О примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга
Основной результат работы утверждает, что в классе конечно порожденных линейных групп конечного ранга только группы с нетривиальным FC-центром могут обладать точными примитивными неприводимыми представлениями над полем нулевой характеристики. Основний результат роботи стверджує, що у класах скiнче...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84774 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга / А.В. Тушев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 28-29. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859948646632521728 |
|---|---|
| author | Тушев, А.В. |
| author_facet | Тушев, А.В. |
| citation_txt | О примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга / А.В. Тушев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 28-29. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Основной результат работы утверждает, что в классе конечно порожденных линейных
групп конечного ранга только группы с нетривиальным FC-центром могут обладать
точными примитивными неприводимыми представлениями над полем нулевой характеристики.
Основний результат роботи стверджує, що у класах скiнченно породжених лiнiйних груп
скiнченного рангу лише групи з нетривiальним FC-центром можуть мати точнi примiтивнi незвiднi зображення над полем нульової характеристики.
It is shown that, in the class of finitely generated linear groups of finite rank, only the groups
with nontrivial FC-center can have faithful irreducible primitive representations over a field of zero characteristic.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:15:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.544
© 2012
А.В. Тушев
О примитивных представлениях конечно порожденных
линейных групп конечного ранга
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
Основной результат работы утверждает, что в классе конечно порожденных линейных
групп конечного ранга только группы с нетривиальным FC-центром могут обладать
точными примитивными неприводимыми представлениями над полем нулевой харак-
теристики.
Пусть G — группа и k — поле, kG-модуль M называется импримитивным, если существуют
подгруппа H < G и kH-подмодуль N 6 M такие, что модуль M индуцирован с подмоду-
ля N , т. е. M = N ⊗ kHKG. Если модуль M не является импримитивным, то он называется
примитивным. Представление группы G будем называть примитивным, если модуль этого
представления обладает соответствующим свойством. Подгруппа H группы G называется
изолированной, если для любого h ∈ G и любого натурального числа n из соотношения
hn ∈ H следует, что h ∈ H. Модуль M будем называть непроницаемым, если для лю-
бого элемента 0 6= x ∈ M модуль xkG не индуцирован с подмодуля xkH, где H 6= G —
изолированная подгруппа группы G.
В [1] Харпер показал, что любая конечно порожденная нильпотентная группа, которая
не является почти абелевой, обладает примитивным неприводимым представлением над лю-
бым не локально конечным полем. Тем самым был положительно решен вопрос А.Е. Залес-
ского, поставленный им в [2]. Таким образом, бесконечные полициклические группы могут
обладать примитивными представлениями. Хорошо известно, что любая полициклическая
группа является конечно порожденной линейной группой конечного ранга над полем Q.
Обозначим через ∆(G) множество элементов группы G, которые имеют конечные орби-
ты при действии группы G сопряжениями. Легко проверить, что ∆(G) является характе-
ристической подгруппой группы G, которую называют FC-центром группы G.
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема. Пусть G — конечо порожденная линейная группа конечного ранга с триви-
альным FC-центром. Пусть k — поле нулевой характеристики и пусть M — неприводи-
мый kG-модуль, такой что CG(M) = 1. Тогда существуют собственная подгруппа S 6 G
и kS-подмодуль U 6 M такие, что M = U ⊗ kSkG.
Следствие. Пусть G — конечно порожденная линейная группа конечного ранга. Если
группа G обладает точным неприводимым примитивным представлением над полем ну-
левой характеристики k, то FC-центр группы G не тривиален.
Группа G имеет конечный свободный ранг, если она обладает конечным субнормальным
рядом, каждый фактор которого либо локально конечный, либо бесконечный циклический.
Количество r0(G) бесконечных циклических факторов в таком ряде называется свободным
рангом группы G.
Пусть k — поле, G — группа и A — нормальная подгруппа группы G. Пусть M , V и W —
kA-модули. Подмодули V и W будем называть сепарированными в M , если они не имеют
изоморфных факторов, которые были бы изоморфны ненулевому подмодулю из M .
