Задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды
В работе выполнено математическое моделирование неравновесной во времени консолидационной динамики двухслойного геопористого массива, расположенного на непроницаемом основании. В рамках дробно-дифференциального подхода поставлена соответствующая краевая задача с условиями сопряжения на линии раздела...
Saved in:
| Published in: | Компьютерная математика |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84803 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды / Т.Ю. Благовещенская, В.М. Булавацкий // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 3-8. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860004955079835648 |
|---|---|
| author | Благовещенская, Т.Ю. Булавацкий, В.М. |
| author_facet | Благовещенская, Т.Ю. Булавацкий, В.М. |
| citation_txt | Задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды / Т.Ю. Благовещенская, В.М. Булавацкий // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 3-8. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | В работе выполнено математическое моделирование неравновесной во времени консолидационной динамики двухслойного геопористого массива, расположенного на непроницаемом основании. В рамках дробно-дифференциального подхода поставлена соответствующая краевая задача с условиями сопряжения на линии раздела сред и получено ее аналитическое решение.
В роботі виконане математичне моделювання нерівноважної у часі консолідаційної динаміки двошарового геопористого масиву, розміщеного на непроникній основі. В рамках дробово-диференційного підходу поставлена відповідна крайова задача з умовами спряження на лінії розділу середовищ та отримано її аналітичний розв’язок.
This paper presents the mathematical modelling of nonequilibrium in time consolidation dynamics of geo-porous two-layer solid located on an impermeable base. The corresponding boundary-value problem with conjugation conditions on the boundary separating the media is posed within the framework of fractional-differential approach, and its analytical solution is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:38:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2014, № 1 3
Математическое
моделирование
В работе выполнено математи-
ческое моделирование неравновес-
ной во времени консолидационной
динамики двухслойного геопорис-
того массива, расположенного
на непроницаемом основании. В
рамках дробно-дифференциально-
го подхода поставлена соответ-
ствующая краевая задача с усло-
виями сопряжения на линии раз-
дела сред и получено ее аналити-
ческое решение.
Т.Ю. Благовещенская,
В.М. Булавацкий, 2014
Т.Ю. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ, В.М. БУЛАВАЦКИЙ
Компьютерная математика. 2014, № 1 4
УДК 517.934:532.546
Т.Ю. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ,
В.М. БУЛАВАЦКИЙ
ЗАДАЧА
МОДЕЛИРОВАНИЯ
ДРОБНО-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬН
ОЙ
КОНСОЛИДАЦИОНН
ОЙ ДИНАМИКИ
ДВУХСЛОЙНОЙ
ГЕОПОРИСТОЙ
СРЕДЫ
Введение. Вопросы матема-
тического моделирования
процессов фильтрационной
консолидации в деформируе-
мых водонасыщенных порис-
тых геосредах актуальны.
Учитывая многообразные
применения в различных об-
ластях научно-технического
прогресса (на-пример, при
определении деформаций
ядер
и экранов гидросооружений,
определении устойчивости
откосов земляных плотин,
дорожном, промышленном и
гражданском строительстве и
др. [1, 2]). Учитывая пробле-
мы охраны окружающей сре-
ды важное значение приобре-
тают также исследования
процессов уплотнения осно-
ваний поверхностных нако-
пителей промышленных и
бытовых стоков. Это способ-
ствовало разработке эффек-
тивных методов математиче-
ского моделирования дина-
мики консолидационных процессов с учетом
различных факторов, оказывающих наиболее
существенное влияние на процесс [3, 5]. При
этом в случае моделирования процессов гео-
миграции в системах со сложной простран-
ственно-времен-ной структурой, (для кото-
рых характерны эффекты памяти, простран-
ственной нелокальности и самоорганизации)
возникает проблема повышения степени аде-
кватности классических количественных ма-
тематических моделей для описания динами-
ки указанных процессов. Сложностью дан-
ной проблемы обусловлен пересмотр основ-
ных по-ложений классической теории пере-
носа в насыщенных геопористых средах, в
частности прогресс в этом направлении дос-
тигнут
и использованием формализма интегро-
дифференцирования дробного порядка [6].
ЗАДАЧА МОДЕЛИРОВАНИЯ ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ...
