Моделирование конечных нечетких структур мультимножеств
Проведен краткий обзор подходов к формализации понятия нечеткого мультимножества. Предложен новый подход, охватывающий все рассмотренные в обзоре модели и позволяет порождать новые структуры мультимножеств путем изменения области определения и/или области значений. Проведено короткий огляд підходів...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Компьютерная математика |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84705 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Моделирование конечных нечетких структур мультимножеств / А.Е. Сенько // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 28-33. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859588840320139264 |
|---|---|
| author | Сенько, А.Е. |
| author_facet | Сенько, А.Е. |
| citation_txt | Моделирование конечных нечетких структур мультимножеств / А.Е. Сенько // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 28-33. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Проведен краткий обзор подходов к формализации понятия нечеткого мультимножества. Предложен новый подход, охватывающий все рассмотренные в обзоре модели и позволяет порождать новые структуры мультимножеств путем изменения области определения и/или области значений.
Проведено короткий огляд підходів до формалізації поняття нечіткої мультимножини. Запропоновано новий підхід, який охоплює всі розглянуті в огляді моделі та дозволяє породжувати нові структури мультимножин за допомогою зміни області визначення і/або області значень.
The brief review of approaches to formalization the concept of an fuzzy multiset is carried out. The new approach, which covers all the models considered in the review is offered and allows to generate new structures of multisets by changing the domain and/or range is offered.
|
| first_indexed | 2025-11-27T12:36:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
28 Компьютерная математика. 2012, № 2
Проведен краткий обзор подходов
к формализации понятия нечет-
кого мультимножества. Предло-
жен новый подход, охватывающий
все рассмотренные в обзоре модели
и позволяет порождать новые
структуры мультимножеств пу-
тем изменения области определе-
ния и/или области значений.
А.Е. Сенько, 2012
УДК 519.8
А.Е. СЕНЬКО
МОДЕЛИРОВАНИЕ
КОНЕЧНЫХ НЕЧЕТКИХ
СТРУКТУР МУЛЬТИМНОЖЕСТВ
Введение. Разработка моделей нечетких
мультимножеств имеет сравнительно не-
большую историю, начатую, вероятно, рабо-
той Ягера [1]. Учитывая это формализм опи-
сания нечетких мультимножеств еще не яв-
ляется общепринятым. В разных работах од-
ни и те же формальные конструкции из-за
различной содержательной интерпретации
могут называться различным образом, что
затрудняет интерпретацию представляемых
моделей.
В работе предложены две модели, охваты-
вающие почти все известные на сегодня мо-
дели конечных нечетких структур мультим-
ножеств, а также позволяют порождать но-
вые структуры за счет изменения области
определения и/или области значений. Важ-
ность удачного формального описания мате-
матических понятий отмечает Кофман [2]:
«Всегда можно заменить одно математиче-
ское понятие другим. Но будет ли оно поро-
ждать свойства, которые с его помощью бы-
ло бы легче обнаружить, доказать и исполь-
зовать».
Обзор моделей. Ягер [1] определил поня-
тие «нечеткое мультимножество» (fuzzy mul-
tiset) или «нечеткий портфель» (fuzzy bag)
как четкое конечное подмножество декарто-
вого произведения [ ]0,1X × , для записи ко-
торого он использовал символизм в форме
обычного множества пар
( ){ } 1
,
p
i i i
x
=
µ (1)
Компьютерная математика. 2012, № 2 29
указывая в контексте, что
для i j≠ может
А.Е. СЕНЬКО
Компьютерная математика. 2011, № 2 30
быть, что i jx x= , а i jµ = µ либо i jµ ≠ µ . В работе [1] используется и другая
форма записи нечеткого мультимножества A в виде отображения
[ ]: 0,1 ,AC X N× → (2)
где { }0,1,2,...N = – множество натуральных чисел. Эта форма, на наш взгляд,
обладает тем недостатком, что, если она не сопровождается вышеупомянутым
контекстом, то учитывая несчетность множества [ ]0,1 у читателя может возник-
нуть представление о несчетности мультимножества. Модель (2) трактуется
также как четкое мультимножество на области определения [ ]0,1X × .
Отметим, что в (1) множество рассматривается как неупорядоченное, а по-
рядок (номер пары) определяется порядком перечисления пар ( p – кардиналь-
ное число, указывающее на мощность множества). Такой порядок будем назы-
вать тривиальным.
