К анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя
Наводяться аналiтичнi залежностi мiж роботою, що проводиться в електромагнiтному вiброзбуджувачi, та вхiдною електричною енергiєю. The analytical relations between the work and the input electrical energy in an electromagnetic vibroexciter are given....
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8473 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | К анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 82-90. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8473 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Божко, А.Е. 2010-06-01T08:57:00Z 2010-06-01T08:57:00Z 2009 К анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 82-90. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8473 621.318.3 Наводяться аналiтичнi залежностi мiж роботою, що проводиться в електромагнiтному вiброзбуджувачi, та вхiдною електричною енергiєю. The analytical relations between the work and the input electrical energy in an electromagnetic vibroexciter are given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Енергетика К анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя To the analysis of the rotor motion energy of an electromagnetic vibroexciter Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
К анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| spellingShingle |
К анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя Божко, А.Е. Енергетика |
| title_short |
К анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| title_full |
К анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| title_fullStr |
К анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| title_full_unstemmed |
К анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| title_sort |
к анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя |
| author |
Божко, А.Е. |
| author_facet |
Божко, А.Е. |
| topic |
Енергетика |
| topic_facet |
Енергетика |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
To the analysis of the rotor motion energy of an electromagnetic vibroexciter |
| description |
Наводяться аналiтичнi залежностi мiж роботою, що проводиться в електромагнiтному вiброзбуджувачi, та вхiдною електричною енергiєю.
The analytical relations between the work and the input electrical energy in an electromagnetic vibroexciter are given.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8473 |
| citation_txt |
К анализу энергии движения якоря электромагнитного вибровозбудителя / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 4. — С. 82-90. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT božkoae kanalizuénergiidviženiââkorâélektromagnitnogovibrovozbuditelâ AT božkoae totheanalysisoftherotormotionenergyofanelectromagneticvibroexciter |
| first_indexed |
2025-11-24T03:48:34Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:48:34Z |
| _version_ |
1850841208591482880 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2009
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.318.3
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
К анализу энергии движения якоря электромагнитного
вибровозбудителя
Наводяться аналiтичнi залежностi мiж роботою, що проводиться в електромагнiтно-
му вiброзбуджувачi, та вхiдною електричною енергiєю.
Некоторые особенности энергетического баланса силовых электромагнитных механизмов
(ЭМ) представлены в работе [1]. Однако электромагнитные вибровозбудители (ЭМВ), не-
смотря на физическое сходство с ЭМ, например контакторами, имеют свои специфические
отличия. Если в ЭМ воздушный зазор δ при включенном ЭМ может быть равным нулю, то
в ЭМВ воздушный зазор δ > 0. В ЭМ в динамическом режиме δ изменяется от δ0 до нуля
(включение ЭМ) и от нуля до δ0 (выключение ЭМ). В ЭМВ воздушный динамический зазор
δ = δ0 − xсм ± x(t), (1)
где δ0 — начальный воздушный зазор (ЭМВ не включен); xсм = x0p + x0F ; x0p, x0F —
постоянные смещения якоря ЭМВ от действия веса якоря с весовой нагрузкой Pя и от
действия постоянной составляющей тягового усилия F0 соответственно; x(t) — колебания
якоря; t — время.
Кроме того, ЭМВ конструктивно отличается от ЭМ тем, что в его конструкции мо-
жет быть реактивная масса (РМ) со своими пружинами (Прр). Якорь (Я) также подвешен
на пружинах Пря. Далее в ЭМВ воздушный зазор δ при вибрировании якоря все время
изменяется. Так, если вибрация якоря
xя(t) = xая sin(ωяt − ϕя), (2)
где xая — амплитуда колебаний якоря; ωя — круговая частота колебаний якоря; φя — угол
сдвига между переменной составляющей F
∼
(t) тягового усилия в ЭМВ и колебаниями xя(t),
то с учетом (2) выражение (1) примет вид
δ = δ0 − x0P − x0F ± xая sin(ωяt − ϕя). (3)
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Рис. 1 Рис. 2
Из (3) видно, что для того чтобы не было уменьшения δ до нуля, необходимо выполнить
условие
δ0 − x0P − x0F − xая > 0, (4)
в противном случае якорь будет ударять магнитопровод ЭМВ. Для более детального ана-
лиза энергии движения якоря ЭМВ представим на рис. 1, 2 электромагнитомеханические
схемы ЭМВ без РМ (рис. 1) и с РМ (рис. 2), где Я — якорь; ВН — весовая нагрузка;
М — магнитопровод; О — электрическая обмотка; Пря, Прр — пружины; δ0 — начальный
воздушный зазор; U — задающее напряжение; U(t) = Ua sinωt (Ua — амплитуда).
