О флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса
Найдены достаточные условия положительности флаговой кривизны двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса и доказана локальная выпуклость поверхностей с положительной флаговой кривизной. Знайдено достатнi умови додатностi флагової кривини двовимiрних поверхонь тривимiрних просторiв Рандер...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84771 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса / А.А. Борисенко, С.В. Мирошниченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 7-14. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84771 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Борисенко, А.А. Мирошниченко, С.В. 2015-07-15T18:24:26Z 2015-07-15T18:24:26Z 2012 О флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса / А.А. Борисенко, С.В. Мирошниченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 7-14. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84771 514.763.624 Найдены достаточные условия положительности флаговой кривизны двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса и доказана локальная выпуклость поверхностей с положительной флаговой кривизной. Знайдено достатнi умови додатностi флагової кривини двовимiрних поверхонь тривимiрних просторiв Рандерса i доведено локальну опуклiсть поверхонь з додатною флаговою кривиною. We find the sufficient conditions for the positivity of the flag curvature of two-dimensional surfaces of three-dimensional Randers spaces and prove the local convexity of surfaces with positive flag curvature. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса Про флагову кривизну двовимiрних поверхонь тривимiрних просторiв Рандерса On the flag curvature of 2D surfaces of 3D Randers spaces Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса |
| spellingShingle |
О флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса Борисенко, А.А. Мирошниченко, С.В. Математика |
| title_short |
О флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса |
| title_full |
О флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса |
| title_fullStr |
О флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса |
| title_full_unstemmed |
О флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса |
| title_sort |
о флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств рандерса |
| author |
Борисенко, А.А. Мирошниченко, С.В. |
| author_facet |
Борисенко, А.А. Мирошниченко, С.В. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про флагову кривизну двовимiрних поверхонь тривимiрних просторiв Рандерса On the flag curvature of 2D surfaces of 3D Randers spaces |
| description |
Найдены достаточные условия положительности флаговой кривизны двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса и доказана локальная выпуклость поверхностей с положительной флаговой кривизной.
Знайдено достатнi умови додатностi флагової кривини двовимiрних поверхонь тривимiрних просторiв Рандерса i доведено локальну опуклiсть поверхонь з додатною флаговою кривиною.
We find the sufficient conditions for the positivity of the flag curvature of two-dimensional surfaces
of three-dimensional Randers spaces and prove the local convexity of surfaces with positive flag curvature.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84771 |
| citation_txt |
О флаговой кривизне двумерных поверхностей трехмерных пространств Рандерса / А.А. Борисенко, С.В. Мирошниченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 7-14. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT borisenkoaa oflagovoikriviznedvumernyhpoverhnosteitrehmernyhprostranstvrandersa AT mirošničenkosv oflagovoikriviznedvumernyhpoverhnosteitrehmernyhprostranstvrandersa AT borisenkoaa proflagovukriviznudvovimirnihpoverhonʹtrivimirnihprostorivrandersa AT mirošničenkosv proflagovukriviznudvovimirnihpoverhonʹtrivimirnihprostorivrandersa AT borisenkoaa ontheflagcurvatureof2dsurfacesof3drandersspaces AT mirošničenkosv ontheflagcurvatureof2dsurfacesof3drandersspaces |
| first_indexed |
2025-11-26T00:08:10Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:08:10Z |
| _version_ |
1850591716275388416 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2012
МАТЕМАТИКА
УДК 514.763.624
© 2012
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Борисенко,
С.В. Мирошниченко
О флаговой кривизне двумерных поверхностей
трехмерных пространств Рандерса
Найдены достаточные условия положительности флаговой кривизны двумерных по-
верхностей трехмерных пространств Рандерса и доказана локальная выпуклость по-
верхностей с положительной флаговой кривизной.
1. Необходимые сведения и результаты. Пространством Минковского [1] Mn+1 на-
зывается пара (V n+1, F ), где V n+1 — (n+1)-мерное векторное пространство с декартовыми
координатами y1, . . . , yn+1. Норма Минковского F : V n+1 → [0,∞) обладает свойствами:
1) F ∈ C∞(V n+1 \ {0});
2) для любого положительного q: F (qy) = qF (y);
3) симметричная билинейная форма gij =
1
2
∂2F 2
∂yi∂yj
положительно определена на V n+1.