Миямото [3], основываясь на форме (1) предложил более наглядную форму
записи нечеткого мультимножества, в которой объединены все пары, имеющие
одинаковое значение первой компоненты упорядоченной пары ( ),i ix µ :
( ) ( ) ( ){ }111 12 1 1 1 2 1 2, ,..., / ,... , ,..., / ,..., , ,..., /
k nl k k kl k n n nl nA x x x′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= µ µ µ µ µ µ µ µ µ , (3)
где ( ) ( ) ( ){ }1 2 1, ,..., / , ,..., ,
k kk k kl k k k kl kx x x′ ′ ′ ′ ′µ µ µ = µ µ .
Он же предложил для сравнения мультимножеств упорядочить значения
принадлежностей и записывать мультимножество в форме
( ) ( ) ( ){ }111 12 1 1 1 2 1 2, ,..., / ,... , ,..., / ,..., , ,..., /
k nl k k kl k n n nl nA x x x′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′= µ µ µ µ µ µ µ µ µ , (4)
где 1 2 ...
kk k kl′′ ′′ ′′µ ≥ µ ≥ ≥ µ .
Поскольку все последующие, введенные автором, операции над нечеткими
мультимножествами, основаны на этом преобразовании, отметим, что основани-
ем для такого преобразования является отсутствие содержательного (нетриви-
ального) отношения порядка на множестве принадлежностей ( )1 2, ,...,
kk k kl′ ′ ′µ µ µ .
Другими словами, при отсутствии содержательного отношения порядка, введен-
ные автором операции и отношения адекватны. При наличии такого отношения
порядка на множестве принадлежностей модель, основанная на преобразовании
(4), может оказаться не адекватной.
В работе Тарасова [4] отмечены следующие подходы для описания нечетких
мультимножеств.
1. Введенное Ягером описание функции, порождающей нечеткое мультим-
ножество A :
[ ]: 0,1A X Nµ × → , ( ){ } [ ]
1
, , 0,1
m
i i ii
A x
=
= α α ∈ . (5)
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ НЕЧЕТКИХ СТРУКТУР МУЛЬТИМНОЖЕСТВ
Компьютерная математика. 2012, № 2 31
Отмечается, что каждому элементу x X∈ ставится в соответствие значение
α с кратностью n . Число n показывает, сколько раз появляется пара ( ),x α .
Это позволяет рассматривать такое множество пар, как n неточных копий x и
трактовать значение α как степень сходства с эталоном. Из текста не очевидно,
что одному и тому же значению x может быть поставлено в соответствие много
значений α . К тому же, в качестве не вполне ясного замечания, сказано, что та-
кое расширение обычных мультимножеств не всегда пригодно (причины и усло-
вия непригодности определения, данного Ягером, не указаны).
2. Альтернативное (по сравнению с подходом Ягера) описание отображения,
приведенное в работе Сиропулоса [5]:
[ ]: 0,1X Nϕ → × , (6)
которое названо мультинечетким множеством (Multi-Fuzzy Set).
3. Модель Миямото (3), приводящее к выполнению условий для множеств
уровня α :
( )A B A Bα αα =I I ,
( )A B A Bα αα =U U .
4. Расширение описания нечеткого мультимножества, когда значение крат-
ности описывается нечеткими числами [6].
5. Предложенное Тарасовым определение
[ ]: 0,1A X N× → . (7)
Это определение не сопровождается условием !x X n N∀ ∈ ∃ ∈ , что позволяет
рассматривать в области определения различные пары ( )1,a n и ( )2,a n , в том
числе и бесконечные последовательности таких пар.
В работе [4] не рассмотрена работа Сиропулоса [7], в которой предлагается
рассматривать нечеткое мультимножество [ ]: 0,1A X N→ × как совокупность
двух отображений ( ),mA A Aµ= . Первое :mA X N→ называется функцией
кратности (multiplicity function), второе [ ]: 0,1A Xµ → называется функцией
принадлежности. Таким образом, если ( ) ( ),A x n= α , то ( )mA x n= ,
( ) [ ], 0,1A xµ = α α∈ .
Определение нечетких структур мультимножеств. В отличие от [7] в
данной работе предлагается использовать определение конечного нечеткого
мультимножества с помощью двух различных композиций функций кратности и
функций принадлежности.
Далее используются следующие обозначения: A , A
%
– обычное и нечеткое
(в смысле Заде или Гогена) множество, соответственно; Â – конечное (четкое)
мультимножество; Â
%
– конечная нечеткая структура мультимножеств.
А.Е. СЕНЬКО
Компьютерная математика. 2011, № 2 32
Пусть { } 1
n
i i
X x == – (четкое) множество элементов. Пусть { }0,1,...,hN h= –
множество натуральных чисел, не превышающих заданного значения h .
