О численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании
Исследуется двухкритериальная задача стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании с критериями доходности и риска. Для построения оптимальных управлений и Парето-оптимального множества задачи применяется метод динамического программирования. Парето-оптимальное мно...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Компьютерная математика |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84818 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании / Б.В. Норкин // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 131-139. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860249331205931008 |
|---|---|
| author | Норкин, Б.В. |
| author_facet | Норкин, Б.В. |
| citation_txt | О численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании / Б.В. Норкин // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 131-139. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Компьютерная математика |
| description | Исследуется двухкритериальная задача стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании с критериями доходности и риска. Для построения оптимальных управлений и Парето-оптимального множества задачи применяется метод динамического программирования. Парето-оптимальное множество аппроксимируется с помощью барьерно-пропорциональных стратегий управления.
Досліджується двухкрітеріальна задача стохастичного оптимального керування дивідендною політикою страхової компанії за критеріями дохідності та ризику. Для побудови оптимальних керувань і Парето-оптимальної множини задачі застосовується метод динамічного програмування. Парето-оптимальна множина апроксимується за допомогою бар’єрно-пропорційних стратегій керування.
We study two-criterion stochastic dividend policy optimal control problem for an insurance company with yield and risk criteria. To construct the optimal controls and Pareto-optimal sets of the problem, we apply the dynamic programming method. Pareto-optimal sets are approximated using barrier-proportional control strategies.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:41:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2014, № 1 131
Исследуется двухкритериальная
задача стохастического опти-
мального управления дивидендной
политикой страховой компании
с критериями доходности и рис-
ка. Для построения оптимальных
управлений и Парето-оптималь-
ного множества задачи приме-
няется метод динамического
программирования. Парето-опти-
мальное множество аппроксими-
руется с помощью барьерно-про-
порциональных стратегий управ-
ления.
Б.В. Норкин, 2014
УДК 519.8; 368; 65.0
Б.В. НОРКИН
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ
ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОГО
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ДИВИДЕНДНОЙ ПОЛИТИКОЙ
СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ
Введение. В однокритериальной постановке
для бесконечного интервала времени эта
проблема изучалась в работах [1 – 3] и дру-
гих. В качестве основного критерия оптими-
зации служили средние суммарные дискон-
тированные дивиденды. В частности, в рабо-
те де Финетти [1] (см. также [2]) обнаружен
следующий парадокс: при оптимальной стра-
тегии управления (на бесконечном интервале
времени) страховая компания разоряется с
вероятностью единица. Данный результат
показывает, что рассматриваемая постановка
задачи не является полностью удовлетвори-
тельной. Желательно найти такую привлека-
тельную дивидендную стратегию, при кото-
рой вероятность разорения мала.
В принципе Парето-оптимальная граница
может быть найдена как огибающая множе-
ства всех возможных пар «средние дивиден-
ды – вероятность разорения», соответствую-
щих всем допустимым стратегиям управле-
ния (дивидендами). Множество таких страте-
гий бесконечно, поэтому важно перебирать
только «хорошие» (эффективные) стратегии.
В работах [1 – 3] обнаружено, что для одно-
критериальной постановки оптимальными
являются барьерные (пороговые) стратегии:
если текущий капитал меньше некоторого
барьера, то дивиденды не выплачиваются, в
противном случае выплачивается разность
между капиталом и барьером. Однако не-
Б.В. НОРКИН
Компьютерная математика. 2014, № 1 132
трудно видеть, что при барь-
ерной стратегии с увеличени-
ем горизонта планирования
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ...
Компьютерная математика. 2014, № 1 133
вероятность разорения стремится к единице [1, 2]. Поэтому, очевидно, нужно
рассматривать и другие типы стратегий. Одна из них – это пропорциональная
стратегия, когда в качестве дивидендов выплачивается определенная доля те-
кущего капитала. Имеет смысл рассматривать также смеси барьерной и пропор-
циональной стратегий. Обзор результатов по оптимальным дивидендным стра-
тегиям в однокритериальных задачах имеется в [4, 5]. Еще одна возможность
построения эффективных стратегий управления состоит в решении задачи сто-
хастического оптимального управления для свертки каких либо критериев.
