Математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в N-шаровых фильтрах
Рассматриваются и решаются вопросы учета обратного влияния характеристик процесса (концентрации загрязнения жидкости и осадка) на характеристики среды (коэффициенты пористости, диффузии, массообмена и т. п.) при моделировании процессов очистки жидкости от многокомпонентных примесей в n-шаровом сорбц...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Компьютерная математика |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84804 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в N-шаровых фильтрах / А.Я. Бомба, А.П. Сафоник // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860040794445971456 |
|---|---|
| author | Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. |
| author_facet | Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. |
| citation_txt | Математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в N-шаровых фильтрах / А.Я. Бомба, А.П. Сафоник // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Рассматриваются и решаются вопросы учета обратного влияния характеристик процесса (концентрации загрязнения жидкости и осадка) на характеристики среды (коэффициенты пористости, диффузии, массообмена и т. п.) при моделировании процессов очистки жидкости от многокомпонентных примесей в n-шаровом сорбционном фильтре. Построен алгоритм численно-асимптотического приближения решения соответствующей модельной задачи, которая описывается системой нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений типа «конвекция-диффузия-массообмен» и, на этой основе, проведен компьютерный эксперимент.
Розглядаються та вирішуються питання врахування зворотного впливу характеристик процесу (концентрації забруднення рідини й осаду) на характеристики середовища (коефіцієнти пористості, фільтрації, дифузії, масообміну тощо) під час моделювання процесів очищення рідини від багатокомпонентних домішок у n-шаровому сорбційному фільтрі. Побудовано алгоритм числово-асимптотичного наближення розв’язку відповідної модельної задачі, що описуються системою нелінійних сингулярно збурених диференціальних рівнянь типу «конвекція-дифузія-масообмін» і на цій основі проведено комп’ютерний експеримент.
The problems of using the inverse influence of characteristics of process of concentration of liquid contamination and sediment on the medium properties (coefficients of porosity, diffusion, mass exchange, etc.) are considered and solved when a liquid purification process from multicomponent impurities in n-layers sorption filters is modeled. The algorithm of numerical-asymptotic approximation of the solution of the corresponding modeling problem which is described by a system of nonlinear singularly perturbed differential equations of convection-diffusion-mass exchange type is constructed and the computer experiment is carried out on this basis.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:55:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2014, № 1 9
Рассматриваются и решаются
вопросы учета обратного влияния
характеристик процесса (кон-
центрации загрязнения жидкости
и осадка) на характеристики сре-
ды (коэффициенты пористости,
диффузии, массообмена и т. п.)
при моделировании процессов очи-
стки жидкости от многокомпо-
нентных примесей в n-шаровом
сорбционном фильтре. Построен
алгоритм численно-асимптоти-
ческого приближения решения
соответствующей модельной за-
дачи, которая описывается си-
стемой нелинейных сингулярно
возмущенных дифференциальных
уравнений типа «конвекция-диф-
фузия-массообмен» и, на этой ос-
нове, проведен компьютерный
эксперимент.
А.Я. Бомба, А.П. Сафоник, 2014
ÓÄÊ 519.63:532.5
À.ß. ÁÎÌÁÀ, À.Ï. ÑÀÔÎÍÈÊ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ
ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
ÔÈËÜÒÐÎÂÀÍÈß ÆÈÄÊÎÑÒÅÉ
ÎÒ ÌÍÎÃÎÊÎÌÏÎÍÅÍÒÍÎÃÎ
ÇÀÃÐßÇÍÅÍÈß
 N-ØÀÐÎÂÛÕ ÔÈËÜÒÐÀÕ
Введение. Анализ результатов исследований
[1 – 12] свидетельствует о наличии сложной
структуры взаимозависимости разных фак-
торов, определяющих процессы фильтрации
и фильтрования через пористые среды, кото-
рые не учитывались в традиционных (клас-
сических, феноменологических) моделях та-
ких систем. Учет разных взаимовлияний и
дополнительных факторов, внесенных в ба-
зовую модель для более глубокого изучения
процесса, приводит к необходимости по-
строения громоздких и малоэффективных
(относительно численной реализации и прак-
тического использования) математических
моделей. Тем не менее, во многих практиче-
ски важных случаях при исследовании таких
процессов целесообразно применять модели-
рование разных возмущений известных (иде-
ализированных, усредненных, базовых) фо-
нов. В частности, при прогнозировании пу-
тей повышения эффективности работы
фильтров, возникает вопрос об оптимальном
подборе характеристик (проводимости, по-
ристости, коэффициентов массообмена) ша-
ров многошаровых фильтров, которые, в
первую очередь, характеризуются диаметром
гранул загрузки [12]. Заметим, что на сего-
дняшний день, через сложность реализации и
эксплуатации в практике фильтрования, не
получили широкого распространения даже
фильтры с «непрерывно» неоднородными за-
грузками.
