Статистична термопружна рівновага двошарової М-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання
Наукова стаття стосується вивчення термопружної контактної взаємодії двошарових трибосистем з геометричними недосконалостями, які перебувають під впливом рівномірно розподілених стискувальних нормальних напружень та фрикційного теплоутворення. Сформульовано та на основі застосування методу збурення...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84709 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Статистична термопружна рівновага двошарової М-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання / Л.А. Карпюк, Б.С. Білан // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 62-69. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84709 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Карпюк, Л.А. Білан, Б.С. 2015-07-13T15:37:19Z 2015-07-13T15:37:19Z 2012 Статистична термопружна рівновага двошарової М-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання / Л.А. Карпюк, Б.С. Білан // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 62-69. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84709 539.3 Наукова стаття стосується вивчення термопружної контактної взаємодії двошарових трибосистем з геометричними недосконалостями, які перебувають під впливом рівномірно розподілених стискувальних нормальних напружень та фрикційного теплоутворення. Сформульовано та на основі застосування методу збурення форми границі побудовано наближені розв’язки нових плоских статичних задач термопружності для двошарових трибосистем. Сформулировано и на основе использования метода возмущения формы границы построены приближенные решения статистических задач термоупругости для двухслойных трибосистем. And formulated on the basis of the method of perturbation of boundary shape based on approximate solutions of the new-static thermoelasticity problem for two-layer triathl systems. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Системный анализ Статистична термопружна рівновага двошарової М-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання Статическое термопружное равновесие двухслойной m-угольной трубы по ее обжатию и фрикционного нагрева Statychsna thermoelastic balance duplex m-rectangular pipes for its obtyskannya and friction heating Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Статистична термопружна рівновага двошарової М-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання |
| spellingShingle |
Статистична термопружна рівновага двошарової М-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання Карпюк, Л.А. Білан, Б.С. Системный анализ |
| title_short |
Статистична термопружна рівновага двошарової М-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання |
| title_full |
Статистична термопружна рівновага двошарової М-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання |
| title_fullStr |
Статистична термопружна рівновага двошарової М-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання |
| title_full_unstemmed |
Статистична термопружна рівновага двошарової М-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання |
| title_sort |
статистична термопружна рівновага двошарової м-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання |
| author |
Карпюк, Л.А. Білан, Б.С. |
| author_facet |
Карпюк, Л.А. Білан, Б.С. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Компьютерная математика |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Статическое термопружное равновесие двухслойной m-угольной трубы по ее обжатию и фрикционного нагрева Statychsna thermoelastic balance duplex m-rectangular pipes for its obtyskannya and friction heating |
| description |
Наукова стаття стосується вивчення термопружної контактної взаємодії двошарових трибосистем з геометричними недосконалостями, які перебувають під впливом рівномірно розподілених стискувальних нормальних напружень та фрикційного теплоутворення. Сформульовано та на основі застосування методу збурення форми границі побудовано наближені розв’язки нових плоских статичних задач термопружності для двошарових трибосистем.
Сформулировано и на основе использования метода возмущения формы границы построены приближенные решения статистических задач термоупругости для двухслойных трибосистем.
And formulated on the basis of the method of perturbation of boundary shape based on approximate solutions of the new-static thermoelasticity problem for two-layer triathl systems.
|
| issn |
ХХХХ-0003 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84709 |
| citation_txt |
Статистична термопружна рівновага двошарової М-кутної труби за її обтискання та фрикційного нагрівання / Л.А. Карпюк, Б.С. Білан // Компьютерная математика: сб. науч. тр. — 2012. — № 2. — С. 62-69. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT karpûkla statističnatermopružnarívnovagadvošarovoímkutnoítrubizaííobtiskannâtafrikcíinogonagrívannâ AT bílanbs statističnatermopružnarívnovagadvošarovoímkutnoítrubizaííobtiskannâtafrikcíinogonagrívannâ AT karpûkla statičeskoetermopružnoeravnovesiedvuhsloinoimugolʹnoitrubypoeeobžatiûifrikcionnogonagreva AT bílanbs statičeskoetermopružnoeravnovesiedvuhsloinoimugolʹnoitrubypoeeobžatiûifrikcionnogonagreva AT karpûkla statychsnathermoelasticbalanceduplexmrectangularpipesforitsobtyskannyaandfrictionheating AT bílanbs statychsnathermoelasticbalanceduplexmrectangularpipesforitsobtyskannyaandfrictionheating |
| first_indexed |
2025-11-24T05:54:49Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:54:49Z |
| _version_ |
1850842037864103936 |
| fulltext |
62 Компьютерная математика. 2012, № 2
Наукова стаття стосується вив-
чення термопружної контактної
взаємодії двошарових трибоси-
стем з геометричними недоско-
налостями, які перебувають під
впливом рівномірно розподілених
стискувальних нормальних на-
пружень та фрикційного тепло-
утворення. Сформульовано та на
основі застосування методу збу-
рення форми границі побудовано
наближені розв’язки нових плос-
ких статичних задач термопру-
жності для двошарових трибо-
систем.
