Множини як сукупності сутностей-об’єктів
Пропонується деяке розширення та формалізація класичної теорії множин у вигляді конструктивної її версії (CST) в якій вводиться новий рівень – рівень об’єктів, які є складовими для створення множин; концепція класу об’єктів, що дозволяє у певному сенсі формалізувати класифікацію самих об’єктів. У ос...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84749 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Множини як сукупності сутностей-об’єктів / Д.О. Терлецький // Компьютерная математика. — 2013. — № 2. — С. 64-71. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860080902991773696 |
|---|---|
| author | Терлецький, Д.О. |
| author_facet | Терлецький, Д.О. |
| citation_txt | Множини як сукупності сутностей-об’єктів / Д.О. Терлецький // Компьютерная математика. — 2013. — № 2. — С. 64-71. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Пропонується деяке розширення та формалізація класичної теорії множин у вигляді конструктивної її версії (CST) в якій вводиться новий рівень – рівень об’єктів, які є складовими для створення множин; концепція класу об’єктів, що дозволяє у певному сенсі формалізувати класифікацію самих об’єктів. У основу CST покладається принцип нескінченності за Брауером та відкидаються такі поняття «одноелементна множина» та «пуста множина». Проводиться порівняльний аналіз CST з деякими найбільш відомими системами теорії множин.
Предлагается некоторое расширение и формализация классической теории множеств в виде конструктивной ее версии (CST), в которой вводится новый уровень – уровень объектов, являющихся составляющими для создания множеств; концепция класса объектов, позволяет в определенном смысле формализовать классификацию самих объектов. В основу CST возлагается принцип бесконечности по Брауэру и отвергаются понятия «одноэлементное множество» и «пустое множество». Проводится сравнительный анализ CST с некоторыми наиболее известными системами теории.
In this paper some expansion and formalization of classical set theory as it’s constructive version (CST) are proposed. A new level – the level of objects that are components for sets creating, and concept of a class of objects, that can in some sense to formalize the classіfіcatіon of the objects themselves introduced within CST. (CST) relies in the basis on the principle of іnfіnіty by Brouwer. Such notions like «singleton set» and «empty set» rejected in CST. The comparative analysis of the CST with some of the most known systems of set theory also proposes by author in this article.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:16:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
64 Компьютерная математика. 2013, № 2
Пропонується деяке розширення
та формалізація класичної теорії
множин у вигляді конструктивної
її версії (CST) в якій вводиться
новий рівень – рівень об’єктів, які
є складовими для створення мно-
жин; концепція класу об’єктів, що
дозволяє у певному сенсі формалі-
зувати класифікацію самих об’єк-
тів. У основу CST покладається
принцип нескінченності за Брауе-
ром та відкидаються такі по-
няття «одноелементна множи-
на» та «пуста множина». Прово-
диться порівняльний аналіз CST
з деякими найбільш відомими си-
стемами теорії множин.
Д.О. Терлецький, 2013
УДК 510.2
Д.О. ТЕРЛЕЦЬКИЙ
МНОЖИНИ ЯК СУКУПНОСТІ
СУТНОСТЕЙ-ОБ’ЄКТІВ
Вступ. Поняття «множина» є центральним
для теорії множин і одним із фундаменталь-
них понять для математики в цілому, але
окрім цього це поняття має важливе та гло-
бальне значення в життєдіяльності людини.
Ми використовуємо множини повсякденно в
своїй розумовій діяльності у процесі сприй-
няття, аналізу, порівняння, пошуку, класифі-
кації тощо. Свідомо або підсвідомо створює-
мо множини, оперуємо ними, застосовуємо
до них різні операції, зокрема, теоретико-
множинні.
Огляд відомих систем теорії множин. З
появою перших робіт, присвячених теорії
множин [1], розпочалися активні досліджен-
ня в даному напрямку. Досить швидко цю
теорію стали відносити до так званих основ
математики, оскільки основне поняття цієї
теорії – «множина» є одним із фундамента-
льних понять для математики. Протягом всієї
історії розвитку даної теорії запропоновано
багато варіантів теорії множин, це в першу
чергу пов’язано з парадоксами, які були
знайдені в канторівській теорії множин. Піс-
ля чого відбулися деякі спроби побудувати
теорію множин використовуючи підходи ві-
дмінні від запропонованого Кантором, так
з’явилася теорія типів Рассела (T) [2], яку
пізніше розвинув Куайн (NF), (ML) [3, 4].
