2D кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов
Предлагается метод построения кубических интерполяционных полиномов Зламала – Женишека на произвольном треугольнике, основанный на использовании базисных полиномов 3-й степени на единичном треугольнике. Пропонується метод побудови кубічних інтерполяційних поліномів Зламала – Женішека на довільному т...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84734 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | 2D кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов / О.Н. Литвин, О.О. Литвин, О.И. Денисова // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 100-109. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859941601083654144 |
|---|---|
| author | Литвин, О.Н. Литвин, О.О. Денисова, О.И. |
| author_facet | Литвин, О.Н. Литвин, О.О. Денисова, О.И. |
| citation_txt | 2D кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов / О.Н. Литвин, О.О. Литвин, О.И. Денисова // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 100-109. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Предлагается метод построения кубических интерполяционных полиномов Зламала – Женишека на произвольном треугольнике, основанный на использовании базисных полиномов 3-й степени на единичном треугольнике.
Пропонується метод побудови кубічних інтерполяційних поліномів Зламала – Женішека на довільному трикутнику, оснований на використанні базисних поліномів 3-го степеня для одиничного трикутника.
We propose a method of constructing of Zlamal – Zhenishek cubic interpolation polynomials on an arbitrary triangle, based on the use of basis third-degree polynomials for a unit triangle.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:11:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
100 Компьютерная математика. 2013, № 1
Предлагается метод построения
кубических интерполяционных по-
линомов Зламала – Женишека на
произвольном треугольнике, осно-
ванный на использовании базис-
ных полиномов 3-й степени на
единичном треугольнике.
О.Н. Литвин, О.О. Литвин,
О.И. Денисова, 2013
Компьютерная математика. 2013, № 1 101
УДК 519.6
О.Н. ЛИТВИН, О.О. ЛИТВИН,
О.И. ДЕНИСОВА
2D КУБИЧЕСКИЕ
ИНТЕРПОЛЯЦИОНН
ЫЕ СПЛАЙНЫ
НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ
СЕТКЕ УЗЛОВ
Введение. В работе авторов
[1] предложены явные фор-
мулы для построения кубиче-
ских интерполяционных
сплайнов, основанных на ис-
пользовании кубических ин-
терполяционных полиномов
Зламала – Женишека [2 – 17]
на треугольнике. Приведем ее
основные
утверждения.
Пусть ( ), , 1,k k kA x y k n= –
про-извольная сетка узлов,
[ ]2
0,1 ,kA D∈ = 1,k n= . Ра-
зобьем D на треугольники
pqrT D⊂ с вершинами
, , ,p q rA A A p q≠ ≠
;r≠ { }, , 1,2,...,p q r n∈ .
Введем к рассмотрению систему функций
двух переменных ( ), ,pqrh x y ( ), , ,pqr
rh x yβ
( )1 2, ,0 1β = β β ≤ β ≤ , которые считаем
определенными только в треугольнике pqrT ,
( ),
1
, 1
1
p q p p
q q
x y
w x y x y
x y
= =
( ) ( ) ( ) ( ) ,p q p q p py y x x y y x x= − − − − −
( ) ( )
( )
,
,
,
,
,
p q
pqr
p q pqr pqr
w x y
h x y
w X Y
= ×
( )
( )
( )
( )
, ,
, ,
, ,
.
, ,
q r r p
q r pqr pqr r p pqr pqr
w x y w x y
w X Y w X Y
×
2D КУБИЧЕСКИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ СПЛАЙНЫ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ УЗЛОВ
Компьютерная математика. 2013, № 1 101
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1
2
, , 2
, ,
1
, ,
! ,
r r
pqr r r
r p q
p q x y
x x y y
h x y w x y
w x y
− ββ β
β
− − = ⋅ ⋅ β
,
где
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1 2
1
1 2
0 1, ,, ,
1 1
, ! ! !