В частности, для бесконечного горизонта мы рассматриваем свертку средних
дисконтированных дивидендов (с варьируемым коэффициентом) и среднего
дисконтированного времени жизни. Для полученной агрегированной задачи
оптимального управления оказывается справедлив принцип динамического про-
граммирования и выполнены уравнения Беллмана. Поскольку в данной задаче
значения функции Беллмана разрывны и не ограничены, то стандартная методи-
ка доказательства существования и единственности решения уравнения Беллма-
на не применимы. Мы модифицируем эту методику, пользуясь оценкой сверху
для функции Беллмана. Численно решение задачи (функция Беллмана и опти-
мальное позиционное управление) находится методом последовательных при-
ближений. Варьируя коэффициент агрегации, мы можем построить некоторое
приближение Парето-оптимального множества значений показателей доходно-
сти и риска, а также соответствующие оптимальные управления. Далее решение
выбирается субъективно из множества Парето-оптимальных точек.
Когда управление (дивидендная политика) выбрана, то вероятность разоре-
ния может быть найдена из решения соответствующего интегрального уравне-
ния [6] или оценена методом Монте-Карло [7]. Отметим, что задача оптимиза-
ции управления, заданного в параметрической форме как функция текущего ка-
питала и конечномерных параметров, при ограничении на вероятность разоре-
ния может быть также приближенно решена методом работы [8].
Задача стохастического оптимального управления дивидендами. Про-
цесс риска описывает стохастическую эволюцию резервов страховой компании,
предназначенных для покрытия страховых требований. Математическая модель
эволюции резервов tX в дискретном времени имеет вид [1, 2]:
( )1 1 1, ,t t t t t t tX f X U Y X U Y+ + += = − + , 0X x= , [ ]0,t tU X∈ , (1)
где { }tY – независимые одинаково распределенные (как Y ) случайные величи-
ны с общей функцией распределения YF . Обозначим момент остановки (разоре-
ния) { }0sup [0, ] : min 0t t tt T X′ ′≤ <τ = ∈ ≥ и множество допустимых управлений
{ }( ) [0, ], [0, ]tU U x x t T= ∈ = ∈U .
Среднее время жизни τE , где E – знак математического ожидания, являет-
ся не очень удобным индикатором риска, поскольку оно может равняться беско-
нечности. Поэтому наряду с τE будем рассматривать также так называемое
Б.В. НОРКИН
Компьютерная математика. 2014, № 1 134
среднее дисконтированное время жизни ( )1
0
1 / (1 )t
y
T
τ− τ
=
= γ = − − γ ≤∑E E
1 (1 ).≤ − γ Очевидно, если ,Eτ < ∞ то ( )1 (1 )τ− γ − γ ≤E .T E≤ τ Дисконти-
рование можно интерпретировать как наличие некоторого случайного фактора
(с биноминальным распределением с параметром γ ), который может остановить
процесс риска независимо от его текущего состояния [9].
Функция выигрыша за один период времени ( , )t tr X U , в частности, имеет
вид: ( , )t t tr X U Uλ = λ + при 0tX ≥ и ( , ) 0t tr X Uλ = при 0tX < , 0,λ ≥ а дис-
контированная функция выигрыша за T периодов представляется следующим
образом:
1 1 1
0 0 0 0
( ) ( , ) ( ) + ,
TU t t t t
T t t t tt t t t
V x r X U U U
τ− τ− τ−
λ= = = =
= γ = γ λ + = λ γ γ
∑ ∑ ∑ ∑E E E E
0 1,< γ ≤ { },0tU U t T= ≤ ≤ . Определим функцию Беллмана
( ) sup ( )U
t tU UV x V x∈= , 0 .t T≤ ≤ (2)
По определению, будем считать, что ( ) 0tV x = для 0x < . Однокритериальная
задача (2) с параметром 0λ = и дискретным распределением Y рассмотрена
в [1, 2]. Двухкритериальная задача управления дивидендами в частном случае,
когда Y принимает только два значения, анализировалась в [10].