Метрика F , индуцируемая на поверхности N ⊂ Mn+1, является финслеровой, т. е.
F (x, y) : TN → [0,+∞) и для произвольной точки p ∈ N , F |TpN — норма Минковского
на TpN .
Пространством Рандерса Rn+1
b будем называть пространство Минковского с нормой F
вида
F (y) = ‖y‖E + β(y), (1)
где
‖y‖E =
√√√√
n+1∑
i=1
(yi)2 — евклидова норма, β(y) = biy
i — линейная форма.
Необходимым и достаточным условием того, что данная функция является нормой Мин-
ковского, есть условие на евклидову длину главного вектора b = (b1, . . . , bn+1) : |b| < 1.
Условимся считать пространство неевклидовым, т. е. |b| 6= 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 7
Будем рассматривать C3-гладкую двумерную поверхность F 2 как множество точек
в двух различных пространствах — в пространстве Рандерса (обозначая поверхность в та-
ком случае F̃ 2 ⊂ R3
b с индуцированной финслеровой метрикой) и наложенном евклидовом
пространстве (F 2 ⊂ E
3 с индуцированной римановой метрикой).
Для F 2 через Ke обозначим гауссову кривизну индуцированной римановой метрики
в произвольной точке p ∈ F 2. Главные кривизны в римановой метрике обозначим как k1,
k2, считая, что k1 6 k2, нормальную кривизну в некотором касательном направлении будем
обозначать k, тогда известно, что k1 6 k 6 k2.
Аналогом понятия секционной кривизны римановых пространств является флаговая
кривизна финслеровых пространств [1], которая может быть определена как секционная
кривизна римановой метрики
gY =
√
gij(Y )uiuj (2)
для некоторого геодезического поля Y финслерового пространства, где gij — фундаменталь-
ная форма финслеровой метрики, определяемая аналогично пространствам Минковского.
В случае двумерных поверхностей флаговая кривизна является лишь функцией каса-
тельного направления Y , поскольку dimTpF̃
2 = 2. Обозначим флаговую кривизну рассма-
триваемой гиперповерхности F̃ 2 в некотором направлении Y как KR(Y ).
Лемма 1. Пусть F 2 — C3-гладкая двумерная поверхность в E
3. Пусть n — единич-
ная евклидова нормаль, y — некоторое касательное направление и γ(s) — нормальная гео-
дезическая индуцированной римановой метрики, для которой γ̇(0) = y. Тогда флаговая
кривизна F̃ 2 ⊂ R3
b выражается как
KR(y) =
3
4
(k(y)〈b, n〉)2
F 4(y)
− 1
2
d
ds
(k(y)〈b, n〉)
F 3(y)
+
Ke
F 2(y)
. (3)
C использованием выражения (3) был построен пример того, что выпуклость не являет-
ся необходимым условием положительности флаговой кривизны.
Был рассмотрен эллиптический параболоид z = x2 + y2, который является глобаль-
но выпуклой гиперповерхностью. Тогда флаговая кривизна данной поверхности в начале
координат в касательном направлении Y = (cos t, sin t, 0) может быть выражена как
KR(Y ) =
4 + 6b1 cos t+ 6b2 sin t
(1 + b1 cos t+ b2 sin t)3
+
3b23
(1 + b1 cos t+ b2 sin t)4
.
Очевидно, что для некоторого фиксированного вектора b флаговая кривизна меняет знак.
Однако существуют достаточные условия того, что выпуклость влечет за собой поло-
жительность флаговой кривизны.
Теорема 1 (первое достаточное условие положительности флаговой кривизны). Пусть
двумерная C3-гладкая поверхность F 2 ⊂ E
3 имеет положительную гауссову кривизну
Ke > 0 и в каждой точке поверхности выполнено неравенство
|b| <
2
k1
k2
2
k1
k2
+ 1
. (4)
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11
Если также вдоль каждой нормальной геодезической первая производная ее кривизны удов-
летворяет неравенству
∣∣∣∣
dk
ds
∣∣∣∣ < 2Ke
√
3
(
k1
k2
− |b|
2(1− |b|)
)
, (5)
то флаговая кривизна F̃ 2 ⊂ R3
b положительна в любом касательном направлении.