Л.А. Карпюк, Б.С. Білан, 2012
УДК 539.3
Л.А. КАРПЮК, Б.С. БІЛАН
СТАТИСТИЧНА ТЕРМОПРУЖНА
РІВНОВАГА ДВОШАРОВОЇ
M-КУТНОЇ ТРУБИ ЗА ЇЇ
ОБТИСКАННЯ ТА
ФРИКЦІЙНОГО НАГРІВАННЯ
Вступ. Систематичне вивчення контактних
задач термопружності з урахуванням фрик-
ційного теплоутворення започатковано
М.В. Коровчинським [1] і Дж. Барбером [2],
які побудували загальну теорію теплового
контакту тіл з урахуванням тертя і розв’язали
деякі плоскі, осесиметричні та просторові
задачі. У роботі [3] вперше розглянуто плос-
ку задачу про стиснення двох пружних тіл за
стаціонарного теплоутворення на ділянці
контакту. Задача досліджена за таких при-
пущень: швидкість відносного переміщення
тіл стала й мала, а тому динамічний ефект
задачі не враховується; тепловий контакт тіл
ідеальний.
Розглянуті раніше контактні задачі вже
можна назвати класичними. Прагнення до
збільшення точності розрахунків вимагає
нових постановок як пружних, так і термоп-
ружних контактних задач, основною особли-
вістю яких було б точніше врахування геоме-
трії співдотичних тіл. Оскільки реальні тіла є
обмеженими, то їхня контактна взаємодія не
завжди адекватно може бути описана теорі-
єю Герца. В першу чергу це стосується ша-
руватих трибосистем.
До некласичних контактних задач також
потрібно віднести задачі про контакт цилінд-
ричних тіл, актуальність яких полягає у тому,
що порожнистий циліндр є найрозповсюдже-
нішим конструкційним елементом у маши-
нобудуванні.
Напружено-деформований стан порожнис-
того циліндра за дії різних видів з урахуван-
Компьютерная математика. 2012, № 2 63
ням теплоутворення від тертя
детально вивчений у [4 – 6].
СТАТИЧНА ТЕРМОПРУЖНА РІВНОВАГА ДВОШАРОВОЇ M-КУТНОЇ ТРУБИ...
Компьютерная математика. 2012, № 2 63
Незважаючи на численні публікації, що стосуються різних аспектів контакт-
ної взаємодії тіл з урахуванням теплоутворення від дії сил тертя, поза увагою
дослідників все ж залишилося важливе для аналізу реальних процесів питання
вивчення особливостей контакту та впливу теплоутворення на механізм розпо-
ділу напружень у двошаровій трубі з недосконалостями форми під час обтис-
кання та фрикційного нагріву. Першою у цьому напрямі є праця [7], де розгля-
нута гранично-контактна термопружна задача для двошарової ексцентричної
циліндрично кругової труби. Вона була розв’язана методом малого параметра з
урахуванням членів першого порядку малості.
Постановка задачі. Нехай довга кругова осесиметрична труба 1 з внутріш-
нім радіусом a та зовнішнім радіусом c вставлена без натягу й просвіту в зов-
нішню m-кутну трубу 2 з внутрішнім радіусом c . Зовнішня поверхня труби 2
у поперечному перерізі має форму m-кутника (рисунок, а, б) із заокругленими
кутами, рівняння якого позначимо ( )b br r= ϕ . На бічних поверхнях двошарової
труби задаємо рівномірно розподілені стискувальні нормальні напруження
1 ( )P r a= , 2 ( )bP r r= .
