Аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса
Построена дробно-дифференциальная математическая модель для исследования локально-неравновесных геомиграционных процессов с учетом химического осмоса и ультрафильтрации. Поставлена соответствующая данной модели краевая задача и получено ее аналитическое решение. Побудована дробово-диференційна матем...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84723 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса / Т.Ю. Благовещенская, В.М. Булавацкий, А.В. Гладкий // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 13-19. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859863494014271488 |
|---|---|
| author | Благовещенская, Т.Ю. Булавацкий, В.М. Гладкий, А.В. |
| author_facet | Благовещенская, Т.Ю. Булавацкий, В.М. Гладкий, А.В. |
| citation_txt | Аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса / Т.Ю. Благовещенская, В.М. Булавацкий, А.В. Гладкий // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 13-19. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Построена дробно-дифференциальная математическая модель для исследования локально-неравновесных геомиграционных процессов с учетом химического осмоса и ультрафильтрации. Поставлена соответствующая данной модели краевая задача и получено ее аналитическое решение.
Побудована дробово-диференційна математична модель для дослідження локально-нерівноважних геоміграційних процесів з урахуванням хімічного осмосу і ультрафільтрації. Поставлена відповідна цій моделі крайова задача та одержано її аналітичний розв’язок.
A fractional differential mathematical model for investigation of local-nonequilibrium geomigration processes with chemical osmosis and ultrafiltration is constructed. A statement of the corresponding boundary-value problem is given and its analytical solution is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:47:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2013, № 1 13
Построена дробно-дифференци-
альная математическая модель
для исследования локально-нерав-
новесных геомиграционных про-
цессов с учетом химического ос-
моса и ультрафильтрации. По-
ставлена соответствующая дан-
ной модели краевая задача и полу-
чено ее аналитическое решение.
Т.Ю. Благовещенская,
В.М. Булавацкий, А.В. Гладкий,
2013
УДК 517.934:532.546
Т.Ю. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ, В.М.
БУЛАВАЦКИЙ,
А.В. ГЛАДКИЙ
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ ОДНОГО
ЛОКАЛЬНО-НЕРАВНОВЕСНОГО
ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО
ГЕОМИГРАЦИОННОГО
ПРОЦЕССА
Введение. Проблема повышения степени
адекватности классических количественных
моделей процессов геомиграции в системах
со сложной пространственно-временной
структурой, для которых характерны эффек-
ты памяти, пространственной нелокальности
и самоорганизации является весьма актуаль-
ной для современной геоинформатики и гео-
гидромеханики. Сложностью данной про-
блемы обусловлен пересмотр основных по-
ложений классической теории переноса в
геопористых средах, в частности, значитель-
ный прогресс в этом направлении достигнут
с использованием формализма интегро-
дифференцирования дробного порядка [1–7].
Поскольку в вышеуказанных случаях систем
со сложной пространственно-временной струк-
турой рассматриваемые математические мо-
дели базируются на системах дифференци-
альных уравнений дробного порядка [3, 4],
то отсюда следует, что данные геомиграци-
онные процессы являются существенно не-
локальными во времени и пространстве.
Отметим, что различным аспектам разра-
ботки методов математического моделирова-
ния локально-неравновесных геомиграцион-
ных процессов в насыщенных солевыми рас-
творами геопористых средах посвящены, в
Т.Ю. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ, В.М. БУЛАВАЦКИЙ, А.В. ГЛАДКИЙ
Компьютерная математика. 2013, № 1 14
частности, работы [5–7]. При
этом в [5] по-
строено ряд новых математи-
ческих моделей для описания
динамики процессов массо-
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ...
Компьютерная математика. 2013, № 1 15
теплопереноса в условиях сильной временной нелокальности и, в рамках ука-
занных моделей, построены замкнутые решения некоторых краевых задач тео-
рии аномальной геофильтрации. В работах [6, 7] построены неклассические ма-
тематические модели геофильтрации солевых растворов с учетом осмотических
явлений в условиях временной нелокальности для неизотермического и изотер-
мического случаев.
В настоящей работе, в рамках развития идей [5–7], построена новая дробно-
дифференциальная математическая модель для изучения локально-неравно-
весных во времени изотермических процессов в насыщенной солевыми раство-
рами геопористой среде с учетом химического осмоса и ультрафильтрации. По-
ставлена соответствующая предложенной модели краевая задача и получено ее
аналитическое решение.
