Эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем
Рассмотрено эмпирическую оценку неизвестного параметра двумерного однородного в узком смысле эргодического случайного поля с непрерывным временем. Приведены условия, при которых имеет место сильная состоятельность данной оценки. Розглянуто параметричну емпіричну оцінку невідомого параметра однорідно...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84707 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем / Д.А. Гололобов // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 45-51. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859770507513036800 |
|---|---|
| author | Гололобов, Д.А. |
| author_facet | Гололобов, Д.А. |
| citation_txt | Эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем / Д.А. Гололобов // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 45-51. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Рассмотрено эмпирическую оценку неизвестного параметра двумерного однородного в узком смысле эргодического случайного поля с непрерывным временем. Приведены условия, при которых имеет место сильная состоятельность данной оценки.
Розглянуто параметричну емпіричну оцінку невідомого параметра однорідного у вузькому сенсі ергодичного двовимірного випадкового поля з неперервним часом. Наведено умови, за яких має місце сильна конзистентність даної оцінки.
Parametric estimate for a homogeneous in a strict sense two-dimensional random field with a continuous time is considered. Conditions, under which strong consistency of the parameter empirical estimate holds, are established.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:37:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2012, № 2 45
Системный анализ
Рассмотрено эмпирическую оцен-
ку неизвестного параметра дву-
мерного однородного в узком смы-
сле эргодического случайного поля
с непрерывным временем. Приве-
дены условия, при которых имеет
место сильная состоятельность
данной оценки.
Д.А. Гололобов, 2012
Д.А. ГОЛОЛОБОВ
Компьютерная математика. 2012, № 2 46
УДК 519.21
Д.А. ГОЛОЛОБОВ
ЭМПИРИЧЕСКАЯ
ОЦЕНКА
НЕИЗВЕСТНОГО
ПАРАМЕТРА
СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
С НЕПРЕРЫВНЫМ
ВРЕМЕНЕМ
Введение. В данной работе
рассмотрена задача
оценивания неизвестного
параметра случайного поля.
Цель работы – обоснование
возможности использования
метода эмпири-ческих
средних для данной модели.
1. Постановка задачи и
вспомога-тельные факты.
Пусть
1 2ξ( ) = ξ( ,ω) = ξ( , ,ω),t t t t
r r
2
1 2{ , } t t t= ∈ ⊂
r
T R
– однородное в узком смысле
эргодическое случайное поле
с непрерывным временем,
определенное на
вероятностном простран-стве
( )Ω, , PG со значениями в
некотором метрическом
пространстве ( , ( )).Y YB
Пусть также I – замкнутое
подмножество множе-ства
, 1l l ≥R , возможно, ;lI =R
2 : f X Y× → R –
неотрицательная функция,
удовлетворяющая таким условиям:
1) функция ( , ),f u z u I∈
r
непрерывна для
всех ;z Y∈
2) для каждого u I∈
r
отображение
( , ), f u z z Y∈
r
является ( )YB -измеримым.
Рассмотрим наблюдения
[ ]{ } 22
ξ( ), 0, , 0; .t t T T T∈ > ∈
r r
R
Задача состоит в следующем: найти
{ }min E ( ,ξ(0)) min ( ).
u I u I
f u F u
∈ ∈
=r r
r r r
Д.А. ГОЛОЛОБОВ
Компьютерная математика. 2012, № 2 48
Данная задача аппроксимируется задачей: найти
[ ] [ ]2 2
1 2 1 22 2
0, 0,
1 1
min ( ,ξ( )) min ( ,ξ( , ))
u I u I
T T
f u t dt f u t t dt dt
T T∈ ∈
= =∫∫ ∫∫r r
r r r r
min ( ,ω) min ( ).T T
u I u I
F u F u
∈ ∈
= =r r
r r
(1)
Приведем ряд вспомогательных утверждений, которые понадобятся в даль-
нейшем.