, , !
r r r r
r r
p q p qx y x y
x x y y
D
u x y u x y
− β γ γ
γ
≤ γ ≤ − β
− − = γ = γ γ γ
∑
Лемма 1. Функция ( ),pqrh x y – полином 3-й степени со свойствами
( ), 1, ,
3 3
p q r p q r
pqr pqr pqr pqr pqr
x x x y y y
h X Y X Y
+ + + +
= = = (1)
( ) { }, 0, 0 1, , , ,pqr i iD h x y i p q rγ γ= ≤ ≤ ∈ (2)
( )
1 2
0,0
1 2 1 2 , , , ,, , , , .p q r p q rD D h h
x y
γ
γ
γ γ
∂γ = γ γ γ = γ + γ = =
∂ ∂
Лемма 2. Функции ( ), ,pqr
rh x yβ – полиномы 3-й степени со свойствами
( ) { } ( )
( ) ( )
1 1 2 2
, , 1 2 1 20,
, , , , 1 2 1 2
, ; , , , , 0 1, , ,
, , 1, , , .
pqr
k k
pqr
k k
h x y k p q r
D h x y
β β
γ
β γ β γ β
= δ δ ∈ ≤ β ≤ β = β β β = β + β
= δ δ δ γ = γ = γ γ γ = γ + γ
l l l
l l l
l
Теорема 1. Оператор
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
,,
, , 0 1
, , ,
k k
pqr
pqr kx y
k p q r
O f x y D f x y h x yβ
β
∈ ≤ β ≤
= +∑ ∑
( )( ) ( ), , ,pqr pqr pqr pqrf X Y z h x y+ −
( ) ( ) ( )
{ }
,,
, , 0 1
, ,
k
k k
pqr
pqr pqr pqrx y
k p q r
z D f x y h X Y
β
β
∈ ≤ β ≤
= ∑ ∑ (3)
ставит в соответствие каждой функции ( ) ( )1, pqrf x y C T∈ полином 3-й степени
от 2-х переменных со свойствами
( ) ( ), , ,pqr pqr pqr pqr pqrO f X Y f X Y= (4)
( ) ( ) ( ) ( ) { }
, ,
, , ,0 1, , , .
i i i i
pqr x y x y
D O f x y D f x y i p q rγ γ= ≤ γ ≤ ∈ (5)
Теорема 2. Оператор
( ) ( ) ( ), , , ,pqr pqrOf x y O f x y x y T D= ∈ ⊂ (6)
имеет свойства
( ) ( ), , , ,ijk ijk ijk ijk ijkOf X Y f X Y T D= ∈
( ) ( ) { }, , , 1,2, , ,0 1.i i i iD Of x y D f x y i Mγ γ= ∈ ≤ γ ≤K (7)
О.Н. ЛИТВИН, О.О. ЛИТВИН, О.И. ДЕНИСОВА
Компьютерная математика. 2013, № 1 102
Следствие.
( ) ( ) ( ) ( )3 ,
0 3
, , , , i j
i j
i j
Of x y f x y f x y P x y a x y
≤ + ≤
= ∀ = = ∑ . (8)
Явные формулы для базисных кубических полиномов для «единично-
го» треугольника. Для «единичного» треугольника u
kpqT с вершинами (0,0),kA
( ) ( )1,0 , 0,1p qA A приведем явные выражения для всех 10-и базисных функций.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
,0,0 ,0,0, 1 1 2 2 , , 3 2 ,kpq kpq
k pe x y x y x y e x y x x= − − + + = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2
,0,0 ,1,0 ,1,0, 3 2 , , 1 , , 1 ,kpq kpq kpq
q k pe x y y y e x y x x y e x y x x= − = − − = −
( ) ( ) ( ) ( )22 2
,1,0 ,0,1 ,0,1, , , 1 , , ,kpq kpq kpq
q k pe x y xy e x y y x y e x y yx= = − − =
( ) ( ) ( ) ( )2
,0,1 , 1 , , 27 1 .kpq kpq
qe x y y y e x y xy x y= − = − − (9)
Явные формулы для базисных кубических полиномов на произвольном
треугольнике. Используем формулы (9) для представления всех 10-и функций
( ),pqrh x y , ( ), ,pqr
kh x yβ , { } 1 2, , ,0 1k p q r∈ ≤ β ≤ β + β ≤ . Введем замену пере-
менных, устанавливающую взаимно однозначное соответствие между точками
треугольника ( ), pqrx y T∈ и точками ( ), u
kpqu v T∈ :
( ) ( ) ( ), ,kpq k p k q kx x u v x u x x v x x= = + ⋅ − + ⋅ −
( ) ( ) ( ), ,kpq k p k q ky y u v y u y y v y y= = + ⋅ − + ⋅ −
( ) ( ) ( ) ( ), 0,0 , , ,k ku v x y x y= ⇒ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,0 , , , , 0,1 , , ,p p q qu v x y x y u v x y x y= ⇒ = = ⇒ = (10)
( )
( )
,
,
,
p k p k
kpq
q k q k
x x y yx y
x x y yu v
− −∂
= = ∆
− −∂
( )
( ) ( )
( ) ( )
,
k q k
k q k
kpq
kpq
x x x x
y y y y
u u x y
− −
− −
= =
∆
, ( )
( ) ( )
( ) ( )
,
p k k
p k k
kpq
kpq
x x x x
y y y y
v v x y
− −
− −
= =
∆
,
( ) 1, 3kpq kpq kpqu X Y = , ( ) 1, 3kpq kpq kpqv X Y = .