1. Построение математической модели процесса и постановка краевой
задачи. Для математического моделирования фильтрационно-консолидаци-
онного процесса в геопористом массиве, насыщенном солевым раствором с уче-
том временной нелокальности, осмоса и ультрафильтрации [8], обобщим законы
Дарси и Фика таким образом [6, 7]:
1 ,x t
H C
u D k
x x
−β ∂ ∂ = − + ν ∂ ∂
(1)
1 ,t u
C H C H
q D d C k d
x x x x
−β ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + ν + γ ∂ ∂ ∂ ∂
(2)
где xu – скорость геофильтрации; H – избыточный напор [9, 10]; С – концен-
трация солей в жидкой фазе; d – коэффициент диффузии; k – коэффициент
фильтрации [10]; ν – коэффициент осмоса; ud – коэффициент ультрафильтрации
[8]; γ – удельный вес жидкости; β−1
tD – оператор дробного дифференцирования
Римана – Лиувилля [3, 4] порядка )10(1 <β<β− по переменной t .
Тогда, из уравнения неразрывности фильтрационного потока [9, 11] получа-
ем следующее уравнение для определения избыточного напора Н:
2 2
1
2 2t
H H C
D c
t x x
−β
ν
∂ ∂ ∂= − µ ∂ ∂ ∂
(3)
или
,
2
2
2
2
)(
x
C
x
H
cHDt ∂
∂µ−
∂
∂= ν
β (4)
где νc – коэффициент консолидации [10, 12],
k
cνν=µ , )(β
tD – оператор регуля-
ризованной дробной производной порядка β [3, 4].
Т.Ю. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ, В.М. БУЛАВАЦКИЙ, А.В. ГЛАДКИЙ
Компьютерная математика. 2013, № 1 16
Аналогично из соотношения баланса массы солей в жидкой фазе в предпо-
ложении слабой сжимаемости жидкой фазы получаем следующее уравнение для
определения концентрации C:
∂
∂γ−
∂
∂
∂
∂ν−
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂σ β−
2
2
2
2
1
x
H
d
x
C
x
C
x
H
k
x
C
dD
t
C
ut (5)
или
2
2
2
2
)(
x
H
d
x
C
x
C
x
H
k
x
C
dCD ut ∂
∂γ−
∂
∂
∂
∂ν−
∂
∂+
∂
∂=σ β , (6)
где σ – пористость среды.
В случае фильтрационно-консолидационных процессов в глинистых гео-
массивах, ввиду малости соответствующих скоростей фильтрации, допустимо
пренебречь конвективной составляющей в последнем уравнении. Тогда матема-
тическая модель изотермичного локалько-неравновесного фильтрационно-кон-
солидационного процесса в глинистом геомассиве, насыщенном солевым рас-
твором, в условиях наличия химического осмоса и ультрафильтрации будет ба-
зироваться на системе уравнений с дробными производными вида
2
2
2
2
)(
x
C
x
H
cHDt ∂
∂µ−
∂
∂= ν
β , (7)
2
2
2
2
)(
x
H
d
x
C
dCD ut ∂
∂γ−
∂
∂=σ β . (8)
Отметим, что принимаемая в дальнейшем в качестве основной математиче-
ская модель, базирующаяся на уравнениях (7), (8), является естественным обоб-
щением (на случай наличия временной нелокальности) известной [8] математи-
ческой модели для описания рассматриваемого геомиграционного процесса в
равновесных условиях. Действительно, при 1→β из (7), (8) получаем систему
уравнений приведенную в [8]:
2
2
2
2
x
C
x
H
c
t
H
∂
∂µ−
∂
∂=
∂
∂
ν ,
2
2
2
2
x
H
d
x
C
d
t
C
u ∂
∂γ−
∂
∂=
∂
∂σ .
В рамках рассматриваемой математической модели моделирование динами-
ки полей избыточных напоров и концентраций при изотермической фильтраци-
онной консолидации глинистых геомассивов, насыщенных солевыми раствора-
ми, в условиях временной нелокальности, осмоса и ультрафильтрации сводится,
например, в случае массива конечной мощности l с проницаемыми границами,
к решению в области ),0(),0( ∞×l системы уравнений (7), (8) с краевыми
условиями
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ...