А.Я. БОМБА, А.П. САФОНИК
Компьютерная математика. 2014, № 1 10
Из этих же причин фактически ограничиваются разными аппроксимациями
оптимального гранулометрического состава загрузки шаров, эквивалентный
диаметр гранул которых «непрерывно» убывает в направлении фильтрования по
определенному закону.
Согласно этому, в работе рассматриваются и решаются вопросы учета об-
ратного влияния характеристик процесса (концентрации загрязнения жидкости и
осадка) на характеристики среды (коэффициенты пористости, диффузии, массо-
обмена и т.п.) при моделировании процессов очистки жидкости от многокомпо-
нентных примесей в n-шаровом сорбционном фильтре.
РИС. 1. Схематичне зображення
n-шарового фільтра
Постановка задачи. Рассмотрим простран-
ственно одномерный процесс очистки жидкости
фильтрованием в n-шаровом фильтре-пласте
толщиной L (рис. 1), что отождествляется с
отрезком [ ]0, L оси 0x . Предположим [12], что
частицы загрязнения могут переходить с одного
состояния в другое (процессы захвата, отрыва,
сорбции, десорбции), при этом концентрация
загрязнения влияет на характеристики соответ-
ствующих шаров.
Концентрация загрязнения – многокомпо-
нентная, ( ) ( ) (1 1, ,..., ( , ) ,...,mc c x t c c с x t= = =
)..., ( , ) ,mc x t где ( , )ic x t − концентрация i -ой
компоненты примеси ( 1,i m= ) в жидкой филь-
трующейся среде. Соответствующую математи-
ческую модель процесса фильтрования с учетом
обратного влияния характеристик процесса
(концентрации загрязнения жидкости и осадка)
на характеристики среды (коэффициенты пористости, диффузии, массообмена и
т. п. [9 – 11]) представим в виде следующей задачи:
( )( ) ( )
( ) { }
( ) ( )
2
2
1
2
* 2
1
,
1, , , : , 0 , 1, 1,
,
i i i
i
n n n
m
i i
i
c vc c
D
t t x x
i m x t G x L x L t n l
q c D
t x
−
=
∂ σ ρ ∂∂ρ ∂+ + = ∂ ∂ ∂ ∂
= ∈ = < < < < ∞ = −
∂ρ ∂ ρ = β ρ − α ρ ρ + ∂ ∂
∑
(1)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРОВАНИЯ ЖИДКОСТЕЙ ...
Компьютерная математика. 2014, № 1 11
( )* *
0 0
( ), , 0, 0,i
i ix x
x L x L
c
c c t t
x x= =
= =
∂ ∂ρ= ρ = ρ = =
∂ ∂
( ) ( )* *
* *0 0
, ,i it t
c c x x
= =
= ρ = ρ (2)
[ ] 0,
n
i x L
c
=
= [ ] 0,
nx L=
ρ = , 0,
n
i
i n i
x L
c
D vc
dx =
∂ + =
* 0,
n
n
x L
D
dx =
∂ρ =
(3)
где ( , )x tρ – концентрация примесей, захваченных фильтрующей засыпкой;
( )β ρ – коэффициент, характеризующий объемы осаждения примесей за едини-
цу времени, ( ) ( )( )0 * ,x tβ ρ = β − εβ ρ ; ( )α ρ – коэффициент, характеризующий
объем частиц, оторванных за то же время от гранул засыпки, ( ( )α ρ =
)0 * ( , ) ;x t= α + εα ρ ( )*
ic t – концентрация примесей на входе фильтра; ( )σ ρ –
пористость фильтрующей засыпки, ( ) ( )0 * ,x tσ ρ = σ − εσ ρ , где 0σ – исходная
пористость засыпки,
( [ ]1,n nx L L−∈ );
,1 1
,
,
...
