Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта
Предложен подход к построению численно-аналитического решения для определения звукового поля точечного гармонического источника в слоисто-неоднородном волноводе с условиями неидеального контакта. Исследованы свойства волноводной спектральной задачи с комплекснозначным несамосопряженным оператором и...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Компьютерная математика |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84805 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 19-25. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859531810041495552 |
|---|---|
| author | Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. |
| author_facet | Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. |
| citation_txt | Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 19-25. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Предложен подход к построению численно-аналитического решения для определения звукового поля точечного гармонического источника в слоисто-неоднородном волноводе с условиями неидеального контакта. Исследованы свойства волноводной спектральной задачи с комплекснозначным несамосопряженным оператором и получено численно-аналитическое решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца с условиями неидеального контакта.
Розглядається задача чисельного моделювання акустичних полів точкового гармонічного джерела в осесиметричних неоднорідних хвилеводах із умовами неідеального контакту. Досліджено властивості спектральної задачі з комплекснозначним несамоспряженим оператором та отримано розв’язок крайової задачі.
The problem of numerical simulation of acoustic fields of a point harmonic source in axisymmetric inhomogeneous waveguides with the conditions of non-ideal contact is considered. The properties of the spectral problem with a complex-valued non-self-conjugate operator are investigated and a solution of the boundary-value problem is obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-25T22:51:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2014, № 1 19
Предложен подход к построению
численно-аналитического решения
для определения звукового поля
точечного гармонического источ-
ника в слоисто-неоднородном вол-
новоде с условиями неидеального
контакта. Исследованы свойства
волноводной спектральной задачи
с комплекснозначным несамосоп-
ряженным оператором и полу-
чено численно-аналитическое ре-
шение краевой задачи для уравне-
ния Гельмгольца с условиями не-
идеального контакта.
А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая, 2014
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ
Компьютерная математика. 2014, № 1 20
УДК 517.9:519.6
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАД-
КАЯ
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ
АКУСТИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ В СРЕДАХ С
УСЛОВИЯМИ
НЕИДЕАЛЬНОГО
КОНТАКТА
Введение. Исследование ши-
рокого класса научно-
технических задач, связанных
с моделированием и оптими-
зацией распространения аку-
стической энергии в неогра-
ниченных неоднородных
средах требует разработки
численно-аналитических ме-
тодов решения краевых задач
для волнового уравнения
Гельмгольца [1, 2]. Особый
интерес представляют вопро-
сы математического модели-
рования звуковых полей в
слоисто-неоднородных вол-
новодах с учетом тонких
включений.
В данной работе рассмат-
риваются вопросы вычисле-
ния акустического поля ме-
тодом нормальных волн в
осесимметричном волноводе
с кусочно-непрерывными
(кусочно-по-стоянными) аку-
стическими параметрами и
условими неидеального кон-
такта. Использование метода
нормальных волн требует
исследования вспомогатель-
ной спектральной задачи с
комплекснозначным несамосопряженным
оператором. При этом для моделирования
задач распространения акустической энергии
на большие от источника расстояния нужно
учитывать все волны, соответствующие соб-
ственным значениям с положительной дей-
ствительной частью.
Отметим, что вопросы численного реше-
ния краевых задач для уравнений математи-
ческой физики с разрывными решениями
(потоками) рассматривались в работах [3, 4].
Постановка задачи. Рассмотрим задачу
отыскания звукового поля в слоисто-неодно-
родном осесимметричном волноводе
{ }0 , 0 ,HG r z H= < < ∞ < <
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ …
Компьютерная математика. 2014, № 1 21
где ),( zr – цилиндрические координаты и ось z направлены вертикально вниз,
предполагая, что распространение акустической энергии описывается волновым
уравнением Гельмгольца.
Для определенности будем считать, что HG – двухслойный осесимметрич-
ный волновод с горизонтальной линией раздела γ :
( ){ }HzrzrGGGH <<∞<<=γ= 0 ,0 ,,21 UU , ( ){ }ξ=∞<<=γ zrzr ,0 ,, ,
где ( ){ }ξ<<∞<<= zrzrG 0 ,0 ,,1 , ( ){ }HzrzrG <<ξ∞<<= ,0 ,,2 .