Лемма. [∗, c. 15] Пусть ( , µ)X X, пространство с конечной мерой,
µ( ) 0;X > { }( ) : ,n nf f x X n= → ∈R N – последовательность неотрицатель-
ных X -измеримых функций. Допустим, что µ – почти везде на X
( ) , .nf x n→ ∞ → ∞ Тогда
( ) µ , .n
X
f x d n→ ∞ → ∞∫
Теорема 1. Пусть T произвольное замкнутое или открытое подмножество
, 1;( , )l l X≥ UR некоторое измеримое пространство. Положим, что
[ ] : ,f X× → −∞ +∞T есть функция, удовлетворяющая условиям:
1) ( , ), f t x t ∈T непрерывна для всех ;x X∈
2) ( , ), f t x x X∈ есть U -измеримой для каждого ;t ∈T
3) для любого x X∈ существует элемент * ;t ∈T такой, что
*
( , ) inf ( , ).
t
f t x f t x
∈
=
T
Тогда существует измеримое отображение φ: X → T такое, что
(φ( ), ) inf ( , ), .
t
f x x f t x x X
∈
= ∈
T
Теорема 2. [∗, c. 16 – 17]. Пусть ( , )PΩ U , – полное вероятностное прост-
ранство, K – компактное подмножество некоторого банахового пространства
с нормой . Допустим, что , ( )m m
T
T +∈ur
ur
U R N – семейство σ -алгебр, причем
, , ,
T T S
T S⊂ ⊂ <ur ur ur
ur ur
U U U U
{ }( ) ( ,ω) ( ,ω) , (: )m m
T T
Q s Q s s K T +∈ ×Ω ∈=ur ur
ur
R N
– семейство действительных функций, удовлетворяющее следующим условиям:
∗ Knopov P.S., Kasitskaya E.J. Empirical estimates in stochastic optimization and
identification, Kluwer Academic Publishers: Boston\London\Dordrecht. – 2002. – 250 p.
ЭМПИРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА НЕИЗВЕСТНОГО ПАРАМЕТРА СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ ...
Компьютерная математика. 2012, № 2 49
1) для фиксированных T
ur
и ω функция ( ,ω),
T
Q s s K∈ur – непрерывна;
2) для фиксированного T
ur
для каждого s K∈ функция ( ,ω)
T
Q sur есть
T
urU -измеримой;
3) для некоторого элемента 0s K∈ и для каждого s K∈
{ }0lim ( ,ω) )P 1( ; ,
TT
Q s s s
→∞
= Φ =ur
ur
где 0( ; ),s s s KΦ ∈ – действительная функция, которая непрерывна на K
и удовлетворяет условию
0 0 0 0( ; ) ( ; ), ;s s s s s sΦ > Φ ≠
4) для любого δ 0> существует 0γ 0> и функция (γ) 0,c >
γ 0, (γ) 0,γ 0c> → → такая, что для всякого элемента 's K∈ и для любого
0γ : 0 γ γ< <
{ }'
0
'
γ , δ
lim sup ( ) ( ) (γ 1)P .
T TT
s s s s
Q s Q s c
→∞ − < − ≥
=
− <
ur ur
ur
Для каждого ( )m mT +∈
ur
R N и ω∈Ω элемент ( ) ( ,ω)s T s T=
ur ur
определяется
соотношением
mi( ( ) ( ).n)
T K Ts
Q s T Q s
∈
=ur ur
ur
Такой элемент всегда существует. Может существовать более одной точки
минимума функции .
T
Qur В этом случае ( )s T
ur
является любой точкой минимума.
По теореме 1 элемент ( )s T
ur
может быть выбран
T
urU -измеримым.
Тогда
{ }0( )P 1.0,s T s T− → =→ ∞
ur ur
Основной результат. Далее рассмотрим условия, необходимые для сильной
состоятельности оценки и докажем состоятельность нашей оценки.
Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:
1) для всех 0c >
max ( ,ξ(0))E ;
u c
f u
≤
< ∞
r
r r
2) если множество I неограниченное, то для всех ' ,z Y∈
{ }'
1 2 1 2P ξ( ) = ξ( , ) , для всех , 0 1,t t t Y t t∈ ≥ =
r
имеем
( , ) , ;f u z u→ ∞ → ∞
r r
Д.А. ГОЛОЛОБОВ
Компьютерная математика. 2012, № 2 50
3) существует единственный вектор 0 ,u I∈
r
являющийся точкой минимума
функции
{ }( ,ξ(0( ) ,))E .F u If uu = ∈
r rr r
Тогда, для всех 0T > и ' 'ω , ( ) 1P∈Ω Ω = существует как минимум один
вектор ( ) ( ,ω) ,u T u T I= ∈
r r
являющийся точкой минимума функции ( )TF u
r
из
(1), и для всех 0T > отображение '( ,ω),ωu T ∈Ω
r
, может быть выбранным '
TG -
измеримым, где ' '
1 2, σ{ξ( ) ξ( , ),T T T t t t= ∩ Ω = =
r
G G G 1 20 , }.t t T≤ ≤
Для любого выбора '
TG -измеримой функции ( ,ω)u T
r
{ }0 0( ) , ( ( )) .(P ) 1,Tu T u F u T F u T→ → → ∞ =
r r r r
Доказательство. По условию 1) данной теоремы и теореме Фубини для
всех n:
1 2 1 2
0 0
max ( ,ξ( , ))P 1.