ω
r
1P
2P
c
br
a
2 1 x
ϕ
а
P2
P1
r
rb
c
a
ω12
y
x
ϕ
б
РИСУНОК. Схема задачі
Внутрішня труба обертається з малою сталою кутовою швидкістю ω , вна-
слідок чого на поверхні контакту труб виділяється тепло від тертя, підпорядко-
ваного закону Амонтона. Між зовнішніми поверхнями двошарової труби і до-
вкіллям, температуру якого вважаємо нульовою, відбувається теплообмін за за-
коном Ньютона зі сталими коефіцієнтами тепловіддачі. Механічні й теплофізич-
ні характеристики матеріалів труб не залежать від температури. Тепловий кон-
такт труб неідеальний. За таких припущень визначимо температуру, напруження
і переміщення в трубах, зокрема, контактний тиск між ними.
Оскільки поставлена задача є плоскою, то для побудови її розв’язку засто-
суємо полярну систему координат ( ),r φ з полюсом у центрі поперечного пере-
різу внутрішньої труби та полярною віссю, що збігається з геометричною лінією
симетрії двошарової труби.
Л.А. КАРПЮК, Б.С. БІЛАН
Компьютерная математика. 2012, № 2 64
У математичному плані задача зводиться до послідовного розв’язання двох
завдань.
Перше завдання – це побудова розв’язку диференціального рівняння тепло-
провідності:
( )
2 2
2 2 2
1 1
0 1,2 ,i i it t t
i
r r r r
∂ ∂ ∂+ + = =
∂ ∂ ∂ϕ
(1)
за таких крайових
1
1 1: ,
t
r a t
r
∂= = γ
∂
2
2 2:b
t
r r t
n
∂= = −γ
∂
(2)
і контактних теплових умов
( ) ( )
3
1 2
1 2 0
1
: cos sin ,k km k km
k
t t
r c fc p p l q l
r r =
∂ ∂ = λ − λ = ω + ϕ + ϕ ∂ ∂
∑
( )1 2
1 2 1 2 0,
t t
h t t
r r
∂ ∂λ + λ + − =
∂ ∂
(3)
де it – температура; iγ – відносний коефіцієнт тепловіддачі; iλ – коефіцієнт
теплопровідності; h – коефіцієнт термічної провідності поверхні контакту (ін-
декс i = 1 відповідає внутрішній трубі; індекс і = 2 – зовнішній трубі);
0 , ,k kp p q ( 1, 2, 3k = ) – коефіцієнти складових контактного тиску; , ,i i iE υ α –
модулі пружності, коефіцієнти Пуассона та лінійного теплового розширення ві-
дповідних труб; n і τ відповідають зовнішній нормалі та дотичній до контуру
br r= .
Друге завдання зводиться до побудови розв’язків рівнянь щодо функції
напружень:
( ) ( )2 , 0;i r∆ Φ ϕ = (4)
( ) ( )
2 2
2
2 2 2
1 1
, , ,
1
i i i
i
i
E
r t
r r r r
α ∂ ∂ ∂∆ Ψ ϕ = ∆ ∆ = + +
− ν ∂ ∂ ∂ϕ
(5)
за таких крайових
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2
1 2: , 0; : , 0r b nr a P u r r P uϕ τ= σ = − = = σ = − = (6)
і контактних механічних умов
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3
1 2
0
1
3
1 2
0
1
1 2
: cos sin ,
cos sin ,
.
rr rr k km k km
k
r r k km k km
k
r r
r c p p l q l
fp f p l q l
u u
=
ϕ ϕ
=
= σ = σ = − − ϕ + ϕ
σ = σ = − − ϕ + ϕ
=
∑
∑ (7)
СТАТИЧНА ТЕРМОПРУЖНА РІВНОВАГА ДВОШАРОВОЇ M-КУТНОЇ ТРУБИ...
Компьютерная математика. 2012, № 2 65
Нормальні ( ) ( ) ( ), ,i i i
rr zzϕϕσ σ σ та дотичні ( )i
rϕσ напруження всередині кожної з
труб визначаються за формулами:
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )2 2
2 2 2
1 1
, ,
i i i i i i
i i
rr r r r rϕϕ
∂ Φ − Ψ ∂ Φ − Ψ ∂ Φ − Ψ
σ = + σ =
∂ ∂ϕ ∂
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
1 1
, 1,2 .