В дальнейшем будем использовать формулы
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1,0 1 0,1 1
1,0 1 0,1 1
, ; , ;
, ; , ;
kpq kpq q k kpq kpq q k
kpq kpq p k kpq kpq p k
D u x y y y D u x y x x
D v x y y y D v x y x x
− −
− −
= ∆ − = −∆ −
= −∆ − = ∆ −
2D КУБИЧЕСКИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ СПЛАЙНЫ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ УЗЛОВ
Компьютерная математика. 2013, № 1 103
( ) ( ) ( ), 0; , 1; , 0kpq k k kpq p p kpq q qu x y u x y u x y= = = ;
( ) ( ) ( ), 0; , 0; , 1.kpq k k kpq p p kpq q qv x y v x y v x y= = =
В результате получаем, что для произвольного треугольника pqrT функции
( ) { }, , , , ,pqr
kh x y k p q rβ ∈ , ( ),pqrh x y можно представить в виде, указывающемся
в следующих теоремах. Объединяем формулирование и доказательство теорем.
Теорема 3. Для произвольного { }, ,k p q r∈ функция
( ) ( ) ( )( ),0,0 ,0,0, , , ,kpq kpq
k k kpq kpqh x y e u x y v x y= удовлетворяет условиям:
( ) ( ) ( ) ( ),0,0 ,0,0 ,0,0 ,0,0, 0,0 1, , 1,0 0,kpq kpq kpq kpq
k k k k k p p kh x y e h x y e= = = =
( ) ( ),0,0 ,0,0, 0,1 0,kpq kpq
k q q kh x y e= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,0 1,0 1,0 0,1 1,0
,0,0 ,0,0 ,0,0, 0,0 0,0
, , , 0,
k k
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,1 1,0 0,1 0,1 0,1
,0,0 ,0,0 ,0,0, 0,0 0,0
, , , 0,
k k
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,0 1,0 1,0 0,1 1,0
,0,0 ,0,0 ,0,0, 1,0 1,0
, , , 0,
p p
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,1 1,0 0,1 0,1 0,1
,0,0 ,0,0 ,0,0, 1,0 1,0
, , , 0,
p p
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,0 1,0 1,0 0,1 1,0
,0,0 ,0,0 ,0,0, 0,1 0,1
, , , 0,
q q
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,1 1,0 0,1 0,1 0,1
,0,0 ,0,0 ,0,0, 0,1 0,1
, , , 0.
q q
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
Для доказательства использованы следующие равенства:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,0,0 ,0,0 ,0,0
1,0 0,1 1,0
,0,0 ,0,0 ,0,00,0 0,0 1,0
0,1 1,0 0,1
,0,0 ,0,0 ,0,01,0 0,1 0,1
0,0 1; 1,0 0; 0,1 0;
, 0; , 0; , 0;
, 0; , 0; , 0.
