Математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах
Методами інтегральних перетворень Ганкеля 2-го роду і Фур’є побудовано аналітичний розв’язок задачі фільтраційної консолідації у багатокомпонентних неоднорідних циліндричних середовищах вологомістких пористих частинок. Експериментально досліджена обчислювальна збіжність розв’язку у вигляді вкладених...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Назва видання: | Компьютерная математика |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84726 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах / М.Р. Петрик, В.С. Дейнека, Є.І. Воробієв // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 37-45. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84726 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-847262025-02-23T18:01:44Z Математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах Математическое моделирование фильтрационной консолидации в неоднородных многокомпонентных цилиндрических дисперсных микропористых средах Mathematical modeling of filtration consolidation in heterogeneous multicomponent cylindrical disperse microporous media Петрик, М.Р. Дейнека, В.С. Воробієв, Є.І. Математическое моделирование Методами інтегральних перетворень Ганкеля 2-го роду і Фур’є побудовано аналітичний розв’язок задачі фільтраційної консолідації у багатокомпонентних неоднорідних циліндричних середовищах вологомістких пористих частинок. Експериментально досліджена обчислювальна збіжність розв’язку у вигляді вкладених сум за різними послідовностями спектральних значень. Здійснено чисельне моделювання і аналіз динаміки просторово-розподілених полів тисків у рідині неоднорідного циліндричного середовища мікропористих частинок. Методами интегральных преобразований Ганкеля 2-го рода и Фурье построено аналитическое решение задачи фильтрационной консолидации в многокомпонентных неоднородных цилиндрических средах влагосодержащих пористых частичек. Экспериментально исследована вычислительная сходимость решения в виде вложенных сумм по разным последовательностям спектральных значений. Осуществлено численное моделирование и анализ динамики пространственно-распределенных полей давлений в жидкости неоднородной цилиндрической среды микропористых частичек. With the use of the Hankel transform of the second kind and the Fourier transform, the analytical solution to the problem of filtration consolidation in multicomponent heterogeneous media of cylindrical water-containing porous particles is built. Numerical convergence of solutions in the form of nested sums on different sequences of spectral values is experimentally investigated. The numerical simulation and analysis of spatially distributed pressure fields in the fluid environment of microporous non-uniform cylindrical particles is carried out. 2013 Article Математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах / М.Р. Петрик, В.С. Дейнека, Є.І. Воробієв // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 37-45. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84726 519.6 uk Компьютерная математика application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математическое моделирование Математическое моделирование |
| spellingShingle |
Математическое моделирование Математическое моделирование Петрик, М.Р. Дейнека, В.С. Воробієв, Є.І. Математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах Компьютерная математика |
| description |
Методами інтегральних перетворень Ганкеля 2-го роду і Фур’є побудовано аналітичний розв’язок задачі фільтраційної консолідації у багатокомпонентних неоднорідних циліндричних середовищах вологомістких пористих частинок. Експериментально досліджена обчислювальна збіжність розв’язку у вигляді вкладених сум за різними послідовностями спектральних значень. Здійснено чисельне моделювання і аналіз динаміки просторово-розподілених полів тисків у рідині неоднорідного циліндричного середовища мікропористих частинок. |
| format |
Article |
| author |
Петрик, М.Р. Дейнека, В.С. Воробієв, Є.І. |
| author_facet |
Петрик, М.Р. Дейнека, В.С. Воробієв, Є.І. |
| author_sort |
Петрик, М.Р. |
| title |
Математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах |
| title_short |
Математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах |
| title_full |
Математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах |
| title_fullStr |
Математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах |
| title_full_unstemmed |
Математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах |
| title_sort |
математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математическое моделирование |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84726 |
| citation_txt |
Математичне моделювання фільтраційної консолідації в неоднорідних багатокомпонентних циліндричних дисперсних мікропористих середовищах / М.Р. Петрик, В.С. Дейнека, Є.І. Воробієв // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 37-45. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Компьютерная математика |
| work_keys_str_mv |
AT petrikmr matematičnemodelûvannâfílʹtracíjnoíkonsolídacíívneodnorídnihbagatokomponentnihcilíndričnihdispersnihmíkroporistihseredoviŝah AT dejnekavs matematičnemodelûvannâfílʹtracíjnoíkonsolídacíívneodnorídnihbagatokomponentnihcilíndričnihdispersnihmíkroporistihseredoviŝah AT vorobíêvêí matematičnemodelûvannâfílʹtracíjnoíkonsolídacíívneodnorídnihbagatokomponentnihcilíndričnihdispersnihmíkroporistihseredoviŝah AT petrikmr matematičeskoemodelirovaniefilʹtracionnojkonsolidaciivneodnorodnyhmnogokomponentnyhcilindričeskihdispersnyhmikroporistyhsredah AT dejnekavs matematičeskoemodelirovaniefilʹtracionnojkonsolidaciivneodnorodnyhmnogokomponentnyhcilindričeskihdispersnyhmikroporistyhsredah AT vorobíêvêí matematičeskoemodelirovaniefilʹtracionnojkonsolidaciivneodnorodnyhmnogokomponentnyhcilindričeskihdispersnyhmikroporistyhsredah AT petrikmr mathematicalmodelingoffiltrationconsolidationinheterogeneousmulticomponentcylindricaldispersemicroporousmedia AT dejnekavs mathematicalmodelingoffiltrationconsolidationinheterogeneousmulticomponentcylindricaldispersemicroporousmedia AT vorobíêvêí mathematicalmodelingoffiltrationconsolidationinheterogeneousmulticomponentcylindricaldispersemicroporousmedia |
| first_indexed |
2025-11-24T08:29:20Z |
| last_indexed |
2025-11-24T08:29:20Z |
| _version_ |
1849659710682169344 |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2013, № 1 37
Методами інтегральних перетво-
рень Ганкеля 2-го роду і Фур’є по-
будовано аналітичний розв’язок
задачі фільтраційної консолідації
у багатокомпонентних неоднорі-
дних циліндричних середовищах
вологомістких пористих части-
нок. Експериментально дослідже-
на обчислювальна збіжність
розв’язку у вигляді вкладених сум
за різними послідовностями спек-
тральних значень. Здійснено чисе-
льне моделювання і аналіз динамі-
ки просторово-розподілених полів
тисків у рідині неоднорідного ци-
ліндричного середовища мікропо-
ристих частинок.
М.Р. Петрик, В.С. Дейнека,
Є.І. Воробієв, 2013
УДК 519.6
М.Р. ПЕТРИК, В.С. ДЕЙНЕКА, Є.І. ВОРОБІЄВ
МАТЕМАТИЧНЕ
МОДЕЛЮВАННЯ
ФІЛЬТРАЦІЙНОЇ
КОНСОЛІДАЦІЇ
В НЕОДНОРІДНИХ
БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ
ЦИЛІНДРИЧНИХ ДИСПЕРСНИХ
МІКРОПОРИСТИХ
СЕРЕДОВИЩАХ
Вступ. Розглядаються процеси фільтраційної
консолідації та фільтраційного відтиску
(solid-liquid pressing) в багатокомпонентних
неоднорідних циліндричних середовищах
волого містких пористих частинок біологіч-
ної природи. Структура таких середовищ ро-
слинного походження містить розгалужену
систему вологомістких клітин, міжклітинних
порожнин, мікропор, через які здійснюється
масоперенос [1−6]. При фільтраційному від-
тиску в попередньо сформованому пласті з
тонких частинок біологічного матеріалу, що
піддається механічному стискуванню, вини-
кають внутрішні й зовнішні градієнти тисків
відповідно в частинках і міжчастинковому
просторі, які спричиняють відтоки рідини з
пласту та частинок. При цьому внутрішні
потоки рідини спрямовані від середини мік-
ропор вологомістких частинок до їх повер-
хонь. Далі формуються проміжні (транзитні)
потоки, спрямовані від зовнішніх поверхонь
частинок у макропори міжчастинкового про-
стору (extraparticle spaces). В макропорах мі-
жчастинкового простору виникають відтоки
рідини назовні пласту середовища. Відповід-
на феноменологічна модель такої фільтра-
ційної консолідації та відтиску рідини з час-
тинок в однорідній і одновимірній постанов-
М.Р. ПЕТРИК, В.С. ДЕЙНЕКА, Є.І. ВОРОБІЄВ
Компьютерная математика. 2013, № 1 38
ці для матеріалів клітинної
структури розглянута в [1, 4].