i i i i
i i i i
zz i r i i i rE t i
r r rϕ ϕ
∂ Φ − Ψ ∂ Φ − Ψ
σ = ν σ + σ −α σ = − + =
∂ ∂ϕ ∂ϕ
(8)
Радіальні ( )i
ru та тангенціальні ( )iuφ переміщення пов’язані з температурою
і напруженнями такими співвідношеннями:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )1 1 1
1 , 2 ,
i ii i
i i ir i r i
i rr i i i i r
i i
u uu u
E t
r E r r r E
ϕ ϕ
ϕϕ ϕ
∂∂ + ν ∂ + ν = − ν σ − ν σ + α + − = σ ∂ ∂ϕ ∂
( ) ( )
( ) ( ) ( )1 1
1 .
i i
i ir i
i i rr i i i
i
u u
E t
r r E
ϕ
ϕϕ
∂ + ν + = − ν σ − ν σ + α ∂ϕ
(9)
Побудова розв’язку задачі. Задачу розв’язуватимемо наближено методом
малого параметра [6], обмежившись у всіх подальших перетвореннях і результа-
тах величинами третього порядку малості. Рівняння контуру зовнішньої бічної
поверхні двошарової труби в полярній системі координат матиме вигляд:
( ) ( )
2
2 2 1
1 cos 1 cos 2 1
2br x y b m m
= + ≈ + ε + ϕ − ε + ϕ +
( )
3
1
cos 3 1
2
m
+ ε + ϕ =
[ ] ( ) ( )
3
2 3
1 2 3
1
1 1
cos , , , , 1 1,2,3 .
4 8k km km
k
b l b b b l k m k
=
= + ε ϕ ε =ε ε =− ε ε = ε = + =∑ (10)
Розв’язок подамо сумою чотирьох доданків:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
, , , , , ,
0 0 0 0 0 0
, , , , , ,i i i i i i i i i i
i i k k r r k rr rr k k r r k
k k k k k k
t t u u u uϕ ϕ ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ
= = = = = =
= = = σ = σ σ = σ σ = σ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (11)
у якому величини з нульовими індексами 0k = характеризують осесиметричну
частину задачі, з індексами 0k > – малі відхилення від неї (збурену частину).
В результаті отримаємо систему рівнянь (11) для визначення невідомих па-
раметрів ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,i i i i
jk jk jk jk k kA B C D p q ( 1,2; 1,2; 1,2,3).i j k= = = Кількість рів-
нянь дорівнює кількості невідомих:
Л.А. КАРПЮК, Б.С. БІЛАН
Компьютерная математика. 2012, № 2 66
(1)
,: 0rr kr a= σ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 12 2
1 1 1 1
2 2 2 22 2
1 1 2 1 1 2
0,
1 1 2 1 1 2
0;
km km km km
km km km km
km km km km km km km km
k k k kl l l l
km km km km km km km km
k k k kl l l l
l l l l l l l l
A B C D
a a a a
l l l l l l l l
A B C D
a a a a
+ − + −
+ − + −
+ − + − + −
+ + + =
+ − + − + − + + + =
(1)
,: 0kr a uϕ= = ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 11 1
11 1 1 11 1
11 1 1 1
1 11 1
12 2 2 22 2
11 1 1 1
4 4 4 4
0,
4 4 4 4
0;
km km km km
km km km km
km k km kkm k km k
kl l l l
km k km kkm k km k
kl l l l
l B l Dl A l C
f a
a a a a
l B l Dl A l C
g a
a a a a
+ − − + − −
+ − − + − −
ν − + − ν +
+ + + + =
ν − + − ν + + + + + =
( ) ( ) ( )2
, 1 2: cos sinrr k k km k kmr b l l= σ = ε ϕ − ε ϕ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1 12 2
2 2 2 2
2 2 2 2 22 2
1 1 2 1 1 2
,
1 1 2 1 1 2
;
km km km km
km km km km
km km km km km km km km
k k k k kl l l l
km km km km km km km km
k k k k kl l l l
l l l l l l l l
A B C D
b b b b
l l l l l l l l
A B C D
b b b b
+ − + −
+ − + −
+ − + − + −
+ + + = ε
+ − + − + − + + + = ε
( ) ( ) ( )2
, 3 4: sin cosk k km k kmr b u l lϕ= = ε ϕ − ε ϕ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 22 2
21 1 1 11 1
2 31 1 1 1
2 22 2
22 2 2 22 2
2 41 1 1 1
4 4 4 4
,
4 4 4 4
;
km km km km
km km km km
km k km kkm k km k
k kl l l l
km k km kkm k km k
k kl l l l
l B l Dl A l C
f b
b b b b
l B l Dl A l C
g b
b b b b
+ − − + − −
+ − − + − −
ν − + − ν +
+ + + + = ε
ν − + − ν + + + + + = ε
( ) ( ) ( )1
,: cos sinrr k k km k kmr c p l q l= σ = − ϕ − ϕ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 12 2
1 1 1 1
2 2 2 22 2
1 1 2 1 1 2
,
1 1 2 1 1 2
;
km km km km
km km km km
km km km km km km km km
k k k k kl l l l
km km km km km km km km
k k k k kl l l l
l l l l l l l l
A B C D p
c c c c
l l l l l l l l
A B C D q
c c c c
+ − + −
+ − + −
+ − + − + −
+ + + =
+ − + − + − + + + =
СТАТИЧНА ТЕРМОПРУЖНА РІВНОВАГА ДВОШАРОВОЇ M-КУТНОЇ ТРУБИ...