Имеют место следующие утверждения (для 0λ = они имеются в [2]).
Лемма 1 (ограниченность функции Беллмана). Функции ( )tV x удовлетво-
ряют ограничениям
max{0, }
( )
1 (1 (0)) 1t
Y
x V x x
F
λ λ + γ+ ≤ ≤ +
− γ − − γ
E
. (3)
Если функции Беллмана ( )tV ⋅ конечны, то при 0x ≥ они удовлетворяют
рекуррентным соотношениям Беллмана [2, Lemma 1.1]: 1( ) 0,V x− ≡
( ){ }( ) 1( ) sup ( , ) ( , , )t u x tV x r x u V f x u Y∈ λ −= + γ =U E
( ){ }( ) 1sup , 0 .u x tu V x u Y t T∈ −= λ + + γ − + ≤ ≤ < ∞U E (4)
Лемма 2 (свойства функций Беллмана и существование оптимальных
управлений при конечном временном горизонте T < ∞ ). Пусть
max{0, }Y < ∞E . Тогда функции { }( ), , 0tV x x t T− ∞ < < ∞ ≤ ≤ < ∞ моно-
тонно возрастают по x (при фиксированном t ) и по t (при фиксированном x ),
полунепрерывны сверху по x (и, следовательно, непрерывны справа).
Кроме того функции 1( )tV x u Y− − +E полунепрерывны сверху по ( 0, 0)x u≥ ≥ ,
а функции
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ...
Компьютерная математика. 2014, № 1 135
{ }{ }*
[0, ] 1( ) sup arg max ( )t u x tu x v u V x u Y∈ −= ∈ λ + + γ − +E
являются полунепрерывными сверху оптимальными управлениями для задач (2).
В случае бесконечного горизонта T = ∞ уравнение Беллмана имеет вид:
( ){ }( ) sup ( , ) ( , , )uV x r x u V f x u Y∈ λ= + γ =U E
( ){ }[0, ]sup .u x u V x u Y∈= λ + + γ − +E (5)
Пусть { }( )tV x – монотонная последовательность (монотонных полунепре-
рывных сверху по лемме 2) функций (4).
Теорема 1 (свойства функции Беллмана и существование оптимальных
управлений при бесконечном временном горизонте T = ∞ ). Пусть
max{0, } .Y < ∞E Тогда предел ( ) lim ( )t tV x V x→∞= существует, является
монотонной полунепрерывной сверху функцией. Функция ( )V x – единственное
полунепрерывное сверху решение уравнения (5), удовлетворяющее условию
0( )x V x x C≤ ≤ + для всех 0x ≥ , где 0C – произвольная константа. Функция
( ) ( ),x u V x u Yϕ = − +E [0, ]u x∈ , полунепрерывна сверху, а функция
{ }{ }*
[0, ]( ) sup arg max ( )u xu x v u V x u Y∈= ∈ λ + + γ − +E (6)
полунепрерывна сверху и является решением задачи (2) для .T = ∞
В работах [1, 2] для случая 0λ = и целочисленного 1Y ≤ установлен барь-
ерный характер оптимальных управлений, т. е. *( ) max{0, }u x x b= − для неко-
торого 0b ≥ . Заметим, что при условии { }Pr 0 0Y < > для любой барьерной
стратегии { }( ) max 0,u x x b= −% с 0b > вероятность разорения процесса
{ }1 1 0( ) , [0, ], 0,1,...t t t tx x u x Y x b t+ += − + ∈ =% % % % % равна единице. Поэтому наряду
с барьерной стратегией имеет смысл рассматривать другие типы стратегий, на-
пример, барьерно-пропорциональные стратегии вида { }( ) max 0, ( )u x x b= α −% ,
где 0b ≥ , 0 1.< α ≤
Для любого фиксированного управления ( )u x% (в том числе оптимального