Компьютерная математика. 2013, № 1 17
,)0,(,0),(,0),0( 0HxHtlHtH === (9)
,0)0,(,0),(,),0( 0 === xCtlCCtC (10)
где 0H – начальное значение избыточного напора в массиве, 0C – заданное зна-
чение концентрации солей на входе фильтрационного потока.
Введем в рассмотрение безразмерные переменные и параметры соотношениями
.,
,,,,,
0
0
0
0
00
1
2
Cc
Hd
d
c
d
d
Hc
C
H
H
H
C
C
Ct
l
c
t
l
x
x
u
u
νν
ν
β
ν
σ
γ=′
σ
=′
µ=µ′=′=′
=′=′
(11)
Переходя в соотношениях (7) – (10) к безразмерным переменным согласно соот-
ношениям (11) и опуская в дальнейшем знак «штрих» над безразмерными вели-
чинами, получаем следующую краевую задачу:
2
2
2
2
)(
x
C
x
H
HDt ∂
∂µ−
∂
∂=β , (12)
2
2
2
2
)(
x
H
d
x
C
dCD ut ∂
∂−
∂
∂=β , (13)
1)0,(,0),1(,0),0( === xHtHtH , (14)
0)0,(,0),1(,1),0( === xCtCtC . (15)
2. Решение краевой задачи (12) – (15). Умножая уравнения (12), (13) на неко-
торые неопределенные коэффициенты 21, qq и складывая результаты, получаем
[ ]CqdqHdqq
x
CqHqD ut )()()( 12212
2
21
)( µ−+−
∂
∂=+β . (16)
Предположим, что действительная постоянная r такая, что имеют место со-
отношения
212121 , rqqdqrqdqq u =µ−=− . (17)
Необходимое и достаточное условие наличия у системы линейных однородных
уравнений (17) нетривиальных решений дает уравнение
0)1(2 =µ−++− uddrdr . (18)
Отсюда
04)1(),1(
2
1 2
2,1 >µ+−=∆∆±+= udddr . (19)
Определив нетривиальные решения системы (17) при )2,1( == irr i ,
например в виде }1,{ iQ , где )2,1(
1
=
−
= i
r
d
Q
i
u
i , и вводя обозначения
)2,1(),(),(),( =+=ψ itxCtxHQtx ii , (20)
Т.Ю. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ, В.М. БУЛАВАЦКИЙ, А.В. ГЛАДКИЙ
Компьютерная математика. 2013, № 1 18
с учетом (16) получаем для отыскания неизвестных функций )2,1( =ψ ii
совокупность уравнений
)2,1(
2
2
)( =
∂
ψ∂=ψβ i
x
rD i
iit . (21)
Краевые условия для (21) имеют вид
(0, ) 1, (1, ) 0, ( ,0) ( 1,2).i i i it t x Q iψ = ψ = ψ = = (22)
Для физической корректности рассматриваемой задачи необходимо выполнение
условия γ ud kdν < .
Приводя задачи (21), (22) к однородным граничным условиям и применяя
конечное интегральное преобразование Фурье [13, 14] по переменной х получа-
ем задачи типа Коши для дробно-дифференциального уравнения вида:
)2,1(0)()( 2)( ==λ+β iturtuD
nn iniit , (23)
)2,1()0( )( =α= iu i
nin
, (24)
где
.,
1])1(1[
,1),(),(,)sin(),()(
1
)(
1
0
π=λ
λ
−−+=α
−+ψ=ΨλΨ=
+
∫
n
Q
xtxtxdxxtxtu
n
n
n
ii
n
iiniin
(25)
Решая задачи (23), (24) и, возвращаясь в область оригиналов по геометрической
переменной, получаем
)2,1()sin()(21),( 2
1
)( =λλ−α+−=ψ β
β
∞
=
∑ ixtrExtx nni
n
i
ni , (26)
где )(zEβ – функция Миттаг – Леффлера [3, 4].