Под действием U(t) в обмотке О идет электрический ток i(t) = Ia sin(ωt − ϕ), где
Ia = Ua/
√
R2 + (ωL)2; ϕ = arctg(ωL/R) — угол сдвига между U(t) и i(t); R — активное
сопротивление цепи обмотки О совместно с источником U(t); L — индуктивность в ЭМВ;
ω — круговая частота U(t). Заметим, что если ωL ≫ R, то U(t) является выходом источника
напряжения, если R ≫ ωL, то источник U(t) является источником тока. В зависимости от
этих источников U(t) или i(t) энергетические соотношения в ЭМВ будут разными. В данной
работе рассмотрим и этот вопрос. Процедуру анализа энергии в ЭМВ будем осуществлять
последовательно: вначале для ЭМВ без РМ, а затем для ЭМВ с РМ.
Рассмотрим ЭМВ без РМ (рис. 1).
Пусть R и ωL согласуются, тогда энергия, входящая в ЭМВ, записывается выражением
WΣ =
t
∫
0
U(t)i(t) =
t
∫
0
Ua sinωtIa sin(ωt − ϕ)dt =
=
t
∫
0
U2
a
√
R2 + (ωL)2
sin ωt sin(ωt − ϕ)dt. (5)
В (5) используем тригонометрические преобразования [2]
sin α sin β =
1
2
[cos(α − β) − cos(α + β)].
Тогда (5) примет вид
WΣ =
U2
a t cos ϕ
2
√
R2 + (ωL)2
−
U2
a
4ω
√
R2 + (ωL)2
sin(2ωt − ϕ). (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 83
Как видно из (6), входная энергия WΣ распределена на две составляющие
WΣ1 =
U2
a t cos ϕ
2
√
R2 + (ωL)2
, WΣ2 = −
U2
a sin(2ωt − ϕ)
4ω
√
R2 + (ωL)2
.
WΣ1 линейно увеличивается с увеличением t, а WΣ2 осциллирует с частотой 2ω, являясь
вычитаемой из WΣ1. В свою очередь
WΣ2 = −
U2
a
4ω
√
R2 + (ωL)2
(sin 2ωt cos ϕ + cos 2ωt sin ϕ).
При R ≫ ωL ϕ = 0 и
WΣ1 =
U2
a t
2R
, WΣ2 = −
U2
a sin 2ωt
4ωR
.
При R ≪ ωL ϕ = π/2 и
WΣ1 = 0, WΣ2 = −
U2
a cos 2ωt
4ω2R
.
Как видим, в этом случае WΣ2 — реактивная энергия. Энергия WΣ распределяется
в ЭМВ на энергию потерь WП и энергию кинетическую WК. Энергия WП — это энергия,
рассеиваемая в виде тепла на R(WT), в виде энергии, создающей вихревые токи WВ, в виде
энергии, идущей на трение движущихся частей ЭМВ о воздух. Тепловая энергия рассеи-
вания
WT =
t
∫
0
Ri2(t)dt = RI2
a
t
∫
0
sin2(ωt − ϕ)dt =
1
2
RI2
at −
1
4ω
RI2
a sin 2(ωt − ϕ) (7)
также имеет нарастающую составляющую и отрицательную осциллирующую с частотой 2ω.
При R ≫ ωL
WT =
1
2
U2
a
R
t −
1
4ω
U2
a
R
sin 2ωt,
при R ≪ ωL, т. е. при R ≈ 0 WT ≈ 0 (см (7)).