n n
u n
f u t t dt dt
≤
< ∞ =
∫ ∫ r
r
Тогда для всех T, c > 0:
1 2 1 2
0 0
max ( ,ξ( , ))
T T
u c
f u t t dt dt
≤
≤∫ ∫ r
r
1 2 1 2
0 0
max ( ,ξ( , )) ,
n n
u n
f u t t dt dt
≤
< ∞∫ ∫ r
r
где , , .n n T n c∈ ≥ ≥N Функция ( ),TF u u I∈
r r
непрерывна почти наверное для
всех 0T > по теореме Лебега о предельном переходе. Если множество I
неограниченное, тогда по условию 2) данной теоремы и лемме почти наверное
для каждого 0T >
( ) , ,TF u u→ ∞ → ∞
r r
и существует ( ,ω) 0T∆ = ∆ > такое, что для всех ,u I u∈ > ∆
r r
0( ) ( ).T TF u F u>
r r
Таким образом, с вероятностью 1 для всех T
:
inf i( f) (n ).
u I u
T
I
T
u
F u F u
∈ ∈ ≤∆
=r ur uur
r r
ЭМПИРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА НЕИЗВЕСТНОГО ПАРАМЕТРА СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ ...
Компьютерная математика. 2012, № 2 51
Тогда для всех 0T > и ' 'ω , ( ) 1P∈Ω Ω = существует как минимум одна
точка минимума ( ) ( ,ω)u T u T=
r r
функции ( ), .TF u u I∈
r r
Для любых ,T u
r
отображение '( ,ω),ωTF u ∈Ω
r
есть '
TG -измеримое. Тогда по теореме 1 для
каждого 0T > отображение ( ,ω)u T
r
может быть выбрано '
TG -измеримым.
Докажем, что если множество I неограниченное, то существует 0c > такое,
что начиная с некоторого T, зависящего от ω, все точки минимумов функции
( ),TF u u I∈
r r
принадлежат множеству
{ }:cK u I u c= ∈ ≤
r r
с вероятностью 1. По условию 2) с вероятностью 1 для всех 1 2, 0t t ≥
1 2φ( ,ξ( , )) , ,c t t c→ ∞ → ∞
где
(φ( , ) inf , ), , 0.
u c
f u z z Yc z c
≥
= ∈ >r
r
Отсюда по лемме имеем
{ }ξ(0)E φ( , , .)c c→ ∞ → ∞
r
Выберем 0c так, чтобы
{ } { }00E φ( , E (ξ(0)) ξ(0) .),c f u>
rr r
По свойствам эргодической случайной функции векторного аргумента
с вероятностью 1, начиная с некоторого T, зависящего от ω, имеем
1 22
0 0
0 1 2φ( ,ξ( , )
1
)
T T
c t dt
T
t dt >∫ ∫ 012
0
1 2
0
0 2
1
( )( ,ξ( , ))
T T
Tdtf u t t F ut d
T
=∫ ∫
r r
с вероятностью 1. Поскольку
0 1 2 1 22
0 0
inf φ( ,ξ( , )
1
( ) ,)
T T
T
u c
F u dc t t dt
T
t
>
≥ ∫ ∫r
r
то мы доказали необходимое утверждение.
Далее проверим выполнение условий теоремы 2 для семейства функций:
{ }' 2: , 0 ,TF K T×Ω → >R
где
0
.cK K=
Д.А. ГОЛОЛОБОВ
Компьютерная математика. 2012, № 2 52
Очевидно, что условия 1) и 2) теоремы 2 удовлетворены.
Вследствие эргодичности случайного поля ξ( ),t
r
имеем
{ }lim ( ) ( ) .P 1,T
T
u u uF IF
→∞
= = ∈ur
r r r
Согласно условию 1) теоремы 2, функция ( )F u
r
непрерывна. Таким образом,
условие 3) теоремы 2 выполнено.