Компьютерная математика. 2014, № 1 5
Отметим, что различным аспектам разработки методов математического
моделирования динамики неравновесных фильтрационно-консолидационных
процессов в деформируемых однородных геопористых средах посвящены, в ча-
стности, работы [1, 3 – 5, 7, 8]. Так в работе [1] построено и изучено ряд неклас-
сических математических моделей релаксационных процессов фильтрации
в деформируемых геопористых средах, диффузии, а также теплопроводности
с учетом релаксации температуры и теплового потока. В работе [3] развит сис-
темный подход к проблеме математического моделирования процессов фильт-
рационной консолидации грунтовых оснований гидросооружений, а в работе [7]
построена и исследована дробно-дифференциальная математическая модель
геофильтрации солевых растворов с учетом осмотических явлений в условиях
временной нелокальности процесса. В настоящей работе решается задача мате-
матического моделирования дробно-дифференциальной динамики локально-
неравновесного во времени фильтрационно-консолидационного процесса для
двухслойного геопористого массива конечной мощности на непроницаемом
основании, при действии на дренируемой поверхности массива распределенной
нагрузки заданной величины.
1. Построение математической модели процесса и постановка краевой
задачи. В случае локально-неравновесного во времени фильтрационно-консо-
лидационного процесса в насыщенном геопористом массиве используем обоб-
щение законафильтрации Дарси в виде [9]
∂
∂−= α−
x
H
kDu tx
1 , (1)
где xu – скорость геофильтрации, H – избыточный напор в поровой жидкости,
k – коэффициент фильтрации, α−1
tD – оператор дробного дифференцирования
Римана – Лиувилля порядка )10(1 <α<α− по переменной t [6].
Из уравнения неразрывности фильтрационного потока [2], получаем для
определения избыточного напора H следующее уравнение:
∂
∂=
∂
∂ α−
2
2
1
x
H
DC
t
H
tv , (2)
или
2
2
)(
x
H
CHD vt ∂
∂=α , (3)
где vC – коэффициент консолидации [2], )(α
tD – оператор регуляризованной
дробной производной порядка α [6].
В рамках математической модели неравновесной фильтрационной консоли-
дации деформируемых геопористых массивов, базирующейся на уравнении вида
(3), рассмотрим задачу моделирования динамики полей избыточных напоров
Т.Ю. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ, В.М. БУЛАВАЦКИЙ
Компьютерная математика. 2014, № 1 6
при консолидации (в условиях временной неравновестности) двухслойного гео-
пористого массива мощностью l , расположенного на непроницаемом основа-
нии, в случае приложения к поверхности массива нагрузки заданной интенсив-
ности. В этом случае соответствующая краевая задача неравновесной консоли-
дации может быть записана в следующем виде:
)0,0( 12
1
2
)1(
1
)( ><<
∂
∂=α tlx
x
H
CHD vt , (4)
)0,( 12
2
2
)2(
2
)( ><<
∂
∂=α tlxl
x
H
CHD vt , (5)
0),(,0),0( 2
1 =
∂
∂= tl
x
H
tH , ),,(),( 1211 tlHtlH = (6)
∂
∂=
∂
∂ α−α−
x
tlH
Dk
x
tlH
Dk tt
),(),( 121
2
111
1 , (7)
)()0,()0,( 021 xxHxH ς== , (8)
где )2,1()( =
γ
= i
a
k
C
i
ii
v – коэффициенты консолидации слоев, )2,1(, =ika ii –
соответственно коэффициенты сжимаемости и фильтрации слоев, 21, HH –
избыточные напоры в первом и втором слое, 1lx = – общая граница слоев,
)(0 xς – заданная функция начального распределения напоров в массиве.
2. Решение краевой задачи (4) – (8). Разыскивая решение задачи в виде
)()()(),(),0()()(),( 1211 lxltTxXtxHlxtTxXtxH ≤≤=≤≤=
имеем
0)0(,0)()( 2 ==λ+′′ XxXxX , (9)
0)(,0)()( 2 =′=λ+′′ lXxXxX , (10)
0)()( )1(2)( =λ+α tTCtTD vt , (11)
0)()( )2(2)( =λ+α tTCtTD vt , (12)
Из уравнений (9) – (12) находим
)()sin(),( )1(2
1
1
α
α
∞
=
λ−λ= ∑ tCExAtxH vn
n
nn , (13)
)()](cos[
)cos(
),( )2(2
1
2
α
α
∞
=
λ−−λ
λ
= ∑ tCExl
l
B
txH vn
n
n
n
n , (14)
ЗАДАЧА МОДЕЛИРОВАНИЯ ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ...
Компьютерная математика. 2014, № 1 7
где ,...)2,1(,,, =λλ nBA nnnn – подлежащие определению постоянные, )(zEα
– функция Миттаг – Леффлера [6, 10].