kpq kpq kpq
k k k
kpq kpq kpq
k k k
kpq kpq kpq
k k k
e e e
D e u v D e u v D e u v
D e u v D e u v D e u v
= = =
= = =
= = =
Аналогично доказываются соответствующие интерполяционные свойства
для функций
( ) ( ) ( )( ),0,0 ,0,0, , , , ,kpq kpq
p p kpq kpqh x y e u x y v x y= ( ),0,0 ,kpq
qh x y ( ) ( )( ),0,0 , , , .kpq
q kpq kpqe u x y v x y=
Теорема 4. Для произвольного { }, ,k p q r∈ функция ( ),1,0 ,kpq
kh x y =
( ) ( )( ),1,0 , , ,kpq
k kpq kpqe u x y v x y= удовлетворяет условиям:
( ) ( ),1,0 ,1,0, 0,1 0,kpq kpq
k q q kh x y e= =
О.Н. ЛИТВИН, О.О. ЛИТВИН, О.И. ДЕНИСОВА
Компьютерная математика. 2013, № 1 104
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,0 1,0 1,0 0,1 1,0
,1,0 ,1,0 ,1,0, 0,0 0,0
, , ,
k k
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
( )1,0 1,0 1,0 11 0 ,kpq kpq kpq kpq q kD u D v D u y y−= + = = ∆ −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,1 1,0 0,1 0,1 0,1
,1,0 ,1,0 ,1,0, 0,0 0,0
, , ,
k k
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
( )0,1 0,1 0,1 11 0 ,kpq kpq kpq kpq q kD u D v D u x x−= + = = ∆ −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,0 1,0 1,0 0,1 1,0
,1,0 ,1,0 ,1,0, 1,0 1,0
, , , 0,
p p
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,1 1,0 0,1 0,1 0,1
,1,0 ,1,0 ,1,0, 1,0 1,0
, , , 0,
p p
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,0 1,0 1,0 0,1 1,0
,1,0 ,1,0 ,1,0, 0,1 0,1
, , , 0,
q q
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,1 1,0 0,1 0,1 0,1
,1,0 ,1,0 ,1,0, 0,1 0,1
, , , 0.
q q
kpq kpq kpq
k k kpq k kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
Для доказательства использованы следующие равенства:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
,1,0 ,1,0 ,1,0
1,0 0,1 1,0
,1,0 ,1,0 ,1,00,0 0,0
0,1
0,1 1,0 0,1
,1,0 ,1,0 ,1,00,1 1,0
1,0
0,0 0; 1,0 0; 0,1 0;
, 1; , 0; , 0;
, 0; , 0; , 0.
kpq kpq kpq
k k k
kpq kpq kpq
k k k
kpq kpq kpq
k k k
e e e
D e u v D e u v D e u v
D e u v D e u v D e u v
= = =
= = =
= = =
Аналогично доказываются соответствующие интерполяционные свойства
для функций ( ) ( ) ( )( ),1,0 ,1,0, , , ,kpq kpq
p p kpq kpqh x y e u x y v x y= ,
( ) ( ) ( )( ),1,0 ,1,0, , , ,kpq kpq
q q kpq kpqh x y e u x y v x y= ,
( ) ( ) ( )( ),0,1 ,0,1, , , , ,kpq kpq
k k kpq kpqh x y e u x y v x y=
( ) ( ) ( )( ),0,1 ,0,1, , , ,kpq kpq
p p kpq kpqh x y e u x y v x y= ,
( ) ( ) ( )( ),0,1 ,0,1, , , , .kpq kpq
q q kpq kpqh x y e u x y v x y=
Теорема 5. Для произвольного треугольника pqrT функция ( ),pqrh x y =
( ) ( )( ), , ,pqr
kpq kpqe u x y v x y= удовлетворяет условиям:
( ) ( ) ( ) ( ), 0,0 0, , 1,0 0,kpq kpq
pqr k k pqr p ph x y e h x y e= = = =
( ) ( ), 0,1 0,kpq
pqr q qh x y e= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,0 1,0 1,0 0,1 1,0
, 0,0 0,0
, , , 0,
k k
kpq kpq
pqr kpq kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v= + =