Згодом відбулися спроби аксіоматизації тео-
рії множин, які відомі в історії, як аксіомати-
чні теорії множин Цермело – Френкеля (ZF)
та фон Неймана – Бернайса – Гєделя (NBG)
[3 – 5].
В даний момент більшість математиків бе-
руть за основу аксіоматичну систему теорії
ЕФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ РАЗРАБОТКИ СИСТЕМ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Компьютерная математика. 2005, №2 65
множин, яку запропонували
Цермело та Френкель, проте
відносно недавно з’явилася
нова альтернативна теорія множин, яку запропонував Вопенка (AST) [6]. Ця
теорія найбільш конструктивна серед вищезгаданих і це дуже важливий момент,
оскільки для потреб математики, як показує практика, достатньо ZF, проте для
комп’ютерних наук та штучного інтелекту просто теорії недостатньо, необхідно
щоб вона була конструктивною. Саме конструктивність теорії є гарантією існу-
вання алгоритмів побудови різного роду об’єктів у її рамках.
Постановка проблеми. Аналізуючи вищезгадані варіації теорії множин,
виникають питання про походження так званих «конкретних» множин. Виходя-
чи з основ класичної теорії множин [7], можна зробити висновок, що «нові»
множини можна отримувати шляхом теоретико-множинних операцій над «вже
існуючими» множинами і це дійсно так. Проте не зникають питання про похо-
дження цих так званих «вже існуючих» множин, їхню кількість, їх види і т. д.
Виникають питання про можливості автоматизації процесу створення множин
для машини, без сторонньої допомоги; автоматизації класифікації та ідентифі-
кації елементів множин; автоматичної генерації множин, що належать до певно-
го класу. Тобто виникає питання про можливість практичної реалізації для ма-
шин здатності оперувати такою базовою категорією людського мислення як
«множина».
Об’єкти та класи об’єктів. Відомо, що будь-яка множина складається з
елементів, які її утворюють (визначають, формують). Елементами множини мо-
жуть виступати будь-які предмети, явища нашої уяви або навколишнього світу,
для зручності називатимемо такі елементи об’єктами. Розглянемо такий об’єкт,
як натуральне число, очевидно, що кожне натуральне число має бути цілим та
додатнім, що є по суті характеристичними властивостями натуральних чисел,
звідси не важко переконатися, що 1 – це дійсно натуральне число, а 5 або 2.5 –
не є такими. Аналізуючи цей факт, можна прийти до висновку, що будь-який
об’єкт володіє певними властивостями, які є для нього характери-стичними і
визначають його, як деяку сутність та дозволяють відрізняти його серед інших
об’єктів. Спираючись на це та все вищесказане сформулюємо визначення понят-
тя «об’єкт».
Об’єкт A – це носій деякої сукупності (множини) властивостей та ознак
))(),...,(()( 1 ApApAP n= , де P(A) – вектор характеристичних властивостей
об’єкта A , що визначають його, як деяку сутність. Позначатимемо довільний
об’єкт наступним чином:
))(),...,(/()(/ 1 ApApAAPAA n== .
Для будь-яких об’єктів виконуються наступні аксіоми:
1) об’єкти існують незалежно від множин до яких вони входять або можуть
входити;
2) кожен об’єкт може одночасно належати довільній кількості множин;
Д.О. ТЕРЛЕЦЬКИЙ
Компьютерная математика. 2013, № 2 66
3) кожен об’єкт має певний не пустий набір властивостей, що визначає йо-
го, як деяку сутність.