Предположим, что верхний слой 1G с абсолютно мягкой верхней границей
0=z заполнен средой с плотностью 1ρ , скоростью звука (z)1c и коэффициен-
том поглощения 0)(1 ≥υ z . Нижний слой 2G характеризуется постоянной плот-
ностью 2ρ , скоростью звука (z)2c , коэффициентом поглощения 0)(2 ≥υ z .
Таким образом, акустические параметры можно описать соотношениями
<<ξ
ξ<<
=
; ),(
,0 ),(
)(
2
1
Hzzc
zzc
zc
<<ξυ
ξ<<υ
=υ
; ),(
,0 ),(
)(
2
1
Hzz
zz
z
<<ξρ
ξ<<ρ
=ρ
. ,
,0 ,
)(
2
1
Hz
z
z
Поэтому расчет звукового поля точечного гармонического источника в не-
однородной области HG с тонким включением γ сводится к отысканию реше-
ния уравнения Гельмгольца с комплекснозначным несамосопряженным опера-
тором [2]
( ) ( )2 2 0
0
1 1
( ) ( ( ) ( ))
( ) 2
r z zp p p
r z k n z i z p
r r r z z z r
δ δ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ρ + + υ = − ∂ ∂ ∂ ρ ∂ π
, (1)
( ) ( )Hz ,,0 ξξ∈ U , ∞<< r0 ,
удовлетворяющего условиям неидеального контакта на границе раздела сред γ
0
11
)(
1
0102 11
=
∂
∂
ρ
−
∂
∂
ρ
=
∂
∂
ρ −ξ=+ξ=ξ= zzz z
p
z
p
z
p
z
, (2)
[ ] )/(1,
)(
1
0dp
z
p
z z
ρ=αα=
∂
∂
ρ ξ=
±
, (3)
граничным условиям
0
0
==z
p , 0=
∂
∂
=Hzz
p
, (4)
а также условиям излучения на бесконечности.
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ
Компьютерная математика. 2014, № 1 22
Здесь −),( zrp комплекснозначное акустическое давление гармонического
источника с координатами ( ) ( )0,0, zzr = , ξ<< 00 z ; 1−=i – мнимая единица;
00 ck /ω= – волновое число; ω – частота; )(/)( 0 zcczn = – коэффициент пре-
ломления; 0c – некоторое значение скорости звука )(zc ; −⋅δ )( дельта-функция
Дирака; [ ]( , ) , ( , 0)
z
p r z p p p p r+ − ±
=ξ
= − = ξ ± – скачок ),( zrp на γ .
Следуя [3, 4] можно показать, что условия неидеального контакта (2), (3)
описывают влияние тонкой прослойки с плотностью 0ρ и толщиной ,d заменяя
ее линией раздела .γ
Численное исследование волновой задачи. Для построения численно-
аналитического решения задачи (1) – (4) методом нормальных мод рассмотрим
вспомогательную спектральную задачу
( ) ϕ
ρ
λ=ϕ
ρ
+
∂
ϕ
ρ∂ )(
1
)()(
1 2
2
zz
zk
z
d
zz
d
, ( ) ),(,0 Hz ξξ∈ U , (5)
0
)(
1 =
∂
ϕ∂
ρ ξ=zzz
, [ ] )/(1,
)(
1
0d
zz z
ρ=αϕα=
∂
ϕ∂
ρ ξ=
±
, (6)
( ) 00 =ϕ , 0=
∂
ϕ∂
=Hzz
. (7)
Для исследования свойств спектральной задачи (5) – (7) представим ее в ви-
де операторного уравнения
( )
2,
1 λ=µϕ
ρ
µ=ϕ
z
A , ( )AD∈ϕ , (8)
где
( )
)()(
1 2
z
zk
d
d
zdz
d
A
ρ
+
ρ
= , 2 2 2
0( ) ( ( ) ( )).k z k n z i z= + υ
Область определения ( )AD оператора A состоит из множества непрерыв-
ных на [ ]H,0 комплекснозначных функций, которые непрерывно дифференци-
руемые на отрезках [ ]1,0 ξ , [ ]H,ξ и удовлетворяют условиям (6), (7). Скалярное
произведение и норма в ( )HL ,02 определяются формулами:
( ) ( ) ( )∫=
H
0
dzzvzuu,v , ( )u,uu = .