Остання ґрунтується на
няннях балансу маси у внутрічастинковому
просторі (intraparticle spaces), включаючи
М.Р. ПЕТРИК, В.С. ДЕЙНЕКА, Є.І. ВОРОБІЄВ
Компьютерная математика. 2013, № 1 38
внутрішній і клітинний простори, та міжчастинковий простір. Згідно з цією мо-
деллю, потік рідини з мікропорів частинок розглядається як такий, що є незнач-
ним у порівнянні з потоком з мікропорів частинок назовні (в макропори) та по-
током назовні пласту фільтраційного середовища. Розглянута в [2] модель вклю-
чає припущення про псевдостатичність потоку між внутрічастинковим і міжчас-
тинковим просторами, що визначає інтенсивність потоку з середини частинки на-
зовні і є прямо пропорційним різниці тисків всередині і назовні частинки.
В роботі побудовано математичну модель у припущенні шаруватості цилін-
дричної області фільтраційної консолідації, схематизація якої показана на рис. 1.
Фільтрувальне середовище поступає вздовж вісі z на вхід робочої області (межа
z = l0), де через фільтрувальну мембрану (положення r = R) відбувається розді-
лення твердої та рідинної фаз. Остання проходить крізь пори фільтрувальної пе-
репони, а непроникна тверда фаза здійснює рух вздовж вісі z у напрямі виходу з
циліндричного робочого каналу (межа z = l).
РИС. 1. Схематизація робочої області середовища фільтраційної консолідації
Математична постановка задачі. З урахуванням отриманого в [2−5]
диференціального рівняння консолідації сформулюємо наступну задачу фільт-
рації та відтиску дисперсних середовищ з урахуванням неоднорідностей власти-
востей консолідації осаду вздовж напряму руху фільтрувального середовища
шляхом апроксимації неоднорідної області 0( , )l l кусково-однорідною: побуду-
ємо обмежений в області ( ){ 0, , : 0, ( , );D t r z t r R R= > ∈
( )
1
1
1 0 1 1, , 0 ... }
n
k
k k nz l l l l l
+
=
− +∈ ≤ < < < < ∞∪ розв’язок системи рівнянь:
( )
2
12
1
1 ( , , )
1k kt r zP P
tt
∂ ∂ + + δ = ν ∂ ∂
0
22
22
2 2
1 1
1 1 1
1 1 ( , ),kk k
r k
P PP b f t rb
t r r r t z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + + ν ∂ ∂ ∂ ν ∂ ∂
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФІЛЬТРАЦІЙНОЇ КОНСОЛІДАЦІЇ ….
Компьютерная математика. 2013, № 1 39
0 0
2
2
1
( , )1
( , ) (1 ) , =1, 1l l
k i
P t r P
f t r k n
t t
∂ ∂
= + + δ +
ν ∂ ∂
, (1)
з початковими умовами:
1 20
0
( , , ) ( , ); ( , )k
k k kt
t
P
P t r z r z r zg g
t=
=
∂= =
∂
, (2)
крайовими умовами за змінною r:
0
0; ( , , ) ( , )k
k kr R
r R
P
P t r z t zg
r =
=
∂ = =
∂
, (3)
крайовими та умовами спряження за змінною z:
0 0 11 1( , , ) ( , ) ; ( , , ) ( , ) ;
nz l l n z l lP t r z P t r P t r z P t r
+= + == =
[ ]1( , , ) ( , , ) 0,
k
k k z l
P t r z P t r z+ =
− =
1 1 0 , 1, .
k
k k k
k z l
P P
k n
z z
+ +
=
∂ ζ ∂− = = ∂ ζ ∂
(4)
Тут ( , , ), 1, 1k t r z k nP = + − функції просторово-часових розподілів тисків у
рідкій фазі неоднорідного фільтрувального середовища; 1[ , ], 1, 1k kl l k n− = + −
k-ий пласт (сегмент) середовища в вздовж осі Z; 2
kb − складова коефіцієнта кон-
солідації твердої фази вздовж осьового напряму переносу (осі Z) в k-му пласті
неоднорідного фільтрувального середовища;
0
2
rb − радіальна складова коефіці-
єнта консолідації твердої фази (вздовж осі r);
1
k
kr
ζ =
µ
− компоненти коефіцієн-
та фільтрації в k-му пласті середовища; , krµ − коефіцієнти динамічної в’язкості
рідини й опору k-го пласта середовища; 1 1, ν δ − експериментальні кінетичні па-
раметри визначені в [2, 4], [ ] ( , , 0) ( , , 0)
k k kl t r l t r lϕ = ϕ + = ϕ − .