,
i
i
i n n
D b
D
D b
= ε
=
= ε
,
*1 *1
*
* *
,
... ,
,n n
D b
D
D b
= ε
=
= ε
0 * 0 * * *, , , , , , , ,k k ib b qβ β α α σ ε – твердые параметры, характеризующие соответ-
ствующие коэффициенты; ( ) ( ) ( ), , ,β ρ α ρ σ ρ – мягкие параметры, найденные
с учетом натурных экспериментальных данных; ε – малый параметр; v – ско-
рость фильтрования, [ ]1,n nL L− – n-й шар фильтра ( 1, 2, ...,n l= ), l – количество
шаров; в уравнениях (3) [ ] – прирост соответствующей функции в данной точке
.nx L=
Асимптотика решения. Асимптотическое приближение решения модель-
ной задачи
( )
( )
( )
( )
,1 0 1
,2 1 2
, 1
, , 0 ,
, , ,
,
...
, , ,
i
i
i
i n n n
c x t L x L
c x t L x L
c x t
c x t L x L L−
= ≤ <
≤ <=
≤ < =
, ( )
( )
( )
( )
1 0 1
2 1 2
1
, , ,
, , ,
,
...
, , ,n n n
x t L L x L
x t L x L
x t
x t L x L L−
ρ = ≤ <
ρ ≤ <ρ =
ρ ≤ < =
находим в виде асимптотических рядов [9 – 11]:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
, , ,0 , , , , , , , , , ,
1 0 0 0
, , , , , , , , ,
k k k m
j j j j
i n i n i n j i n j i n j i l j c i n
j j j j
c x t c x t c x t M t M t A t R x t
+ + +
= = = =
= + ε + ε ξ + ε ξ + ε ξ + ε∑ ∑ ∑ ∑ɶɶ
ɶ ɶ
А.Я. БОМБА, А.П. САФОНИК
Компьютерная математика. 2014, № 1 12
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1
/2 /2
,0 , , ,
1 0 0
, , , , ,
k k k
j j j
n n n j n j n j
j j j
x t x t x t P t P t
+ +
= = =
ρ =ρ + ε ρ + ε µ + ε µ +∑ ∑ ∑ ɶ ɶ
ɶ ɶ
( ) ( )
1
/2
, ,
0
, , , ,
m
j
l j n
j
B t R x t
+
ρ
=
+ ε µ + ε∑ (4)
где , , ,,c j n nR Rρ – остаточные члены; ( ), , , ,i n jc x t ( ), , ,n j x tρ ( 1, ;i m=
( 0, ; 0,j k n l= = ) – члены регулярных частей асимптотики; ( ), , ,i n jM tξ
ɶ ɶ
,
( ), , , ,i k jM tξɶɶ ( 1, ,i m= 0, 1j k= + ), ( ), ,n jP tµ
ɶ ɶ
, ( ), , ,n jP tµɶ ɶ , ( 0,2 1j k= + ,
0, 1n l= − ) – функции типа пограничного шара в окрестности точки nx L=
(поправки на переходе фильтрационного потока из одного данного n-го шара
фильтра в следующий), ( ), , , ,i l jA tξ ( ), ,l jB tµ ( 0, 1j m= + ) – функции типа по-
граничного шара в окрестности точки x L= (поправки на выходе фильтрацион-
ного течения), 1,x −ξ = ⋅ εɶ 1/2 ,x −µ = ⋅ εɶ 1( ) ,L x −ξ = − ⋅ εɶ 1/2( ) ,L x −µ = − ⋅ εɶ
1( ) ,L x −ξ = − ⋅ ε 1/2( )L x −µ = − ⋅ ε – соответствующие регуляризирующие пре-
образование. После подстановки (4) в (1) и применения стандартной «процеду-
ры приравнивания» для определения функций , , ,i n jc , ,n jρ 0,j k= [9], получаем
( ) ( ) ( )
, ,0 , ,0 0
0 , ,0 0 , ,0 0 ,0
1
, ,0 , ,0 , ,0 , ,00 0 00
0, ,
( ), , , ,
m
i n i n
i i n i i n n
i
i n i n n n i n i n n nx x tt
c c
v q c q c
t x t
c c t t c c x x
=
= = ==
∂ ∂ ∂ρ σ + + = = β − α ρ ∂ ∂ ∂
= ρ = ρ = ρ = ρ
∑
(5)
где
( ) ( )* *
, ( ), ( ),i n i nc t c t t t= ρ = ρ если 0n = , ( ) ( ), , 1,0 1, ,i n i n nc t c L t− −=
( ) ( )1,0 1, ,n n nt L t− −ρ = ρ если 1, ;n l=
, , , , , 1
* , 1 * , , , ,
,
* , 1 , , * , 1 ,
1
1, , 2, , , 1, ,0 0 0 0
, 2, ,0 0
,
,
0, 0, 0, 0,
0, 0, 1, , 1, , 1, 1;
i n j i n j n j
n j i i n j i n j
m
n j
n j i i n j n j n j
i
n j n j n j n jx x x t
n j n jt t
c c
v q c g
t x t
q c
t
c c c
c i m j k n l
−
−
− −
=
= = = =
= =
∂ ∂ ∂ρ
−σ ρ + − σ = ∂ ∂ ∂
∂ρ = −β ρ − α ρ ρ ∂
= = ρ = =
ρ = = = = = −
∑
(6)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРОВАНИЯ ЖИДКОСТЕЙ ...