*( )u x ) соответствующие значения средних дисконтированных дивидендов
1
0
( ) ( )t
tt
W x u x
τ−
=
= γ∑E
%
% % и среднего дисконтированного времени жизни ( )R x =%
( )( ) 1 ( )
0
1 (1 )
x t x
y
τ − τ
=
= γ = − γ − γ∑E E
% % могут быть найдены из уравнений [2]:
( ) ( )( ) ( ) ( , ( ), ) ( ) ( ) ,W x u x W f x u x Y u x W x u x Y= + γ = + γ − +E E% % %% % % % (7)
( ) ( )( ) 1 ( , ( ), ) 1 ( ) .R x R f x u x Y R x u x Y= + γ = + γ − +E E% % %% % (8)
Б.В. НОРКИН
Компьютерная математика. 2014, № 1 136
Важным показателем работы страховой компании является вероятность не-
разорения { }( ) Pr ( ) ,Q x x T= τ =% % рассматриваемая как функция начального ка-
питала x при управлениях ( ),tu X%% где
{ }1 1 0( ) , , 1,..., ( ) ,t t t tX X u X Y X x t x− −= − + = = τ% % % %% %
{ }0( ) sup [0, ) : min 0 .t t tx t X′ ′≤ <τ = ∈ ∞ ≥%% Функция ( )Q x% удовлетворяет уравнению
( ) ( ( , ( ), ) ( ( ) )Q x Q f x u x Y Q x u x Y= = − +E E% % %% % . (9)
Если процесс рассматривается на конечном интервале времени [ ]0,T ,
то необходимо ввести функции вероятности неразорения ( )tQ x% за t T≤
временных интервалов при начальном состоянии процесса x . Эти функции свя-
заны соотношениями
1( ) ( ( ) ),t tQ x Q x u x Y−= − +E% % % 0( ) 1,Q x =% 1 .t T≤ ≤
Поскольку рассматриваемая задача стохастического оптимального управле-
ния дивидендами многокритериальная, а параметр 0λ ≥ играет роль весового
коэффициента свертки критериев, то для данного x имеет смысл построить
множества точек ( ){ }( ), ( ) , 0W x R xλ λ λ ≥% % и ( ){ }( ),1 ( ) , 0W x Q xλ λ− λ ≥%% в координа-
тах «доходность-риск». Для этого необходимо решить для каждого 0λ ≥
интегральное уравнение Беллмана (5) и найти соответствующую функцию
оптимального управления ( )u xλ% , затем для данного управления ( )u xλ% ре-
шить интегральные уравнения для дивидендов, времени жизни и вероятности
разорения (7).
Метод последовательных приближений для решения уравнений Бел-
лмана. Одна возможность решения уравнений, (5), (7) – (9) состоит в составле-
нии компьютерных программ, содержащих рекурсивный вызов функций с дос-
таточно большой глубиной рекурсии. Численные методы решения однокритери-
альных задач стохастического оптимального управления изучаются в [11].
Численно уравнения (5), (7) – (9) можно решать методом последовательных
приближений:
( ){ }1 0( ) max ,k u x kV x u V x u Y+ ≤ ≤= λ + + γ − +E 0 ( ) ,V x x= λ + 0,1,...;k = (10)
( )1( ) ( ) ( ) ,k kW x u x W x u x Y+ = + γ − +E% % 0( ) ( ),W x u x= % 0,1,...;k = (11)
( )1( ) 1 ( ) ,k kR x R x u x Y+ = + γ − +E % 0( ) 1,R x = 0,1,...;k = (12)
1( ) ( ( ) ),k kQ x Q x u x Y+ = − +E % 0( ) 1,Q x = 0,1,... .k = (13)
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ...