2D КУБИЧЕСКИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ СПЛАЙНЫ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ УЗЛОВ
Компьютерная математика. 2013, № 1 105
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
0,1 1,0 0,1 0,1 0,1
, 0,0 0,0
1,0 1,0 1,0 0,1 1,0
, 1,0 1,0
0,1 1,0 0,1 0,1 0,1
, 1,0 1,0
1,0
, , , 0,
, , , 0,
, , , 0,
k k
p p
p p
kpq kpq
pqr kpq kpqx y
kpq kpq
pqr kpq kpqx y
kpq kpq
pqr kpq kpqx y
D h x y D e u v D u D e u v D v
D h x y D e u v D u D e u v D v
D h x y D e u v D u D e u v D v
D h
= + =
= + =
= + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1,0 1,0 0,1 1,0
, 0,1 0,1
0,1 1,0 0,1 0,1 0,1
, 0,1 0,1
,
, , , 0,
, , , 0,
1 1, , , , , 1.3 3
q q
q q
pqr pqr
kpq kpq
pqr kpq kpqx y
kpq kpq
pqr kpq kpqx y
kpq kpq
pqr kpq pqr pqr kpq pqr pqrX Y
x y D e u v D u D e u v D v
D h x y D e u v D u D e u v D v
h x y e u X Y v X Y e
= + =
= + =
= = =
Для доказательства используются следующие равенства:
( ) ( ) ( )0,0 0; 1,0 0; 0,1 0;kpq kpq kpqe e e= = =
( ) ( ) ( ) ( )
1,0 0,1
0,0 0,0
, 0; , 0;kpq kpqD e u v D e u v= =
( ) ( ) ( ) ( )
1,0 0,1
1,0 1,0
, 0; , 0;kpq kpqD e u v D e u v= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,0 0,1
0,1 0,1
1 1 1, 0; , 0; , 27 1.3 3 27
kpq kpq kpqD e u v D e u v e= = = ⋅ =
Введем к рассмотрению оператор
( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
,0,0 ,1,0 ,1,0
, , , ,
, , ,pqr pqr pqr
pqr k k k k
k p q r k p q r
B f x y f A h x y C f h x y
∈ ∈
= + +∑ ∑
( ) ( )
{ }
,0,1 ,0,1
, ,
,pqr pqr
k k
k p q r
C f h x y
∈
+ ∑ .
Теорема 6. Для того чтобы оператор ( ),pqrB f x y удовлетворял условиям
( ) ( ) ( ) ( )1,0 1,0, , , , , ,
ll l l
pqr pqrAA A A
B f x y f x y D B f x y D f x y= =
( ) ( ) { }0,1 0,1, , , , ,
l l
pqr A A
D B f x y D f x y l p q r= ∈
постоянные коэффициенты ( ) ( ) { },1,0 ,0,1, , , ,pqr pqr
k kC f C f k p q r∈ должны быть реше-
ниями следующих систем линейных алгебраических уравнений:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,0 1,0 1,0
,1,0 ,1,0 ,0,1 ,1,0
0,1 0,1 0,1
,1,0 ,1,0 ,0,1 ,1,0
, , , , , , ,
,
, , , , , , ,
l
l
pqr pqr
k k k k A
pqr pqr
k k k k A
C f D u x y X Y C f D v x y X Y D f x y
C f D u x y X Y C f D v x y X Y D f x y
+ =
+ =
{ }, ,l p q r∈ . (11)
О.Н. ЛИТВИН, О.О. ЛИТВИН, О.И. ДЕНИСОВА
Компьютерная математика. 2013, № 1 106
Доказательство. Учитывая свойства базисных функций ,0,0 ,0,0 ,0,0, , ,kpq kpq kpq
k p qe e e
,1,0 ,1,0 ,1,0 ,0,1, , , ,kpq kpq kpq kpq
k p q ke e e e ,0,1 ,0,1, ,kpq kpq kpq
p qe e e и функций ( ) ( ), , ,kpq kpqu x y v x y можно
написать следующую цепочку равенств:
( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
,0,0 ,1,0 ,1,0
, , , ,
, , ,
l l l
pqr pqr pqr
pqr k k k kA A A
k p q r k p q r
B f x y f A h x y C f h x y
∈ ∈
= + +∑ ∑
( ) ( )
{ }
( )
{ }
( ) { },0,1 ,0,1 ,
, , , ,
, , , ,
l
pqr pqr
k k k k l lA