Интервал, ограничивающий производную кривизны геодезической dk/ds, может быть
расширен, но с более сильными требованиями на |b|, а именно:
Теорема 2 (второе достаточное условие положительности флаговой кривизны). Пусть
двумерная C3-гладкая поверхность F 2 ⊂ E
3 имеет положительную гауссову кривизну
Ke > 0 и в каждой точке поверхности выполнено неравенство
|b| <
−1 +
√
1 + 12
k1
k2
2 +
√
1 + 12
k1
k2
. (6)
Если также вдоль каждой нормальной геодезической первая производная ее кривизны удов-
летворяет неравенству
∣∣∣∣
dk
ds
∣∣∣∣ < Ke
(
3|b|
2(1 + |b|)
k1
k2
− k2
k1
+
2(1− |b|)
|b|
)
, (7)
то флаговая кривизна F̃ 2 ⊂ R3
b положительна в любом касательном направлении.
Тем не менее положительность флаговой кривизны двумерной поверхности трехмерного
пространства Рандерса гарантирует выполнение условия локальной выпуклости.
Теорема 3. Пусть флаговая кривизна C3-гладкой двумерной поверхности в трехмер-
ном пространстве Рандерса положительна в любом касательном направлении, тогда по-
верхность является локально выпуклой.
2. Доказательство основных результатов. Доказательство леммы 1. Для фин-
слеровых пространств естественным образом можно вводить понятие локально кратчайших
кривых (геодезических). По аналогии с римановыми пространствами, можно показать, что
геодезическая c(t) финслерового пространства (M,F ) удовлетворяет системе дифферен-
циальных уравнений второго порядка
c̈i(t) + 2Gi(c(t), ċ(t)) = 0,
где
Gi(x, y) =
1
4
gil(x, y)([F 2]xkyly
k − [F 2]xl).
Gi(y) называются геодезическими коэффициентами.
В работе [2] была получена упрощенная формула флаговой кривизны KF двумерного
финслерового пространства ϕ : D → S, D ⊂ R
2 в направлении касательного вектора y =
= uϕx + vϕy ∈ TpS:
KF (p, y) =
1
F 2(y)
(2G1
x+2G2
y+2G1
uG
2
v−2G2
uG
1
v−Q2−Qxu−Qyv+2G1Qu+2G2Qv), (8)
где Q = G1
u + G2
v.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 9
В некоторой окрестности произвольной точки p двумерной гиперповерхности F̃ 2 про-
странства Рандерса зададим поверхность явно z = f(x, y) так, что выполнены следующие
условия:
f(p) = 0, fx(p) = fy(p) = 0. (9)
Из условия параметризации следует, что ось pz сонаправлена с вектором единичной евкли-
довой нормали n в точке p, которая для явно заданных поверхностей имеет вид
n =
1√
1 + f2
x + f2
y
(−fx,−fy, 1). (10)
В случае такой параметризации произвольный единичный касательный вектор Y ∈ TpF̃
2
имеет вид Y = (u, v, ufx+vfy) = (u, v, 0). В таком случае, из общего вида нормы пространст-
ва (1), индуцированная метрика Рандерса имеет вид
F (Y ) =
√
(1 + f2
x)u
2 + 2fxfyuv + (1 + f2
y )v
2 + (b1 + b3fx)u+ (b2 + b3fy)v. (11)
Заметим, что всегда можем рассмотреть такую систему координат, что главный вектор
пространства Рандерса имеет вид b = (0, b2, b3), т. е. лежит в плоскости ypz.
Рассмотрим некоторую нормальную геодезическую γ(s) индуцированной римановой
метрики из наложенного евклидового пространства, для которой γ(0) = p, γ̇(0) = Yp. В та-
ком случае касательный вектор имеет вид Yp = (dx/ds, dy/ds, 0).
Подставляя метрику вида (11) в выражение (8), непосредственной группировкой коэф-
фициентов перед степенями b2 и b3, получаем
KR(Y ) =
3b23k
2
4(1 + r)4
+
1
2
b2k(ufxy + vfyy)− b3
dk
ds
(1 + r)3
+
Ke
(1 + r)2
.
С учетом параметризации геодезической γ(s)
b2(ufxy + vfxy) = b2
(
fxy
dx
ds
+ fyy
dy
ds
)
= b2
dfy
ds
= − d
ds
(−b2fy + b3) = − d
ds
〈b, n〉
∣∣∣∣
p
.