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ …
Компьютерная математика. 2014, № 1 23
Умножая (8) скалярно на функцию ( )AD∈ψ и интегрируя по частям, легко
показать, что для оператора A справедливо соотношение:
( ) ( )ψϕ=ψϕ+ψϕ=ψϕ ∗
ξ
ξ
∫∫ AdzAdzAA
H
,,
0
, ( )AD, ∈ϕψ , (9)
где
( )
)((
1 2
z
zk
dz
d
zdz
d
A
ρ
+
ρ
=∗ .
Из соотношения (10) следует, что сопряженный оператор *A имеет вид
AA =* и при 0Im =k AA =* . В последнем случае все собственные значения
задачи (6) – (8) вещественны и могут быть упорядочены
[ ]
( )2 2 2 2
1 2
0,
max n
z H
k z
∈
> λ > λ > > λ > → −∞K K ,
а соответствующие им собственные функции действительны и образуют полную
ортогональную систему в ( ),HL 02 с весом ρ/1 . В общем случае ( 0Im >k ) все
собственные значения задачи (5) – (7) являются комплексными.
Имеет место следующее утверждение.
Лемма. Собственные функции , ,n mϕ ϕ соответствующие различным собст-
венным значениям ,n mµ µ ( n mµ ≠ µ ) задачи (5) – (7) образуют биортогональную
с весом ρ/1 систему, т. е. выполняются соотношения
2
0, ,1
( / , )
( ) , .
H
n m n m
n0
n m
dz
z n m
≠
ϕ ρ ϕ = ϕ ϕ = ρ γ =
∫
Отметим, что 02 >γn при 0Im =k и ∈γ2
n С, если 0Im >k .
Действительно, так как ,n mϕ ϕ – собственные функции, соответствующие
различным собственным значениям ,n mµ µ , то
( )
1
,n n nA
z
ϕ = µ ϕ
ρ
( )
1
.m m mA
z
ϕ = µ ϕ
ρ
Учитывая, что
( )21
,
( ( )
k zd d
A A
dz z dz z
∗ = = + ρ ρ
( )
1
,m m mA
z
ϕ = µ ϕ
ρ
получаем
( )
1
.m m m mA A
z
∗ϕ = ϕ = µ ϕ
ρ
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ
Компьютерная математика. 2014, № 1 24
Тогда имеем
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
, , , , ,n m n m n m n m m m n mA A A
z z
∗
φ φ = φ φ = ϕ ϕ = ϕ µ ϕ = µ ϕ ϕ ρ ρ
(10)
и
( ) ( )
1
, , .n m n n mA
z
ϕ ϕ = µ ϕ ϕ ρ
(11)
Вычитая (11) из (10), получаем
( ) ( )
1
, ( ) , 0.n m n m n mA
z
ϕ ϕ = µ − µ ϕ ϕ = ρ
Поскольку n mµ ≠ µ , то окончательно получим ( / , ) 0.n mϕ ρ ϕ =
Кроме приведенных свойств получим оценку снизу и сверху для собствен-
ных значений задачи (5) – (7). Покажем, что имеют место неравенства
2 2
0 0
Re max Re ( ), 0 Im max Im ( ).
z H z H
k z k z
≤ ≤ ≤ ≤
µ < < µ ≤ (12)
Для доказательства операторное уравнение (8) скалярно умножим на ϕ . Учиты-
вая условия сопряжения (6) и граничные условия (7), получаем тождество
[ ]
222 22
0 0 0
1 1 1
( ) ( ) ( ) .