Вследствие того, что магнитопровод и якорь состоят из шихтованных пластин, а ВН
изолирована от Я немагнитным материалом, можно считать, что вихревые токи в ЭМВ
малы, а также малы потери на гистерезис из-за наличия в ЭМВ постоянного воздушно-
го зазора. Поэтому входная энергия WΣ расходуется в ЭМВ на выделение тепла в R, на
смещение x0F якоря и на его вибрацию. При вибрации якоря возникают потери энергии
из-за трения движущихся частей (пружин, платформы) о воздух, но они малы (ими можно
пренебречь). Таким образом,
WΣ = WT + We = WT +
1
2
Li2(t),
где We — электрическая энергия, которая расходуется на смещение якоря и на его колебания
совместно с ВН.
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
Баланс электрической энергии записывается выражением
1
2
Li2(t) = F0x0F + F
∼
x(t). (8)
Далее определим F0, F
∼
, x0F и x(t)
F0 + F
∼
= FΣ,
где FΣ — полное тяговое усилие в ЭМВ.
Известно [1], что тяговое усилие FΣ определяется выражением
FΣ =
dWe
dδ
=
1
2
d
dδ
(Li2) =
1
2
(
dL
dδ
i2 + L
di2
dδ
)
. (9)
Зная, что [3] L = w2G = w2µ0S/(2δ), где w — число витков обмотки; G — магнитная
проводимость в ЭМВ; µ0 — магнитная проницаемость воздуха; S — площадь поперечного
сечения полюса магнитопровода у воздушного зазора, (9) запишем
FΣ =
1
4
i2w2
µ0S
δ2
+
1
2
w2
µ0S
2δ
di2
dδ
. (10)
Подставим в (10)
i(t) = Ia sin(ωt − ϕ) =
Ua
√
R2 + (ωL)2
sin(ωt − ϕ) =
Ua sin(ωt − ϕ)
√
R2 +
(
ωµ0Sw2
2δ
)2
.
Заметим, что угол ϕ имеет значение в переходном процессе электроцепи ЭМВ. В уста-
новившемся значении тока i(t) этот угол ϕ можно опустить. Тогда
i(t) =
Ua sin ωt
√
R2 +
(
ωµ0Sw2
2δ
)2
.
Подставим эту величину тока в (10). Получим
FΣ =
(
w
2δ
)2
µ0S
U2
a sin2 ωt
R2 +
(
µ0Sw2ω
2δ
)2
+
µ0S
4δ
w2
{
8δU2
a sin2 ωt
(2δR)2 + (ωµ0Sw2)2
−
−
32U2
a δ3R2 sin 2ωt
[(2δR)2 + (ωµ0Sw2)2]2
}
= [J − V + Q + (Q − J − V ) cos 2ωt], (11)
где
Q =
1
2
µ0S
(
Uaw
2δ
)2[
R2 +
(
µ0Sw2ω
2δ
)2]−1
;
J = µ0S(wUa)
2[(2δR2) + (ωµ0Sw2)2]−1; V = 2µ0S(UaδR
2)[(2δR)2 + (ωµ0Sw2)2]−2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 85
Из (11) видно, что постоянная составляющая F0 = J − V + Q, а переменная F
∼
= (Q −
− J − V ) cos 2ωt = Fa cos 2ωt.
Теперь для (8) необходимо получить x0F и x(t), а для (9) еще и x0P . Для этого запишем
дифференциальное уравнение движения якоря в ЭМВ. Подвижная система ЭМВ пред-
ставляет собой колебательную систему с одной степенью свободы. Поэтому ее уравнение
движения следующее:
m
d2x
dt2
+ b
dx
dt
+ cx = FΣ + Pя. (12)
Здесь m — масса якоря; b, c — коэффициенты диссипации и упругости соответственно.
Смещения x0P = Pя/c, x0F = F0/c; переменное x(t) = xa cos(2ωt − Ψ), где [4]
xa =
Fa
m
√
(4ω2 − ω2
0
)2 +
(
2bω
m
)2
, Ψ = arctg
bω
m(4ω2 − ω2
0
)
,
где Pя — вес якоря + ВН; ω0 — собственная частота колебаний якоря.