Компьютерная математика. 2014, № 1 13
( ) ( ) ( ) ( )
( )
, 1 , ,0 , ,0 , ,0
, , ,0, ,0 , ,0
, 1, , ,0 , , , ,0
, 1,0 ,
( , ) ( , ) 0, ( , ) 0,
( , ) ( , ) 0, ( , ) 0,
, 0 , , 0 , ,
,
i n i n i n i n
i n i ni n i n
i n j n i n i n j n i n
i n x n i
b M t M t M t
b M t M t M t
c L t M t c L t M t
c L t M
− ξξ ξ ξ→∞
ξξ ξ ξ→−∞
− − − + +
− −
′′ ′ξ + ξ = ξ →
′′ ′ξ − ξ = ξ →
+ = +
′ ′+
ɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
( )( ) ( ) ( )( ),
,0 , ,0 , ,0
, 1
0 , , 0 , ;i n
n i n x n i n
i n
b
t c L t M t
bξ − − +ξ
−
′ ′= +
ɶ
ɶ
ɶ
(7)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
* 1 ,0 ,0 ,0
* ,0 ,0 ,0
1, ,0 , ,0
*
1,0 ,0 ,0
* 1
( , ) ( , ) 0, ( , ) 0,
( , ) ( , ) 0, ( , ) 0,
, 0 , , 0 , ,
, 0 ,
n n n n
n n n n
n j n n n j n n
n
n x n n n x n
n
b P t P t P t
b P t P t P t
L t P t L t P t
b
L t P t L
b
− µµ µ µ→∞
µµ µ µ→−∞
− − − + +
− − µ −
−
′′ ′µ + µ = µ →
′′ ′µ − µ = µ →
ρ + = ρ +
′ ′ ′ρ + = ρ
ɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
( ) ( )( ),0, 0 , ;nt P t− µ +
′+
ɶ
ɶ
(8)
( ) ( ) ( ) ( )
, 1 , ,0 , ,0 , ,0
, , , ,0, ,0 , ,0
, 1, , ,0 , , , ,0
( , ) ( , ) ( , ), ( , ) 0,
( , ) ( , ) ( , ), ( , ) 0,
, 0 , , 0 , ,
i n i n i n i n n
i n i n i ni n i n
i n j n i n i n j n i n
i
b M t M t m t M t
b M t M t m t M t
c L t M t c L t M t
c
− ξξ ξ ξ→∞
ξξ ξ ξ→−∞
− − − + +
′′ ′ξ + ξ = ξ ξ →
′′ ′ξ − ξ = ξ ξ →
+ = +
′
ɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶɶɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶɶ
ɶ
ɶ
( ) ( )( ) ( ) ( )( ),
, 1,0 , ,0 , ,0 , ,0
, 1
, 0 , , 0 , , 1, ;i n
n x n i n i n x n i n
i n
b
L t M t c L t M t i k
b− − ξ − − +ξ
−
′ ′ ′+ = + =
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
(9)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
* 1 ,0 ,0 ,0
* ,0 ,0 ,0
1, ,0 , ,0
1,0 ,0
( , ) ( , ) ( , ), ( , ) 0,
( , ) ( , ) ( , ), ( , ) 0,
, 0 , , 0 , ,
, 0 ,
n n n n n
n n n n n
n j n n n j n n
n x n n
b P t P t p t P t
b P t P t p t P t
L t P t L t P t
L t P t
− µµ µ µ→∞
µµ µ µ→−∞
− − − + +
− − µ −
′′ ′µ + µ = µ µ →
′′ ′µ − µ = µ µ →
ρ + = ρ +
′ ′ρ + =
ɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
( ) ( )( )*
,0 ,0
* 1
, 0 , , 1, ,n
n x n n
n
b
L t P t i k
b − µ +
−
′ ′ρ + =
ɶ
ɶ
(10)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
, , , , , , , , , 1, , , , , , , 0 , , 1,
