Про оцінювання обчислених невизначеностей
Для вибору більш адекватного рішення за умов невизначеності розглядаються способи оцінки результатів обчислення останньої. Наведені також приклади задач, які більш наочно ілюструють способи оцінки результатів різних підходів. Для выбора более эффективного подхода к вычислению неопределенности рассма...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84750 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про оцінювання обчислених невизначеностей / О.В. Лапко // Компьютерная математика. — 2013. — № 2. — С. 72-79. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860015493631442944 |
|---|---|
| author | Лапко, О.В. |
| author_facet | Лапко, О.В. |
| citation_txt | Про оцінювання обчислених невизначеностей / О.В. Лапко // Компьютерная математика. — 2013. — № 2. — С. 72-79. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Для вибору більш адекватного рішення за умов невизначеності розглядаються способи оцінки результатів обчислення останньої. Наведені також приклади задач, які більш наочно ілюструють способи оцінки результатів різних підходів.
Для выбора более эффективного подхода к вычислению неопределенности рассматриваются способы оценки результатов вычисления неопределенности. Приведены также примеры задач, которые более наглядно иллюстрируют способы оценки эффективности подходов.
In the article discusses how to assess the results of calculation of uncertainty to select a more efficient approach to the calculation of the uncertainty. Also there are given examples of problems which are more clearly illustrating the methods of evaluation approaches.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:44:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
72 Компьютерная математика. 2013, № 2
Вычислительный
эксперимент
Для вибору більш адекватного
рішення за умов невизначеності
розглядаються способи оцінки
результатів обчислення остан-
ньої. Наведені також приклади
задач, які більш наочно ілюстру-
ють способи оцінки результатів
різних підходів.
О.В. Лапко, 2013
УДК 519.1
О.В. ЛАПКО
ПРО ОЦІНЮВАННЯ ОБЧИСЛЕ-
НИХ
НЕВИЗНАЧЕНОСТЕЙ
Вступ. Невизначеності, які розглядаються в
роботі зустрічаються, як правило, у випадках
недостатнього знання про предметну область
та недостатної інформації про конкретну
ситуацію [1].
Наші знання про предметну область мо-
жуть бути нечіткими або неповними: в ній
можуть використовуватися недостатньо чітко
сформульовані концепції та поняття або не-
достатньо вивчені явища. Наприклад, у діаг-
ностиці психічних захворювань існує кілька
відмінних теорій про походження і симпто-
матику шизофренії.
Невизначеність знань призводить у бага-
тьох випадках до некоректних висновків.
Маючи неповні знання, ми не можемо впев-
нено передбачити результат їх застосування.
Наприклад, терапія, яка використовує нові
препарати, досить часто дає абсолютно не-
сподівані результати. І, нарешті, навіть коли
ми маємо досить повне уявлення про пред-
метну область, експерт може визначити, що
ефективніше (з різних міркувань) використо-
вувати не точні, а евристичні методи для
розв’язання тієї чи іншої задачі. Так, методи-
ка усунення несправності в електронному
блоці шляхом заміни підозрілих вузлів вияв-
ляється значно ефективнішою, ніж скурпу-
льозний аналіз ланцюгів у пошуку деталі, що
вийшла з ладу.
Крім неточних знань, невизначеність може
бути внесена і неточними або ненадійними
даними про конкретну ситуацію. Будь-який
ЕФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ РАЗРАБОТКИ СИСТЕМ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Компьютерная математика. 2005, №2 73
сенсор має обмежену розді-
льну здатність і аж ніяк не
стовідсоткову надійність. При складанні зві-
тів можуть бути допущені
помилки або в них можуть потрапити недостовірні відомості. На практиці дале-
ко не завжди можна отримати повні відповіді на поставлені питання, і хоча
можна скористатися різного роду додатковою інформацією, але цей шлях може
бути як високовартісним, так і ризикованим. Крім усього іншого, існує ще і фак-
тор часу. Не завжди є можливість швидко отримати необхідні дані, коли ситуа-
ція вимагає прийняття термінового рішення. Якщо робота ядерного реактора
викликає підозру, навряд чи хтось буде чекати закінчення всього комплексу
перевірок, перш ніж приймати рішення про його зупинку.
