Осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта)
Решается осесимметричная задача для упругого полупространства, по поверхности которого в определенный момент времени происходит удар твердым телом с затупленной лобовой поверхностью. Конкретно рассмотрен случай нестационарного вдавливания торцом кругового цилиндра. Принята упрощенная формулировка г...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84780 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта) / В.Д. Кубенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 59-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84780 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кубенко, В.Д. 2015-07-15T18:27:04Z 2015-07-15T18:27:04Z 2012 Осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта) / В.Д. Кубенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 59-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84780 532.528 Решается осесимметричная задача для упругого полупространства, по поверхности которого в определенный момент времени происходит удар твердым телом с затупленной лобовой поверхностью. Конкретно рассмотрен случай нестационарного вдавливания торцом кругового цилиндра. Принята упрощенная формулировка граничных условий на поверхности полупространства. Получены аналитические выражения для характеристик напряженного состояния в произвольной точке упругого массива. Розв’язується осесиметрична задача для пружного пiвпростору, по поверхнi якого в певний момент часу вiдбувається удар твердим тiлом iз затупленою лобовою поверхнею. Конкретно розглянуто випадок нестацiонарного вдавлювання торцем кругового цилiндра. Прийнято спрощене формулювання граничних умов на поверхнi пiвпростору. Отримано аналiтичнi вирази для характеристик напруженого стану в довiльнiй точцi пружного масиву. The axially symmetric problem for an elastic half-space under the impact by a rigid body with a blunted face is considered. The impact by the end face of a rigid circular cylinder with the set velocity of penetrating is considered particularly. The simplified statement of boundary conditions for the half-space surface is accepted. Analytical expressions for the stressed state at an arbitrary point of the elastic array are obtained. Работа выполнена в рамках украинско-российского проекта совместных исследований “Моделювання нестацiонарних процессiв в контактуючих пружних тiлах”. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта) Осесиметрична задача нестацiонарного вдавлювання твердого тiла в пружний пiвпростiр (стала область контакту) The axially symmetric problem of nonstationary rigid body denting into an elastic half-space (stationary contact domain) Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта) |
| spellingShingle |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта) Кубенко, В.Д. Механіка |
| title_short |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта) |
| title_full |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта) |
| title_fullStr |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта) |
| title_full_unstemmed |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта) |
| title_sort |
осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта) |
| author |
Кубенко, В.Д. |
| author_facet |
Кубенко, В.Д. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Осесиметрична задача нестацiонарного вдавлювання твердого тiла в пружний пiвпростiр (стала область контакту) The axially symmetric problem of nonstationary rigid body denting into an elastic half-space (stationary contact domain) |
| description |
Решается осесимметричная задача для упругого полупространства, по поверхности которого в определенный момент времени происходит удар твердым телом с затупленной лобовой поверхностью. Конкретно рассмотрен случай нестационарного вдавливания
торцом кругового цилиндра. Принята упрощенная формулировка граничных условий на поверхности полупространства. Получены аналитические выражения для характеристик напряженного состояния в произвольной точке упругого массива.
Розв’язується осесиметрична задача для пружного пiвпростору, по поверхнi якого в певний
момент часу вiдбувається удар твердим тiлом iз затупленою лобовою поверхнею. Конкретно розглянуто випадок нестацiонарного вдавлювання торцем кругового цилiндра. Прийнято спрощене формулювання граничних умов на поверхнi пiвпростору. Отримано аналiтичнi
вирази для характеристик напруженого стану в довiльнiй точцi пружного масиву.