k p q r k p q r
C f h x y f A f A l p q r
∈ ∈
+ = δ = ∈∑ ∑ ,
( ) ( ) ( )
{ }
1,0 1,0
,0,0
, ,
, ,
l l
pqr
pqr k kA A
k p q r
D B f x y f A D h x y
∈
= +∑
( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
1,0 1,0
,1,0 ,1,0 ,0,1 ,0,1
, , , ,
, ,
l l
pqr pqr pqr pqr
k k k kA A
k p q r k p q r
C f D h x y C f D h x y
∈ ∈
+ + =∑ ∑
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1,0
,1,0 ,1,0
1,0
,0,1 ,0,1
1,0 1,0
,1,0 ,0,1
, , ,
, , ,
, , ;
l
l
pqr pqr
l k kpq kpq
A
pqr pqr
l l kpq kpq
A
pqr pqr
l kpq l kpq
C f D e u x y v x y
C f D e u x y v x y
C f D u x y C f D v x y
= +
+ =
= +
( ) ( ) ( )
{ }
0,1 0,1
,0,0
, ,
, ,
l l
pqr
pqr k kA A
k p q r
D B f x y f A D h x y
∈
= +∑
( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
0,1 0,1
,1,0 ,1,0 ,0,1 ,0,1
, , , ,
, ,
l l
pqr pqr pqr pqr
k k k kA A
k p q r k p q r
C f D h x y C f D h x y
∈ ∈
+ + =∑ ∑
( ) ( ) ( )( )0,1
,1,0 ,1,0 , , ,
l
pqr pqr
l k kpq kpq
A
C f D e u x y v x y= +
( ) ( ) ( )( )0,1
,0,1 ,0,1 , , ,
l
pqr pqr
l l kpq kpq
A
C f D e u x y v x y+ =
( ) ( ) ( ) ( ) { }0,1 0,1
,1,0 ,0,1, , ; , , .pqr pqr
l kpq l kpqC f D u x y C f D v x y l p q r= + ∈
Приравнивая эти выражения к производным ( )1,0 , ,
lA
D f x y ( )0,1 , ,
lA
D f x y
{ }, ,l p q r∈ получаем систему уравнений (11). Теорема 6 доказана.
Введем оператор ( ) ( ) ( )(, , ,pqr pqr pqr pqrO f x y B f x y f X Y= + −
( )) ( )( ), , , .pqr pqr pqr pqr pqrB f X Y h x y x y T− ∈ (12)
Теорема 7. Для каждой ( ) ( )1 2,f x y C R∈ оператор ( ),pqrO f x y имеет
свойства
( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2, ,
, , , , , ;0 1
l l l l
pqr x y x y
D O f x y D f x y k p q rβ β= ∈ ≤ β + β ≤ ,
( ) ( ), , .pqr pqr pqr pqr pqrO f X Y f X Y=
2D КУБИЧЕСКИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ СПЛАЙНЫ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ УЗЛОВ
Компьютерная математика. 2013, № 1 107
Доказательство. Функция ( ),pqrh x y равна нулю одновременно со своими
частными производными 1-го порядка в каждой вершине треугольника.
Поэтому
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) { }
,
,
,
1 2, ,
, ,
, , ,
, , , , , ;0 1.
l l x yl l
x yl l
l l l l
pqr pqrx y
pqr pqr pqr pqr pqr pqr
pqr x y x y
D O f x y D B f x y
f X Y B f X Y D h x y
D B f x y D f x y l p q r
β β
β
β β
= +
+ − =
= = ∈ ≤ β + β ≤
То есть, первую группу утверждений теоремы 7 доказано. Для доказательства
последнего утверждения теоремы 7 напишем следующую цепочку равенств:
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
, ,
, , ,
, , , 1 , .
pqr pqr pqr pqr pqr pqr
pqr
pqr pqr pqr pqr pqr pqr pqr
pqr pqr pqr pqr pqr pqr pqr pqr pqr pqr
O f X Y B f X Y
f X Y B f X Y h X Y
B f X Y f X Y B f X Y f X Y
= +
+ − =
= + − ⋅ =
Теорема 7 доказана.
Теорема 8. Каждой ( ) ( )1 2,f x y C R∈ оператор
( ) ( ) ( ), , , ,D pqr pqrO f x y O f x y x y T D= ∈ ⊂ .