( ) ( ) ( )
H H H
z
d
z dz dz k z z dz
z z dz z=ξ
ϕµ ϕ = − α ϕ − + ϕ
ρ ρ ρ∫ ∫ ∫ (13)
Отделяя здесь вещественную часть, получаем
[ ]
222 22
0 0 0
1 1 1
Re( ) ( ) Re( ( )) ( ) .
( ) ( ) ( )
H H H
z
d
z dz dz k z z dz
z z dz z=ξ
ϕµ ϕ = − α ϕ − + ϕ
ρ ρ ρ∫ ∫ ∫
Отсюда, учитывая условие 2Re ( ) 0k z > следует, что
2Re max Re( ( ))
z
k zµ ≤ , 2 2 2
0Re ( ) ( ).k z k n z=
Аналогично, отделяя мнимую часть в тождестве (13), находим
2 22
0 0
1 1
Im ( ) Im( ( )) ( ) ,
( ) ( )
H H
z dz k z z dz
z z
µ ϕ = ϕ
ρ ρ∫ ∫
2 2
0Im ( ) ( ))k z k z= υ
откуда вытекает справедливость второго неравенства (12).
Следуя [2], может быть установлена следующая теорема.
Теорема. Численно-аналитическое решение краевой задачи (1) – (4) можно
представить в виде суммы нормальных волн
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ …
Компьютерная математика. 2014, № 1 25
(1) 2
0 0
10
( , ) ( ) ( ) ( ) / ,
4 ( ) n n n n
n
i
p r z z z H r
z
∞
=
= ϕ ϕ λ γ
ρ ∑ (14)
где ( ) )(1
0 ⋅H – функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, 2 ,nλ ( )n zϕ –
собственные значения и соответствующие собственные функции спектральной
задачи (5) – (7).
Для численного решения спектральной задачи введем равномерную сетку
{ }hnHhNNnnhjjhzz jh 111 ,,,,1,,,,0, =ξ=+====ω KK .
Тогда дифференциальной задаче (5) – (7) можно поставить в соответствие раз-
ностную схему, которую запишем в операторной форме
( ) , ,hAy a z y z= µ ∈ ω 0 0,y =
где hω – множество внутренних узлов, а линейный оператор A определяется
по формулам:
2
2
1 1
2
2 2
2
2 2
( ( ) ) ( ) ( ) , 0, , ( ) 1 / ( ( 0,5 )),
2 1 1
( ) ( 0) , 0,
2 1 1
( ) ( 0) , 0,
2 1 1
( ) , .
zz
z
z
z
a z k z a z y y y H a z z h
y y y k y z
h
Ay
y y y k y z
h
y k z y z N
h
+ −
+ −
+ ≠ ξ ± ≠ = ρ −
α − − + ξ − ≠ ξ − ρ ρ =
−α − + + ξ + ≠ ξ + ρ ρ
− + =
ρ ρ
Здесь сеточная комплекснозначная функция )(zy имеет при 1z n h= ξ = два
значения ,y± аппроксимирующие ( 0) ,±ϕ ξ ± = ϕ и приняты обозначения тео-
рии разностных схем [5].
Пусть hω – пространство сеточных комплекснозначных функций, опреде-
ленных на ,hω принимающих нулевые значения при 0z = и имеющих разрыв
при z = ξ . Обозначим 1/2
1 2( , ) ( , ) ( , ) , ( , )y v y v y v y y y= + = скалярное произ-
ведение и норму в ,hω где
1 1
1
1
( , ) 0,5
j n
j j
j
y v y v h y v h
= −
− −
=
= + ∑ ,
1
1
2
1
( , ) 0,5 0,5
j N
N N j j
j n
y v y v h y v h y v h
= −
+ +
= +
= + + ∑ .
Пользуясь второй разностной формулой Грина [5], можно показать самосо-
пряженность разностного оператора A в случае 2Im ( ) 0,k z = ( , ) ( , ).Ay v y Av=
А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ
Компьютерная математика. 2014, № 1 26
Заключение. Рассмотренный в работе подход позволяет проводить числен-
ное моделирование звуковых полей в неоднородных волноводах с условиями
неидеального контакта и расширить класс задач, связанных с исследованием
акустических полей.