The axially symmetric problem for an elastic half-space under the impact by a rigid body with a
blunted face is considered. The impact by the end face of a rigid circular cylinder with the set
velocity of penetrating is considered particularly. The simplified statement of boundary conditions
for the half-space surface is accepted. Analytical expressions for the stressed state at an arbitrary
point of the elastic array are obtained.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84780 |
| citation_txt |
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания твердого тела в упругое полупространство (постоянная область контакта) / В.Д. Кубенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 11. — С. 59-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kubenkovd osesimmetričnaâzadačanestacionarnogovdavlivaniâtverdogotelavuprugoepoluprostranstvopostoânnaâoblastʹkontakta AT kubenkovd osesimetričnazadačanestacionarnogovdavlûvannâtverdogotilavpružniipivprostirstalaoblastʹkontaktu AT kubenkovd theaxiallysymmetricproblemofnonstationaryrigidbodydentingintoanelastichalfspacestationarycontactdomain |
| first_indexed |
2025-11-25T22:51:42Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:51:42Z |
| _version_ |
1850575203609870336 |
| fulltext |
УДК 532.528
© 2012
Академик НАН Украины В.Д. Кубенко
Осесимметричная задача нестационарного вдавливания
твердого тела в упругое полупространство (постоянная
область контакта)
Решается осесимметричная задача для упругого полупространства, по поверхности ко-
торого в определенный момент времени происходит удар твердым телом с затуплен-
ной лобовой поверхностью. Конкретно рассмотрен случай нестационарного вдавливания
торцом кругового цилиндра. Принята упрощенная формулировка граничных условий на
поверхности полупространства. Получены аналитические выражения для характерис-
тик напряженного состояния в произвольной точке упругого массива.
Робота посвящена построению решения осесимметричной задачи удара затупленным те-
лом по поверхности упругого полупространства в рамках следующей упрощенной задачи:
в области контакта имеет место равенство перемещений тела и упругой среды, на сво-
бодной поверхности приняты упрощенные граничные условия — отсутствие нормального
перемещения. Кроме того, касательное напряжение отсутствует всюду, а закон движения
ударника известен, т. е. фактически рассматривается случай нестационарного вдавливания.
Решение задачи построено для конкретной формы проникающего тела: ударник конечных
размеров с плоским передним срезом (удар торцом цилиндра). Построено аналитическое
решение, позволяющее определить параметры напряженно-деформированного состояния
в произвольной точке среды. Укажем, что решение аналогичной плоской задачи получено
в [1] и, как оказалось, ранее в [2].
Рассматривается вертикальный удар о поверхность упругого полупространства затуп-
ленным абсолютно твердым телом (штампом), контур лобовой части которого в общем
случае задан поверхностью вращения, описываемой гладкой функцией. Скорость внедре-
ния штампа в среду яляется величиной, значительно меньшей скорости упругих волн в ней.
Трение на поверхности взаимодействия тела и среды (области контакта) отсутствует. Гео-
метрия задачи обладает осевой симметрией, и цилиндрическая система координат Orz,
в которой будет вестись исследование, выбирается таким образом, что ось Oz направлена
в глубь среды, ось Or — вдоль поверхности полупространства (рис. 1).
Поверхность штампа в общем случае задается функцией z = f(r). Физические свойства
материала полупространства будем задавать при помощи упругих постоянных — модуля
Рис. 1. Нестационарное вдавливание жесткого тела в упругое полупространство
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 59
всестороннего сжатия K и модуля сдвига µ и плотности γ. Упругой среде с постоянными K,
µ, γ будем также ставить в соответствие акустическую среду с теми же параметрами K, ρ
и µ = 0. Через c0 обозначим скорость звука в акустической среде. Таким образом, скорости
распространения волн определяются формулами
cp =
(
K + 4/3µ
γ
)1/2
; cs =
(
µ
γ
)1/2
; c0 =
(
K
γ
)1/2
.
Введем безразмерные переменные и обозначения:
r =
r
R
, z =
z
R
, σij =
σij
K
(i, j = r, z),
ui =
ui
R
, t =
c0t
R
,
V 0 =
V0
c0
, β =
cs
c0
, α =
cp
c0
; b =
β
α
, V 0 =
V0
c0
, w0 =
w0
R
.
Здесь R — характерный линейный размер штампа; V0, w0 — скорость движения и переме-
щение штампа; ui — проекции вектора упругих перемещений; σij — компоненты тензора
напряжений. Ниже (если не будет оговорено иное) будут использоваться только безразмер-
ные обозначения, поэтому черту над ними опускаем.