Обозначим
{ }, : γ
sup ( , ) ( , ) , γ >φ( , ) 0, .
u K u
f u z f z z Yz
ν∈ −ν <
γ = − ν ∈
r r r r
r r
С вероятностью 1 для всех 10, ,γ 0 :T u K> ∈ >
r
{ }1
1 21 1 1 22
: γ 0 0
ζ( ,γ) ψ(γ,ξ( ,
1
sup ))( ) ( ) .
T T
T T
u K u u
u F u F tu dt dt
T
t
∈ − <
− ≤= ∫ ∫r r uur
r r r
(2)
Вследствие эргодичности поля
1 22
0
1 2
0
1
lim E{ }P ψ(γ,ξ( , )) ψ(γ,ξ(0)) 1.
T T
T
dt dtt t
T→∞
=
=
∫ ∫
r
(3)
Обозначим
γ ψ(γ,ξ(0))( ) E{ } γ,γ 0.c = + >
r
Учитывая (2), (3), для всех 1 , 0 :u K∈ γ >
r
{ }1P ζ ( , γ)lim (γ) 1.T
T
u c
→∞
< =
r
Если функция непрерывна на компакте, то она равномерно непрерывна на
нем. Отсюда, для любого z Y∈
ψ(γ, ) 0, γ 0.z →
Тогда, по теореме Леви о предельном переходе под знаком интеграла
(γ) 0, γ 0.c → →
Доказательство завершено.
Заключение. В результате проведенного исследования рассмотрены
условия, при которых имеет место сильная состоятельность оценки неиз-
вестного параметра однородного в узком смысле эргодического двумерного
случайного поля.
ЭМПИРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА НЕИЗВЕСТНОГО ПАРАМЕТРА СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ ...
Компьютерная математика. 2012, № 2 53
Д.О. Гололобов
ЕМПІРИЧНА ОЦІНКА НЕВІДОМОГО ПАРАМЕТРА ВИПАДКОВОГО ПОЛЯ
З НЕПЕРЕРВНИМ ЧАСОМ
Розглянуто параметричну емпіричну оцінку невідомого параметра однорідного у вузькому
сенсі ергодичного двовимірного випадкового поля з неперервним часом. Наведено умови, за
яких має місце сильна конзистентність даної оцінки.
D.A. Gololobov
EMPIRICAL ESTIMATE OF INDEFINITE PARAMETER FOR RANDOM FIELD WITH
CONTINUOUS TIME
Parametric estimate for a homogeneous in a strict sense two-dimensional random field with a
continuous time is considered. Conditions, under which strong consistency of the parameter
empirical estimate holds, are established.
Получено 10.01.2012
Об авторе:
Гололобов Дмитрий Александрович,
аспирант Киевского национального университета им. Тараса Шевченко.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84707 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T06:37:54Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гололобов, Д.А. 2015-07-13T15:33:57Z 2015-07-13T15:33:57Z 2012 Эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем / Д.А. Гололобов // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 45-51. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84707 519.21 Рассмотрено эмпирическую оценку неизвестного параметра двумерного однородного в узком смысле эргодического случайного поля с непрерывным временем. Приведены условия, при которых имеет место сильная состоятельность данной оценки. Розглянуто параметричну емпіричну оцінку невідомого параметра однорідного у вузькому сенсі ергодичного двовимірного випадкового поля з неперервним часом. Наведено умови, за яких має місце сильна конзистентність даної оцінки. Parametric estimate for a homogeneous in a strict sense two-dimensional random field with a continuous time is considered. Conditions, under which strong consistency of the parameter empirical estimate holds, are established. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Системный анализ Эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем Емпірична оцінка невідомого параметра випадкового поля з неперервним часом Empirical estimate of indefinite parameter for random field with continuous time Article published earlier |
| spellingShingle | Эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем Гололобов, Д.А. Системный анализ |
| title | Эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем |
| title_alt | Емпірична оцінка невідомого параметра випадкового поля з неперервним часом Empirical estimate of indefinite parameter for random field with continuous time |
| title_full | Эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем |
| title_fullStr | Эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем |
| title_full_unstemmed | Эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем |
| title_short | Эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем |
| title_sort | эмпирическая оценка неизвестного параметра случайного поля с непрерывным временем |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84707 |
| work_keys_str_mv | AT gololobovda émpiričeskaâocenkaneizvestnogoparametraslučainogopolâsnepreryvnymvremenem AT gololobovda empíričnaocínkanevídomogoparametravipadkovogopolâzneperervnimčasom AT gololobovda empiricalestimateofindefiniteparameterforrandomfieldwithcontinuoustime |