Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта

Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта

Предложен подход к построению численно-аналитического решения для определения звукового поля точечного гармонического источника в слоисто-неоднородном волноводе с условиями неидеального контакта. Исследованы свойства волноводной спектральной задачи с комплекснозначным несамосопряженным оператором и...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Компьютерная математика
Datum:2014
Hauptverfasser: Гладкий, А.В., Гладкая, Ю.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Schlagworte:
Математическое моделирование
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84805
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 19-25. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84805
record_format dspace
spelling Гладкий, А.В.
Гладкая, Ю.А.
2015-07-15T19:41:37Z
2015-07-15T19:41:37Z
2014
Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 19-25. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
ХХХХ-0003
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84805
517.9:519.6
Предложен подход к построению численно-аналитического решения для определения звукового поля точечного гармонического источника в слоисто-неоднородном волноводе с условиями неидеального контакта. Исследованы свойства волноводной спектральной задачи с комплекснозначным несамосопряженным оператором и получено численно-аналитическое решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца с условиями неидеального контакта.
Розглядається задача чисельного моделювання акустичних полів точкового гармонічного джерела в осесиметричних неоднорідних хвилеводах із умовами неідеального контакту. Досліджено властивості спектральної задачі з комплекснозначним несамоспряженим оператором та отримано розв’язок крайової задачі.
The problem of numerical simulation of acoustic fields of a point harmonic source in axisymmetric inhomogeneous waveguides with the conditions of non-ideal contact is considered. The properties of the spectral problem with a complex-valued non-self-conjugate operator are investigated and a solution of the boundary-value problem is obtained.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Компьютерная математика
Математическое моделирование
Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта
Про дослідження акустичних полів у середовищах із умовами неідеального контакту
About investigation of acoustic fields in nonideal contact domains
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта
spellingShingle Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта
Гладкий, А.В.
Гладкая, Ю.А.
Математическое моделирование
title_short Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта
title_full Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта
title_fullStr Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта
title_full_unstemmed Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта
title_sort об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта
author Гладкий, А.В.
Гладкая, Ю.А.
author_facet Гладкий, А.В.
Гладкая, Ю.А.
topic Математическое моделирование
topic_facet Математическое моделирование
publishDate 2014
language Russian
container_title Компьютерная математика
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Про дослідження акустичних полів у середовищах із умовами неідеального контакту
About investigation of acoustic fields in nonideal contact domains
description Предложен подход к построению численно-аналитического решения для определения звукового поля точечного гармонического источника в слоисто-неоднородном волноводе с условиями неидеального контакта. Исследованы свойства волноводной спектральной задачи с комплекснозначным несамосопряженным оператором и получено численно-аналитическое решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца с условиями неидеального контакта. Розглядається задача чисельного моделювання акустичних полів точкового гармонічного джерела в осесиметричних неоднорідних хвилеводах із умовами неідеального контакту. Досліджено властивості спектральної задачі з комплекснозначним несамоспряженим оператором та отримано розв’язок крайової задачі. The problem of numerical simulation of acoustic fields of a point harmonic source in axisymmetric inhomogeneous waveguides with the conditions of non-ideal contact is considered. The properties of the spectral problem with a complex-valued non-self-conjugate operator are investigated and a solution of the boundary-value problem is obtained.