Движение упругой среды в осесимметричном случае описывается двумя скалярными
волновыми потенциалами Φ и Ψ, удовлетворяющими уравнениям [3],
∆Φ =
1
α2
∂2Φ
∂t2
; ∆Ψ =
1
β2
∂2Ψ
∂t2
; ∆ ≡ ∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
∂2
∂z2
. (1)
Физические величины (перемещения, напряжения) выражаются через потенциалы Φ и Ψ
следующим образом:
ur =
∂Φ
∂r
+
∂2Ψ
∂r∂z
; uz =
∂Φ
∂z
− ∂2Ψ
∂r2
− 1
r
∂Ψ
∂r
;
σzz =
(
1− 2
β2
α2
)
∂2Φ
∂t2
+ 2β2
(
∂2Φ
∂z2
− ∂3Ψ
∂r2∂z
− 1
r
∂2Ψ
∂r∂z
)
;
σrr =
(
1− 2
β2
α2
)
∂2Φ
∂t2
+ 2β2
(
∂2Φ
∂r2
+
∂3Ψ
∂r2∂z
)
;
σrz = 2β2 ∂
∂r
(
∂Φ
∂z
+
∂2Ψ
∂z2
− 1
2β2
∂2Ψ
∂t2
)
.
(2)
Затупленость лобовой поверхности штампа и малые глубины проникания в среду позволяют
формулировать граничные условия на невозмущенной поверхности полупространства при
z = 0.
Граничные условия при отсутствии трения состоят в равенстве нормального перемеще-
ния среды и перемещения тела в области контакта, отсутствии нормального перемещения
свободной поверхности среды вне области контакта и нулевом касательном напряжении
всюду в плоскости z = 0
uz|z=0 =
t
∫
0
Vb(t) dt, 0 6 r < r∗(t),
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11
uz|z=0 = 0, r > r∗(t),
σzr|z=0 = 0, r > 0.
Здесь r∗(t) — радиус области контакта. Первые два условия можно переписать, используя
единичную функцию Хевисайда H(r) =
{
1, r > 0,
0, r < 0.
, так что
uz|z=0 = Q(t, r), Q(t, r) = H[r∗(t)− r]
t
∫
0
V0(t) dt,
σzr|z=0 = 0.
(3)
Начальные условия для потенциалов Φ и Ψ являются нулевыми, на бесконечности вол-
новые возмущения затухают. Полагаем также, что скорость проникания тела в среду V0(t)
является заданой функцией, т. е. имеет место случай так называемого нестационарного
вдавливания.
Напомним, что принятая формулировка в строгом смысле имеет место в случае очень
тупых тел и соответствует так называемому сверхзвуковому этапу проникания, в течение
которого возмущения в упругой среде не выходят за пределы области контакта, так как ее
граница движется со скоростью, превышающей скорость распространения упругих волн.
Такая постановка исключает появление особенностей напряженного состояния на границе
области контакта. Все же, как показывают выполненные численные расчеты, в некоторых
случаях решение “сверхзвуковой” задачи позволяет получить приемлемые оценочные ре-
зультаты и для более сложной смешанной задачи, в которой возмущения в среде выходят
за пределы области контакта. Кроме того, эффективное решение такой задачи может слу-
жить ориентиром при разработке численных подходов к решению более сложных краевых
задач, к которым сводятся задачи удара.
Решение задачи (1), (3) получим при помощи интегральных преобразований Лапласа
по времени t с параметром s и преобразование Бесселя (Ханкеля) порядка 0 по r с пара-
метром ξ [4]. В частности,
fL(s) = L{f(t)} =
∞
∫
0
e−stf(t) dt; f(t) = L−1{fL(s)} =
1
2π
δ+i∞
∫
δ−i∞
etsfL(p) dp;
fB(ξ) = B{f(r)} =
∞
∫
0
f(r)rJ0(rξ) dr; f(r) = B−1{fB(ξ)} =
∞
∫
0
fB(ξ)ξJ0(rξ) dξ.
Здесь L и B — соответственно операторы интегральных преобразований Лапласа и Бес-
селя; L−1, B−1 — операторы обращения; J0 — цилиндрическая функция Бесселя нулевого
индекса [5]; δ > 0. В пространстве изображений по Лапласу и Бесселю получим следующую
граничную задачу (в которой начальные условия уже реализованы):
∂2ΦLB
∂z2
−
(
s2
α2
+ ξ2
)
ΦLB = 0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 61
∂2ΨLB
∂z2
−
(
s2
β2
+ ξ2
)
ΨLB = 0,
∂ΦLB
∂z
+
∂2ΨLB
∂z2
− s2
β2
ΨLB = QLB(s, ξ), z = 0, (4)
∂ΦLB
∂z
+
∂2ΨLB
∂z2
− s2
2β2
ΨLB = 0, z = 0,
ΦLB → 0, ΨLB → 0, z → ∞.
