Напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці
Дано розв’язання задач про напружений стан гофрованих у поперечному перерiзi цилiндричних оболонок змiнної товщини в уточненiй постановцi з використанням методiв сплайн-колокацiї та дискретної ортогоналiзацiї. Дослiджено вплив частоти гофрування на розподiл полiв перемiщень та напружень. The solutio...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8471 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці / C.M. Яремченко // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 66-69. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860149701760778240 |
|---|---|
| author | Яремченко, C.M. |
| author_facet | Яремченко, C.M. |
| citation_txt | Напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці / C.M. Яремченко // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 66-69. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Дано розв’язання задач про напружений стан гофрованих у поперечному перерiзi цилiндричних оболонок змiнної товщини в уточненiй постановцi з використанням методiв сплайн-колокацiї та дискретної ортогоналiзацiї. Дослiджено вплив частоти гофрування на розподiл полiв перемiщень та напружень.
The solution of the problem on a stressed state of corrugated cross-section variable thickness cylindrical shells is given using the spline-approximation and discrete orthogonalization methods. The influence of the corrugation frequency on the fields of displacements and stresses is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:51:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
C.M. Яремченко
Напружено-деформований стан гофрованих
цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
Дано розв’язання задач про напружений стан гофрованих у поперечному перерiзi цилiнд-
ричних оболонок змiнної товщини в уточненiй постановцi з використанням методiв
сплайн-колокацiї та дискретної ортогоналiзацiї. Дослiджено вплив частоти гофрування
на розподiл полiв перемiщень та напружень.
Гофрованi вздовж напрямної цилiндри часто застосовуються як елементи конструкцiй у су-
часнiй технiцi, тому задачi про напружено-деформований стан оболонок цього класу мають
широке практичне значення [1]. У роботi [2] дослiджено тонкi гофрованi оболонки на основi
гiпотези Кiрхгофа–Лява. В [3] наведено пiдхiд до розв’язання задач про напружений стан
нетонких цилiндричних гофрованих оболонок в уточненiй постановцi.
У данiй роботi проведено аналiз впливу на напружений стан цилiндричної оболонки
змiнної товщини частоти (кроку) її гофрування вздовж напрямної. За вихiднi приймаються
рiвняння уточненої теорiї оболонок, що враховує поперечнi зсуви [4]. Дослiдження прово-
дилися з використанням методiв сплайн-апроксимацiї [5, 1] i дискретної ортогоналiзацiї [1]
для розв’язання двовимiрних крайових задач.
Нехай рiвняння напрямної серединної поверхнi цилiндричної оболонки задано в поляр-
нiй системi координат r, θ
r(θ) = r0 + α cosmθ, (1)
де r — полярний радiус; r0 — радiус кругового цилiндра; α — амплiтуда; m — частота
гофрування.
Вiднесемо серединну поверхню оболонки до ортогональної системи координат s, θ, де
s — координата вздовж твiрної. Нехай γ — координата, нормальна до серединної поверхнi
оболонки. Перша квадратична форма серединної поверхнi оболонки має такий вигляд:
dS2 = ds2 +A2
2(θ)dθ
2 (0 6 s 6 l, 0 6 θ 6 2π). (2)
У цьому випадку A2 =
√
r2 + (r′)2.
Обравши за невiдомi функцiї компоненти вектора перемiщення серединної поверхнi обо-
лонки u, v, w та повнi кути повороту ψs, ψθ, розв’язувальну систему рiвнянь у частинних
похiдних, що описує напружений стан ортотропних некругових цилiндричних оболонок,
можна записати у виглядi [3, 6]
Ly = 0, (3)
де L— лiнiйний диференцiальний оператор другого порядку, а y = {u, v,w, ψs, ψθ} — шукана
вектор-функцiя.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Нехай торцi оболонки жорстко закрiпленi, тодi на контурах s = 0, та s = l задаються
умови
y = 0. (4)
Будемо дослiджувати оболонки, поперечний перерiз яких має симетрiю, тодi у вiдповiд-
них двох точках θ = const виконуються такi умови:
∂u
∂θ
= v =
∂w
∂θ
=
∂ψs
∂θ
= ψθ = 0. (5)
Система рiвнянь (3) i граничнi умови (4), (5) утворюють двовимiрну крайову задачу.