Аналітичний розв’язок початково-крайової задачі. На основі [7−10] ана-
літичний розв’язок початково-крайової задачі (1)−(4) має вигляд
( ), ,kP t r z =
1
1 1 11 1
10 11
1
1
, 2 , 1
1
( ; , ; , ) ( ) ( ; , ; , ) ( )
k
k k j
k
lR n
k k k k k
kR l
t r z g t r z g d d
−
+
=
= ρ ξ ξ + ρ ξ ξ σ ξρ ρ + ∑∫ ∫ H H
1 1 1
10 11
1
,
10
( ; , ; , ) ( , )
k
k
lt R n
k k k j k
kR l
t r z d d d
−
+
=
+ − τ ρ ξ τ ξ σ ξρ ρ τ +∑∫ ∫ ∫ H F
М.Р. ПЕТРИК, В.С. ДЕЙНЕКА, Є.І. ВОРОБІЄВ
Компьютерная математика. 2013, № 1 40
( )
0
0
, 1 0
0
; , , ( , )
t R
l k
R
d
W t r z P
d
+ − τ ρ + ν τ ρ + τ
∫ ∫
( ) ( ), 1; , ; , , 1, 1.l k l
d
W t r z P d d k n
d
+ − τ ρ + ν τ ρ ρ ρ τ = + τ
(5)
Тут
1 1
0 0
, , 2
1
0
( , ) ( , )
( ; , ; , ) ( , , )
( , )
j j
k k k k j
j
j
V V r
t r z t z
V r
∞
=
ρ λ λ
ρ ξ = ξ
λ
∑H H ,
1 1
0 01 1
, , 2
1
0
( , ) ( , )
( ; , ; , ) ( , , )
( , )
j j
k k k k j
j
j
V V r
t r z t z
V r
∞
=
ρ λ λ
ρ ξ = ξ
λ
∑H H ,
( ) ( )
0 0
0 0
, , 2
1
0
( , ) ( , )
; , , ,
( , )
j j
l k l kj
j
j
V V r
W t r z W t z
V r
∞
=
ρ λ λ
− τ ρ = − τ
λ
∑ ,
( ) ( ) 0 0
, , 2
1
0
( , ) ( , )
; , , ,
( , )
j j
l k l kj
j
j
V V r
W t r z W t z
V r
∞
=
ρ λ λ
− τ ρ = − τ
λ
∑ ,
функції впливу
( ) ( )
( )
1
1, 2
1
, ,
( , , ) ( , ) , 1, 1
,
k m k m
k k j jm m
m m
V z V
t z t k n
V z
∞
=
β ξ β
ξ = β = +
β
∑H K ,
( )
1 0
1 2 2 2
, 1 1
1
( , , ) 1 ( , )k k j m r j jm m
m
t z b t
t
∞
=
∂ ξ = ν + δ + β + λ + β × ∂
∑H K
( ) ( )
( )
1
2
, ,
, 1, 1 ,
,
k m k m
m
V z V
k n
V z
β ξ β
× = +
β
функції Гріна
( ) ( ) ( )
( )0
2 1 01
, 1 20
111
, ,
, ( , ) , 1, 1
,
m k m
l kj jm m
m m
V l V z
W t z b t k n
V z
∞
=
β βσ− τ = − − τ β = +
ς ζ β
∑K ,
( ) ( ) ( )
( )
2 11
, 1 21
122
, ,
, ( , ) , 1, 1
,
k m n mn
l kj n jm mn
m m
V z V l
W t z b t k n
V z
∞
++
+ +
=
β βσ− τ = − − τ β = +
ς β
∑K ,
( , )jm mt − τ βK − фундаментальна функція Коші, яка будується у вигляді [10]:
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФІЛЬТРАЦІЙНОЇ КОНСОЛІДАЦІЇ ….