Ставит в соответствие сплайн 3-ей степени со свойствами
( ) ( ) ( ) ( ) { }
( ) ( ) ( )
, ,
,
, , , 1,2,..., ,0 1,
, , .
l l l l
l l
D x y x y
D pqr pqr pqr pqr pqr
x y
D O f x y D f x y l n
O f X Y f X Y T D
γ γ= ∈ ≤ γ ≤
= ∀ ⊂
Доказательство. Предположим, что точка ( ),l lx y – вершина некоторого
треугольника lpqT D⊂ . Тогда, в соответствии с теоремой 7 можно написать
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }
( ) ( ) ( ) ( )
, , ,
,
, , , , 1,2,..., ,
0 1, , , , .
l l l l l l
l l
D lpqx y x y x y
D lpq lpq lpq lpq lpq lpq lpq
x y
D O f x y D O f x y D f x y l n
O f X Y O f X Y f X Y
γ γ γ= = ∈
≤ γ ≤ = =
Теорема 8 доказана.
Выводы. Предложены явные формулы для построения кубических полино-
мов Зламала – Женишека на произвольном треугольнике, основанные на
использовании базисных кубических полиномов.
О.Н. ЛИТВИН, О.О. ЛИТВИН, О.И. ДЕНИСОВА
Компьютерная математика. 2013, № 1 108
Для предложенных формул планируется исследовать погрешность прибли-
жения и использовать их для построения кубатурной формулы на произвольной
сетке узлов.
1. Литвин О.М., Литвин О.О., Денисова О.І. Побудова 2D кубічних інтерполяційних сплай-
нів класу 1( )С D // Вісник Запорізького університету. – 2011. – № 1. – C. 66–74.
2. Zlamal М. On the finite element method // Numer. Math. – 1968. – 12. – Р. 394 – 409.
3. Zlamal M. On some finite element procedures for solving second order boundary value prob-
lems, ibid. – 1969. – 14. – Р. 42 – 48.
4. Zlamal M. А finite element procedure of the second order accuracy, ibid. – 1969. – 14. –
Р. 394 – 402.
5. Zenisek A. Interpolation polynomials on the triangle // Numer. Math. – 1970. – Vol. 15. –
P. 283 – 296.
6. Zlamal M., Zenisek A. Mathematical aspect of the finite element method // Technical, physical
and mathematical principles of the finite element method (V. Kolar et. al. eds.) Praha: Acad.
VED. – 1971. – P. 15 – 39.
7. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе / Пере-
вод с англ. – М.: Мир, 1974. – 126 с.
8. Babushka I., Aziz A.K. On the engle condition in the finite element method // SIAM J. Numer.
Anal. – 1976. – Vol. 13, N 2. – P. 214 – 226.
9. Bramble J.H., Zlamal M. Triangular elements in the finite element method // Math. Comp. –
1970. – Vol. 24. – P. 809 – 820.
10. Субботин Ю.Н. Зависимость оценок многомерной кусочно полиномиальной аппрокси-
мации от геометрических характеристик триангуляции // Труды МИАН СССР. – 1989. –
189. – С. 117 – 137.
11. Латыпова Н.В. Погрешность кусочно-кубической интерполяции на треугольнике //
Вестн. Удмрт. ун-та. Сер. математика. – 2003. – С. 3 – 10.
12. Zenisek A. Maximum-angle condition and triangular finite elements of hermite type // Math.
Comp. – 1995. – Vol. 64, N 211. – P. 929 – 941.
13. Субботин Ю.Н. Новый кубический элемент в МКЭ // Труды Института математики и
механики. Теория функций. – Екатеринбург: УрО РАН, 2005. – 11. – № 2. – С. 120 – 130.
14. Байдакова Н.В. Об одном способе эрмитовой интерполяции многочленами третьей сте-
пени на треугольнике // Труды Института математики и механики. Теории функций. –
Екатеринбург: УрО РАН, 2005. – 11, № 2. – С. 47 – 52.
15. Матвеева Ю.В. Об интерполяции кубическими многочленами третей степени на тре-
угольнике с использованием смешанных производных // Известия Саратовского универ-
ситета. Новая серия. Серия математика. Механика. Информатика. – 2007. – 7. – Вып. 1. –
С. 28 – 32.
16. Куприянова Ю.В. Об одной теореме из теории сплайнов // Журнал вычислительной ма-
тематики и математической физики. – 2008. – 48, № 2. – С. 206 – 211.