issn ХХХХ-0003
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84805
citation_txt Об исследовании акустических полей в средах с условиями неидеального контакта / А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 19-25. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT gladkiiav obissledovaniiakustičeskihpoleivsredahsusloviâmineidealʹnogokontakta
AT gladkaâûa obissledovaniiakustičeskihpoleivsredahsusloviâmineidealʹnogokontakta
AT gladkiiav prodoslídžennâakustičnihpolívuseredoviŝahízumovamineídealʹnogokontaktu
AT gladkaâûa prodoslídžennâakustičnihpolívuseredoviŝahízumovamineídealʹnogokontaktu
AT gladkiiav aboutinvestigationofacousticfieldsinnonidealcontactdomains
AT gladkaâûa aboutinvestigationofacousticfieldsinnonidealcontactdomains
first_indexed 2025-11-25T22:51:42Z
last_indexed 2025-11-25T22:51:42Z
_version_ 1850575207766425600
fulltext Компьютерная математика. 2014, № 1 19 Предложен подход к построению численно-аналитического решения для определения звукового поля точечного гармонического источ- ника в слоисто-неоднородном вол- новоде с условиями неидеального контакта. Исследованы свойства волноводной спектральной задачи с комплекснозначным несамосоп- ряженным оператором и полу- чено численно-аналитическое ре- шение краевой задачи для уравне- ния Гельмгольца с условиями не- идеального контакта.  А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая, 2014 А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ Компьютерная математика. 2014, № 1 20 УДК 517.9:519.6 А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАД- КАЯ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В СРЕДАХ С УСЛОВИЯМИ НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА Введение. Исследование ши- рокого класса научно- технических задач, связанных с моделированием и оптими- зацией распространения аку- стической энергии в неогра- ниченных неоднородных средах требует разработки численно-аналитических ме- тодов решения краевых задач для волнового уравнения Гельмгольца [1, 2]. Особый интерес представляют вопро- сы математического модели- рования звуковых полей в слоисто-неоднородных вол- новодах с учетом тонких включений. В данной работе рассмат- риваются вопросы вычисле- ния акустического поля ме- тодом нормальных волн в осесимметричном волноводе с кусочно-непрерывными (кусочно-по-стоянными) аку- стическими параметрами и условими неидеального кон- такта. Использование метода нормальных волн требует исследования вспомогатель- ной спектральной задачи с комплекснозначным несамосопряженным оператором. При этом для моделирования задач распространения акустической энергии на большие от источника расстояния нужно учитывать все волны, соответствующие соб- ственным значениям с положительной дей- ствительной частью. Отметим, что вопросы численного реше- ния краевых задач для уравнений математи- ческой физики с разрывными решениями (потоками) рассматривались в работах [3, 4]. Постановка задачи. Рассмотрим задачу отыскания звукового поля в слоисто-неодно- родном осесимметричном волноводе { }0 , 0 ,HG r z H= < < ∞ < < ОБ ИССЛЕДОВАНИИ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ … Компьютерная математика. 