Общее решение волновых уравнений, затухающее при z → ∞, имеет вид
ΦLB = Ae
−
z
α
√
s2+α2ξ2
; ΨLB = Be
−
z
β
√
s2+β2ξ2
. (5)
Определяя произвольные постоянные A, B из граничных условий, будем иметь выра-
жение для изображения нормального напряжения
σLB
zz (s, ξ, z) = −αQLB(s, ξ)×
×
[
(s2 + 2β2ξ2)2
s2
√
s2 + α2ξ2
e
−
z
α
√
s2+α2ξ2
− 4β3
α
ξ2
√
s2 + β2ξ2
s2
e
−
z
β
√
s2+β2ξ2
]
. (6)
Аналогично можно получить выражения uz и напряжение сдвига σrz в изображениях
uLBz = QLB 1
s2
[
(s2 + 2β2ξ2)e−
z
α
√
s2+α2ξ2 − 2β2ξ2e−
z
β
√
s2+β2ξ2
]
;
σLB
rz = QLB s2 + 2β2ξ2
s2
(
e−
z
α
√
s2+α2ξ2 − e−
z
β
√
s2+β2ξ2
)
.
Теперь конкретизуем вид воздействия в первом условии (3). Будем предполагать, что
функция Q(t, r) имеет вид
Q(t, r) = G(r)
t
∫
0
H(t) dt. (7)
Такой выбор воздействия предполагает, что область контакта постоянна, а вдавливание
происходит с постоянной скоростью. Например, в случае индентора с плоским передним
срезом функция G(r) имеет вид
G(r) = G0H(R− r),
где R — радиус индентора; G0 = const.
Для случая (7), имея в виду, что L[Q(t, r)] =
1
s2
G(r), из (6) получим выражение для
нормального напряжения σLF
zz в изображениях
σLB
zz (s, ξ) = −αGB(ξ)TLB(s, ξ),
TLB(s, ξ) =
(
1 + 4β2 ξ
2
s2
+ 4β4 ξ
4
s4
)
e−
z
α
√
s2+α2ξ2
√
s2 + α2ξ2
− 4
β3
α
(
ξ2
s2
+ β2 ξ
4
s4
)
e−
z
β
√
s2+β2ξ2
√
s2 + β2ξ2
.
(8)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11
Если удастся найти функцию TL(s, r) (т. е. выполнить обращение преобразования Бессе-
ля функции TLF (s, ξ)), то обращение этого преобразования для функции σLF
zz (s, ξ) можно
получить из (8), воспользовавшись теоремой о свертке [2]
fB(ξ)gB(ξ) =
1
2π
[ 2π
∫
0
∞
∫
0
f(ρ)g
(
√
ρ2 + r2 − 2rρ cosα
)
ρdρdα
]B
,
B−1{fB(ξ)gB(ξ)}=
∞
∫
0
fB(ξ)gB(ξ)ξJ0(ξr) dξ =
1
2π
2π
∫
0
∞
∫
0
f(ρ)g
(
√
ρ2 + r2 − 2rρ cosα
)
ρdρdα.
В результате будем иметь
σL
zz(s, r) =
1
2π
2π
∫
0
∞
∫
0
G(ρ)TL
(
s,
√
ρ2 + r2 − 2rρ cos θ
)
ρdρdθ. (9)
Наконец, если удастся выполнить обращение подынтегральной функции TL(s, x) отно-
сительно преобразования Лапласа (предполагая допустимой перемену порядка интегриро-
вания), получим
σzz(t, r) =
1
2π
2π
∫
0
∞
∫
0
G(ρ)T
(
t,
√
ρ2 + r2 − 2rρ cos θ
)
ρdρdθ. (10)
Инверсию преобразования Бесселя для функции TLF (s, ξ) можно выполнить, используя
табличное соотношение [6]
B−1
(
e−
z
α
√
s2+α2ξ2
√
s2 + α2ξ2
)
=
e−
s
α
√
r2+z2
α
√
r2 + z2
(11)
и свойство преобразования Бесселя [4]
B
(
d2f(r)
dr2
+
1
r
df(r)
dr
)
= −ξ2fB(ξ),
из которого следует
B−1(ξ2fB(ξ)) = −
(
d2f(r)
dr2
+
1
r
df(r)
dr
)
. (12)
Последовательное применение формул (11), (12) позволяет получить инверсию преобразо-
вания Бесселя функции TLF (s, ξ) в виде
TL(s, r) =
(
B
(α)
0 +B
(α)
1
1
s
+B
(α)
2
1
s2
+B
(α)
3
1
s3
+B
(α)
4
1
s4
)
e−
s
α
√
r2+z2 −
− 4
β3
α
(
B
(β)
0 +B
(β)
1
1
s
+B
(β)
2
1
s2
+B
(β)
3
1
s3
+B
(β)
4
1
s4
)
e−
s
β
√
r2+z2 ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 63
где B(α)
n , B(β)
n , n = 0÷4 — дробно-рациональные функции r и z, которые здесь не приведены
вследствие их громоздкости.