На перший погляд дане визначення може здатися суперечливим, оскільки
вище зазначено, що множину утворюють її елементи – об’єкти, але при визна-
ченні об’єкта використовується поняття множини, яке ми ще не визначили. Ви-
никає питання про різницю між поняттям «множина» та «множина властивостей
деякого об’єкта». Довільний об’єкт A створюється за певною специфікацією,
яка складається з властивостей ))(),...,(()( 1 ApApAP n= , причому конкретні
властивості )(Api не можуть існувати окремо від об’єкта A , оскільки вони є
його проявом та наочною демонстрацією, і спостерігати їх можна лише створи-
вши самий об’єкт A – носій цих властивостей. У свою чергу об’єкт A не може
існувати окремо від властивостей ))(),...,(()( 1 ApApAP n= , оскільки без них
невідомо, як його створювати. Отже властивість і об’єкт – нерозривно пов’язані
між собою і не можуть існувати окремо один від одного. Відповідно, якщо при-
пустити, що множина властивостей об’єкта A є множиною, то отримаємо супе-
речність, оскільки не відомо, як створювати конкретну властивість )(Api ,
де ni ,1= , якщо допускати, що )(AP – це множина, то відповідно властивість
)(Api – має бути об’єктом цієї множини і повинна мати свій характеристичний
вектор властивостей
1
( ) ( ( ),..., ( ))
mi i ip A p A p A= , що є неможливим, оскільки не
зрозуміло які властивості мають бути у самої властивості об’єкта. Якщо розгля-
нути властивість натурального числа «бути парним» або просто «парність», то
виникають питання про властивості якими має володіти «парність», її створення
з урахуванням того, що сама «парність» у даному випадку є об’єктом. Отже
множина об’єктів і множина властивостей об’єкта – це нетотожні поняття.
Введемо такі поняття як «специфікація об’єкта», «розмірність об’єкта»,
«примітивний об’єкт» та «однотипні об’єкти».
Специфікація об’єкта A – це набір його характеристичних властивостей
))(),...,(()( 1 ApApAP n= .
Розмірність об’єкта )(AD – це деяке натуральне число ,n яке визначає
кількість властивостей об’єкта ,A що входять до його специфікації
))(),...,(()( 1 ApApAP n= .
Об’єкт A – примітивний тоді й тільки тоді, коли його розмірність 1)( =AD .
Об’єкти A і B – однотипні (різнотипні), тоді й тільки тоді, коли вони ма-
ють однакову (різну) розмірність і їм властива одна й та ж (не одна й та ж) спе-
цифікація.
Кожен об’єкт визначається певною специфікацією, але існують специфіка-
ції, що визначають декілька об’єктів одночасно, при цьому ці об’єкти можуть
МНОЖИНИ ЯК СУКУПНОСТІ СУТНОСТЕЙ-ОБ’ЄКТІВ
Компьютерная математика. 2013, № 2 67
бути відмінними між собою, оскільки міра відповідності кожного конкретного
об’єкта до специфікації може бути різною.
У загальному об’єкти можна поділити на конкретні (реально матеріально іс-
нуючі) та абстрактні. Кожен конкретний об’єкт, незалежно від того коли й як він
був створений, є нічим іншим, як матеріальною реалізацією свого абстрактного
образу – прототипу. Кожен прототип по суті, є абстрактною специфікацією для
створення майбутніх реальних об’єктів. Окрім властивостей об’єктів також варто
виділити операції (методи), які можна застосувати до об’єктів враховуючи особ-
ливості їх специфікації. У програмуванні [8, 9] часто використовують специфіка-
цію та сигнатуру об’єкта без самого об’єкта називаючи це типом або класом
об’єкта, тому використавши цю ідею сформулюємо визначання «клас об’єктів».
Клас об’єктів – це абстрактна специфікація та набір операцій (сигнатура) пев-
ної кількості певних об’єктів. Позначатимемо клас об’єктів наступним чином:
)))(),...,(()),(),...,((())(),(( 11 TfTfTpTpTFTPT kn== ,
де T – ім’я класу, )(TP – абстрактна специфікація, а )(TF – набір операцій
(методів), які можна застосовувати до об’єктів класу ,T враховуючи особливо-
сті їх специфікації.
Клас об’єктів є однорідним (неоднорідним) тоді й тільки тоді, коли за його
специфікацією можна побудувати однотипні (різнотипні) об’єкти.
Важливо розуміти, що клас T – це специфікація ))(),...,(()( 1 TpTpTP n=
та сигнатура ))(),...,(()( 1 TfTfTF k= деякого абстрактного об’єкта TA , тобто
клас T по суті – це деякий абстрактний об’єкт, TA – прототип, на основі якого
можна створювати конкретні об’єкти. Коли говоримо про деякий клас об’єктів,
то маємо на увазі властивості цих об’єктів та методи які можна до них застосу-
вати, тобто клас – це ніщо інше, як узагальнена форма розгляду властивостей
об’єктів та операцій над об’єктами без самих об’єктів.
