О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска
Исследован метод последовательных приближений Пикара для решения интегрального уравнения восстановления (типа Вольтерра), которому удовлетворяет вероятность (не) банкротства классического процесса риска. Установлены сходимость, монотонность и скорость сходимости приближений во всей области возможных...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2003 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2003
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84849 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска / Б.В. Норкин // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 10-18. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84849 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Норкин, Б.В. 2015-07-16T14:54:03Z 2015-07-16T14:54:03Z 2003 О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска / Б.В. Норкин // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 10-18. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84849 519.21 Исследован метод последовательных приближений Пикара для решения интегрального уравнения восстановления (типа Вольтерра), которому удовлетворяет вероятность (не) банкротства классического процесса риска. Установлены сходимость, монотонность и скорость сходимости приближений во всей области возможных начальных значений процесса риска. Результаты проиллюстрированы численными расчетами. Досліджений метод послідовних наближень Пікара для розв’язання інтегрального рівняння відновлення (Вольтерра), якому задовольняє ймовірність (не)банкрутства класичного процесу ризику. З’ясовані збіжність, монотонність та швидкість збіжності наближень у всій області можливих початкових значень процесу ризику. Результати проілюстровані чисельними розрахунками. Probability of (non)ruin for the classical risk process is searched as a solution of a renewal (Volterra) integral equation. Picard’s successive approximation method for the solution of this equation is applied. Convergence, monotonicity, and rate of convergence of approximations is explored for the whole range of the process initial values. Theoretical results are illustrated by numeral calculations. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска Про метод послідовних наближень для обчислення ймовірності банкрутства класичного процесу ризику On a succesive approximation method for calculation of the ruin probability for a classical risk process Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска |
| spellingShingle |
О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска Норкин, Б.В. |
| title_short |
О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска |
| title_full |
О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска |
| title_fullStr |
О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска |
| title_full_unstemmed |
О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска |
| title_sort |
о методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска |
| author |
Норкин, Б.В. |
| author_facet |
Норкин, Б.В. |
| publishDate |
2003 |
| language |
Russian |
| container_title |
Теорія оптимальних рішень |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про метод послідовних наближень для обчислення ймовірності банкрутства класичного процесу ризику On a succesive approximation method for calculation of the ruin probability for a classical risk process |
| description |
Исследован метод последовательных приближений Пикара для решения интегрального уравнения восстановления (типа Вольтерра), которому удовлетворяет вероятность (не) банкротства классического процесса риска. Установлены сходимость, монотонность и скорость сходимости приближений во всей области возможных начальных значений процесса риска. Результаты проиллюстрированы численными расчетами.
Досліджений метод послідовних наближень Пікара для розв’язання інтегрального рівняння відновлення (Вольтерра), якому задовольняє ймовірність (не)банкрутства класичного процесу ризику. З’ясовані збіжність, монотонність та швидкість збіжності наближень у всій області можливих початкових значень процесу ризику. Результати проілюстровані чисельними розрахунками.
Probability of (non)ruin for the classical risk process is searched as a solution of a renewal (Volterra) integral equation. Picard’s successive approximation method for the solution of this equation is applied. Convergence, monotonicity, and rate of convergence of approximations is explored for the whole range of the process initial values. Theoretical results are illustrated by numeral calculations.
|
| issn |
XXXX-0013 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84849 |
| citation_txt |
О методе последовательных приближений для вычисления вероятности банкротства классического процесса риска / Б.В. Норкин // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 10-18. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT norkinbv ometodeposledovatelʹnyhpribliženiidlâvyčisleniâveroâtnostibankrotstvaklassičeskogoprocessariska AT norkinbv prometodposlídovnihnabliženʹdlâobčislennâimovírnostíbankrutstvaklasičnogoprocesuriziku AT norkinbv onasuccesiveapproximationmethodforcalculationoftheruinprobabilityforaclassicalriskprocess |
| first_indexed |
2025-11-26T20:11:24Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:11:24Z |
| _version_ |
1850772739215851520 |
| fulltext |
10 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Исследован метод последова-
тельных приближений Пикара для
решения интегрального уравнения
восстановления (типа Вольтер-
ра), которому удовлетворяет
вероятность (не) банкротства
классического процесса риска.