Компьютерная математика. 2013, № 1 41
( ) ( )( )2 2 2
1 1 0
1
(1 )
2
2
( , , )
r j mb t m
jm j m
m
sh t
t e
− ν +δ + λ +β −τ
φ − τ
− τ λ β =
φ
K ,
( ) ( )
1
2 22 2
1 1 1 1 1 1
1
2 2
2m m m
φ = ν − β + ν δ ν + ν δ + β
,
( , )k mV z β − компонента власної функції ),( mzV β спектральної задачі Штурма –
Ліувілля, отриманої внаслідок інтегрального перетворення вихідної спек-
тральної задачі (1)−(4), що відповідає власному значенню ....,1,0, =β mm
Числове моделювання й аналіз. Вихідними даними для числового моде-
лювання й аналізу процесу фільтраційної консолідації використовуються дані
фізичних експериментів [2, 3]. Початкові і крайові умови задачі (1)−(4), виходя-
чи із специфіки протікання реальних процесів, визначені наступним чином:
а) перша початкова умова:
0
2
0
0 0
( , , ) ( , ) ;k st
l z R r
P t r z P g r z
l l R R=
− −= ∆ ≡ − −
(6)
б) друга початкова умова:
2
2 2 2 2
0 2
0 0
( , , ) 1
(0, , ) (0, , );
r
k k
k k k k
t t
P t r z P
b P r z b r b P r z
t r r r z= =
∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ ≡ + ∂ ∂ ∂ ∂
(7)
в) крайові умови за змінною r:
0
0
( , , )
0,
( , , ) ( , ) ;r
r
k
r R
t
k l kr R
P r z
r
l z
P t r z P e g t z
l l
=
α
=
∂ τ =
∂
−= ≡ −
(8)
г) крайові умови за змінною z:
( ) 0
00
2
1 0
0
( , , ) ( , ),l
po sz l
R r
P t r z P P e P t r
R R
α
=
−= − ≡ −
(9)
0
1
0
( , , ) ( , ).l
n l lz l
R r
P t r z P e P t r
R R
α
+ =
−= ≡ −
(10)
Друга початкова умова (7) випливає із фізичної постановки задачі: розв’язок
задачі у початковий момент задовольняє рівняння Дарсі [1, 2]. В цій постановці
умова (7) приведена до наступної:
0
22 2
3
2
0 00
( , , )
( , ) ( )k sk
k
t
b PP t r z R r
g t z l z
t R Rl l=
∆ ∂ −= = − − + ∂ −−
0
2
0
2
0 0
4
1 .
( )
r
s
b l z R
P
R R l l r
− + ∆ − − −
(11)
М.Р. ПЕТРИК, В.С. ДЕЙНЕКА, Є.І. ВОРОБІЄВ
Компьютерная математика. 2013, № 1 42
Коефіцієнти консолідації 2
kb та питомого опору неоднорідного фільтрува-
льного середовища kr , що враховують реальні властивості досліджуваних сере-
довищ, описані наступними функціональними залежностями [1, 2 ]:
0
2
2
10 0
0
1 k
k b p s
l l
b b P P
l l
− = + ε − ∆ −
,
2
0 0 0
0
1 exp ln k
k r p p
l l
r r P s P
l l
− = + ε − ⋅ −
.
Тут
0 0
0 0
0 1 10 0, , , , , ,
rp l l sP P P P P b r − опорні значення тисків, коефіцієнта консолі-
дації та питомого опору середовища; , ,b r sε ε − емпіричні константи,
0sP∆ =
0, 1.6 05 , 0.1 1.0 04op s op soP P P e Па P e Па= − = ∆ = ÷ [2].
Чисельні значення використовуваних при моделюванні коефіцієнтів консо-
лідації 2
kb та питомого опору kr показані на рис. 2.
bk
0,00E+00
5,00E-07
1,00E-06
1,50E-06
2,00E-06
2,50E-06
3,00E-06
3,50E-06
4,00E-06
10 210 410 610 810 1010
l (мм)
b
k(
l)
bk
РИС. 2. Чисельні значення коефіцієнтів консолідації 2
kb та питомого опору kr
На рис. 3, а − г подані просторово розподілені модельні безрозмірні розподі-
ли тисків у рідинній фазі ( , , )kP t r z для фільтраційної консолідації в неоднорід-
ному циліндричному каналі дисперсійного вологомісткого середовища (рис. 1),
побудованих згідно розв’язку в залежності від часу t, координати довжини кана-
лу z та радіусу r. Діаграма на рис. 3, а – описує кінетику зміни тиску ( , , )kP t r z за
всією довжиною каналу (l−l0 = 1м) та від часу тривалістю 100 с для радіального
зрізу в безпосередній близькості від непроникної внутрішньої циліндричної по-
верхні 0.1(R−R0). На цій діаграмі спостерігаємо криві найбільших значень тиску
в рідинній фазі (волозі) у початкові моменти фільтраційної консолідації.