Підсумовуючи викладене, відзначимо, що експерти використовують неточні
методи з двох головних причин:
• точних методів не існує;
• точні методи існують, але не можуть бути застосовані на практиці через
відсутність необхідного обсягу даних і неможливості їх накопичення з мірку-
вань вартості, ризику або через відсутність часу на збір необхідної інформації.
Ймовірність та можливість. Більшість дослідників, що займаються про-
блемами штучного інтелекту, давно прийшли до єдиної думки, що неточні мето-
ди відіграють важливу роль у розробці експертних систем, але багато суперечок
викликає питання, які саме методи мають використовуватися. Всі ці міркування
привели до появи нового формального апарата для роботи з невизначеностями,
який отримав назву теорія можливості. Цей апарат широко використовується
при вирішенні задач штучного інтелекту і, особливо, при побудові експертних
систем.
Змістовне тлумачення теоретико-можливісних методів істотно відрізняється
від теоретико-ймовірнісних [2]. Можливість події, на відміну від імовірності, яка
оцінює частоту його появи в регулярному стохастичному експерименті,
орієнтована на відносну оцінку істинності даної події. Тобто змістовно можуть
бути витлумачені лише відношення «більше», «менше» або «дорівнює». Разом
з тим можливість не має подієво-частотної інтерпретації (на відміну від імовір-
ності), яка пов’язує її з експериментом. Проте теорія можливостей дозволяє
математично моделювати реальність на основі достовірних фактів, знань, гіпо-
тез, міркувань дослідників.
Як відомо з [3, 4] розподіл можливостей визначається за допомогою апарата
нечіткої множини. Саме функція належності нечіткої множини описує можливі-
сний розподіл. В цьому й основні переваги та проблеми теорії можливості.
Переваги можливісного підходу. Основною метою обчислення невизначе-
ності є прийняття вірного рішення, що наближає до поставлених цілей. При
обчисленні невизначеності отримуємо ймовірнісні або можливісні розподіли,
за оцінками яких приймається рішення. Тому чим достовірнішими будуть
результати обчислення, тим легше буде примати рішення.
Як уже зазначалось, імовірнісні методи дозволяють обчислювати невизна-
ченість лише з подієво-частотної сторони. Можливісні ж методи, в яких розпо-
діл можливостей задається нечіткою множиною є більш гнучкими, оскільки
О.В. ЛАПКО
Компьютерная математика. 2013, № 2 74
способи побудови можливісного розподілу можна обирати виходячи з поставле-
них цілей.
Розглянемо приклад. Нехай маємо 5 пацієнтів, у яких діагностується грип,
що проявляється такими симптомами як «температура», «головний біль»,
«нежить». Пацієнтів будемо лікувати експериментальними ліками. Потрібно
визначити чи є ці ліки ефективними при лікуванні грипу.
Після прийому ліків ми отримуємо результати приведені в табл. 1.
ТАБЛИЦЯ 1
Симптом\Пацієнт 1 2 3 4 5
Температура 1 1 1 1 0
Головний біль 1 0 1 0 1
Нежить 0 1 1 0 0
Примітка: якщо у таблиці навпроти симптом\пацієнт стоїть 1, то це означає, що
симптом у пацієнта зник, якщо ж 0 – то залишився.
Виходячи з отриманих результатів підрахуємо ймовірність події «ліки вилі-
ковують грип» як частку від ділення суми кількості симптомів, що зникли, на
загальну кількість симптомів усіх пацієнті, тобто на 15. Отже маємо
P(«ліки виліковують грип») = (2+2+3+1+1)/15 = 9/15 = 0,6.
Таким чином, імовірність того, що ліки діють, дорівнює 0,6. Іншими слова-
ми, 60 відсотків симптомів у пацієнтів зникає.
