k j
P p
=
= – фундаментальная матрица порядка m [8].
Умножая (14), (15) слева на матрицу ( ),mP с учетом соотношения [8]
( ) ( ) ( ) ( ) ,m m m mT P P= Λ
где ( )
1 2, ,...,m
m Λ = λ λ λ − диагональная матрица собственных чисел матрицы
( ),mТ получаем задачу в изображениях, записываемую в скалярной форме в виде
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОГО ...
Компьютерная математика. 2012, № 2 7
( ) ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )t i i i iD u t u t w tβ − κ = ( 1, )i m= , (17)
ˆ ˆ(0)i iu e= ( 1, )i m= , (18)
где
2
1
( 2),i ih
κ = λ − 0
1
ˆ ,
m
i ik
k
e p p
=
= ∑
( )1 12
1
ˆ ( ) ( ) 2 ( ) ( ) .
m
i ik k k k
k
w t p C t C t C t
h − +
=
η= − − +∑
Согласно [6] решение задачи (17), (18) запишем в виде
( )1
,
0
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( 1, )
t
i i i i iu t e E t t E t w d i mβ β− β
β β β= κ + − τ κ − τ τ τ =∫ , (19)
где ( )E zβ − функция Миттаг–Леффлера, , ( )E zα β − обобщенная функция Мит-
таг – Леффлера [6].
Возвращаясь в соотношениях (19) к оригиналам по геометрической пере-
менной, получаем точное решение исходной дифференциально-разностной за-
дачи (14), (15) в виде следующей явной зависимости функции давления p от
концентрации C :
( )1 1
1 0
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( 1, ),
tm
i i k k k ik
k
p t G t C C C t d i m− +
=
= − τ − τ + τ Φ − τ τ =∑∫ (20)
где
1 1
( ) ( )
m m
i is sk s
s k
G t p p E tββ
= =
= κ∑∑ ,
1
,2
1
( ) ( )
m
ik is sk s
s
t
t p p E t
h
β−
β
β β
=
ηΦ = κ∑ .
Задача (11), (13) для вычисления полей концентраций решается численно.
Для этого введем в рассмотрение сеточную область hτω =
{ }( , ) : ( 0, 1 ), ( 0, )i j i jx t x ih i m t j j n= = = + = τ = ( ,h τ − шаги сетки по гео-
метрической переменной и времени соответственно) и используем, например,
монотонную разностную схему А.А. Самарского, которая в обозначениях рабо-
ты [9] запишется в виде
( ) ˆ ˆ ˆ ˆ( )t xx x xC C u C u C C Nβ + −σ∆ = χ + + − γ σ − α , (21)
где
d
R
χ = , 1
2
h u
R
d
= + , ( )1
2
u u u± = ± , 0 0
x x
u kp C= − ν .
При этом в соотношении (21) оператор ( )
t
β∆ обозначает дискретный аналог про-
изводной дробного порядка ( ).tD β Согласно [10] можно записать
j+1
( ) ( )
t ,
0
1
,
(2 )
j
j
s t s
s
C b Cβ
=
∆ =
Γ − β ∑
(22)
В.М. БУЛАВАЦКИЙ, А.В. ГЛАДКИЙ
Компьютерная математика. 2012, № 2 8
где ( ) 1 1 1( 1) ( )j
sb j s j s−β −β −β = τ − + − − ,
1
,
s s
t s
C C
C
+ −=
τ
, ( )Γ α − гамма-
функция Эйлера. В классе достаточно гладких функций имеем ( )
tD uβ =
( ) ( )t u Oβ= ∆ + τ [10].
Расписывая в соотношении (21) соответствующие разностные операторы
и приводя подобные члены, получаем следующую систему линейных алгебраи-
ческих уравнений:
1 1 1
1 1
j j j j j j j
i i i i i i iA C S C B C F+ + +
− +− + = − ( 1, ; 0, )i m j n= = , (23)
где обозначено
1
( )
j
j ji
i iA u
h h
− χ= −
,
1
( )
j
j ji
i iB u
h h
+ χ= +
, ,
(2 )
j j j
i i iS A Bβ
σ= − γσ + +
τ Γ − β
11
( )
0
1
.