Используя определение нормы Рандерса (1), получаем
1 + r = 1 + b2v = 1 + 〈b, Y 〉 = F (Y ).
Данные упрощения приводят формулу к виду (3). Заметим, что при замене координат таким
образом, что главный вектор b не лежит в плоскости ypz, формула флаговой кривизны
остается верной, так как скалярное произведение не зависит от выбора системы координат.
Доказательство теоремы 1. В некоторой окрестности произвольной точки p ∈ F̃ 2
поверхность задается явно z = f(x, y). Таким образом,
f(p) = 0, fx(p) = fy(p) = fxy(p) = 0.
В таком случае ось pz сонаправлена с вектором единичной евклидовой нормали n. Пусть
в данной системе координат главный вектор b имеет вид b = (b1, b2, b3), где b3 = 〈b, n〉.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11
Для некоторого касательного направления τ ∈ TpF̃
2, τ = (u, v, 0) рассмотрим нормаль-
ную геодезическую γ(s) такую, что γ(0) = p, γ̇(0) = τ . Тогда (3) в направлении τ принимает
вид
KR(τ) =
3
4
b23k
2(τ)
F 4(τ)
+
1
2
k(τ)(b1ufxx + b2vfyy)− b3
dk
ds
(τ)
F 3(τ)
+
Ke
F 2(τ)
. (12)
Можем считать, что u = cos t, v = sin t, тогда оценим выражения c(t) = b1fxx cos t+b2fyy sin t
и F (τ) = 1 + 〈b, τ〉. Заметим, что fxx, fyy — это главные кривизны в точке p, тогда
−k2|b| 6−k2
√
b2
1
+ b2
2
6 c(t)6 k2
√
b2
1
+ b2
2
6 k2|b|, 0 < 1− |b|6 F (τ)6 1 + |b|. (13)
Можем рассмотреть выражение для флаговой кривизны KR(τ) как квадратный трех-
член от переменной b3. Достаточным условием того, что KR(τ) > 0, есть условие на отрица-
тельность дискриминанта, так как коэффициент при старшем члене строго положителен:(
dk(τ)
ds
)2
< 12k2(τ)
(
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
)
, что эквивалентно системе
∣∣∣∣
dk(τ)
ds
∣∣∣∣ < 2k(τ)
√
3
(
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
)
,
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
> 0.
(14)
Используя оценки (13), получаем
2k(τ)
√
3
(
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
)
> 2Ke
√
k1
k2
− |b|
2(1 − |b|) .
Тогда потребуем выполнения следующих двух условий, которые обеспечат выполнение
условий системы (14):
k1
k2
− |b|
2(1− |b|) > 0,
∣∣∣∣
dk(τ)
ds
∣∣∣∣ < 2Ke
√
3
(
k1
k2
− |b|
2(1 − |b|)
)
.
Теорема доказана в силу произвольности выбора касательного направления.
Доказательство теоремы 2. Повторяя рассуждения доказательства предыдущей тео-
ремы, рассмотрим выражение для флаговой кривизны гиперповерхности пространства Ран-
дерса в направлении τ (12) как квадратный трехчлен от переменной b3 6 |b|.
Вторым достаточным условием того, что KR(τ) > 0, является условие на то, что для
вещественных корней данного трехчлена x− 6 x+ выполнено x− > |b| или x+ < −|b|, при
условии, что они существуют. Непосредственной подстановкой получаем
x± =
dk(τ)
ds
±
√(
dk(τ)
ds
)2
− 12k2(τ)
(
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
)
3k2(τ)
F (τ)
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 11
То есть выполняется одна из следующих систем неравенств:
(
dk(τ)
ds
)2
> 12k2(τ)
(
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
)
,
|b| < x−
(15)
или
(
dk(τ)
ds
)2
> 12k2(τ)
(
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
)
,
x+ < −|b|.
(16)
Рассмотрим систему (15), она эквивалентна
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
> 0,
∣∣∣∣
dk(τ)
ds
∣∣∣∣ > 2k(τ)
√
3
(
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
)
,
dk(τ)
ds
>
3k2(τ)|b|
F (τ)
,
dk(τ)
ds
<
3k2(τ)|b|
2F (τ)
+
2F (τ)
|b|
(
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
)
.