З іншого боку підрахуємо можливість події «ліки виліковують грип». Спо-
чатку побудуємо можливісний розподіл дії ліків на певні симптоми. Визначимо
такий розподіл за допомогою нечіткої множини «дія ліків на симптоми»,
елементами якої є «температура», «головний біль», «нежить», а міра належності
кожного елемента це сума кількості пацієнтів, у яких зникли симптоми, поділе-
ною на кількість пацієнтів:
«дія ліків на симптоми» = 0,8/«температура» + 0,6/«головний біль» +
+ 0,4/«нежить».
Визначимо можливісний розподіл виліковування грипу в залежності від
симптомів. Задамо такий розподіл за допомогою нечіткої множини «ефектив-
ність виліковування грипу», елементами якої є «температура», «головний біль»,
«нежить», а міра належності кожного елемента це відносне значення (важли-
вість) симптому.
«ефективність виліковування грипу» = 0,8/«температура» +
+ 0,4/«головний біль» + 0,4/«нежить».
Підрахуємо тепер розподіл можливостей події «ліки виліковують грип» як
об’єднання нечітких множин «дія ліків на симптоми» та «ефективність виліко-
вування грипу». це буде нечітка множина, елементами якої є «температура»,
«головний біль», «нежить», а міра належності визначатиметься як мінімум двох
мір належності. Тобто
ПРО ОЦІНЮВАННЯ ОБЧИСЛЕНИХ НЕВИЗНАЧЕНОСТЕЙ
Компьютерная математика. 2013, № 2 75
«ліки виліковують грип» = min(0,8; 0,8)/«температура» +
+ min(0,4; 0,6)/«головний біль» + min(0,8; 0,4)/«нежить» =
= 0,8/«температура» + 0,4/«головний біль» + 0,4/«нежить».
Тоді можливість настання події «ліки виліковують грип» буде дорівнювати
максимуму мір можливостей розподілу, тобто 0,8. Іншими словами ми можемо
бути впевнені на 80 %, що експериментальні ліки будуть виліковувати від грипу.
Проблеми можливісного підходу. З іншого боку, визначивши нечітку
множину, що описує можливісний розподіл найбільш підходящим чином, стика-
ємось з проблемою визначення функції належності цієї множини. На відміну від
імовірності, можливість не має обмеження та може бути визначена не одним
способом (розподіл можливостей побудований на основі відносних оцінок
істинності, тобто переваг одного елемента події над іншим). Наприклад, у випа-
дку оцінки можливості споживати певну рідину без шкоди для життя, розподіл
можливості побудований на основі оргонологічних показників або хімічного
аналізу будуть різними.
Тому в теорії можливості важливим є не тільки змістове формулювання
нечіткої множини, що визначатиме розподіл можливостей, а й побудова самої
нечіткої множини з її функцією належності. Розглянемо основні способи оціню-
вання результатів обчислення, що допоможуть визначити, який з методів обчис-
лення працює краще в тому чи іншому випадку.
Оцінка результату обчислення невизначеності. В результаті обчислення
невизначеності як і в теорії можливості, так і в теорії імовірності ми отримуємо
певний результат, а саме розподіл мір від 0 до 1, який ще необхідно інтерпрету-
вати з тим, щоб прийняти вірне рішення, виходячи з поставлених цілей. Тому
спосіб оцінки результату обчислення невизначеності є дуже важливим.
Інформаційна ентропія. Для оцінки результатів обчислення невизначено-
сті будемо використовувати поняття інформаційної ентропії [5, 6], що є мірою
невизначеності або непередбачуваності інформації.
Основоположник теорії інформації Клод Шеннон визначав інформацію, як
зняту невизначеність. Точніше кажучи, отримання інформації – необхідна умова
для зняття невизначеності. Невизначеність виникає у ситуації вибору. Завдання,
яке вирішується в ході зняття невизначеності – зменшення кількості розгляну-
тих варіантів (зменшення різноманітності), і в підсумку вибір одного відповід-
ного варіанта з числа можливих. Зняття невизначеності дає можливість прийма-
ти обгрунтовані рішення і діяти.
Уявіть, що ви зайшли в магазин і попросили продати вам жувальну гумку.