Установлены сходимость, моно-
тонность и скорость сходимости
приближений во всей области
возможных начальных значений
процесса риска. Результаты про-
иллюстрированы численными рас-
четами.
Б.В. Норкин, 2003
ÓÄÊ 519.21
Á.Â. ÍÎÐÊÈÍ
Î ÌÅÒÎÄÅ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÛÕ
ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÉ ÄËß ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß
ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÁÀÍÊÐÎÒÑÒÂÀ
ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÐÈÑÊÀ
Введение. Классический процесс риска, опи-
сывающий эволюцию капитала страховой
компании, задается соотношением [1 – 4]:
t t
u ct Sξ = + − (1)
где t – время; u – начальный капитал стра-
ховой компании; c – интенсивность поступ-
ления премий; tS – агрегированные выплаты
к моменту t ,
1
tN
t kk
S Y
=
=∑ ;
k
Y – независи-
мые одинаково распределенные случайные
величины (требования) с функцией распре-
деления ( )F y и средним значением µ ; tN –
число выплат к моменту t (пуассоновский
процесс с интенсивностью α ). Теория таких
процессов детально изучена [1 – 4]. Как из-
вестно функция вероятности небанкротства
{ }( ) Pr 0 0tu tϕ ξ= ≥ ∀ ≥ при начальном
капитале u удовлетворяет интегральному
уравнению восстановления [3, с. 227]:
( )
0
( ) 1 ( ) 1 ( )
u
u u z F z dz
c c
αµ α
ϕ ϕ= − + − −∫ . (2)
Это уравнение решается, как правило, с по-
мощью преобразования Лапласа. Таким спо-
собом получены точные решения в случаях
экспоненциальных и фиксированных требо-
ваний. Для решения )uϕ( уравнения (2) из-
вестна также оценка Крамера-Лундберга
( ) 1 , 0Ruu e uϕ −≥ − ≥ , где коэффициент
Лундберга R удовлетворяет уравнению
[ ]
0
1 ( ) 1Rze F z dz
c
α +∞
− =∫ . (3)
О МЕТОДЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ…
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 11
Известен также ряд аппроксимаций ( )uϕ для больших R (см., например, [1, 3]).
Однако проблема аналитического и численного решения уравнения (2) продол-
жает привлекать внимание исследователей [4 - 8].
Заметим, что (2) является интегральным уравнением Вольтерра. Действи-
тельно, сделав в интеграле замену переменных x u z= − , вместо (2) получаем:
0
( ) 1 ( ) ( , )
u
u x K x u dx
c c
αµ α
ϕ ϕ= − + ∫ , (4)
где ядро ( , ) 1 ( )K x u F u x= − −
– измеримая ограниченная функция. Как из-
вестно [9], правая часть уравнения Вольтерра (2) является оператором сжатия,
поэтому оно имеет единственное решение, которое можно найти методом по-
следовательных приближений. Однако уравнения (2), (4) являются уравнениями
Вольтерра специального вида, поэтому их решения и последовательные при-
ближения к решению обладают специфическими свойствами. Цель настоящей
работы – изучение этих свойств.
Метод последовательных приближений. Решение уравнения (2) можно
найти следующим методом последовательных приближений:
( ) ( )1
0
) 1 1 , 0,1,...,
u
k k
u u z F z dz k
c c
αµ α
ϕ ϕ+ ( = − + − − = ∫ (5)
где
0 )uϕ ( − некоторая начальная функция. Все функции )k uϕ ( считаются оп-
ределенными на некотором интервале [0, ],v v < +∞ . Заметим, что для нахож-
дения
1( )k uϕ +
достаточно знать )k uϕ ( на интервале [0, ]v . Обозначим
( )[0, ]L v∞ − пространство непрерывных функций ( )f u , определенных на ин-
тервале [0, ]v с нормой [0, ]max ( )u vf f u∈= . Как известно, ( )[0, ]L v∞ - пол-
ное нормированное (Банахово) пространство для любого v < +∞ .