, , , , ,
1 ,
0, , ;
j
i l i l j i l j i l j t i l j t i l j t i l j t
i l j i l j jj
b vA I I I j
A L t K t
A j B j B B A
A
ξξ ξ − −
ξξ→∞
′+ = + ε + +
′→ =
′′ ′ ′ ′ ′+ σ
(11)
А.Я. БОМБА, А.П. САФОНИК
Компьютерная математика. 2014, № 1 14
( ) ( ) ( ) ( ), ,* , , ,, , , ,0, 0, ;
jl j jl j l j l j tl j l j L t H tb x B x B B B B µµµ µ→∞
=′′ ′− α − = ′→
( )I a =
0, если четное,
1, если нечетное,
а
а
−
−
( ) ( ), , ,
0, 1,
, , 0,..., ,j
i l j x j
j m
K t
c L t j m
= += ′− =
( ) ( ), ,
0, 1,
, , 0,..., .j
l j x j
j m
H t
L t j m
= += ′−ρ =
В результате решения задач (4), (5) находим:
( )
* 0 0
,
, ,0
* 0
* ,
0
, ,
,
, ,
i
i
q x
v
i n
i n
q t
i n
x x
c t e t
v v
c x t
vt x
c x e t
v
σ σ − ⋅ ≥
=
σ− ⋅ < σ
( ) ( )0 0 *
,0 0 , ,0 *
10
( , ) ,
t m
t t
n i i n n
i
x t e q c x t e dt x−α α
=
ρ = β + ρ
∑∫
ɶ
ɶ ɶ ,
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )
,,
00
1 1
, ,
0 0
,,
, ,*
, 10
, ,
, ,
1
, ,
0
,
, ,
,,
, , ,
xx
n jn j
t t
n j n j
x f x t f x dxx f x t f x dx
x
i n j
n j
i n j
tf t f x t t dt f t f x t t dt
i n j
g x f x t f x ee
dx t f x
v x f x t f xc x t
e e g f t f x t t dt t f x
− −
λ + −− λ + −
−
− λ + − − λ + −
−
∫∫
+ −σ− ⋅ ≥
ρ + −=
∫ ∫
+ − <
∫
∫
ɶ
ɶ
ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
( )
( )
( )* , 1 * , 1
0 0
, ,2
, * , 1 , ,
10
( , ) , ( , ) ,
t t
n j n jtx t dt x t dt
n j n j i n j
i
x t e x t c x t e dt
− −−α ρ α ρ
−
=
∫ ∫ ρ = −β ρ
∑∫
ɶɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ
где ( )
2
, , 1
, , , , 12
, ,i n j
i n j i n i n j
c
g x t b q
x
−
−
∂
= + ρ
∂
( ) , 1
, *, ,n j
n j ix t q
t
−∂ρ
λ = − σ
∂
, ( , )i nm tξ
ɶ ɶ
= ( ) ( ) ( )2
, 1 , , * , , 11 ,
j
n j t n jt n jt i n j tI P I P I j Pj j M− −′ ′ ′+ ε + + ′+ σ
ɶ ɶ ɶ ɶ
, ( , )i nm tξɶ
ɶ
= ( ) ( ) ( )2
, 1 , , 0 , , 11 ,
j
n j t n jt n jt i n j tI P I P I j Pj j M− −′ ′ ′+ ε + + ′+ σɶ ɶ ɶ ɶ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРОВАНИЯ ЖИДКОСТЕЙ ...
Компьютерная математика. 2014, № 1 15
, 0 ,( , ) ,n j n jp t Pµ = −α
ɶɶ ɶ
, 0 ,( , ) ,n j n jp t Pµ = − α ɶɶ
ɶ
( )I a =
0, если четное,
1, если нечетное.
а
а
−
−
Приближенные значения функций ( )jf x находим путем [9 – 11] интерпо-
ляции массива ( ), ,i ix t 1, ,i k= где ,ix x i= ∆ ⋅ ( )1 * 1 , .i i j i i
x
t t x t
v+ −
∆= + σ ρ Оцен-
ка остаточных членов проводится аналогично [9].