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФІЛЬТРАЦІЙНОЇ КОНСОЛІДАЦІЇ ….
Компьютерная математика. 2013, № 1 43
Максимальні пікові значення тисків на цих кривих знаходяться поблизу входу й
мінімальні − на виході, що лімітується відповідними значеннями тисків (та їх
градієнтів), заданими вхідними та вихідними крайовими умовами. Зокрема, піки
візуалізують деяку залишкову консолідаційну релаксацію, пов’язану з надлиш-
ком тиску в каналі, у тому числі, за рахунок попередніх фаз тощо. Мінімум тис-
ку на вологу у положеннях, близьких до вихідної межі пояснюється найбільшим
відтоком вологи через напівпроникну зовнішню циліндричну поверхню середо-
вища (r = R). З ростом часу фільтраційної консолідації до 100 с спостерігаємо
картину поступового падіння значень тиску (у тому числі надлишкового) за всі-
єю довжиною каналу, знову ж таки, пов’язану зі стрімким виходом вологи через
зовнішню циліндричну фільтрувальну поверхню. У момент t = 40 с спостеріга-
ється деякий процес стабілізації, пов’язаний з падінням надлишкового тиску
до 0 та подальшим зменшенням прикладеного тиску на вологу враховуючи про-
довження зменшення її кількості в каналі та перерозподіл зовнішнього прикла-
деного тиску на тверду фазу, ступінь консолідації якої збільшується в об’ємі.
При подальшому збільшені тривалості консолідації (від 40 до 100 с) криві роз-
поділу тиску ( , , )kP t r z з вигляду випуклої набувають вигляду дещо зворотної
трансформації: змінюють вигляд випуклості на вигляд опуклості, але водночас
прямуючи до 0. Аналогічні картини кінетики вологопереносу спостерігаємо і на
наступних поданих діаграмах (б−г) при інших зрізах радіальної координати
(0.3(R−R0), 0.7(R−R0), 0.9(R−R0)).
Окремого пояснення на рис. 3 заслуговує діаграма г), що описує фільтрацій-
ну консолідацію для радіальних зрізів у безпосередній близькості до фільтра-
ційної проникної циліндричної діаграми. Тут уже практично, як видно з поданих
графіків, ніякого впливу немає зі сторони залишкового тиску (за відсутністю
останнього) і тому всі криві мають різко спадний характер у вхідній зоні каналу
(до 50−60 мм) і далі мають відносно плавний спад до 0.
а – r = 55 мм (0.1(R − R0)) б – r = 65 мм (0.3(R − R0))
М.Р. ПЕТРИК, В.С. ДЕЙНЕКА, Є.І. ВОРОБІЄВ
Компьютерная математика. 2013, № 1 44
в – r = 85 мм (0.7(R − R0)) г – r = 95 мм (0.9(R − R0))
РИС. 3. Просторово-розподілені розподіли тисків фільтраційної консолідації
у рідинній фазі ( , , )kP t r z в неоднорідному циліндричному каналі
Висновок. Методами інтегральних перетворень Ганкеля 2-го роду і Фур’є
побудовано аналітичний розв’язок узагальненої змішаної крайової задачі для
фільтраційної консолідації у багатокомпонентних неоднорідних циліндричних
середовищах вологомістких пористих частинок. Обґрунтована розв’язність кра-
йової задачі. Здійснене числове моделювання фільтраційної консолідації у бага-
токомпонентних циліндричних середовищах дало змогу побудувати просторово-
розподілені залежності тисків на рідину, що є визначальними параметрами вка-
заного виду переносу, візуалізувати кінетику консолідації та вологопереносу.