Оскiльки у цьому випадку кривина поперечного перерiзу серединної поверхнi оболонки
може значно змiнюватись, то сплайн-апроксимацiю будемо проводити вздовж твiрної. Так
як на торцях оболонки задано умови (4), то розв’язок задачi подамо у виглядi
y =
N
∑
i=0
yiϕi(s). (6)
У виразi (6) yi = {ui(θ), vi(θ), wi(θ), ψsi(θ), ψθi(θ)} — невiдомi функцiї, a ϕi(s) — лiнiйнi
комбiнацiї B-сплайнiв третього степеня на рiвномiрнiй сiтцi, що задовольняють граничнi
умови (4) [1]. Пiдставляючи вирази (6) у розв’язувальнi рiвняння (3) i умови симетрiї (5),
вимагаємо, щоб отримана система i граничнi умови точно задовольнялися в N +1 точцi ко-
локацiї si вздовж твiрної. Як результат отримуємо одновимiрну крайову задачу, яку можна
подати у виглядi
dz
dθ
= Az + f ;
B1z = b1 (θ = θ1), B2z = b2 (θ = θ2),
(7)
де z = {y0, . . . , yN , y
′
0, . . . , y
′
N} — вектор-функцiя вiд θ; f — вектор правих частин; A —
квадратна матриця, елементи якої залежать вiд θ; B1 та B2 — матрицi граничних умов; b1
i b2 — вiдповiднi вектори. Одновимiрна крайова задача (7) розв’язується стiйким чисель-
ним методом дискретної ортогоналiзацiї [1]. Пiсля пiдстановки значень yi в (6) одержимо
розв’язок двовимiрної крайової задачi.
На основi викладеного пiдходу проведемо аналiз напруженого стану цилiндричних обо-
лонок з поперечним перерiзом, що задається рiвнянням (1). Спочатку проаналiзуємо вплив
параметра частоти гофрування на прогини i напруження замкненої трансверсально iзо-
тропної оболонки сталої товщини з такими параметрами: r0 = 15, L = 30, α = 0,1, товщина
h = 1, модуль Юнга E, модулi зсуву Gsγ = Gθγ = G′ = E/40, коефiцiєнт Пуассона ν = 0,3.
На оболонку дiє рiвномiрно розподiлене навантаження qγ = q0.
На рис. 1 та 2 показано розподiл прогинiв w та напружень σ+
θ на зовнiшнiй поверхнi
оболонки залежно вiд частоти гофрування в перерiзi s = l/2.
Як видно з графiкiв, що зображенi на рис. 1, максимальнi прогини можна спостерiгати
при θ = π/m для всiх трьох випадкiв частоти. Найбiльшi значення прогину спостерiгаю-
ться при m = 4. Зi збiльшенням m максимальний прогин зменшується. У вершинi гофра
найбiльшi прогини при m = 12. Як випливає з рис. 1, при збiльшеннi частоти гофруван-
ня коливання мiж максимальним i мiнiмальним значенням прогину зменшується. Так при
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 67
Рис. 1. Розподiл прогинiв вздовж напрямної при
s = l/2
Рис. 2. Розподiл напружень σ+
θ
вздовж напрям-
ної при s = l/2
m = 4 значення прогину при θ = π/4 перевищує прогин у точцi θ = 0 бiльш нiж у 20 разiв,
зi збiльшенням m до 8 можна побачити, що максимальний прогин бiльший за мiнiмальний
приблизно в 3,5 рази, у випадку m = 12 рiзниця мiж прогинами при θ = π/12 i у вершинi
гофра ще менша.
Напруження σ+
θ на зовнiшнiй поверхнi оболонки наведенi на рис. 2. Як видно з графiкiв,
максимальнi напруження спостерiгаються, так як i прогини, поблизу точки θ = π/m, а мi-
нiмальнi — при вершинi. Зi збiльшенням m вiд 4 до 8 максимальнi напруження зростають
приблизно на 15%. При змiнi частоти гофрування вiд 8 до 12 як найбiльшi, так i найменшi
значення напружень мало вiдрiзняються, хоча можна помiтити незначне зростання макси-
мальних та спадання мiнiмальних значень.