Функции ( ), , , ,i n jM tξ
ɶ ɶ
( ), , , ,i n jM tξɶɶ ( ), , ,n jP tµ
ɶ ɶ
( ), , ,n jP tµɶ ɶ ( ), , , ,i l jA tξ
( ), ,l jB tµ находятся аналогично работе [10].
Числовые расчеты. Для упрощения изложений будем считать, что концен-
трация загрязнения двокомпонентная, тогда задача (1) – (3) перепишется в виде:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1 1 1
1 2
2
2 2 2
2 2
2
1 1 2 2 * 2
, , , ,,
,
, , , ,,
,
,
, , , ,
x t c x t v x t c x tx t c
D
t t x x
x t c x t v x t c x tx t c
D
t t x x
x t
q c x t q c x t x t D
t x
∂ σ ∂∂ρ ∂+ + = ∂ ∂ ∂ ∂
∂ σ ∂∂ρ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ ∂
∂ρ ∂ ρ= β ρ + − εα ρ ρ + ∂ ∂
(12)
* * 1 2
1 1 1 2 2 20 0 0 0
0 0
( ), 0, ( ), 0, 0, 0,
0, 0, 0,
x t x t
x L x L
x t
x L
c c
c c t c c c t c
x x
x
= = = =
= =
= =
=
∂ ∂= = = = = =
∂ ∂
∂ρρ = ρ = =
∂
(13)
[ ]1 0,
nx L
c
=
= [ ]2 0,
nx L
c
=
= [ ] 0,
nx L=
ρ =
1
1, 1 0,
n
n
x L
c
D vc
dx =
∂ + =
2
2, 2 0,
n
n
x L
c
D vc
dx =
∂ + =
* 0.
n
n
x L
D
dx =
∂ρ =
(14)
Приведем результаты расчетов по формулам (4) при *
1 ( ) 170c t = мг/л,
*
2 ( ) 35c t = мг/л, 0.8L = м; 1 / 360v = м/с; 0 0.3β = 1;с− 1 2 1;q q= =
0 0.0056α = 1;с−
0 0.5;σ = * 1;α = * 1;β = * 1;σ = * 1;b b= = 0.001.ε =
На рис. 2 показаны данные, полученные в результате натурных эксперимен-
А.Я. БОМБА, А.П. САФОНИК
Компьютерная математика. 2014, № 1 16
тов (отвечает индексу «ехр») согласно классической модели Минца (отвечает
индексу «М») [12] и рассчитанные по формулам (4) (отвечает индексу «р»).
Видим, что расчеты по формулам (4) более точны (ближе к экспериментальным
данным) сравнительно с классической моделью Минца. Результаты расчетов по-
казаны на рис. 3 (где время защитного действия фильтра [12] при 3n = и 4n =
практически не изменяется) подтверждают «экспериментальный факт», что для
обеспечения «практической эффективности» достаточно 3-шаровых фильтров
[13]. Полученные результаты дают возможность рассчитывать динамику про-
движения концентрации загрязнения и осадка вдоль фильтра.
РИС. 2. Графики распределения концентрации загрязнения на выходе фильтр в момент
времени t: 1 – за Минцом; 2 – по формулам (4):а – при 1n = – и б – при 2n =
РИС. 3. Графики распределения концентрации загрязнения на выходе фильтр в момент
времени t по формулам (4): а – при 3n = и б – 4n =
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРОВАНИЯ ЖИДКОСТЕЙ ...
Компьютерная математика. 2014, № 1 17
Выводы. Сформировано математическую модель очистки жидкостей от
многокомпонентных загрязнений в n-шаровом сорбционном фильтре, учиты-
вающую обратное влияние определяющих факторов (концентрации загрязнения
жидкости и осадка) на характеристики среды (коэффициенты пористости, диф-
фузии, массообмена и т. п.).
Построен алгоритм решения соответствующей модельной задачи. Приведены
результаты расчетов распределения концентрации примесей и массового объема
примесей по высоте фильтрующей пористой засыпки для разных моментов
времени и для разных количеств шаров. Проведена сравнительная характери-
стика данных, полученных экспериментальным путем, рассчитанных на основе
классической модели Минца и полученных нами в результате расчетов. Под-
тверждено эффективность предложенной модели (по сравнению с классической
моделью Минца) и существующую на данное время «практическую целесооб-
разность» использования 3-шаровых фильтров.