Определение 1. Конечным мультимножеством M̂ назовем отображение
ˆ : hM X N→ . (8)
Отображение M̂ будем называть функцией кратности или характеристиче-
ской функцией мультимножества, значение функции кратности обозначать
( )k x , а область определения отображения M̂ – множеством базовых элементов
или основой мультимножества [8]. В отличие от [9] мы не различаем функцию
кратности и характеристическую функцию мультимножества.
Носитель ˆsupp M мультимножества M̂ – подмножество множества базо-
вых элементов: ( ){ }ˆsupp | 0M x k x= > .
Пусть [ ]:F LΖ → – отображение четкого мультимножества (либо его част-
ного случая – обычного множества) в упорядоченное множество принадлежно-
стей, представляющее собой решетку либо произведение решеток
1 2 ... pL L L L= × × × . В случае, когда Z – обычное множество, а 1L L= такая
структура представляет собой нечеткое множество по Гогену.
Рассмотрим некоторые особенности следующих моделей:
( )( )Â M F X=
%
, (9)
( )( )B̂ F M X=
%
. (10)
1. Пусть [ ]0,1L = . Тогда в соответствии с (9) отображение [ ]: 0,1F X →
представляет собой нечеткое множество, введенное Заде: ( )F X A=
%
. Тогда
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 1
ˆ , ,..., , ,..., ,i i i n n nA M F X M A k x k x k x= = = ⋅ α ⋅ α ⋅ α
% %
(11)
представляет собой совокупность повторяющихся пар с общим для них значени-
ем принадлежности. Такая структура называется в [10] нечетким мультимноже-
ством (Fuzzy Multiset).
В соответствии с (10) отображение :M X N→ порождает обычное муль-
тимножество ( ) { }ˆ 1 1
ˆ ,..., ,...,i i n nBB M X k x k x k x= = ⋅ ⋅ ⋅ , где ( )ˆi iBk M x= – значе-
ние функции кратности или количество повторений элемента ix . Отображение
[ ]ˆ: 0,1F B → порождает мультинечеткое множество:
( )( ) { } { } { }1
1 1 1 1 1
ˆ , ,..., , ,.., ,i nk k k
j i ij n njj j j
B F M X x x x
= = =
= = α α α
%
. (12)
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ НЕЧЕТКИХ СТРУКТУР МУЛЬТИМНОЖЕСТВ
Компьютерная математика. 2012, № 2 33
Отметим, что структура (11) – частный случай структуры (12). Другими сло-
вами, в мультинечетком множестве для произвольного элемента ix с кратностью
ik значения принадлежности могут как повторяться, так и быть различными.
Так как множество { }
1
ik
ij j=
α – неупорядочено, модель (12) изоморфна моде-
ли (3), рассмотренной в работе Миямото. В отличие от (3) в (12) использованы
традиционные обозначения: ( ),a b – для упорядоченной пары и { } – для неупо-
рядоченного множества.
Это тривиально упорядоченное мультимножество. Поэтому для мультим-
ножества Â
%
вида (12) допустим переход к форме (4) и допустимы все операции
и отношения, введенные Миямото в [3].
2. Пусть [ ] [ ] [ ]0,1 0,1 ... 0,1p
p
L = = × ×
1442443
. В соответствии с (9) первое отображе-
ние [ ]: 0,1 pF X → порождает векторнозначное нечеткое множество [10]:
( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1, ,..., , ,..., ,i i n nF X A x x x= = α α α
r r r r
%
,
где ( )1,..., ,...,i i ij ipα = α α αr
– вектор размерности const.р = Тогда второе ото-
бражение ( )M A
r
%
порождает следующую конечную нечеткую структуру:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 1
ˆ , ,..., , ,..., ,i i i n n nA M F X M A k x k x k x= = = ⋅ α ⋅ α ⋅ α
r r r r
% %
, (13)
которая называется векторнозначным мультинечетким множеством (Vector
Multi-Fuzzy Set).
В соответствии с (10) порождается следующая конечная нечеткая структура:
( )( ) { }{ } { }{ } { }{ }1
1 1 1 1 1
ˆ , ,..., , ,..., ,i nk k k
j i ij n njj j j
B F M X x x x
= = =
= = α α α
r r r
%
. (14)
Такая структура до настоящего времени, скорее всего, не рассматривалась.
3. Если [ ] [ ]0,1 0,1L = × – упорядоченное множество значений нечеткого при-
знака, измеренного в шкале порядка, получим интуиционистское нечеткое мно-
жество Анастасова [3].
Другие новые нечеткие структуры и их особенности будут рассмотрены в
последующих работах.
Выводы. Проведенный обзор и анализ работ показал существенное отличие
подходов различных авторов к формализации понятия нечеткого мультимноже-
ства. Предложен новый подход к формализации этого понятия, охватывающий
все рассмотренные в обзоре случаи формализации конечных нечетких структур
мультимножеств.