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11
Подгруппу Sep
(G,A)
(M,W ) группы G, порожденную элементами g такими, что модули W
и Wg не сепарированы в M , будем называть сепаратором модуля W в G. Очевидно, для
любого элемента h ∈ G такого, что h /∈ Sep
(G,A)
(M,W ), модули W и Wh сепарированы в M
(см. [3]).
При доказательстве теоремы ключевую роль играет следующее утверждение.
Предложение. Пусть N — нильпотентная минимаксная нормальная подгруппа без
кручения разрешимой группы G конечного ранга с тривиальным FC-центром. Пусть k —
поле нулевой характеристики и пусть M — непроницаемый kN -модуль такой, что для
любой собственной изолированной G-инвариантной подгруппы K из N модуль M без
kK-кручения. Если r0(G) = r0( Sep
(G,N)
(M,xkN)) для любого элемента 0 6= x ∈ M , то под-
группа N — абелева.
1. Harper D. L. Primitive irreducible representations of nilpotent groups // Math. Proc. Cambidge Phil. Soc. –
1977. – 82. – P. 241–247.
2. Залесский А. Е. Неприводимые представления конечно порожденных нильпотентных групп без кру-
чения // Мат. заметки. – 1971. – 9, № 2. – С. 199–210.
3. Тушев A. В. O примитивных представлениях разрешимых групп конечного ранга // Мат. сб. – 2000. –
191, № 11. – С. 117–160.
Поступило в редакцию 17.04.2012Днепропетровский национальный университет
А.В. Тушев
Про примiтивнi зображення скiнченно породжених лiнiйних груп
скiнченного рангу
Основний результат роботи стверджує, що у класах скiнченно породжених лiнiйних груп
скiнченного рангу лише групи з нетривiальним FC-центром можуть мати точнi примi-
тивнi незвiднi зображення над полем нульової характеристики.
A.V. Tushev
On the primitive representations of finitely generated linear groups of
finite rank
It is shown that, in the class of finitely generated linear groups of finite rank, only the groups
with nontrivial FC-center can have faithful irreducible primitive representations over a field of zero
characteristic.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84774 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:15:43Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Тушев, А.В. 2015-07-15T18:25:32Z 2015-07-15T18:25:32Z 2012 О примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга / А.В. Тушев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 28-29. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84774 512.544 Основной результат работы утверждает, что в классе конечно порожденных линейных групп конечного ранга только группы с нетривиальным FC-центром могут обладать точными примитивными неприводимыми представлениями над полем нулевой характеристики. Основний результат роботи стверджує, що у класах скiнченно породжених лiнiйних груп скiнченного рангу лише групи з нетривiальним FC-центром можуть мати точнi примiтивнi незвiднi зображення над полем нульової характеристики. It is shown that, in the class of finitely generated linear groups of finite rank, only the groups with nontrivial FC-center can have faithful irreducible primitive representations over a field of zero characteristic. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга Про примiтивнi зображення скiнченно породжених лiнiйних груп скiнченного рангу On the primitive representations of finitely generated linear groups of finite rank Article published earlier |
| spellingShingle | О примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга Тушев, А.В. Математика |
| title | О примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга |
| title_alt | Про примiтивнi зображення скiнченно породжених лiнiйних груп скiнченного рангу On the primitive representations of finitely generated linear groups of finite rank |
| title_full | О примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга |
| title_fullStr | О примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга |
| title_full_unstemmed | О примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга |
| title_short | О примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга |
| title_sort | о примитивных представлениях конечно порожденных линейных групп конечного ранга |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84774 |
| work_keys_str_mv | AT tuševav oprimitivnyhpredstavleniâhkonečnoporoždennyhlineinyhgruppkonečnogoranga AT tuševav proprimitivnizobražennâskinčennoporodženihliniinihgrupskinčennogorangu AT tuševav ontheprimitiverepresentationsoffinitelygeneratedlineargroupsoffiniterank |