Наконец, обращение TL(s, r) относительно преобразования Лапласа реализуется с по-
мощью табличных формул вида
L−1
(
e−s
√
r2+z2
α
)
= δ
(
t−
√
r2 + z2
α
)
;
L−1
(
1
sn
e−s
√
r2+z2
α
)
=
(
t−
√
r2 + z2
α
)n−1
(n− 1)!
H
(
t−
√
r2 + z2
α
)
.
В результате окончательно получаем
T (t, r) =
[
B
(α)
0 δ(tα) +
(
B
(α)
1 +B
(α)
2 tα +B
(α)
3
t2α
2
+B
(α)
4
t3α
6
)
H(tα)
]
−
− 4
β3
α
[
B
(β)
0 δ(tβ) +
(
B
(β)
1 +B
(β)
2 tβ +B
(β)
3
t2β
2
+B
(β)
4
t3β
6
)
H(tβ)
]
,
tα = t−
√
r2 + z2
α
; tβ = t−
√
r2 + z2
β
.
(13)
Таким образом, функция T (t, r) задана соотношением (13), и напряжение σzz(t, r) в про-
извольной точке полупространства полностью определяется формулой (10). Аналогично
строятся выражения для других компонентов напряженно-деформированного состояния.
Работа выполнена в рамках украинско-российского проекта совместных исследований “Моде-
лювання нестацiонарних процессiв в контактуючих пружних тiлах”.
1. Кубенко В.Д. Волновые процессы в упругой полуплоскости при ударе затупленным твердым телом //
Механика тв. тела. – 2011. – № 2. – С. 118–129.
2. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. –
Ленинград: Судостроение, 1980. – 344 с.
3. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наук. думка, 1978. –
308 с.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – Москва:
ГИФМЛ, 1961. – 524 с.
5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: функции Бесселя, функции параболи-
ческого цилиндра, ортогональные многочлены. – Москва: Наука; ГИФМЛ, 1966. – 295 с.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. В 2-х т. Т. 2. Преобразования Бес-
селя. Интегралы от специальных функций. – Москва: Наука; ГИФМЛ, 1970. – 330 с.
Поступило в редакцию 23.04.2012Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №11
Академiк НАН України В.Д. Кубенко
Осесиметрична задача нестацiонарного вдавлювання твердого тiла
в пружний пiвпростiр (стала область контакту)
Розв’язується осесиметрична задача для пружного пiвпростору, по поверхнi якого в певний
момент часу вiдбувається удар твердим тiлом iз затупленою лобовою поверхнею. Конкрет-
но розглянуто випадок нестацiонарного вдавлювання торцем кругового цилiндра. Прийнято
спрощене формулювання граничних умов на поверхнi пiвпростору. Отримано аналiтичнi
вирази для характеристик напруженого стану в довiльнiй точцi пружного масиву.
Academician of the NAS of Ukraine V.D. Kubenko
The axially symmetric problem of nonstationary rigid body denting into
an elastic half-space (stationary contact domain)
The axially symmetric problem for an elastic half-space under the impact by a rigid body with a
blunted face is considered. The impact by the end face of a rigid circular cylinder with the set
velocity of penetrating is considered particularly. The simplified statement of boundary conditions
for the half-space surface is accepted. Analytical expressions for the stressed state at an arbitrary
point of the elastic array are obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №11 65
|