(17)
Объединим данные требования с ограничением из системы (14). Чтобы множество тре-
буемых значений для dk(τ)/ds было связным, потребуем выполнения условия
3k2(τ)|b|
F (τ)
< 2k(τ)
√
3
(
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
)
.
Таким образом, окончательные условия примут вид
Ke >
3k2(τ)|b|2
4F 2(τ)
− ck(τ)
2F (τ)
, (18)
∣∣∣∣
dk(τ)
ds
∣∣∣∣ <
3k2(τ)|b|
2F (τ)
+
2F (τ)
|b|
(
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
)
. (19)
Используя оценки (13), получаем, что для правой части неравенства (18) выполнено
3k2(τ)|b|2
4F (τ)2
− ck(τ)
2F (τ)
6 3k22
|b|2
4(1 − |b|)2 + k22
|b|
2(1 − |b|) .
Тогда потребуем выполнения условия
k1
k2
> 3
|b|2
4(1 − |b|)2 +
|b|
2(1− |b|) , (20)
что обеспечит выполнение неравенства (18).
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11
Аналогично, используя (13) для правой части неравенства (19), получаем выполнение
3k2(τ)|b|
2F (τ)
+
2F (τ)
|b|
(
Ke +
ck(τ)
2F (τ)
)
> Ke
(
3|b|
2(1 + |b|)
k1
k2
− k2
k1
+
2(1− |b|)
|b|
)
,
тогда, потребовав выполнения неравенства
∣∣∣∣
dk(τ)
ds
∣∣∣∣ < Ke
(
3|b|
2(1 + |b|)
k1
k2
− k2
k1
+
2(1− |b|)
|b|
)
,
обеспечим выполнение неравенства (19).
Аналогичные рассуждения для системы (16) приводят к тому же результату.
Условие (20) может быть записано как |b| <
−1 +
√
1 + 12k1/k2
2 +
√
1 + 12k1/k2
, а условие на |b| из
предыдущей теоремы имеет вид |b| < 2k1/k2
2k1/k2 + 1
. Непосредственным сравнением несложно
показать, что
−1 +
√
1 + 12x
2 +
√
1 + 12x
<
2x
2x+ 1
при x > 0.
Так как касательное направление τ было выбрано произвольно, то теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Предположим противное, т. е. считаем, что в некоторой
точке p флаговая кривизна положительна для всех касательных направлений, но поверх-
ность локально не является выпуклой Ke 6 0. Тогда в точке p существует асимптотическое
направление y1, т. е. k(y1) = 0. Заметим, что тогда и −y1 является асимптотическим. Вос-
пользуемся формулой (3) в направлениях y1 и −y1
KR(±y1) = −1
2
〈b, n〉
F 3(±y1)
dk
ds
(±y1) +
Ke
F 2(±y1)
> 0.
Или иначе
Ke >
〈b, n〉
2F (±y1)
dk
ds
(±y1).
Если 〈b, n〉 = 0, то теорема верна.
Если 〈b, n〉 < 0, то выбираем одно из направлений y1 или −y1, в котором dk/ds 6 0,
т. е. Ke > a2 > 0, что приводит к противоречию. Аналогичное рассуждение верно при
〈b, n〉 > 0.
1. Shen Z. Lectures on Finsler geometry. – Singapore: World Scientific, 2001. – 307 p.
2. Bao D., Chern S.-S., Shen Z. An introduction to Riemann–Finsler geometry. – New York: Springer, 2000. –
431 p.
Поступило в редакцию 04.05.2012Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 13
Член-кореспондент НАН України О.А. Борисенко, С.В. Мiрошниченко
Про флагову кривизну двовимiрних поверхонь тривимiрних
просторiв Рандерса
Знайдено достатнi умови додатностi флагової кривини двовимiрних поверхонь тривимiр-
них просторiв Рандерса i доведено локальну опуклiсть поверхонь з додатною флаговою кри-
виною.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.A. Borisenko,
S.V. Miroshnichenko
On the flag curvature of 2D surfaces of 3D Randers spaces
We find the sufficient conditions for the positivity of the flag curvature of two-dimensional surfaces
of three-dimensional Randers spaces and prove the local convexity of surfaces with positive flag
curvature.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11
|