Компьютерная математика. 2012, № 2 67
( ) ( ) ( )2
,: cos sinrr k k km k kmr c p l q l= σ = − ϕ − ϕ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 12 2
2 2 2 2
2 2 2 22 2
1 1 2 1 1 2
,
1 1 2 1 1 2
;
km km km km
km km km km
km km km km km km km km
k k k k kl l l l
km km km km km km km km
k k k k kl l l l
l l l l l l l l
A B C D p
c c c c
l l l l l l l l
A B C D q
c c c c
+ − + −
+ − + −
+ − + − + −
+ + + =
+ − + − + − + + + =
( ) ( ) ( )1
,: cos sinr k k km kmr c fq l fp lϕ= σ = − ϕ − ϕ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 12 2
1 1 1 1
2 2 2 22 2
1 1 1 1
,
1 1 1 1
;
km km km km
km km km km
km km km km km km km km
k k k k kl l l l
km km km km km km km km
k k k k kl l l l
l l l l l l l l
A B C D fq
c c c c
l l l l l l l l
A B C D fp
c c c c
+ − + −
+ − + −
+ − − +
+ − − =
+ − − + + − − =
( ) ( ) ( )2
,: cos sinr k k km kmr c fq l fp lϕ= σ = − ϕ − ϕ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 12 2
2 2 2 2
2 2 2 22 2
1 1 1 1
,
1 1 1 1
;
km km km km
km km km km
km km km km km km km km
k k k k kl l l l
km km km km km km km km
k k k k kl l l l
l l l l l l l l
A B C D fq
c c c c
l l l l l l l l
A B C D fp
c c c c
+ − + −
+ − + −
+ − − +
+ − − =
+ − − + + − − =
( ) ( )1 2
, ,: r k r kr c u u= = ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 11 1
1 1 1 1 11 1 1 1
2 2 2 2 22 2
1 1 1 1 21 1 1 1
1 11
2 2 21 1 1
2 4 2 4
2 4 2 4
,
2 4
km km km km
km km km km
km km km
km km km km
k k k k kl l l l
km km km km
k k k k kl l l l
km km km
k k kl l l
l l l l
A B C D f c
c c c c
l l l l
A B C D f c
c c c c
l l l
A B C
c c c
+ − − + − −
+ − − + − −
+ − − +
− ν + − ν −+ − + + =
− ν + − ν −= + − + +
− ν ++ − ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 11
2 11
2 2 2 2 22 2
2 2 2 2 21 1 1 1
2 4
2 4 2 4
. (12)
km
km km km km
km
k kl
km km km km
k k k k kl l l l
l
D g c
c
l l l l
A B C D g c
c c c c
− −
+ − − + − −
− ν − + + =
− ν + − ν −
= + − + +
Л.А. КАРПЮК, Б.С. БІЛАН
Компьютерная математика. 2012, № 2 68
Висновки. За допомогою методу збурення форми межі побудовано набли-
жений розв’язок плоскої квазістатичної статичної гранично-контактної термоп-
ружної задачі для двошарової m -кутної труби, яка перебуває під дією нерівно-
мірно розподіленого фрикційного температурного поля та рівномірно розподі-
леного зовнішнього та внутріш-нього тисків. Цей розв’язок точно задовольняє
диференціальному рівнянню тепло-провідності та рівнянням на функції напру-
жень, контактним умовам складових труб та умовам на внутрішньому контурі
двошарової системи. Лише теплові та механічні умови на зовнішньому контурі
задовольняються наближено і за величиною похибки їх виконання можна судити
про точність отриманих результатів. Числовий аналіз задачі свідчить, що
збільшення малого параметра ε веде до збільшення відхилення значень
радіальних напружень двошарової трибосистеми, а отже збільшення похибки
обчислень. Також збільшення параметра m (кількості кутів двошарової m -
кутної труби із заокругленими кутами) за фіксованого значення збурювального
параметра ε спричиняє збільшення відхилення значень радіальних напружень
двошарової трибосистеми. Відносна похибка
( )2
2
,
100 %rrP r
P
− σ φ
∆ = ⋅ задово-
лення крайової умови (6) на зовнішньому контурі двошарової трибосистеми за
різних значень збурювального параметра ε і різних значень полярного кута φ
для двошарової трибосистеми швидко збільшується при значеннях збурюваль-
ного параметра 0,1ε > (для двошарової еліптичної і трикутної труби), а для
чотирикутної труби із заокругленими кутами – при 0,08ε > і складає більше
10%. Отже збільшення параметра ε за тими межами спричиняє те, що задача в
такій постановці не дає достатньо точного результату і слід використовувати
інші підходи до її розв’язання. Отже, щоб задовільнити крайову умову (6) на
зовнішньому контурі двошарової трибосистеми можна користуватися значення-
ми 0 0,08ε = ÷ . При 0 0,03≤ ε ≤ похибка не перевищує 3 %.