А.Я. Бомба, А.П. Сафоник
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ФІЛЬТРУВАННЯ РІДИН
ВІД БАГАТОКОМПОНЕНТНОГО ЗАБРУДНЕННЯ У N-ШАРОВИХ ФІЛЬТРАХ
Розглядаються та вирішуються питання врахування зворотного впливу характеристик проце-
су (концентрації забруднення рідини й осаду) на характеристики середовища (коефіцієнти
пористості, фільтрації, дифузії, масообміну тощо) під час моделювання процесів очищення
рідини від багатокомпонентних домішок у n-шаровому сорбційному фільтрі. Побудовано ал-
горитм числово-асимптотичного наближення розв’язку відповідної модельної задачі, що
описуються системою нелінійних сингулярно збурених диференціальних рівнянь типу «кон-
векція-дифузія-масообмін» і на цій основі проведено комп’ютерний експеримент.
A.J. Bomba, A.P. Safonyk
MATHEMATICAL MODELLING OF LIQUID FILTRATION
FROM A MULTICOMPONENT POLLUTION PROCESSES IN N-LAYER FILTERS
The problems of using the inverse influence of characteristics of process of concentration of liquid
contamination and sediment on the medium properties (coefficients of porosity, diffusion, mass
exchange, etc.) are considered and solved when a liquid purification process from multicomponent
impurities in n-layers sorption filters is modeled. The algorithm of numerical-asymptotic
approximation of the solution of the corresponding modeling problem which is described by a
system of nonlinear singularly perturbed differential equations of convection-diffusion-mass
exchange type is constructed and the computer experiment is carried out on this basis.
1. Elimelech M. Predicting collision efficiencies of colloidal particles in porous media // Water
Research. – 1992. – Vol. 26(1). – P. 1 – 8.
2. Elimelech M. Particle deposition on ideal collectors from dilute flowing suspensions: Mathemati-
cal formulation, numerical solution and simulations // Separations Technology. – 1994. –
Vol. 4. – P. 186 – 212.
А.Я. БОМБА, А.П. САФОНИК
Компьютерная математика. 2014, № 1 18
3. Jegatheesan V. Effect of surface chemistry in the transient stages of deep bed filtration. – PhD
Dissertation, University of Technology Sydney, 1999. – 300 p.
4. Johnson P.R. Dynamics of colloid deposition in porous media: Blocking based on random se-
quential adsorption // Langmuir, 1995. – Vol. 11(3). – P. 801 – 812.
5. Ison C.R. Removal mechanisms in deep bed filtration // Che. Eng. Sci. – 1969. –Vol. 24. –
P. 717 – 729.
6. Ives K.J. Theory of filtration, special subject No.7 // Int. Water Supply congress. – Vienna,
1969.
7. Ives K.J. Rapid filtration // Water Research. – 1970. – Vol. 4(3). – P. 201 – 223.
8. Petosa A.R., Jaisi D.P., Quevedo I.R. et all. Aggregation and Deposition of Engineered Nano-
materials in Aquatic Environments: Role of Physicochemical Interactions // Environmental
Science & Technology. – September 2010. – Vol. 44. – P. 6532 – 6549.
9. Бомба А. Я., Гаврилюк В.І, Сафоник А.П., Фурсачик О.А. Нелінійні задачі типу фільтра-
ція-конвекція-дифузія-масообмін за умов неповних даних // – Рівне: Національний уні-
версистет водного господарства та природокористування, 2011. – 276 с.
10. Бомба А.Я., Сафоник А.П. Математическое моделирование процесса фильтрования жид-
кости от многокомпонентного загрязнения с учетом обратного влияния характеристик
процесса на характеристики среды // Электронное моделирование: междунар. науч.-
теорет. журн. – 2012. – Том 34, № 3. – С. 47 – 58.
11. Бомба А.Я., Сафоник А.П. Математичне моделювання процесу магнітного очищення рі-
дин від багатокомпонентного забрудення // Вісник Харківського національного універ-
ситету серія «Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані сис-
теми управління». – 2012. – № 1037. – Вип. 20 – С. 18–27.
12. Минц Д.М. Теоретические основы технологии очистки воды. – М.: Стройиздат, 1964.
– 156 с.
13. Орлов В.О. Водоочисні фільтри із зернистою засипкою. – Рівне: НУВГП, 2005. – 163 с.