Продавщиця, в якої скажімо 16 сортів жувальної гумки, знаходиться в стані не-
визначеності. Вона не може виконати ваше прохання без отримання додаткової
інформації. Якщо ви уточнили, скажімо, – «Orbit», і з 16 початкових варіантів
продавщиця розглядає тепер тільки 8, ви зменшили її невизначеність у два рази.
Якщо ви, не мудруючи лукаво, просто вказали пальцем на вітрині – «ось цю!»,
то невизначеність була знята повністю.
О.В. ЛАПКО
Компьютерная математика. 2013, № 2 76
Ситуація максимальної невизначеності припускає наявність декількох рівно
імовірних (рівно можливих) альтернатив (варіантів), тобто жоден з варіантів не є
кращим. Причому, чим більше рівно імовірних (рівно можливих) варіантів спо-
стерігається, тим більше невизначеність, тим складніше зробити однозначний
вибір і тим більше інформації потрібно для цього отримати. Наприклад,
для N варіантів ця ситуація описується таким розподілом імовірностей:
{1/N, 1/N, ... 1/N}.
Мінімальна невизначеність дорівнює 0, тобто ця ситуація повної визначено-
сті, що означає що вибір зроблено, і вся необхідна інформація отримана. Розпо-
діл імовірностей для ситуації повної визначеності виглядає так: {1, 0, ... 0}.
Величина, що характеризує кількість невизначеності в теорії інформації
Клода Шеннона позначається символом H і має назву ентропія, точніше інфор-
маційна ентропія. Ентропія (H) – міра невизначеності, виражена в бітах. Так
само ентропію можна розглядати як міру рівномірності розподілу невизначеної
величини [7].
Клод Шеннон також описав вимоги до функції вимірювання ентропії.
1. Міра має бути неперервною, тобто зміни значень імовірності (можли-
вості) на малу величину має спричинити малу зміну значення ентропії:
1( ,..., p )nH p , визначена та неперервна для всіх 1,..., pnp , де [0,1]ip ∈ , для
всіх 1,...., .i n=
2. У випадку, коли всі варіанти рівно імовірні (рівно можливі), збільшення
кількості варіантів має завжди збільшувати значення ентропії:
для всіх цілих додатних n має виконуватися
1
1 1 1 1
,..., ,..., .
1 1
n n
H H
n n n n
+
< + +
123 1442443
3. При виборі в два кроки, значення функції у кінцевому результаті, має
вигляд суми двох проміжних результатів:
для всіх цілих та додатних ib , де 1 ... kb b n+ + = , має виконуватися
1
1
1 1 1 1
,..., ... ... .
i
k
k i
i i i
n b
b b b
H H H
n n n n n b b=
< + + + + +
∑
123 14243
Шеннон показав, що єдина функція, що задовольняє таким умовам має
вигляд
1 2
1
( ,..., ) log ( )
n
n i i
i
H p p K p p
=
= − ⋅∑ ,
ПРО ОЦІНЮВАННЯ ОБЧИСЛЕНИХ НЕВИЗНАЧЕНОСТЕЙ
Компьютерная математика. 2013, № 2 77
де K – константа (необхідна для вибору одиниці виміру).
Використовуючи міру невизначеності Шеннона ми можемо порахувати міру
невизначеності для будь-якого розподілу. Чим менша ця міра, тим менший
рівень невизначеності в отриманому результаті й навпаки.
Як приклад, покажемо який з розподілів дає менш невизначений результат.
Микола дуже любить їсти пироги з вишням, але із-за цього він дуже часто пере-
їдає. Необхідно визначити норму вживання пирогів для нього.
Визначатимемо норму наступним чином. Кожного разу коли Микола з’їдає
пирога будемо ставити оцінку від 0 до 1, що описує його самопочуття. Чим
ближча оцінка до одинці тим краще самопочуття. В результаті отримаємо цілий
масив даних відповідності кількості з’їдених пирогів і міри самопочуття. Для
цього масиву даних побудуємо імовірнісний та можливісний розподіли події
«гарне самопочуття Миколи». Імовірнісний розподіл будуватимемо наступним
чином: кількість гарних станів самопочуття (стан кращий за 0,6) при з’їданні
певної кількості пирогів будемо ділити на кількість гарних станів самопочуття.