Компьютерная математика. 2014, № 1 137
Итерационные методы (10) – (12) сходятся в силу принципа сжимающих
отображений [2] и справедливости оценки (3) и [2, Lemma 1.8(i)]. Действитель-
но, в условиях теоремы 1 в силу оптимальности управлений,
( ){ } ( )* *
1 0 1 1( ) max ( ) ( ) ,t u x t t t tV x u V x u Y u x V x u x Y+ ≤ ≤ + += λ + + γ − + = λ + + γ − +E E
( ){ } ( )* *
0 1 1 1 1( ) max ( ) ( )t u x t t t tV x u V x u Y u x V x u x Y≤ ≤ − + − += λ + + γ − + ≥ λ + + γ − +E E
поэтому
( ) ( )* *
1 1 1 10 ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t tV x V x V x u x Y V x u x Y+ + − + ≤ − ≤ γ − + − − + ≤ E
( )* *
1 1[ ( ) ( ( ) )t t tV x u x Y x u x Y+ +≤ γ − + − − + −E
( )( )* *
1 1 1( ) ( ( ) ) ]t t tV x u x Y x u x Y− + +− − + − − + ≤
( ) [ ]0 1 0 1sup ( ) ( ) sup ( ) ( ) ,x t t x t tV x x V x x V x V x′ ′≥ − ≥ −′ ′ ′ ′ ′ ′≤ γ − − − = γ −
[ ] [ ] [ ]0 1 0 1 0 1 0sup ( ) ( ) sup ( ) ( ) sup ( ) ( )t
x t t x t t xV x V x V x V x V x V x≥ + ≥ − ≥− ≤ γ − ≤ γ − ≤
( ) ( )0 1 0 0 1
max{0, }
sup ( ) ( ) sup ( ) .
1
t t t
x x
Y
V x x V x x V x x≥ ≥
λ + γ≤ γ − − − ≤ γ − ≤ γ − γ
E
Последовательности { }( ) ,kV ⋅ { }( )kW ⋅ , { }( )kR ⋅ монотонно возрастают и схо-
дятся к своим пределам { }( )V ⋅ , { }( )W ⋅ , { }( )R ⋅ со скоростью геометрической
прогрессии:
( ) ( )1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k
t k k t tk t k
V x V x V x V x V x V x
∞ ∞
+ += =
− = − ≤ − γ ≤∑ ∑
21
max{0, } max{0, }
.
1 (1 )
t k t
k
E Y E Y∞
=
λ + γ λ + γ≤ γ γ ≤ γ
− γ − γ∑
Аналогичные оценки справедливы для разностей { }( ) ( ) ,tW x W x−
{ }( ) ( ) .tR x R x−
Изучение сходимости метода (13) требует более тонкого анализа [6],
поскольку оператор в правой части рекуррентного соотношения (13) может быть
не сжимающим. Нетрудно видеть, что последовательность { }( )kQ ⋅ монотонно
убывает. В случае барьерной стратегии { }( ) max 0,u x x b= −% функции { }( )kQ ⋅
стремятся к нулевой функции.
Результаты численных экспериментов. Далее приведены результаты чис-
ленных экспериментов, когда случайная величина Y C≤ < ∞ ограничена и
принимает только целочисленные значения. В страховых приложениях величина
C представляет собой агрегированную страховую премию компании за единицу
времени. Вопросы построения распределения случайной величины Y на основе
данных страховой статистики рассмотрены в [7, 12].
Б.В. НОРКИН
Компьютерная математика. 2014, № 1 138
Вычислительные эксперименты проводились с помощью системы Matlab 8.2
на персональном компьютере следующей конфигурации: Intel Core i5 3570K
(на штатной частоте) 8Gb RAM.