Получено 07.03.2014
Îá àâòîðàõ:
Бомба Андрей Ярославович,
доктор технических наук, профессор,
заведующий кафедры информатики и прикладной математики
Ровенского государственного гуманитарного университета,
Е-mail: abomba@ukr.net
Сафоник Андрей Петрович,
кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизации, электротехнических
и компьютерно-интегрированных технологий
Национального университета водного хозяйства и природопользования.
Е-mail: safonik@ukr.net
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84804 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:55:33Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. 2015-07-15T19:39:35Z 2015-07-15T19:39:35Z 2014 Математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в N-шаровых фильтрах / А.Я. Бомба, А.П. Сафоник // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 9-18. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84804 519.63:532.5 Рассматриваются и решаются вопросы учета обратного влияния характеристик процесса (концентрации загрязнения жидкости и осадка) на характеристики среды (коэффициенты пористости, диффузии, массообмена и т. п.) при моделировании процессов очистки жидкости от многокомпонентных примесей в n-шаровом сорбционном фильтре. Построен алгоритм численно-асимптотического приближения решения соответствующей модельной задачи, которая описывается системой нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений типа «конвекция-диффузия-массообмен» и, на этой основе, проведен компьютерный эксперимент. Розглядаються та вирішуються питання врахування зворотного впливу характеристик процесу (концентрації забруднення рідини й осаду) на характеристики середовища (коефіцієнти пористості, фільтрації, дифузії, масообміну тощо) під час моделювання процесів очищення рідини від багатокомпонентних домішок у n-шаровому сорбційному фільтрі. Побудовано алгоритм числово-асимптотичного наближення розв’язку відповідної модельної задачі, що описуються системою нелінійних сингулярно збурених диференціальних рівнянь типу «конвекція-дифузія-масообмін» і на цій основі проведено комп’ютерний експеримент. The problems of using the inverse influence of characteristics of process of concentration of liquid contamination and sediment on the medium properties (coefficients of porosity, diffusion, mass exchange, etc.) are considered and solved when a liquid purification process from multicomponent impurities in n-layers sorption filters is modeled. The algorithm of numerical-asymptotic approximation of the solution of the corresponding modeling problem which is described by a system of nonlinear singularly perturbed differential equations of convection-diffusion-mass exchange type is constructed and the computer experiment is carried out on this basis. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в N-шаровых фильтрах Математичне моделювання процесів фільтрування рідин від багатокомпонентного забруднення у N-шарових фільтрах Mathematical modelling of liquid filtration from a multicomponent pollution processes in n-layer filters Article published earlier |
| spellingShingle | Математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в N-шаровых фильтрах Бомба, А.Я. Сафоник, А.П. Математическое моделирование |
| title | Математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в N-шаровых фильтрах |
| title_alt | Математичне моделювання процесів фільтрування рідин від багатокомпонентного забруднення у N-шарових фільтрах Mathematical modelling of liquid filtration from a multicomponent pollution processes in n-layer filters |
| title_full | Математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в N-шаровых фильтрах |
| title_fullStr | Математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в N-шаровых фильтрах |
| title_full_unstemmed | Математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в N-шаровых фильтрах |
| title_short | Математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в N-шаровых фильтрах |
| title_sort | математическое моделирование процессов фильтрования жидкостей от многокомпонентного загрязнения в n-шаровых фильтрах |
| topic | Математическое моделирование |
| topic_facet | Математическое моделирование |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84804 |
| work_keys_str_mv | AT bombaaâ matematičeskoemodelirovanieprocessovfilʹtrovaniâžidkosteiotmnogokomponentnogozagrâzneniâvnšarovyhfilʹtrah AT safonikap matematičeskoemodelirovanieprocessovfilʹtrovaniâžidkosteiotmnogokomponentnogozagrâzneniâvnšarovyhfilʹtrah AT bombaaâ matematičnemodelûvannâprocesívfílʹtruvannârídinvídbagatokomponentnogozabrudnennâunšarovihfílʹtrah AT safonikap matematičnemodelûvannâprocesívfílʹtruvannârídinvídbagatokomponentnogozabrudnennâunšarovihfílʹtrah AT bombaaâ mathematicalmodellingofliquidfiltrationfromamulticomponentpollutionprocessesinnlayerfilters AT safonikap mathematicalmodellingofliquidfiltrationfromamulticomponentpollutionprocessesinnlayerfilters |