Також розв’язано задачу для оболонок з вказаними вище параметрами, у яких товщина
змiнюється за законом h = 1 + β cos(mθ). В табл. 1 наведено розподiл прогинiв оболонки
в серединному перерiзi залежно вiд параметра β. Як видно з таблицi, залежнiсть проги-
нiв вiд параметра товщини немонотонна для всiх значень θ, що розглядалися. Крiм того,
максимальнi прогини для рiзних значень θ спостерiгаються при рiзних параметрах β. На-
приклад, при m = 4 для значень θ = π/16 та θ = π/8 максимальнi прогини досягаються
при β = −0,5, а для iнших значень θ, вказаних у таблицi, — при β = 0,5. Отже, варiюю-
чи параметрами товщини та частоти гофрування оболонки, можна досягти рацiональних
характеристик її напружено-деформованого стану.
Таблиця 1. Розподiл прогинiв залежно вiд частоти гофрування i параметра змiни товщини
m mθ/π
wE/q0
β = −0,5 β = −0,25 β = 0 β = 0,25 β = 0,5
4 0 18,2 14,3 17,7 27,5 46,1
0,25 127,5 91,0 76,2 74,3 85,1
0,5 286,2 244,7 221,3 209,7 211,4
0,75 375,5 359,5 361,6 378,1 415,4
1 403,1 399,8 419,3 463,3 555,7
8 0 98,7 98,4 106,2 123,4 156,2
0,25 175,9 150,0 144,0 152,1 178,2
0,5 297,3 256,3 237,4 233,3 248,0
0,75 371,3 338,2 327,3 331,2 354,7
1 395,2 367,6 364,1 379,4 423,6
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
1. Григоренко Я.М., Влайков Г. Г., Григоренко А.Я. Численно-аналитическое решение задач механики
оболочек на основе различных моделей. – Киев: ИД «Академпериодика», 2006. – 472 с.
2. Grigorenko Ya.M., Zakhariichenko L. I. Studying the effect of the spatial frequency and amplitude of
corrugation on the stress-strain state of cylindrical shells // Int. Appl. Mech. – 2003. – 39, No 12. –
P. 1429–1435.
3. Grigorenko Ya.M., Yaremchenko S.N. Refined design of corrugated noncircular cylindrical shells // Ibid. –
2005. – 41, No 1. – P. 7–13.
4. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой
жесткостью. – Киев: Наук. думка, 1987. – 216 с.
5. Завьялов Ю.С., Квасов Ю.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. – Москва: Наука,
1980. – 352 с.
6. Яремченко С.М. Про розв’язання двовимiрних крайових задач статики некругових цилiндричних
оболонок в уточненiй постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй // Доп. НАН України. – 2007. –
№ 11. – С. 75–80.
Надiйшло до редакцiї 03.06.2008Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
S.M. Yaremchenko
Stress-strain state of corrugated shells in refined formulation
The solution of the problem on a stressed state of corrugated cross-section variable thickness cy-
lindrical shells is given using the spline-approximation and discrete orthogonalization methods. The
influence of the corrugation frequency on the fields of displacements and stresses is investigated.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 69
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8471 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:51:24Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Яремченко, C.M. 2010-06-01T08:52:40Z 2010-06-01T08:52:40Z 2009 Напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці / C.M. Яремченко // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 66-69. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8471 539.3 Дано розв’язання задач про напружений стан гофрованих у поперечному перерiзi цилiндричних оболонок змiнної товщини в уточненiй постановцi з використанням методiв сплайн-колокацiї та дискретної ортогоналiзацiї. Дослiджено вплив частоти гофрування на розподiл полiв перемiщень та напружень. The solution of the problem on a stressed state of corrugated cross-section variable thickness cylindrical shells is given using the spline-approximation and discrete orthogonalization methods. The influence of the corrugation frequency on the fields of displacements and stresses is investigated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці Stress-strain state of corrugated shells in refined formulation Article published earlier |
| spellingShingle | Напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці Яремченко, C.M. Механіка |
| title | Напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці |
| title_alt | Stress-strain state of corrugated shells in refined formulation |
| title_full | Напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці |
| title_fullStr | Напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці |
| title_full_unstemmed | Напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці |
| title_short | Напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці |
| title_sort | напружено-деформований стан гофрованих циліндричних оболонок в уточненій постановці |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8471 |
| work_keys_str_mv | AT âremčenkocm napruženodeformovaniistangofrovanihcilíndričnihobolonokvutočneníipostanovcí AT âremčenkocm stressstrainstateofcorrugatedshellsinrefinedformulation |