Из условий сопряжения (7) получаем систему уравнений для определения
неизвестных , ( 1,2,...) :n nA B n =
)](cos[)cos()sin( 11 llBllA nnnnn −λ=λµλ , (15)
)](sin[)cos()cos( 11 llBbllA nnnnn −λµ=µλλ , (16)
где
)( nnnn µλ=λλ=λ , 12 / aab = , )1()2(2 / vv CC=µ . (17)
Условие наличия нетривиальных решений системы уравнений (15), (16) да-
ет уравнение для определения собственных значений ,...)2,1( =λ nn в виде
b
lll nn µ
=−λλµ 1
)](tg[)tg( 11 . (18)
С учетом изложенного, решение рассматриваемой задачи принимает вид
)0()()sin(),( 1
)1(22
1
1 lxtCExAtxH vn
n
nn ≤≤λµ−µλ= α
α
∞
=
∑ , (19)
)()()](cos[),( 1
)2(2
1
2 lxltCExlAtxH vn
n
nnn ≤≤λ−−λγ= α
α
∞
=
∑ , (20)
где
,...)2,1(
)](cos[
)sin(
1
1 =
−λ
µλ=γ n
ll
l
n
n
n . (21)
Неизвестные коэффициенты ,...)2,1( =nAn , входящие в соотношения
(19, 20), отыскиваем из начального условия (8), которое с учетом (19, 20)
принимает вид:
)0()()( 0
1
lxxxXA
n
nn ≤≤ς=∑
∞
=
, (22)
где
≤≤−λγ
≤≤µλ
=
).()],(cos[
)0(],sin[
)(
1
1
lxlxl
lxx
xX
nn
n
n (23)
Отсюда, принимая во внимание свойство ортогональности собственных
функций задачи, в результате ряда простых, но громоздких преобразований,
получаем:
Т.Ю. БЛАГОВЕЩЕНСКАЯ, В.М. БУЛАВАЦКИЙ
Компьютерная математика. 2014, № 1 8
−µλςγ+µλς
δ
= ∫∫
l
l
nn
l
n
n
n dxxlxbdxxxA
1
1
)](cos[)()sin()(
1
0
0
0 , (24)
где
,...)2,1(
2
)2sin(
2
)2sin(
2
1 1
1
21
1 =
λ
λ+−γ+
µλ
µλ−=δ n
l
llb
l
l
n
n
n
n
n
n (25)
и ,...)2,1( =λ nn – корни уравнения (18).
Соотношения (19), (20), (24), (25) при 1=α дают, в частности, решение [11]
рассматриваемой задачи поставленной в рамках классической математической
модели:
)0()sin(e),( 1
1
1
)1(22
lxxAtxH
n
n
tC
n
vn ≤≤µλ= ∑
∞
=
λµ− ,
)()](cos[e),( 1
1
2
)2(2
lxlxlAtxH
n
n
tC
nn
vn ≤≤−λγ= ∑
∞
=
λ− .
Следует отметить, что аналогично вышеизложенному можно получить ре-
шение соответствующей краевой задачи и в случае консолидации двухслойного
геомассива, расположенного на проницаемом основании.
Заключение. Приведенные выше результаты открывают возможность тео-
ретического исследования закономерностей динамики аномальных консолида-
ционных процессов в двухслойных геопористых средах, в частности фракталь-
ной структуры.
Т.Ю. Благовещенська, В.М. Булавацький
ЗАДАЧА МОДЕЛЮВАННЯ ДРОБОВО-ДИФЕРЕНЦІЙНОЇ
КОНСОЛІДАЦІЙНОЇ ДИНАМІКИ ДВОШАРОВОГО ГЕОПОРИСТОГО СЕРЕДОВИЩА
В роботі виконане математичне моделювання нерівноважної у часі консолідаційної динаміки
двошарового геопористого масиву, розміщеного на непроникній основі. В рамках дробово-
диференційного підходу поставлена відповідна крайова задача з умовами спряження на лінії
розділу середовищ та отримано її аналітичний розв’язок.
T.Yu. Blagoveshchenskaya, V.M. Bulavatsky
THE PROBLEM OF MODELING FRACTIONAL-DIFFERENTIAL
CONSOLIDATION DYNAMICS OF GEO-POROUS TWO-LAYER MEDIUM
This paper presents the mathematical modelling of nonequilibrium in time consolidation dynamics
of geo-porous two-layer solid located on an impermeable base. The corresponding boundary-value
problem with conjugation conditions on the boundary separating the media is posed within the
framework of fractional-differential approach, and its analytical solution is obtained.
ЗАДАЧА МОДЕЛИРОВАНИЯ ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ...
Компьютерная математика. 2014, № 1 9
1. Булавацький В.М., Кривонос Ю.Г., Cкопецький В.В. Некласичні математичні моделі
процесів тепло- та масопереносу. – К.: Наук. думка, 2005. – 283 с.
2. Иванов П.Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений. – М.: Высш. школа,
1991. – 447 с.
3. Булавацкий В.М., Скопецкий В.В. Системный подход к проблеме математического моде-
лирования процесса фильтрационной консолидации // Кибернетика и системный анализ.