При этом переход к функциям напора H и концентрации C осуществляется
по формулам:
21
1221
21
21 ,
QQ
QQ
C
QQ
H
−
ψ−ψ=
−
ψ−ψ= . (27)
Таким образом доказано следующее утверждение:
Теорема. Если 10 <β< , то краевая задача (12) – (15) имеет решение
(Н, С), даваемое формулами (27), (26), при условии, что ряды в (26) сходятся.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ...
Компьютерная математика. 2013, № 1 19
Отметим, что из соотношений (27), (26) при 1→β получаем решение рас-
сматриваемой задачи в классической постановке, без учета временной нело-
кальности процесса [8]. Это решение имеет вид (27), где )2,1( =ψ ii определя-
ются соотношениями (26) при 1→β , т. е.
)2,1()sin(21),(
2
1
)( =λα+−=ψ λ−
∞
=
∑ ixextx n
tr
n
i
ni
ni ,
что совпадает с решением приведенным в [8].
Заключение. Предложенная в работе математическая модель и полученные
результаты дают возможность учета на аналитическом уровне новых важных
факторов (не учитываемых классическими математическими моделями), тесно
связанных с наличием существенной временной нелокальности процесса геоми-
грации солевых растворов.
Т.Ю. Благовещенська, В.М. Булавацький, А.В. Гладкий
АНАЛІТИЧНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ОДНОГО
ЛОКАЛЬНО-НЕРІВНОВАЖНОГО ІЗОТЕРМІЧНОГО ГЕОМІГРАЦІЙНОГО ПРОЦЕСУ
Побудована дробово-диференційна математична модель для дослідження локально-нерівно-
важних геоміграційних процесів з урахуванням хімічного осмосу і ультрафільтрації. Постав-
лена відповідна цій моделі крайова задача та одержано її аналітичний розв’язок.
T.Y. Blagoveschenskaya, V.M. Bulavatsky, A.V. Gladky
ANALYTICAL SOLUTION TO A MATHEMATICAL MODELING PROBLEM
OF A LOCAL-NONEQUILIBRIUM ISOTHERMICAL GEOMIGRATION PROCESS
A fractional differential mathematical model for investigation of local-nonequilibrium geomigration
processes with chemical osmosis and ultrafiltration is constructed. A statement of the corresponding
boundary-value problem is given and its analytical solution is obtained.
1. Gorenflo R., Mainardi F., Moretti D., Paradisi P. Time fractional diffusion: a discrete random
walk approach // Nonlinear Dynamics. – 2002. –29, N 1–4. – P. 129–143.
2. Paradisi P., Cesari R., Mainardi F., Tampieri F. The fractional Fick’s law for non-local trans-
port processes // Physica A. – 2001. – 293, N 1–2. – P. 130–142.
3. Podlubny I. Fractional differential equation. –New York: Academ. Press, 1999. –341 p.
4. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential
equation. – Amsterdam: Elsevier, 2006. – 523 p.
5. Булавацкий В.М. Некоторые математические модели геоинформатики для описания про-
цессов переноса в условиях временной нелокальности // Проблемы управления и инфор-
матики. – 2011. – № 3. – С. 128–137.
6. Булавацкий В.М. Неклассическая математическая модель геоинформатики для решения
задач динамики неравновесных неизотермических геофильтрационных полей // Киберне-
тика и системный анализ. – 2011. – № 6. – С. 79–88.
Т.Ю. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ, В.М. БУЛАВАЦКИЙ, А.В. ГЛАДКИЙ
Компьютерная математика. 2013, № 1 20
7. Булавацкий В.М. Математическая модель геоинформатики для исследования динамики
локально-неравновесных геофильтрационных процессов // Проблемы управления и ин-
форматики. – 2011. – № 6. – С. 76–83.
8. Kaczmarek M., Huekel T. Chemo-mechanical consolidation of clays: analytical solution for a
linearized one-dimensional problem // Transport in porous media. – 1998. – 32. – P. 49–74.
9. Ляшко И.И., Демченко Л.И., Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло- и массопе-
реноса в пористых средах. – Киев: Наук. думка, 1991. – 264 с.
10. Иванов П.Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений. – М.: Высш. шк., 1991.
– 447 с.
11. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных
пластах. – М.: Недра, 1984. – 208 с.
12. Зарецкий Ю.К. Теория консолидации грунтов. – М.: Недра, 1967. – 543 с.