17. Матвеева Ю.В. Приближение функций многочленами на треугольной сетке // Дис. ...
канд. физ.-мат. наук. – Саратов, 2008. – 107 с.
Получено 25.10.2012
2D КУБИЧЕСКИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ СПЛАЙНЫ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ УЗЛОВ
Компьютерная математика. 2013, № 1 109
О.М. Литвин, О.О. Литвин, О.І. Денисова
2D КУБІЧНІ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ СПЛАЙНИ НА НЕРЕГУЛЯРНІЙ СІТЦІ ВУЗЛІВ
Пропонується метод побудови кубічних інтерполяційних поліномів Зламала – Женішека на
довільному трикутнику, оснований на використанні базисних поліномів 3-го степеня для
одиничного трикутника.
O.M. Lytvyn, O.O. Lytvyn, O.I. Denisova
2D CUBIC INTERPOLATION SPLINES ON IRREGULAR GRID OF NODES
We propose a method of constructing of Zlamal – Zhenishek cubic interpolation polynomials on an
arbitrary triangle, based on the use of basis third-degree polynomials for a unit triangle.
Об авторах:
Литвин Олег Николаевич,
доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой высшей и прикладной математики
Украинской инженерно-педагогической академии,
E-mail: academ.kharkov@ukr.net
Литвин Олег Олегович,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей и прикладной математики
Украинской инженерно-педагогической академии,
E-mail: loo71@bk.ru
Денисова Оксана Игоревна,
соискатель кафедры высшей и прикладной математики
Украинской инженерно-педагогической академии.
E-mail: loo71@bk.ru
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84734 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:11:32Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.Н. Литвин, О.О. Денисова, О.И. 2015-07-14T11:57:22Z 2015-07-14T11:57:22Z 2013 2D кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов / О.Н. Литвин, О.О. Литвин, О.И. Денисова // Компьютерная математика. — 2013. — № 1. — С. 100-109. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84734 519.6 Предлагается метод построения кубических интерполяционных полиномов Зламала – Женишека на произвольном треугольнике, основанный на использовании базисных полиномов 3-й степени на единичном треугольнике. Пропонується метод побудови кубічних інтерполяційних поліномів Зламала – Женішека на довільному трикутнику, оснований на використанні базисних поліномів 3-го степеня для одиничного трикутника. We propose a method of constructing of Zlamal – Zhenishek cubic interpolation polynomials on an arbitrary triangle, based on the use of basis third-degree polynomials for a unit triangle. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Оптимизация вычислений 2D кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов 2D кубічні інтерполяційні сплайни на нерегулярній сітці вузлів 2D cubic interpolation splines on irregular grid of nodes Article published earlier |
| spellingShingle | 2D кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов Литвин, О.Н. Литвин, О.О. Денисова, О.И. Оптимизация вычислений |
| title | 2D кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов |
| title_alt | 2D кубічні інтерполяційні сплайни на нерегулярній сітці вузлів 2D cubic interpolation splines on irregular grid of nodes |
| title_full | 2D кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов |
| title_fullStr | 2D кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов |
| title_full_unstemmed | 2D кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов |
| title_short | 2D кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов |
| title_sort | 2d кубические интерполяционные сплайны на нерегулярной сетке узлов |
| topic | Оптимизация вычислений |
| topic_facet | Оптимизация вычислений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84734 |
| work_keys_str_mv | AT litvinon 2dkubičeskieinterpolâcionnyesplainynaneregulârnoisetkeuzlov AT litvinoo 2dkubičeskieinterpolâcionnyesplainynaneregulârnoisetkeuzlov AT denisovaoi 2dkubičeskieinterpolâcionnyesplainynaneregulârnoisetkeuzlov AT litvinon 2dkubíčníínterpolâcíinísplaininaneregulârníisítcívuzlív AT litvinoo 2dkubíčníínterpolâcíinísplaininaneregulârníisítcívuzlív AT denisovaoi 2dkubíčníínterpolâcíinísplaininaneregulârníisítcívuzlív AT litvinon 2dcubicinterpolationsplinesonirregulargridofnodes AT litvinoo 2dcubicinterpolationsplinesonirregulargridofnodes AT denisovaoi 2dcubicinterpolationsplinesonirregulargridofnodes |