Исходя из полученного решения (12), выражение (8) с учетом (11) примет вид
1
2
Li2(t) =
1
4
L
[
U2
a
R2 + (ωL)2
−
U2
a
R2 + (ωL)2
cos 2ωt
]
=
= (J − V + Q)2
1
c
+
(Q − J − V )2 cos(2ωt − Ψ) cos 2ωt
m
√
(4ω2 − ω2
0
)2 +
(
2bω
m
)2
. (13)
Как видим из (13), постоянная составляющая электрической энергии
1
4
L
[
U2
a
R2 + (ωL)2
]
создает работу смещения якоря в виде
(J − V + Q)2
1
c
,
а переменная составляющая энергии
1
4
L
U2
a
R2 + (ωL)2
cos 2ωt
равна работе осцилляции якоря в виде
(Q − J − V )2 cos(2ωt − Ψ) cos2 2ωt
m
√
(4ω2 − ω2
0
)2 +
(
2bω
m
)2
.
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
При R ≪ ωL, т. е. считаем R ≈ 0
FΣ =
1
µ0S
(
Ua
ωw
)2
(1 − cos 2ωt) = F0 − F
∼
;
F0 =
1
µ0S
(
Ua
ωw
)2
;
F
∼
=
1
µ0S
(
Ua
ωw
)2
cos 2ωt = Fa cos 2ωt,
(14)
где Fa =
1
µ0S
(
Ua
ωw
)2
.
Подставляя в (13) выражение (14) при R ≈ 0, получим
1
2
Li2(t) =
(
1
µ0S
)2( Ua
ωw
)4 1
c
−
(
1
µ0S
)2( Ua
ωw
)4
cos(2ωt − Ψ) cos 2ωt
m2
[
(4ω2 − ω2
0
)2 +
(
2bω
m
)2]
. (15)
Из (15) видно, что постоянная составляющая
(
1
µ0S
)2 1
c
(
Ua
ωw
)4
осуществляет постоянное смещение якоря x0F , а переменная составляющая
(
1
µ0S
)2( Ua
ωw
)4
cos(2ωt − Ψ)
cos2 2ωt
m2
[
(4ω2 − ω2
0
)2 +
(
2bω
m
)2]
осуществляет колебания якоря xa cos(2ωt − Ψ).
При R ≫ ωL
FΣ = µ0S
(
iw
2δ
)2
= µ0S
(
Iaw
2δ
)2
sin2 ωt = µ0S
(
Uaw
2Rδ
)2
sin2 ωt = FΣa(1 − cos 2ωt), (16)
где FΣa = µ0S
(
Uaw
2Rδ
)2
.
Из (16) вытекает, что
F0 = µ0S
(
Uaw
2Rδ
)2
; F
∼
= −µ0S
(
Uaw
2Rδ
)2
cos 2ωt.
В этом случае видно, что энергия
(µ0S)2
(
Uaw
2Rδ
)4 1
c
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 87
Рис. 3
являясь постоянной величиной, осуществляет смещения якоря x0F , а переменная составля-
ющая энергии создает вибрацию якоря в ЭМВ
1
4
L
(
Ua
R
)2
cos 2ωt,
т. е. создает колебания якоря, совершающего работу
(µ0S)2
(
Uaw
2Rδ
)4 cos 2ωt cos(2ωt − ϕ)
m2
[
(4ω2 − ω2
0
)2 +
(
2bω
m
)2]
.
При рассмотрении ЭМВ с РМ баланс электрической энергии записывается выражением
1
2
Li2(t) = F0(xя0 + xр0) + F
∼
[xя(t) + xp(t)], (17)
где xя0, xр0 — постоянные смещения якоря и реактивной массы соответственно от действия
постоянной составляющей F0 тягового усилия; xя(t), xр(t) — переменные перемещения яко-
ря и РМ соответственно от действия переменной составляющей F
∼
тягового усилия. Так как
для F0 и F
∼
выведены аналитически в (11), то для конкретизации (17) определим для ЭМВ
с РМ величины xя0, xр0, xя(t), xр(t). Для этого на рис. 3 представим механическую схему
ЭМВ с РМ, где mя, mp — массы якоря + ВН и РМ соответственно; cя, cp — коэффициенты
жесткости пружин Пря и Прр соответственно; bя, bp — коэффициенты диссипации.