(2 )
s sj
j j j ji i
i i s i
s
C C
F C b N
+−
β
=
σ −= − + αγ Γ − β τ τ
∑
Разностные уравнения системы (23) являются трехточечными и эффективно
решаются методом прогонки [9]. Устойчивость метода прогонки для системы
(23) вытекает из факта диагонального преобладания в матрице коэффициентов
данной системы алгебраических уравнений.
Концентрация N вещества в твердой фазе находится с учетом (9) в явном виде:
( )1
0 ,
0
( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )
t
N x t N E t t E t C x dβ β− β
β β β= −αγ + σγ − τ −αγ − τ τ τ∫ . (24)
Вычислительный алгоритм для приближенного решения рассматриваемой
задачи состоит в последовательном вычислении величин C , p и N согласно
(21), (20) и (24).
Заключение. Рассмотренная в работе математическая модель позволяет чи-
сленно моделировать динамику процессов переноса при геофильтрации солевых
растворов в локально-неравновесных по времени условиях при наличии массо-
обмена. Учет явления временной нелокальности миграционного процесса и яв-
ления массообмена при выработке инженерных решений, например, в области
проектирования систем экологически безопасного функционирования поверхно-
стных накопителей промышленных и бытовых стоков в сложных горно-
геологических условиях и геосредах фрактальной структуры позволит избежать
ряда ошибок в прогнозировании степени безопасности указанных объектов.
В.М. Булавацький, А.В. Гладкий
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЛОКАЛЬНО-НЕРІВНОВАЖНОГО
ГЕОМІГРАЦІЙНОГО ПРОЦЕСУ ЗА УМОВ МАСООБМІНУ
Побудовано математичну модель для вивчення локально-нерівноважних у часі геоміграцій-
них процесів сольових розчинів за умов масообміну. Поставлена відповідна нелінійна крайо-
ва задача та наведено алгоритм отримання її наближеного розв’язку.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОГО ...
Компьютерная математика. 2012, № 2 9
V.M. Bulavatsky, A.V. Gladky
MATHEMATICAL MODELING OF LOCAL-NONEQUILIBRIUM GEOMIGRATION
PROCESS IN CONDITIONS MASS TRANSFER
The mathematical model for research of local - nonequilibrium geomigration process of solute solu-
tions is constructed. The statement of corresponding nonlinear boundary-value problem and the
algorithm of receipt of its approximation solution are given.
1. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Скопецький В.В. Некласичні математичні моделі про-
цесів тепло- та масопереносу. − К.: Наук. думка, 2005.− 283 с.
2. Власюк А.П., Мартинюк П.М. Математичне моделювання консолідації грунтів в процесі
фільтрації сольових розчинів.– Рівне: Вид-во УДУВГП, 2004. – 211 с.
3. Баренблатт Г.И., Ентов В.Н., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных
пластах. – М.: Недра, 1984. – 303 с.
4. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелінійні математичні моделі процесів
геогідродинаміки. – К.: Наук. думка, 2007. – 292 с.
5. Хасанов М.М., Булгакова Г.Т. Нелинейные и неравновесные эффекты в геологически
сложных средах. – Москва – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. –
288 с.
6. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential
equations. – Amsterdam: Elsevier, 2006. – 523 p.
7. Чикрий А.А., Матичин И.И. Об аналоге формулы Коши для линейных систем произволь-
ного дробного порядка // Доп. НАН України, 2007. – № 1. – С. 50–55.
8. Положий Г.Н. Численное решение двумерных и трехмерных краевых задач математиче-
ской физики и функции дискретного аргумента. – Киев: Вища школа, 1962. – 161 с.
9. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 с.
10. Таукенова Ф.И., Шхануков–Лафишев М.Х. Разностные методы решения краевых задач
для дифференциальных уравнений дробного порядка // Журн. вычислительной матема-
тики и математической физики. – 2006. – 46, № 10. – С. 1871–1881.
Получено 10.09.2012
Об авторах:
Булавацкий Владимир Михайлович,
доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
e-mail: v_bulav@ukr.net
Гладкий Анатолий Васильевич,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
|