Використовуючи поняття однорідного класу, можна визначити примітивні
типи даних для деяких мов програмування. Для прикладу, визначимо тип Int
у мові програмування C++. Отже, визначатимемо клас Int , який має специфіка-
цію 1 2( ) ( ( ), ( ))P Int p Int p Int= , де властивість )(1 Intp – це «цілі числа», а
властивість )(2 Intp – це «числа не більші, ніж 2147336147 та не менші, ніж
− 2147336148».
Очевидно, що всі числа, які володітимуть властивостями )(1 Intp та
)(2 Intp будуть об’єктами класу Int . Тепер можна визначити сигнатуру класу
,Int вона може містити довільну кількість різних методів, для прикладу визна-
чимо елементарні операції над цілими числами:
))(),(),(),(()( 4321 IntfIntfIntfIntfIntF = ,
де "")(1 +=Intf , "")(1 −=Intf , "")(1 ⋅=Intf , "")(1 ÷=Intf .
У випадку неоднорідного класу ми маємо ситуацію коли в рамках
одного класу можуть існувати об’єкти різної розмірності з довільними специфі-
каціями. Для прикладу розглянемо клас дійсних чисел R , він володіє специфі-
Д.О. ТЕРЛЕЦЬКИЙ
Компьютерная математика. 2013, № 2 68
кацією 1 2 3 4 5( ) ( ( ), ( ), ( ), ( ), ( ),...),P R p R p R p R p R p R= де наприклад, )(1 Rp =
= «цілі числа», )(2 Rp = «натуральні числа», )(3 Rp = «дробові числа»,
)(4 Rp = «від’ємні цілі числа», )(5 Rp = «парні числа». Зрозуміло, що клас R
має дуже багато властивостей і що його специфікація )(RP досить велика, але
щоб показати специфіку неоднорідних класів ми розглянемо лише деякі, вибрані
властивості з цієї специфікації.
Розглянемо числа 1, 2.75, −16, 4, −7.48. Всі вони є об’єктами класу ,R але
якщо порівняти їх між собою, то очевидно, що це різнотипні об’єкти. Але оскі-
льки ці об’єкти належать до класу ,R то вони мають відповідати специфікації
класу ),...)(),(),(),(),(()( 54321 RpRpRpRpRpRP = . Зрозуміло, що кожне з чи-
сел, які ми розглядаємо, відповідатиме специфікації класу по своєму. Табл. 1
показує відповідність специфікацій об’єктів до специфікації класу R . Зрозумі-
ло, що всі ці числа 1, 2.75, −16, 4, −7.48 – об’єкти класу, оскільки специфікація
жодного з них не суперечить специфікації класу R , більше того, специфікація
класу R включає у себе специфікації всіх об’єктів класу, тобто: )()1( RPP ∈ ,
)()75.2( RPP ∈ , )()16( RPP ∈− , )()4( RPP ∈ , )()48.7( RPP ∈− .
ТАБЛИЦЯ 1. Специфікація об’єктів 1, 2.75, −16, 4, −7.48 у класі R
)(/ iji ApA Ціле
число
Натуральне
число
Дробове
число
Від’ємне
число
Парне
число
…
1 1 1 0 0 0
2.75 0 0 1 0 0
–16 1 0 0 1 1
4 1 1 0 0 1
–7.48 0 0 1 1 1
Зрозуміло, що існує не один варіант визначення специфікації класу ,R різ-
ниця між ними полягає лише в деталізації самої специфікації класу. Підтвер-
дженням цього є те, що властивість )(2 Rp = «натуральні числа» можна було б
представити, як )()( 2221 RpRp ∪ , де )(21 Rp = «цілі числа», а )(22 Rp = «додат-
ні числа», оскільки властивості )(21 Rp , )(22 Rp утворюють деталізовану спе-
цифікацію натурального числа. Аналогічно можна було б деталізувати власти-
вість )(1 Rp = «цілі числа» представивши її як )()()( 131211 RpRpRp ∪∪ ,
де )(11 Rp = «числа, що не мають дробової частини», )(12 Rp = «додатні числа»,
а )(13 Rp = «від’ємні числа».
Клас об’єктів 1T – це підклас класу T тоді й тільки тоді, коли )()( 1 TDTD ≤
і )()( 1 TPTP ⊆ .