2014, № 1 21 где ),( zr – цилиндрические координаты и ось z направлены вертикально вниз, предполагая, что распространение акустической энергии описывается волновым уравнением Гельмгольца. Для определенности будем считать, что HG – двухслойный осесимметрич- ный волновод с горизонтальной линией раздела γ : ( ){ }HzrzrGGGH <<∞<<=γ= 0 ,0 ,,21 UU , ( ){ }ξ=∞<<=γ zrzr ,0 ,, , где ( ){ }ξ<<∞<<= zrzrG 0 ,0 ,,1 , ( ){ }HzrzrG <<ξ∞<<= ,0 ,,2 . Предположим, что верхний слой 1G с абсолютно мягкой верхней границей 0=z заполнен средой с плотностью 1ρ , скоростью звука (z)1c и коэффициен- том поглощения 0)(1 ≥υ z . Нижний слой 2G характеризуется постоянной плот- ностью 2ρ , скоростью звука (z)2c , коэффициентом поглощения 0)(2 ≥υ z . Таким образом, акустические параметры можно описать соотношениями    <<ξ ξ<< = ; ),( ,0 ),( )( 2 1 Hzzc zzc zc    <<ξυ ξ<<υ =υ ; ),( ,0 ),( )( 2 1 Hzz zz z    <<ξρ ξ<<ρ =ρ . , ,0 , )( 2 1 Hz z z Поэтому расчет звукового поля точечного гармонического источника в не- однородной области HG с тонким включением γ сводится к отысканию реше- ния уравнения Гельмгольца с комплекснозначным несамосопряженным опера- тором [2] ( ) ( )2 2 0 0 1 1 ( ) ( ( ) ( )) ( ) 2 r z zp p p r z k n z i z p r r r z z z r δ δ − ∂ ∂ ∂ ∂  + ρ + + υ = −   ∂ ∂ ∂ ρ ∂ π    , (1) ( ) ( )Hz ,,0 ξξ∈ U , ∞<< r0 , удовлетворяющего условиям неидеального контакта на границе раздела сред γ 0 11 )( 1 0102 11 = ∂ ∂ ρ − ∂ ∂ ρ =      ∂ ∂ ρ −ξ=+ξ=ξ= zzz z p z p z p z , (2) [ ] )/(1, )( 1 0dp z p z z ρ=αα=       ∂ ∂ ρ ξ= ± , (3) граничным условиям 0 0 ==z p , 0=      ∂ ∂ =Hzz p , (4) а также условиям излучения на бесконечности. А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ Компьютерная математика. 2014, № 1 22 Здесь −),( zrp комплекснозначное акустическое давление гармонического источника с координатами ( ) ( )0,0, zzr = , ξ<< 00 z ; 1−=i – мнимая единица; 00 ck /ω= – волновое число; ω – частота; )(/)( 0 zcczn = – коэффициент пре- ломления; 0c – некоторое значение скорости звука )(zc ; −⋅δ )( дельта-функция Дирака; [ ]( , ) , ( , 0) z p r z p p p p r+ − ± =ξ = − = ξ ± – скачок ),( zrp на γ . Следуя [3, 4] можно показать, что условия неидеального контакта (2), (3) описывают влияние тонкой прослойки с плотностью 0ρ и толщиной ,d заменяя ее линией раздела .γ Численное исследование волновой задачи. Для построения численно- аналитического решения задачи (1) – (4) методом нормальных мод рассмотрим вспомогательную спектральную задачу ( ) ϕ ρ λ=ϕ ρ +      ∂ ϕ ρ∂ )( 1 )()( 1 2 2 zz zk z d zz d , ( ) ),(,0 Hz ξξ∈ U , (5) 0 )( 1 =      ∂ ϕ∂ ρ ξ=zzz , [ ] )/(1, )( 1 0d zz z ρ=αϕα=       ∂ ϕ∂ ρ ξ= ± , (6) ( ) 00 =ϕ , 0=      ∂ ϕ∂ =Hzz . (7) Для исследования свойств спектральной задачи (5) – (7) представим ее в ви- де операторного уравнения ( ) 2, 1 λ=µϕ ρ µ=ϕ z A , ( )AD∈ϕ , (8) где ( ) )()( 1 2 z zk d d zdz d A ρ +      ρ = , 2 2 2 0( ) ( ( ) ( )).k z k n z i z= + υ Область определения ( )AD оператора A состоит из множества непрерыв- ных на [ ]H,0 комплекснозначных функций, которые непрерывно дифференци- руемые на отрезках [ ]1,0 ξ , [ ]H,ξ и удовлетворяют условиям (6), (7). Скалярное произведение и норма в ( )HL ,02 определяются формулами: ( ) ( ) ( )∫= H 0 dzzvzuu,v , ( )u,uu = . ОБ ИССЛЕДОВАНИИ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ … Компьютерная математика. 