13. Sneddon I. The use of integral transform. – New York: Mc. Graw-Hill Book Comp., 1973. –
539 p.
14. Карташов Э.И. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел. – М.: Высш.
шк. 1979. – 415 с.
Получено 15.10.2012
Об авторах:
Благовещенская Татьяна Юрьевна,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
E-mail: dept175@gmail.ru
Булавацкий Владимир Михайлович,
доктор технических наук, профессор, ведущий сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
E-mail: v_bulav@ukr.net
Гладкий Анатолий Васильевич,
доктор физико-математических наук, профессор,
зав. отделом Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84723 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:47:05Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Благовещенская, Т.Ю. Булавацкий, В.М. Гладкий, А.В. 2015-07-14T11:36:17Z 2015-07-14T11:36:17Z 2013 Аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса / Т.Ю. Благовещенская, В.М. Булавацкий, А.В. Гладкий // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 13-19. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84723 517.934:532.546 Построена дробно-дифференциальная математическая модель для исследования локально-неравновесных геомиграционных процессов с учетом химического осмоса и ультрафильтрации. Поставлена соответствующая данной модели краевая задача и получено ее аналитическое решение. Побудована дробово-диференційна математична модель для дослідження локально-нерівноважних геоміграційних процесів з урахуванням хімічного осмосу і ультрафільтрації. Поставлена відповідна цій моделі крайова задача та одержано її аналітичний розв’язок. A fractional differential mathematical model for investigation of local-nonequilibrium geomigration processes with chemical osmosis and ultrafiltration is constructed. A statement of the corresponding boundary-value problem is given and its analytical solution is obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса Аналітичний розв’язок задачi математичного моделювання одного локально-нерівноважного ізотермічного геоміграційного процесу Analytical solution to a mathematical modeling problem of a local-nonequilibrium isothermical geomigration process Article published earlier |
| spellingShingle | Аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса Благовещенская, Т.Ю. Булавацкий, В.М. Гладкий, А.В. Математическое моделирование |
| title | Аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса |
| title_alt | Аналітичний розв’язок задачi математичного моделювання одного локально-нерівноважного ізотермічного геоміграційного процесу Analytical solution to a mathematical modeling problem of a local-nonequilibrium isothermical geomigration process |
| title_full | Аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса |
| title_fullStr | Аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса |
| title_full_unstemmed | Аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса |
| title_short | Аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса |
| title_sort | аналитическое решение задачи математического моделирования одного локально-неравновесного изотермического геомиграционного процесса |
| topic | Математическое моделирование |
| topic_facet | Математическое моделирование |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84723 |
| work_keys_str_mv | AT blagoveŝenskaâtû analitičeskoerešeniezadačimatematičeskogomodelirovaniâodnogolokalʹnoneravnovesnogoizotermičeskogogeomigracionnogoprocessa AT bulavackiivm analitičeskoerešeniezadačimatematičeskogomodelirovaniâodnogolokalʹnoneravnovesnogoizotermičeskogogeomigracionnogoprocessa AT gladkiiav analitičeskoerešeniezadačimatematičeskogomodelirovaniâodnogolokalʹnoneravnovesnogoizotermičeskogogeomigracionnogoprocessa AT blagoveŝenskaâtû analítičniirozvâzokzadačimatematičnogomodelûvannâodnogolokalʹnonerívnovažnogoízotermíčnogogeomígracíinogoprocesu AT bulavackiivm analítičniirozvâzokzadačimatematičnogomodelûvannâodnogolokalʹnonerívnovažnogoízotermíčnogogeomígracíinogoprocesu AT gladkiiav analítičniirozvâzokzadačimatematičnogomodelûvannâodnogolokalʹnonerívnovažnogoízotermíčnogogeomígracíinogoprocesu AT blagoveŝenskaâtû analyticalsolutiontoamathematicalmodelingproblemofalocalnonequilibriumisothermicalgeomigrationprocess AT bulavackiivm analyticalsolutiontoamathematicalmodelingproblemofalocalnonequilibriumisothermicalgeomigrationprocess AT gladkiiav analyticalsolutiontoamathematicalmodelingproblemofalocalnonequilibriumisothermicalgeomigrationprocess |