А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая
ПРО ДОСЛІДЖЕННЯ АКУСТИЧНИХ ПОЛІВ У СЕРЕДОВИЩАХ
ІЗ УМОВАМИ НЕІДЕАЛЬНОГО КОНТАКТУ
Розглядається задача чисельного моделювання акустичних полів точкового гармонічного
джерела в осесиметричних неоднорідних хвилеводах із умовами неідеального контакту.
Досліджено властивості спектральної задачі з комплекснозначним несамоспряженим опера-
тором та отримано розв’язок крайової задачі.
A.V. Gladky, J.A. Gladka
ABOUT INVESTIGATION OF ACOUSTIC FIELDS IN NONIDEAL CONTACT DOMAINS
The problem of numerical simulation of acoustic fields of a point harmonic source in axisymmetric
inhomogeneous waveguides with the conditions of non-ideal contact is considered. The properties
of the spectral problem with a complex-valued non-self-conjugate operator are investigated and a
solution of the boundary-value problem is obtained.
1. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. – Л.: Гидроме-
теоиздат, 1982. – 264 с.
2. Гладкий А.В., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Численно-аналитические методы исследо-
вания волновых процессов. – Киев: Наук. думка, 2001. – 453 с.
3. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. – М.:
Наука, 1976. – 352 с.
4. Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и иссле-
дование процессов в неоднородных средах. – Киев: Наук. думка, 1991. – 432 с.
5. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. – М.: Наука, 1973. – 416 с.
Получено 15.01.2014
Об авторах:
Гладкий Анатолий Васильевич,
доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий отделом Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Е-mail: gladky@ukr.net
Гладкая Юлия Анатольевна,
доцент Киевского национального торгово-экономического университета.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84805 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T22:51:42Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. 2015-07-15T19:41:37Z 2015-07-15T19:41:37Z 2014 Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 19-25. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84805 517.9:519.6 Предложен подход к построению численно-аналитического решения для определения звукового поля точечного гармонического источника в слоисто-неоднородном волноводе с условиями неидеального контакта. Исследованы свойства волноводной спектральной задачи с комплекснозначным несамосопряженным оператором и получено численно-аналитическое решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца с условиями неидеального контакта. Розглядається задача чисельного моделювання акустичних полів точкового гармонічного джерела в осесиметричних неоднорідних хвилеводах із умовами неідеального контакту. Досліджено властивості спектральної задачі з комплекснозначним несамоспряженим оператором та отримано розв’язок крайової задачі. The problem of numerical simulation of acoustic fields of a point harmonic source in axisymmetric inhomogeneous waveguides with the conditions of non-ideal contact is considered. The properties of the spectral problem with a complex-valued non-self-conjugate operator are investigated and a solution of the boundary-value problem is obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Математическое моделирование Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта Про дослідження акустичних полів у середовищах із умовами неідеального контакту About investigation of acoustic fields in nonideal contact domains Article published earlier |
| spellingShingle | Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта Гладкий, А.В. Гладкая, Ю.А. Математическое моделирование |
| title | Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта |
| title_alt | Про дослідження акустичних полів у середовищах із умовами неідеального контакту About investigation of acoustic fields in nonideal contact domains |
| title_full | Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта |
| title_fullStr | Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта |
| title_full_unstemmed | Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта |
| title_short | Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта |
| title_sort | об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта |
| topic | Математическое моделирование |
| topic_facet | Математическое моделирование |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84805 |
| work_keys_str_mv | AT gladkiiav obissledovaniiakustičeskihpoleivsredahsusloviâmineidealʹnogokontakta AT gladkaâûa obissledovaniiakustičeskihpoleivsredahsusloviâmineidealʹnogokontakta AT gladkiiav prodoslídžennâakustičnihpolívuseredoviŝahízumovamineídealʹnogokontaktu AT gladkaâûa prodoslídžennâakustičnihpolívuseredoviŝahízumovamineídealʹnogokontaktu AT gladkiiav aboutinvestigationofacousticfieldsinnonidealcontactdomains AT gladkaâûa aboutinvestigationofacousticfieldsinnonidealcontactdomains |