А.Е. СЕНЬКО
Компьютерная математика. 2011, № 2 34
О.Є. Сенько
МОДЕЛЮВАННЯ СКІНЧЕННИХ НЕЧІТКИХ СТРУКТУР МУЛЬТИМНОЖИН
Проведено короткий огляд підходів до формалізації поняття нечіткої мультимножини.
Запропоновано новий підхід, який охоплює всі розглянуті в огляді моделі та дозволяє
породжувати нові структури мультимножин за допомогою зміни області визначення і/або
області значень.
A.E. Sen’ko
MODELLING OF FUZZY FINITE MULTISET STRUCTURES
The brief review of approaches to formalization the concept of an fuzzy multiset is carried out. The
new approach, which covers all the models considered in the review is offered and allows to
generate new structures of multisets by changing the domain and/or range is offered.
1. Yager R. On the Theory of Bags // International Journal of General Systems. – 1986. – Vol. 13.
– P. 23–27.
2. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. – М.: Радио и связь, 1982. – 432 с.
3. http://www.springerlink.com/content/mld3a4eqe1exlyj/
4. Тарасов В.Б. От параметризированных нечетких множеств к нечетким мультимножествам
уровня // Нечеткие системы и мягкие вычисления. Сб. науч. тр. II Всеросийской науч.
конф. – Ульяновск: УлГТУ, 2008. – С. 40–48.
5. Syropoulos A. Mathematics of Multisets // Multiset Processing. Lecture Notes in Computer
science. – Berlin: Springer Verlag, 2001. – Vol. 2235. – P. 347 – 358.
6. Rocacher D. On FuzzyBags and Their Application to Flexibile Querying // Fuzzy Sets and sys-
tems. – 2003. – Vol. 140. – P. 93–110.
7. http://www.csi-india.org/web/csi/themearticle3-10
8. Буй Д.Б., Богатирьова Ю.О. Сучасний стан теорії мультимножин // Вісник Київського
університету, Серія: фізико-математичні науки. – 2010. – № 1. – C. 51–58.
9. Петровский А.Б. Основные понятия теории мультимножеств. – М.: Едиториал УРСС. –
2003. – 248 c.
10. http://ieexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?reload=true&arnumber=5584821&contentType=
Conference+Publications
Получено 15.10.2012
Oб авторе:
Сенько Александр Евгеньевич,
ведущий инженер-программист Института кибернетики имени В.М. Глушкова
НАН Украины.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84705 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T12:36:39Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сенько, А.Е. 2015-07-13T15:23:09Z 2015-07-13T15:23:09Z 2012 Моделирование конечных нечетких структур мультимножеств / А.Е. Сенько // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 28-33. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84705 519.8 Проведен краткий обзор подходов к формализации понятия нечеткого мультимножества. Предложен новый подход, охватывающий все рассмотренные в обзоре модели и позволяет порождать новые структуры мультимножеств путем изменения области определения и/или области значений. Проведено короткий огляд підходів до формалізації поняття нечіткої мультимножини. Запропоновано новий підхід, який охоплює всі розглянуті в огляді моделі та дозволяє породжувати нові структури мультимножин за допомогою зміни області визначення і/або області значень. The brief review of approaches to formalization the concept of an fuzzy multiset is carried out. The new approach, which covers all the models considered in the review is offered and allows to generate new structures of multisets by changing the domain and/or range is offered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Моделирование конечных нечетких структур мультимножеств Моделювання скінченних нечітких структур мультимножин Modelling of fuzzy finite multiset structures Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование конечных нечетких структур мультимножеств Сенько, А.Е. Математическое моделирование |
| title | Моделирование конечных нечетких структур мультимножеств |
| title_alt | Моделювання скінченних нечітких структур мультимножин Modelling of fuzzy finite multiset structures |
| title_full | Моделирование конечных нечетких структур мультимножеств |
| title_fullStr | Моделирование конечных нечетких структур мультимножеств |
| title_full_unstemmed | Моделирование конечных нечетких структур мультимножеств |
| title_short | Моделирование конечных нечетких структур мультимножеств |
| title_sort | моделирование конечных нечетких структур мультимножеств |
| topic | Математическое моделирование |
| topic_facet | Математическое моделирование |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84705 |
| work_keys_str_mv | AT senʹkoae modelirovaniekonečnyhnečetkihstrukturmulʹtimnožestv AT senʹkoae modelûvannâskínčennihnečítkihstrukturmulʹtimnožin AT senʹkoae modellingoffuzzyfinitemultisetstructures |