Імовірнісний розподіл задамо через середнє значення рівня самопочуття при
з’їданні певної кількості пирогів. Отримаємо наступний результат (табл. 2).
ТАБЛИЦЯ 2
Кількість пирогів 1 2 3 4 5
Імовірнісний розподіл 0,15 0,25 0,4 0,15 0,05
Можливісний розподіл 0,3 0,7 0,9 0,6 0,2
Підрахуємо для кожного отриманого розподілу міру невизначеності Ше-
нонна, щоб дізнатися який з розподілів дає найменш невизначений результат:
ймов. 2 2 2
2 2
(0,15*log 0,15 0,25*log 0,25 0,4*log 0,4
0,15*log 0,15 0,05*log 0,05) 2,06,
H = − + + +
+ + =
можл. 2 2 2
2 2
(0,3*log 0,3 0,7*log 0,7 0,9*log 0,9
0,6*log 0,6 0,2*log 0,2) 1,92.
H = − + + +
+ + =
Отже отримуємо, що можливісний розподіл менш невизначений, тобто на
основі нього коректніше прийняти рішення щодо визначення норми споживання
пирогів з вишнями для Миколи.
Міра чіткості. Крім інформаційної ентропії оцінити результат обчислення
невизначеності можна за допомогою міри чіткості, що є показником того наскі-
льки розподіл наближений до чіткої множини або числа. Міра чіткості визнача-
О.В. ЛАПКО
Компьютерная математика. 2013, № 2 78
ється, як сума мір часткової чіткості імовірнісної чи можливісної міри елемента
розподілу. Міра часткової чіткості має задовольняти наступним умовам:
- якщо імовірність (можливість) елемента дорівнює 0 чи 1, тобто чітко ви-
значається його настання або не настання, тоді часткова міра чіткості дорівнює 0;
- чим ближче значення імовірності (можливості) до 0 чи 1, тим менше
значення чіткості;
- найбільше значення часткової міри чіткості досягається при імовірності
(можливості) елемента 0,5, коли про його настання не можна нічого сказати;
- часткова міра чіткості неперервна та невід’ємна.
Найпростішим прикладом такої міри чіткості є функція наступного вигляду:
1
1
( ,..., p ) (1 )
n
n i i
i
C p p p
=
= −∑ .
Для наочності розглянемо приклад. Візьмемо розподіли ймовірності та мо-
жливості з прикладу поїданням пирогів Миколою, та підрахуємо для них міру
чіткості, щоб визначити, який з них є менш невизначеним:
ймов . 0,15*(1 0,15) 0,25*(1 0,25) 0,4 * (1 0,4)
15*(1 0,15) 0,05*(1 0,05) 0,73,
С = − + − + − +
+ − + − =
можл. 0,3*(1 0,3) 0,7*(1 0,7) 0,9*(1 0,9)
0,6*(1 0,6) 0,2*(1 0,2) 0,91.
С = − + − + − +
+ − + − =
Таким чином отримуємо, що міра чіткості й імовірнісного розподілу менша,
отже він є менш невизначеним.
Розглянувши два різні підходи аналізу невизначеності до одного і того ж
прикладу, отримали різні результати. Це можливо, оскільки природа способів
аналізу різна. Зазначимо, що переваги можливісного розподілу при застосуванні
принципу інформаційної ентропії та імовірнісного розподілу при застосуванні
міри чіткості є досить незначними. Тому бажано при аналізі застосовувати оби-
два способи і тільки при однакових результатах, можна визначити менш неви-
значений розподіл однозначно.
Висновок. Способи оцінки результатів обчислення невизначеності, розгля-
нуті у роботі, є лише першими кроками у вирішенні проблем пов’язаних з ви-
значенням оцінок обчислених невизначеностей, але тим не менш вони дають
змогу порівняти, хоча б за якоюсь характеристикою (чи то мірою інформаційної
ентропії, чи то міри чіткості), ефективність використання імовірнісних та мож-
ливісних підходів при обчисленні невизначеності для прийняття рішень.