Розглянемо наступні класи: клас цілих чисел ,Z клас натуральних чисел N
та клас парних натуральних чисел 2N . Опишемо їх наступними специфікаціями:
МНОЖИНИ ЯК СУКУПНОСТІ СУТНОСТЕЙ-ОБ’ЄКТІВ
Компьютерная математика. 2013, № 2 69
))(),(()( 21 ZpZpZP = , ))(),(()( 21 NpNpNP = , ))(),(()( 22212 NpNpNP = ,
де )(1 Zp = «цілі числа», )(2 Zp = «додатні або від’ємні числа»; )(1 Np = «цілі
числа», )(2 Np = «додатні числа»; )( 21 Np = «цілі числа», )( 22 Np = «додатні
парні числа». Якщо порівняти між собою класи N і 2N то можна помітити, що
)()( 211 NpNp = і )()( 222 NpNp ≠ , але ми знаємо, що додатні числа включать
у себе додатні парні числа, тобто )()( 222 NpNp ⊂ , звідси випливає, що
NN ⊂2 , тобто клас 2N – однорідний підклас класу .N Тепер порівняємо кла-
си N та ,Z очевидно, що )()( 11 ZpNp = і )()( 22 ZpNp ≠ , але аналогічно, як і
в попередньому випадку )()( 22 ZpNp ⊂ ), відповідно ZN ⊂ , з чого випливає,
що ZNN ⊂⊂2 .
Множини об’єктів. Спираючись на поняття «об’єкт» і «клас об’єкта»,
сформулюємо визначення поняття «множина об’єктів».
Множина об’єктів S – це об’єднання, що задовольняє одну із наступних
схем: 1) 1 ... ;nO O S∪ ∪ = 2) 1 1... ... ;m nS S O O S∪ ∪ ∪ ∪ ∪ = 3) 1 ... ,mS S S∪ ∪ =
де iO ni ,1= – це об’єкти, а jS mj ,1= – це множини об’єктів, при цьому iO
та jS можуть відноситися до різних класів.
Очевидно, що в залежності від класу iO та jS залежить клас новоствореної
множини об’єктів. Розглянемо деяку множину 1S , яка складається з 5-ти нату-
ральних чисел 1 {1, 2, 3, 4, 5}S = . Кожне число є об’єктом, що володіє певною
специфікацією, у даному випадку всі об’єкти володіють однією і тією ж специ-
фікацією ))(),(()( 12111 SpSpSP = , де )( 11 Sp = «ціле число», а )( 12 Sp = «дода-
тне число». Специфікація )( 1SP утворює клас
1SN , що є однорідним підкласом
класу N – класу натуральних чисел, тобто в даному випадку множина 1S , що
складається з однорідних об’єктів, є множиною класу
1SN .
Розглянемо деяку множину 2S , яка складається з 5-ти дійсних чисел
}37.2,31.0,3,4,24.0{2 −−=S , відповідно всі ці числа є різнотипними об’єктами,
що володіють різними специфікаціями. Очевидно, що множина 2S – множина
класу
2SR . В табл. 2 приведено неоднорідність класу
2SR , який є неоднорідним
підкласом класу R – класу дійсних чисел.
ТАБЛИЦЯ 2. Специфікації об’єктів множини 2S
)(/ iji ApA Ціле число Дотане число Парне число …
0.2 дробове додатне парне
Д.О. ТЕРЛЕЦЬКИЙ
Компьютерная математика. 2013, № 2 70
4 ціле додатне парне
–3 ціле від’ємне непарне
0.31 дробове додатне непарне
–2.37 дробове від’ємне непарне
У класичній теорії множин викладеній у [7] розглядається утворення множин
лише за схемою 3) 321 SSS =∪ , при цьому вважається що 1S та 2S уже створені.
В рамках пропонованої автором конструктивної теорії множин (CST) існує ще дві
схеми 1) SOO =∪ та 2) ,S O S∪ = які виступають певним поясненням утворення
множин 1S та 2S для схеми 3). Дані схеми носять конструктивний характер і в
певному сенсі абстрактною формою алгоритмів створення (генерації) множин.