В численных экспериментах параметры модели (1), (2) принимали следую-
щие значения: { }1,..., nY c y c y∈ − − с вероятностями 1,..., np p , 1c ≥ ,
max0 100x x≤ ≤ = , 100T ≤ , max0 100≤ λ ≤ λ = , 0 1< γ ≤ , max0 b x≤ ≤ ,
0 1.< α ≤
В первой серии экспериментов изучалась структура оптимальных управле-
ний задачи (1), (2) в зависимости от параметра агрегации 0λ ≥ и дисконтирую-
щего множителя [0,1)γ ∈ . Оказалось, что при изменении λ и γ в широких
пределах структура оптимальных управлений была барьерной, *( )tu x =
max{0, ( , )},tx b= − λ γ менялась только величина барьера ( , ).tb λ γ На рис. 1
показаны графики последовательных приближений функций Беллмана ( )tV x
(10) и соответствующих оптимальных управлений *( ).tu x
а б
РИС. 1. Графики функций Беллмана и соответствующих барьерных управлений
Во второй серии экспериментов строились аппроксимации
( ){ }, 0 , 0( ) ( ) , ( )b bW x cT R x Tα α
% % и ( ){ }, 0 , 0( ) ( ) ,1 ( )b bW x cT Q xα α− %% нормированных
Парето-оптимальных границ с помощью барьерно-пропорциональных стратегий
управления, когда (0,1]α∈ и 0[0, ]b x∈ , при некотором начальном капитале
0x и горизонте планирования .T Здесь нормирующий делитель cT имеет
смысл совокупной страховой премии, полученной за время T . На рис. 2 показа-
ны примеры расчетов для 0 10x = и 100T = , 1c = , {1, 1}Y ∈ − с вероятностями
{0.6,0.4} .
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ...
Компьютерная математика. 2014, № 1 139
а б
РИС. 2. Аппроксимации Парето-оптимальных множеств
Заключение. Рассмотрена двухкритериальная задача стохастического оп-
тимального управления дивидендной политикой страховой компании с крите-
риями доходности и риска. Для критериев в виде средних дисконтированных
дивидендов и среднего дисконтированного времени жизни задача решается пу-
тем свертки критериев и применением метода динамического программирова-
ния. В численных экспериментах показано, что оптимальные управления в агре-
гированной однокритериальной задаче имеют вид барьерной стратегии. Для по-
строения аппроксимации Парето-оптимального множества использовались
барьерно-пропорциональные стратегии управления и метод динамического про-
граммирования.
Б.В. Норкін
ПРО ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ СТОХАСТИЧНОГО ОПТИМАЛЬНОГО
КЕРУВАННЯ ДИВІДЕНДНОЮ ПОЛІТИКОЮ СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ
Досліджується двухкрітеріальна задача стохастичного оптимального керування дивідендною
політикою страхової компанії за критеріями дохідності та ризику. Для побудови оптималь-
них керувань і Парето-оптимальної множини задачі застосовується метод динамічного про-
грамування. Парето-оптимальна множина апроксимується за допомогою бар’єрно-пропор-
ційних стратегій керування.
B.V. Norkin
ON NUMERICAL SOLUTION OF THE STOCHASTIC OPTIMAL CONTROL PROBLEM
FOR THE DIVIDEND POLICY OF AN INSURANCE COMPANY
We study two-criterion stochastic dividend policy optimal control problem for an insurance compa-
ny with yield and risk criteria. To construct the optimal controls and Pareto-optimal sets of the prob-
lem, we apply the dynamic programming method. Pareto-optimal sets are approximated using bar-
rier-proportional control strategies.
Б.В. НОРКИН
Компьютерная математика. 2014, № 1 140
1. De Finetti B. Su un’ impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio // Transactions
of the XV-th International Congress of Actuaries 2. – 1957. – P. 433–443.
2. Schmidli H. Stochastic control in insurance. – London: Springer-Verlag, 2008. – 254 p.
3. Gerber H.U. An Introduction to Mathematical Risk Theory. – Philadelphia: Huebner Founda-
tion Monographs, 1979.
4. Albrecher H., Thonhauser S. Optimality results for dividend problems in insurance. – Rev. R.
Acad. Cien. Serie A. Mat. – Vol. 103 (2). – 2009. – P. 295 – 320.
5. Avanzi B. Strategies for dividend distribution: A review // North American Actuarial Journal. –
2009. – Vol. 13. – N 2. – P. 217 – 251.