2014, № 1 23 Умножая (8) скалярно на функцию ( )AD∈ψ и интегрируя по частям, легко показать, что для оператора A справедливо соотношение: ( ) ( )ψϕ=ψϕ+ψϕ=ψϕ ∗ ξ ξ ∫∫ AdzAdzAA H ,, 0 , ( )AD, ∈ϕψ , (9) где ( ) )(( 1 2 z zk dz d zdz d A ρ +      ρ =∗ . Из соотношения (10) следует, что сопряженный оператор *A имеет вид AA =* и при 0Im =k AA =* . В последнем случае все собственные значения задачи (6) – (8) вещественны и могут быть упорядочены [ ] ( )2 2 2 2 1 2 0, max n z H k z ∈ > λ > λ > > λ > → −∞K K , а соответствующие им собственные функции действительны и образуют полную ортогональную систему в ( ),HL 02 с весом ρ/1 . В общем случае ( 0Im >k ) все собственные значения задачи (5) – (7) являются комплексными. Имеет место следующее утверждение. Лемма. Собственные функции , ,n mϕ ϕ соответствующие различным собст- венным значениям ,n mµ µ ( n mµ ≠ µ ) задачи (5) – (7) образуют биортогональную с весом ρ/1 систему, т. е. выполняются соотношения 2 0, ,1 ( / , ) ( ) , . H n m n m n0 n m dz z n m ≠ ϕ ρ ϕ = ϕ ϕ = ρ γ = ∫ Отметим, что 02 >γn при 0Im =k и ∈γ2 n С, если 0Im >k . Действительно, так как ,n mϕ ϕ – собственные функции, соответствующие различным собственным значениям ,n mµ µ , то ( ) 1 ,n n nA z ϕ = µ ϕ ρ ( ) 1 .m m mA z ϕ = µ ϕ ρ Учитывая, что ( )21 , ( ( ) k zd d A A dz z dz z ∗  = = + ρ ρ  ( ) 1 ,m m mA z ϕ = µ ϕ ρ получаем ( ) 1 .m m m mA A z ∗ϕ = ϕ = µ ϕ ρ А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ Компьютерная математика. 2014, № 1 24 Тогда имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , , ,n m n m n m n m m m n mA A A z z ∗     φ φ = φ φ = ϕ ϕ = ϕ µ ϕ = µ ϕ ϕ   ρ ρ    (10) и ( ) ( ) 1 , , .n m n n mA z   ϕ ϕ = µ ϕ ϕ ρ  (11) Вычитая (11) из (10), получаем ( ) ( ) 1 , ( ) , 0.n m n m n mA z   ϕ ϕ = µ − µ ϕ ϕ = ρ  Поскольку n mµ ≠ µ , то окончательно получим ( / , ) 0.n mϕ ρ ϕ = Кроме приведенных свойств получим оценку снизу и сверху для собствен- ных значений задачи (5) – (7). Покажем, что имеют место неравенства 2 2 0 0 Re max Re ( ), 0 Im max Im ( ). z H z H k z k z ≤ ≤ ≤ ≤ µ < < µ ≤ (12) Для доказательства операторное уравнение (8) скалярно умножим на ϕ . Учиты- вая условия сопряжения (6) и граничные условия (7), получаем тождество [ ] 222 22 0 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) H H H z d z dz dz k z z dz z z dz z=ξ ϕµ ϕ = − α ϕ − + ϕ ρ ρ ρ∫ ∫ ∫ (13) Отделяя здесь вещественную часть, получаем [ ] 222 22 0 0 0 1 1 1 Re( ) ( ) Re( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ) H H H z d z dz dz k z z dz z z dz z=ξ ϕµ ϕ = − α ϕ − + ϕ ρ ρ ρ∫ ∫ ∫ Отсюда, учитывая условие 2Re ( ) 0k z > следует, что 2Re max Re( ( )) z k zµ ≤ , 2 2 2 0Re ( ) ( ).k z k n z= Аналогично, отделяя мнимую часть в тождестве (13), находим 2 22 0 0 1 1 Im ( ) Im( ( )) ( ) , ( ) ( ) H H z dz k z z dz z z µ ϕ = ϕ ρ ρ∫ ∫ 2 2 0Im ( ) ( ))k z k z= υ откуда вытекает справедливость второго неравенства (12). Следуя [2], может быть установлена следующая теорема. Теорема. Численно-аналитическое решение краевой задачи (1) – (4) можно представить в виде суммы нормальных волн ОБ ИССЛЕДОВАНИИ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ … Компьютерная математика. 