Висновки. Одним із базових понять CST є поняття класу, яке також відіграє
важливу роль в T, NF та ML. Проте на відміну від T, NF та ML, CST не має строгої
ієрархії типів та допускає існування класів, які містять як однотипні (однорідні кла-
си), так і різнотипні об’єкти (неоднорідні класи). В CST відсутнє поняття «елемент
класу», натомість вводиться поняття «об’єкт класу» та розглядаються три типи на-
лежності об’єкта до класу. Також в CST клас не завжди може мати більшу розмір-
ність ніж об’єкт, це випливає з визначень однорідного та неоднорідного класу.
У порівнянні з ZF в CST відсутнє поняття пустої та одноелементної множи-
ни, натомість вводиться поняття об’єкта, хоча в основі обох теорій лежить
принцип нескінченності за Брауером. Важлива особливість CST – те, що вона як
і ZF має механізм для побудови множин, проте на відміну від ZF, CST
має три схеми побудови множин 1) SOO =∪ , 2) SOS =∪ , 3) SSS =∪ ,
де O – це об’єкт, а S – це множина об’єктів, при цьому O та S можуть відно-
ситися до різних класів. Наявність таких схем дозволяє говорити не лише про
конструктивність CST, а й про те що CST в деякому сенсі конструктивно пояс-
нює існування так званих «уже існуючих» множин і дозволяє працювати як з
вже заданими множинами, так і створювати або задавати нові.
На відміну від NBG, де всі об’єкти – це класи, в CST поняття об’єкта, класу
об’єкта та множини об’єктів вводяться окремо і не є тотожними. В NBG клас
відповідає нашому інтуітивному розумінню сукупності, а поняття «множина»
належить лише до тих класів, які самі є елементами інших класів. В CST відсут-
нє поняття «елемент класу», проте вводиться поняття підкласу і розглядаються
множини об’єктів певного класу. При цьому розрізняються поняття «об’єкт кла-
су», «клас об’єкта», «множина класу» та «клас множини». В NBG також існують
класи які не є множинами, їх називають власними класами, що дозволяє провести
певну аналогію з CST, де елементи які не є множинами називаються об’єктами. Та-
кож важливою особливістю CST є те, що елементами множини можуть бути лише
об’єкти, хоча при цьому вводиться поняття підмножини.
Одним з центральних понять AST і CST є поняття об’єкта, в чому власне
проявляється схожість між цими теоріями, проте, як і в ZF, в AST вводиться по-
няття пустої множини, яке відсутнє в CST. Проте в CST, як і в AST множини
конструюються з об’єктів. CST як і AST не допускає актуальної нескінченності.
Також в AST вводиться поняття універсаму множин, що були сконструйовані
ітеративно, починаючи з пустої множини, тобто в AST постулюється існування
МНОЖИНИ ЯК СУКУПНОСТІ СУТНОСТЕЙ-ОБ’ЄКТІВ
Компьютерная математика. 2013, № 2 71
деяких вже наперед створених множин. В CST множини «з’являються» лише
після конструктивної побудови, мається на увазі існування алгоритмів для побу-
дови множин об’єктів. Серед усіх вищезгаданих аксіоматичних систем теорії
множин AST є найбільш близькою до CST, хоч і має деякі принципові відмінності.
Підводячи підсумки, можна зробити висновок, що запропонована система
CST увібрала в себе деякі ідеї з T, ZF, NBG та AST, але водночас вона має прин-
ципові відмінності від цих теорій. CST дуже перспективна і конструктивна тео-
рія, яка дозволяє будувати та одночасно класифікувати множини різних класів,
проте вона потребує подальшого, більш глибокого дослідження, яке буде прове-
дене автором в наступних роботах.
Д.А. Терлецкий
МНОЖЕСТВА КАК СОВОКУПНОСТИ СУЩНОСТЕЙ-ОБЪЕКТОВ
Предлагается некоторое расширение и формализация классической теории множеств в виде
конструктивной ее версии (CST), в которой вводится новый уровень – уровень объектов, яв-
ляющихся составляющими для создания множеств; концепция класса объектов, позволяет в
определенном смысле формализовать классификацию самих объектов. В основу CST возла-
гается принцип бесконечности по Брауэру и отвергаются понятия «одноэлементное множе-
ство» и «пустое множество». Проводится сравнительный анализ CST с некоторыми наиболее
известными системами теории.