Как видно из рис. 3, колебательная система (КС) ЭМВ с РМ является КС с двумя
степенями свободы. Дифференциальные уравнения движения этой КС следующие:
mя
d2xя
dt2
+ bя
dxя
dt
+ cяxя = F0 + F
∼
+ Pя + bя
dxp
dt
+ cяxр,
mp
d2xp
dt2
+ (bя + bp)
dxp
dt
+ (cя + cp)xp = PΣ + bя
dxя
dt
+ cяxя,
(18)
где Pр — вес РМ; PΣ = Pя + Pp.
Как видно из (18), Я и РМ постоянно смещены на xя0p, xр0p от действия их весов Pя
и PΣ и также смещаются в воздушном зазоре δ0 на xя0F , xр0F от действия постоянной
88 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
составляющей F0 тягового усилия в ЭМВ с РМ и сил влияния Я и РМ друг на друга,
т. е. суммарные смещения Я и РМ имеют вид
xя0Σ = xя0p + xр0p,
xя0А = xя01 + xр0xp,
xp0Σ = xp0p + xр0xя,
где
xя0р =
Pя
cя
; xя01 =
F0
cя
; xя0xр =
cяxp0F
cя
; xp0p =
PΣ
cя + cp
; xp0xя =
cяxя0F
cя + cр
.
Выражения xя0p и xр0p в функции коэффициентов cя, cр и весов Pя, PΣ следующие:
xя0p = Pя
(
1
cр
+
1
cя
)
+
PΣ
cр
;
xр0p =
1
cя + cр
{
PΣ + cя
[
Pя
(
1
cр
+
1
cя
)
+
PΣ
cр
]}
.
Величины смещений xя0F , xр0F имеют аналитический вид
xя0F = F0
(
1
cя
+
1
cр
)
, xр0F =
F0
cp
. (19)
Переменные величины xя(t), xр(t) определяются в виде
xя(t) = xая cos(2ωt − Ψ),
xp(t) = xаp cos(2ωt − Ψ − Ψp),
}
(20)
где Ψр — угол сдвига между xя(t) и xр(t); Ψp = arctg (bя + bp)ω/(mp(4ω
2 − ω2
p)), выражение
для Ψ дано ранее.
Амплитуды xая, xар записываются соотношениями
xая =
|F
∼
+ bяẋp(t) + cяxp(t)|
mя
[
(4ω2 − ω2
0я)
2 +
(
2bяω
mя
)2]
,
xаp =
|bяẋя(t) + cяxя(t)|
mр
[
(4ω2 − ω2
0р)
2 +
[
2ω(bя + bр)
mр
]2]
.
Здесь ẋ = dx/dt; ω0я, ω0р — собственные частоты колебаний якоря и РМ соответственно.
Подставляя в (20) аналитические выражения (11), (19), (20), получим баланс электри-
ческой энергии в ЭМВ с РМ. Причем правая часть (17) является конкретизацией произве-
денной работы в ЭМВ с РМ от действия электрической энергии We = (1/2)Li2(t).
Таким образом, в результате проведенного исследования показано, какие части энергии
в ЭМВ расходуются на потери, какие части электрической энергии совершают работу якоря
по смещению его в зазоре и какие части расходуются на создание вибрации якоря. Для всех
указанных составляющих выведены аналитические выражения.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №4 89
1. Любчик М.А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов. – Москва: Энер-
гия, 1974. – 392 с.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 608 с.
3. Ступель Ф.А. Электромеханические реле. – Харьков: Изд-во Харьк. гос. ун-та, 1956. – 355 с.
4. Божко А.Е., Голуб Н.М. Динамико-энергетические связи колебательных систем. – Киев: Наук. дум-
ка, 1980. – 188 с.
Поступило в редакцию 03.03.2008Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
To the analysis of the rotor motion energy of an electromagnetic
vibroexciter
The analytical relations between the work and the input electrical energy in an electromagnetic
vibroexciter are given.
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №4
|