М.Р. Петрик, В.С. Дейнека, Е.И. Воробиев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ КОНСОЛИДАЦИИ
В НЕОДНОРОДНЫХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДИСПЕРСНЫХ
МИКРОПОРИСТЫХ СРЕДАХ
Методами интегральных преобразований Ганкеля 2-го рода и Фурье построено аналитиче-
ское решение задачи фильтрационной консолидации в многокомпонентных неоднородных
цилиндрических средах влагосодержащих пористых частичек. Экспериментально исследова-
на вычислительная сходимость решения в виде вложенных сумм по разным последователь-
ностям спектральных значений. Осуществлено численное моделирование и анализ динамики
пространственно-распределенных полей давлений в жидкости неоднородной цилиндриче-
ской среды микропористых частичек.
M.R. Petryk, V.S. Deineka, E.I. Vorobiev
MATHEMATICAL MODELING OF FILTRATION CONSOLIDATION IN HETEROGENEOUS
MULTICOMPONENT CYLINDRICAL DISPERSE MICROPOROUS MEDIA
With the use of the Hankel transform of the second kind and the Fourier transform, the analytical
solution to the problem of filtration consolidation in multicomponent heterogeneous media of cylin-
drical water-containing porous particles is built. Numerical convergence of solutions in the form of
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФІЛЬТРАЦІЙНОЇ КОНСОЛІДАЦІЇ ….
Компьютерная математика. 2013, № 1 45
nested sums on different sequences of spectral values is experimentally investigated. The numerical
simulation and analysis of spatially distributed pressure fields in the fluid environment of micropor-
ous non-uniform cylindrical particles is carried out.
1. Barenblatt G.I., Etnov V.M., Ryzhyk V. Theory of Fluids Flow Through Natural Rocks.
Dordrecht: Kluwer. – 1990. – 303 p.
2. Lanoiselle I.–L., Vorobyov E., Bouvier I.–M. «Modelisation du Pressage о Pression Constante.
Cas des Produits a Structure Cellulaire». Entropie. – 1994. – 30 (186). – Р. 39–50.
3. Murase Т., Iwata М., Wakita М., Adachi Т., Hagashi N. and Shirato М. "Variable–Pressure /
Variable–Rate Expression of Semisolid Materials" // J. Chem. Eng. Jap. – 1987. – 20 (6). – 603 p.
4. Petryk M., Vorobiev E. Liquid Flowing from Porous particles During the Pressing of Biological
Materials // Computer & Chem. Eng. Elsevier Irland. – 2007. – 31. – P. 1336−1345.
5. Petryk M., Vorobiev E. «Mass transfer from liquid containing spherical particles during the
pressing of biological porous materials” // Proceeding of the 2nd European Conference on
Filtration and Separation, Université de Technologie de Compiègne, Compiègne (France). –
2006. – P. 266−273.
6. Петрик М.Р. Нелинейная математическая модель двухуровнего переноса типа «фильт-
рация-консолидация» // Проблемы управления и информатики. − 2010. − № 2. − С. 74 – 85.
7. Ленюк М.П. Температурні поля в плоских кусково-однорідних ортотропних областях. –
К.: Ін-т математики НАН України, 1997. – 188 с.
8. Ленюк М.П., Петрик М.Р. Інтегральні перетворення Фур’ є, Бесселя із спектральним па-
раметром в задачах математичного моделювання масопереносу в неоднорідних середо-
вищах. − Киев: Наукова думка, 2000. − 372 c.
9. Ленюк М.П., Петрик М.Р. Одновимірна задача фільтрації та відтиску кусково-
однорідному дисперсному фільтраційному середовищі // Iнтегральнi перетворення та їх
застосування до крайових задач. – Ін-т математики НАН України, 1997. − Вип. 14. −
С. 151−157.
10. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.
11. Gradshtein I.S., Ryzhik S.M., Jeffrey A., Zwillinger D. Table of Integrals, Series and
Prodacts.7th // Ed. Amsterdam, Boston, Paris: Elsevier. Academic Press. − 2009. − 1100 p.
Одержано 14.02.2013
Про авторів:
Петрик Михайло Романович,
кандидат технічних наук, доцент, завідуючий кафедри програмної інженерії
Тернопільського національного технічного університету імені Івана Пулюя,
Е-mail: Mykhaylo_Petryk@tu.edu.te.ua
Дейнека Василь Степанович,
доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України,
завідуючий відділом Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,
Е-mail: vdeineka@ukr.net
Воробієв Євген Ігоревич,
співробітник Університету Технології м. Комп’єнь, Франція.
|