D.O. Terletskyі
CONSRUCTІVE SETS І
In this paper some expansion and formalization of classical set theory as it’s constructive version
(CST) are proposed. A new level – the level of objects that are components for sets creating, and
concept of a class of objects, that can in some sense to formalize the classіfіcatіon of the objects
themselves introduced within CST. (CST) relies in the basis on the principle of іnfіnіty by Brouwer.
Such notions like «singleton set» and «empty set» rejected in CST. The comparative analysis of the
CST with some of the most known systems of set theory also proposes by author in this article.
1. Кантор Г. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985. – 430 с.
2. Russell B. Mathematіcal Logіc as Based on the Theory of Types // Amerіcan Journal of
Mathematіcs. – 1908. –Vol. 30, N. 3. – Р. 222–262.
3. Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. – М.: Мир, 1966. – 556 c.
4. Ван Хао, Р. Мак-Нортон. Аксиоматические системы теории множеств. – М.: Изд-во ино-
стран. лит., 1963. – 56 с.
5. Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. – М.: Мир, 1983. – 488 с.
6. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. – М.: Мир, 1983. – 154 c.
7. Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М.: Просвещение, 1968. –
230 с.
8. Эккель Б. Философия Java. 4-е издание. – Питер, 2009. – 638 с.
9. Страуструп Б. Язык программирования С++. Спец. изд. Невский диалект, 2008. – 1054 с.
Про автора:
Терлецький Дмитро Олександрович,
Д.О. ТЕРЛЕЦЬКИЙ
Компьютерная математика. 2013, № 2 72
аспірант факультету кібернетики
Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
E-mail: dmytro.terletskyі@gmaіl.com
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84749 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:16:52Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Терлецький, Д.О. 2015-07-14T15:41:24Z 2015-07-14T15:41:24Z 2013 Множини як сукупності сутностей-об’єктів / Д.О. Терлецький // Компьютерная математика. — 2013. — № 2. — С. 64-71. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84749 510.2 Пропонується деяке розширення та формалізація класичної теорії множин у вигляді конструктивної її версії (CST) в якій вводиться новий рівень – рівень об’єктів, які є складовими для створення множин; концепція класу об’єктів, що дозволяє у певному сенсі формалізувати класифікацію самих об’єктів. У основу CST покладається принцип нескінченності за Брауером та відкидаються такі поняття «одноелементна множина» та «пуста множина». Проводиться порівняльний аналіз CST з деякими найбільш відомими системами теорії множин. Предлагается некоторое расширение и формализация классической теории множеств в виде конструктивной ее версии (CST), в которой вводится новый уровень – уровень объектов, являющихся составляющими для создания множеств; концепция класса объектов, позволяет в определенном смысле формализовать классификацию самих объектов. В основу CST возлагается принцип бесконечности по Брауэру и отвергаются понятия «одноэлементное множество» и «пустое множество». Проводится сравнительный анализ CST с некоторыми наиболее известными системами теории. In this paper some expansion and formalization of classical set theory as it’s constructive version (CST) are proposed. A new level – the level of objects that are components for sets creating, and concept of a class of objects, that can in some sense to formalize the classіfіcatіon of the objects themselves introduced within CST. (CST) relies in the basis on the principle of іnfіnіty by Brouwer. Such notions like «singleton set» and «empty set» rejected in CST. The comparative analysis of the CST with some of the most known systems of set theory also proposes by author in this article. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Инструментальные средства информационных технологий Множини як сукупності сутностей-об’єктів Множества как совокупности сущностей-объектов Consructіve sets I Article published earlier |
| spellingShingle | Множини як сукупності сутностей-об’єктів Терлецький, Д.О. Инструментальные средства информационных технологий |
| title | Множини як сукупності сутностей-об’єктів |
| title_alt | Множества как совокупности сущностей-объектов Consructіve sets I |
| title_full | Множини як сукупності сутностей-об’єктів |
| title_fullStr | Множини як сукупності сутностей-об’єктів |
| title_full_unstemmed | Множини як сукупності сутностей-об’єктів |
| title_short | Множини як сукупності сутностей-об’єктів |
| title_sort | множини як сукупності сутностей-об’єктів |
| topic | Инструментальные средства информационных технологий |
| topic_facet | Инструментальные средства информационных технологий |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84749 |
| work_keys_str_mv | AT terlecʹkiido množiniâksukupnostísutnosteiobêktív AT terlecʹkiido množestvakaksovokupnostisuŝnosteiobʺektov AT terlecʹkiido consructívesetsi |