– 2006. – № 6. – С. 71 – 79.
4. Бомба А.Я., Булавацький В.М., Скопецький В.В. Нелінійні математичні моделі процесів
геогідродинаміки. – К.: Наук. думка, 2007. – 292 с.
5. Власюк А.П., Мартинюк П.М. Математичне моделювання консолідації грунтів в процесі
фільтрації сольових розчинів. – Рівне: Вид-во УДУВГП, 2004. – 211 с.
6. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equ-
ation. – Amsterdam: Elsevier, 2006. – 523 p.
7. Булавацкий В.М. Математическая модель геоинформатики для исследования динамики
локально-неравновесных геофильтрационных процессов // Проблемы управления и ин-
форматики. – 2011. – № 6. – С. 76 – 83.
8. Kaczmarek M., Huekel T. Chemo-mechanical consolidation of clays: analytical solution for a
linearized one-dimensional problem // Transport in porous media. – 1998. – 32. – P. 49 – 74.
9. Учайкин В.В. Метод дробных производных. – Ульяновск: Изд-во «Артишок», 2008.
– 512 с.
10. Podlubny I. Fractional differential equation. – New York: academ. Press, 1999. – 341 p.
11. Kong-He Xie, Xin Yu Xie, Xiang Gao Theory of one dimentional consolidation of two-
layered soil with partially drained boundaries // Computers and geotechnics. – 1999. – 24. –
P. 265 – 278.
Получено 26.02.2014
Об авторах:
Благовещенская Татьяна Юрьевна,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
E-mail: dept175@gmail.com
Булавацкий Владимир Михайлович,
доктор технических наук, профессор, ведущий сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
E-mail: v_bulav@ukr.net
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84803 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:38:47Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Благовещенская, Т.Ю. Булавацкий, В.М. 2015-07-15T19:37:50Z 2015-07-15T19:37:50Z 2014 Задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды / Т.Ю. Благовещенская, В.М. Булавацкий // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 3-8. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84803 517.934:532.546 В работе выполнено математическое моделирование неравновесной во времени консолидационной динамики двухслойного геопористого массива, расположенного на непроницаемом основании. В рамках дробно-дифференциального подхода поставлена соответствующая краевая задача с условиями сопряжения на линии раздела сред и получено ее аналитическое решение. В роботі виконане математичне моделювання нерівноважної у часі консолідаційної динаміки двошарового геопористого масиву, розміщеного на непроникній основі. В рамках дробово-диференційного підходу поставлена відповідна крайова задача з умовами спряження на лінії розділу середовищ та отримано її аналітичний розв’язок. This paper presents the mathematical modelling of nonequilibrium in time consolidation dynamics of geo-porous two-layer solid located on an impermeable base. The corresponding boundary-value problem with conjugation conditions on the boundary separating the media is posed within the framework of fractional-differential approach, and its analytical solution is obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды Задача моделювання дробово-диференційної консолідаційної динаміки двошарового геопористого середовища The problem of modeling fractional-differential consolidation dynamics of geo-porous two-layer medium Article published earlier |
| spellingShingle | Задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды Благовещенская, Т.Ю. Булавацкий, В.М. Математическое моделирование |
| title | Задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды |
| title_alt | Задача моделювання дробово-диференційної консолідаційної динаміки двошарового геопористого середовища The problem of modeling fractional-differential consolidation dynamics of geo-porous two-layer medium |
| title_full | Задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды |
| title_fullStr | Задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды |
| title_full_unstemmed | Задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды |
| title_short | Задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды |
| title_sort | задача моделирования дробно-дифференциальной консолидационной динамики двухслойной геопористой среды |
| topic | Математическое моделирование |
| topic_facet | Математическое моделирование |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84803 |
| work_keys_str_mv | AT blagoveŝenskaâtû zadačamodelirovaniâdrobnodifferencialʹnoikonsolidacionnoidinamikidvuhsloinoigeoporistoisredy AT bulavackiivm zadačamodelirovaniâdrobnodifferencialʹnoikonsolidacionnoidinamikidvuhsloinoigeoporistoisredy AT blagoveŝenskaâtû zadačamodelûvannâdrobovodiferencíinoíkonsolídacíinoídinamíkidvošarovogogeoporistogoseredoviŝa AT bulavackiivm zadačamodelûvannâdrobovodiferencíinoíkonsolídacíinoídinamíkidvošarovogogeoporistogoseredoviŝa AT blagoveŝenskaâtû theproblemofmodelingfractionaldifferentialconsolidationdynamicsofgeoporoustwolayermedium AT bulavackiivm theproblemofmodelingfractionaldifferentialconsolidationdynamicsofgeoporoustwolayermedium |