Оскільки ці підходи незалежні і навіть можуть утворювати певний симбіоз, при
ПРО ОЦІНЮВАННЯ ОБЧИСЛЕНИХ НЕВИЗНАЧЕНОСТЕЙ
Компьютерная математика. 2013, № 2 79
обчисленні невизначеності, то дуже важливо знати, який з підходів доцільно
використовувати в тому чи іншому випадку. Передбачається, що наведені спо-
соби визначення оцінок можуть бути використані при побудові експертних сис-
тем з компонентою вибору того чи іншого методу обчислення невизначеностей
у залежності від ефективності досягнення цілей.
А.В. Лапко
ОБ ОЦЕНКЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Для выбора более эффективного подхода к вычислению неопределенности рассматриваются
способы оценки результатов вычисления неопределенности. Приведены также примеры
задач, которые более наглядно иллюстрируют способы оценки эффективности
подходов.
O.V. Lapko
ABOUT EVALUATION OF CALCULATION UNCERTAINTY
In the article discusses how to assess the results of calculation of uncertainty to select a more effi-
cient approach to the calculation of the uncertainty. Also there are given examples of problems
which are more clearly illustrating the methods of evaluation approaches.
1. Джексон П. Введение в экспертные системы. – М.: Вильямс, 2001. – 624 с.
2. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. – М.:Радио и связь, 1982. – 432 с.
3. Zadeh L.A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility // Fuzzy Sets ana Systems. – 1978. –
N 1. – P. 3–28.
4. Провотар А.И., Лапко А.В. О некоторых подходах к вычислению неоределеностей //
Проблеми програмування. – 2010. – № 2–3. – С. 22–28.
5. Хэмминг Р.В. Теория информации и теория кодирования. – М.: Радио и связь, 1985. –
176 с.
6. Валькенштейн М.В. Энтропия и информация. – М.: Наука, 1986. – 192 с.
7. Провотар О.І., Лапко О.В. Про нові методи опису невизначених величин // Там само. –
№ 4. – 2012. – С. 35-43.
Одержано 20.06.2013
Про автора:
Лапко Олександр Вікторович,
аспірант факультету кібернетики
Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
E-mail: mrolapko@gmail.com
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84750 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:44:45Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лапко, О.В. 2015-07-14T15:43:18Z 2015-07-14T15:43:18Z 2013 Про оцінювання обчислених невизначеностей / О.В. Лапко // Компьютерная математика. — 2013. — № 2. — С. 72-79. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84750 519.1 Для вибору більш адекватного рішення за умов невизначеності розглядаються способи оцінки результатів обчислення останньої. Наведені також приклади задач, які більш наочно ілюструють способи оцінки результатів різних підходів. Для выбора более эффективного подхода к вычислению неопределенности рассматриваются способы оценки результатов вычисления неопределенности. Приведены также примеры задач, которые более наглядно иллюстрируют способы оценки эффективности подходов. In the article discusses how to assess the results of calculation of uncertainty to select a more efficient approach to the calculation of the uncertainty. Also there are given examples of problems which are more clearly illustrating the methods of evaluation approaches. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Вычислительный эксперимент Про оцінювання обчислених невизначеностей Об оценке вычисления неопределенностей About evaluation of calculation uncertainty Article published earlier |
| spellingShingle | Про оцінювання обчислених невизначеностей Лапко, О.В. Вычислительный эксперимент |
| title | Про оцінювання обчислених невизначеностей |
| title_alt | Об оценке вычисления неопределенностей About evaluation of calculation uncertainty |
| title_full | Про оцінювання обчислених невизначеностей |
| title_fullStr | Про оцінювання обчислених невизначеностей |
| title_full_unstemmed | Про оцінювання обчислених невизначеностей |
| title_short | Про оцінювання обчислених невизначеностей |
| title_sort | про оцінювання обчислених невизначеностей |
| topic | Вычислительный эксперимент |
| topic_facet | Вычислительный эксперимент |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84750 |
| work_keys_str_mv | AT lapkoov proocínûvannâobčislenihneviznačenostei AT lapkoov obocenkevyčisleniâneopredelennostei AT lapkoov aboutevaluationofcalculationuncertainty |