Л.А. Карпюк, Б.С. Билан
СТАТИЧЕСКОЕ ТЕРМОПРУЖНОЕ РАВНОВЕСИЕ ДВУХСЛОЙНОЙ
M-УГОЛЬНОЙ ТРУБЫ ПО ЕЕ ОБЖАТИЮ И ФРИКЦИОННОГО НАГРЕВА
Сформулировано и на основе использования метода возмущения формы границы построены
приближенные решения статистических задач термоупругости для двухслойных три-
босистем.
L.A. Karpiuk, B.S. Bilan
STATYCHSNA THERMOELASTIC BALANCE DUPLEX M-RECTANGULAR PIPES FOR
ITS OBTYSKANNYA AND FRICTION HEATING
And formulated on the basis of the method of perturbation of boundary shape based on approximate
solutions of the new-static thermoelasticity problem for two-layer triathl systems.
СТАТИЧНА ТЕРМОПРУЖНА РІВНОВАГА ДВОШАРОВОЇ M-КУТНОЇ ТРУБИ...
Компьютерная математика. 2012, № 2 69
1. Коровчинский М.В. Плоская контактная задача термоупругости при стационарном тепло-
выделении на поверхностях соприкасания // Контактная прочность машиностроитель-
ных материалов. – М.: Наука, 1964. – С. 2 – 27.
2. Barber J.R. Thermoelastic instabilities in the sliding of conforming solids // Proc. Roy. Soc. –
1969. – V. A312. – P. 381 – 394.
3. Гриліцький Д.В., Євтушенко О.О. Контактаі задачі термопружності з урахуванням тепло-
утворення // Математині методи і фізико-механічні поля. – 1992. – Вип. 35. – С. 93–100.
4. Гриліцький Д.В., Баран В.П. Про постановку контактних задач термопружності при неі-
деальному тепловому контакті тіл // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1987. – Вип. 27.
– С. 10 – 13.
5. Грилицкий Д.В., Евтушенко А.А., Паук В.И. Плоская контактная задача нестационарной
термоупругости с учетом теплообразования от трения // Изв. РАН. МТТ. – 1994. – № 5. –
С. 62–68.
6. Гриліцький Д.В., Краснюк П.П. Квазістатична контактна взаємодія двох кільцевих плас-
тин з теплоутворенням від тертя // Доп. НАН України. – 1995. – № 11. – С. 41–45.
7. Білан Б.С., Карпюк Л.А. Аналіз математичних моделей і постановка задач контактної
взаємодії двошарових трибосистем // Вісник НУВГП. – 2012. – № 3. – С. 10 –17.
8. Уздалев А.И. Температурные напряжения в пластинках, ограниченных двухсвязным кон-
туром. – Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1975. – 175 с.
Одержано 29.10.2012
Про авторів:
Карпюк Леся Анатоліївна,
магістрант, студентка 6-го курсу теплоенергетичного факультету
Національного технічного університету України «КПІ»,
KarpiukLesia@gmail.com
Білан Богдан Степанович,
старший викладач Національного університету водного господарства
та природокористування, м. Рівне.
rivnehost@i.ua.
|