2014, № 1 25 (1) 2 0 0 10 ( , ) ( ) ( ) ( ) / , 4 ( ) n n n n n i p r z z z H r z ∞ = = ϕ ϕ λ γ ρ ∑ (14) где ( ) )(1 0 ⋅H – функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, 2,nλ ( )n zϕ – собственные значения и соответствующие собственные функции спектральной задачи (5) – (7). Для численного решения спектральной задачи введем равномерную сетку { }hnHhNNnnhjjhzz jh 111 ,,,,1,,,,0, =ξ=+====ω KK . Тогда дифференциальной задаче (5) – (7) можно поставить в соответствие раз- ностную схему, которую запишем в операторной форме ( ) , ,hAy a z y z= µ ∈ ω 0 0,y = где hω – множество внутренних узлов, а линейный оператор A определяется по формулам: 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ( ) ) ( ) ( ) , 0, , ( ) 1 / ( ( 0,5 )), 2 1 1 ( ) ( 0) , 0, 2 1 1 ( ) ( 0) , 0, 2 1 1 ( ) , . zz z z z a z k z a z y y y H a z z h y y y k y z h Ay y y y k y z h y k z y z N h + − + −  + ≠ ξ ± ≠ = ρ −    α − − + ξ − ≠ ξ −  ρ ρ =    −α − + + ξ + ≠ ξ +  ρ ρ   − + = ρ ρ Здесь сеточная комплекснозначная функция )(zy имеет при 1z n h= ξ = два значения ,y± аппроксимирующие ( 0) ,±ϕ ξ ± = ϕ и приняты обозначения тео- рии разностных схем [5]. Пусть hω – пространство сеточных комплекснозначных функций, опреде- ленных на ,hω принимающих нулевые значения при 0z = и имеющих разрыв при z = ξ . Обозначим 1/2 1 2( , ) ( , ) ( , ) , ( , )y v y v y v y y y= + = скалярное произ- ведение и норму в ,hω где 1 1 1 1 ( , ) 0,5 j n j j j y v y v h y v h = − − − = = + ∑ , 1 1 2 1 ( , ) 0,5 0,5 j N N N j j j n y v y v h y v h y v h = − + + = + = + + ∑ . Пользуясь второй разностной формулой Грина [5], можно показать самосо- пряженность разностного оператора A в случае 2Im ( ) 0,k z = ( , ) ( , ).Ay v y Av= А.В. ГЛАДКИЙ, Ю.А. ГЛАДКАЯ Компьютерная математика. 2014, № 1 26 Заключение. Рассмотренный в работе подход позволяет проводить числен- ное моделирование звуковых полей в неоднородных волноводах с условиями неидеального контакта и расширить класс задач, связанных с исследованием акустических полей. А.В. Гладкий, Ю.А. Гладкая ПРО ДОСЛІДЖЕННЯ АКУСТИЧНИХ ПОЛІВ У СЕРЕДОВИЩАХ ІЗ УМОВАМИ НЕІДЕАЛЬНОГО КОНТАКТУ Розглядається задача чисельного моделювання акустичних полів точкового гармонічного джерела в осесиметричних неоднорідних хвилеводах із умовами неідеального контакту. Досліджено властивості спектральної задачі з комплекснозначним несамоспряженим опера- тором та отримано розв’язок крайової задачі. A.V. Gladky, J.A. Gladka ABOUT INVESTIGATION OF ACOUSTIC FIELDS IN NONIDEAL CONTACT DOMAINS The problem of numerical simulation of acoustic fields of a point harmonic source in axisymmetric inhomogeneous waveguides with the conditions of non-ideal contact is considered. The properties of the spectral problem with a complex-valued non-self-conjugate operator are investigated and a solution of the boundary-value problem is obtained. 1. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. – Л.: Гидроме- теоиздат, 1982. – 264 с. 2. Гладкий А.В., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Численно-аналитические методы исследо- вания волновых процессов. – Киев: Наук. думка, 2001. – 453 с. 3. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. – М.: Наука, 1976. – 352 с. 4. Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и иссле- дование процессов в неоднородных средах. – Киев: Наук. думка, 1991. – 432 с. 5. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. – М.: Наука, 1973. – 416 с. Получено 15.01.2014 Об авторах: Гладкий Анатолий Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Е-mail: gladky@ukr.net Гладкая Юлия Анатольевна, доцент Киевского национального торгово-экономического университета.

Ähnliche Einträge