6. Норкин Б.В. О решении основного интегрального уравнения актуарной математики ме-
тодом последовательных приближений // Український математичний журнал. – 2007. –
№ 12. – Том 59. – C. 112 – 127.
7. Норкин Б.В. Системный имитационный анализ и оптимизация страхового бизнеса // Ки-
бернетика и системный анализ. – 2014. – № 2. – С. 112 – 125.
8. Норкин Б.В. Математические модели оптимизации страхового дела // Там же. – 2011. –
№ 1. – С. 128 – 145.
9. Ermoliev Y. Discounting, catastrophic risks management and vulnerability modeling //
Mathematics and Computers in Simulation. – 2008. – Vol. 79. – P. 917 – 924.
10. Пиуновский А.Б. Оптимальное управление случайными последовательностями в задачах
с ограничениями. – М.: Научная книга, 1996. – 294 с.
11. Kushner K.J., Dupuis P. Numerical methods for stochastic control problems in continuous
time. – New York: Springer-Verlag, 1992. – 439 p.
12. Норкин Б.В. Об идентификации моделей динамического финансового анализа страховой
компании // Компьютерная математика. – 2013. – № 2. – C. 24 – 33.
Получено 15.02.2014
Об авторе:
Норкин Богдан Владимирович,
кандидат физико-математических наук,
докторант Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
bogdan@norkin.org.ua
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84818 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:41:01Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Норкин, Б.В. 2015-07-15T20:08:15Z 2015-07-15T20:08:15Z 2014 О численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании / Б.В. Норкин // Компьютерная математика. — 2014. — № 1. — С. 131-139. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84818 519.8; 368; 65.0 Исследуется двухкритериальная задача стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании с критериями доходности и риска. Для построения оптимальных управлений и Парето-оптимального множества задачи применяется метод динамического программирования. Парето-оптимальное множество аппроксимируется с помощью барьерно-пропорциональных стратегий управления. Досліджується двухкрітеріальна задача стохастичного оптимального керування дивідендною політикою страхової компанії за критеріями дохідності та ризику. Для побудови оптимальних керувань і Парето-оптимальної множини задачі застосовується метод динамічного програмування. Парето-оптимальна множина апроксимується за допомогою бар’єрно-пропорційних стратегій керування. We study two-criterion stochastic dividend policy optimal control problem for an insurance company with yield and risk criteria. To construct the optimal controls and Pareto-optimal sets of the problem, we apply the dynamic programming method. Pareto-optimal sets are approximated using barrier-proportional control strategies. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Компьютерная математика Теория и методы оптимизации О численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании Про чисельне розв’язання задач стохастичного оптимального керування дивідендною політикою страхової компанії On numerical solution of the stochastic optimal control problem for the dividend policy of an insurance company Article published earlier |
| spellingShingle | О численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании Норкин, Б.В. Теория и методы оптимизации |
| title | О численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании |
| title_alt | Про чисельне розв’язання задач стохастичного оптимального керування дивідендною політикою страхової компанії On numerical solution of the stochastic optimal control problem for the dividend policy of an insurance company |
| title_full | О численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании |
| title_fullStr | О численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании |
| title_full_unstemmed | О численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании |
| title_short | О численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании |
| title_sort | о численном решении задачи стохастического оптимального управления дивидендной политикой страховой компании |
| topic | Теория и методы оптимизации |
| topic_facet | Теория и методы оптимизации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84818 |
| work_keys_str_mv | AT norkinbv očislennomrešeniizadačistohastičeskogooptimalʹnogoupravleniâdividendnoipolitikoistrahovoikompanii AT norkinbv pročiselʹnerozvâzannâzadačstohastičnogooptimalʹnogokeruvannâdivídendnoûpolítikoûstrahovoíkompaníí AT norkinbv onnumericalsolutionofthestochasticoptimalcontrolproblemforthedividendpolicyofaninsurancecompany |