Теорема 1. Если 1
c
αµ
< , ( )
0
1 ( )F z dz
+∞
− < ∞∫ , функция
0 ( ), [0, ]u u vϕ ∈ ,
монотонно не убывает и удовлетворяет условию
00 ( ) 1uϕ≤ ≤ , то
(i) все )k uϕ ( непрерывны и монотонно не убывают на интервале [0, ]v ,
0 ( ) 1, 0k u kϕ≤ ≤ ≥ ;
(ii) последовательность { })k uϕ ( фундаментальна в ( )[0, ]L v∞ , и она схо-
дится к решению исходного уравнения , причем
1
k
k p
p
ϕ ϕ− ≤
−
, 1p
c
αµ
= < ;
(iii) предельная функция ( ) lim ( )k
k
u uϕ ϕ→∞= непрерывна и монотонна (не
убывает), кроме того, 0 ( ) 1uϕ≤ ≤ .
Б.В. НОРКИН
12 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
Доказательство. (i). Функция ( )0 ) 1u z F zϕ ( − − монотонна по z , по-
этому интегрируема по Риману (см. [10]), а значит ( )uϕ непрерывна и монотон-
но не убывает. По индукции все ), 1k u kϕ ( ≤ , непрерывны и монотонно не убы-
вают. Заметим, что ( )
0
1 ( )F z dzµ
+∞
= −∫ . Если 0 ) 1k uϕ≤ ( ≤ , то справедливы
неравенства:
( ) ( )1
0
1 ) 1 1 1
u
k k
u u z F z dz
c c
αµ αµ α
ϕ ϕ
µ
+ − ≤ ( ≤ − + − − ≤ ∫ .
Таким образом, по индукции следует, что
11 ) 1, 1kc u kαµ ϕ +− ≤ ( ≤ ≥ .
(ii). Оценим скорость сходимости процесса последовательных приближе-
ний. Справедливо
( ) ( )1
0
) 1 1 ,
u
k k
u u z F z dz
c
αµ α
ϕ ϕ
µ
+ ( = − + − − ∫
( ) ( )1
0
) 1 1 , 0,1,...,
u
k k
u u z F z dz k
c
αµ α
ϕ ϕ
µ
− ( = − + − − = ∫
откуда
( )1 1
0
( ) ( ) ( ) ( ) [1 ( )]
u
k k k k
u u u z u z F z dz
c
α
ϕ ϕ ϕ ϕ+ −− = − − − −∫ ,
[ ] [ ]1 1 1
0 0
1 ( ) 1 ( )
u
k k k k k k
F z dz F z dz
c c
α α
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
+∞
+ − −− ≤ − − ≤ − ⋅ − ≤∫ ∫
1 1 , 1,2,...k k k k
p k
c
αµ
ϕ ϕ ϕ ϕ− −≤ ⋅ − = − =
Тогда для n m>
1
1 1
1 0
n n m
n m k k m m k
k m k
pϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− −
− +
= + =
− ≤ − ≤ − ≤∑ ∑
1 1 0
1 1 1
m m m mp p
p p p
ϕ ϕ ϕ ϕ+ − −
≤ ≤ ≤
− − −
.
Следовательно, последовательность { })k uϕ ( фундаментальна и имеет единст-
венный непрерывный предел ( )uϕ в ( )[0, ]L v∞ при каждом конечном v < +∞ .
Переходя в соотношении (5) к пределу по k при каждом фиксированном u , по-
лучаем, что )uϕ( удовлетворяет исходному уравнению (2). Переходя в нера-
О МЕТОДЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ…
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 13
венстве ( )[0, ]max ( ) ( ) 1n m n m m
u v
u u p pϕ ϕ ϕ ϕ∈− = − ≤ − к пределу по
n → ∞ , получаем ( )1m mp pϕ ϕ− ≤ − .
(iii). Предельная функция )uϕ( непрерывна и монотонна, 0 ) 1,uϕ≤ ( ≤ как
предел непрерывных и монотонных функций ( )k uϕ таких, что 0 ) 1k uϕ≤ ( ≤ .
Лемма 1. (i). Если
0 ) 0) 1u cϕ ϕ αµ( ≡ ( = − , то итерационная последова-
тельность )k uϕ ( монотонно не убывает (возрастает). (ii). Если
0 ( ) 1uϕ ≡ , то
{ })k uϕ ( монотонно не возрастает (убывает).
Доказательство. (i). Для
0 ) 1u cϕ αµ( = − справедливо:
( ) ( ) ( )1 0
0 0
) 1 1 1 1 1
u u
u u z F z dz F z dz
c c c c c
αµ α αµ α αµ
ϕ ϕ
( = − + − − = − + − − =
∫ ∫
( ) 0
0
1 1 1 1 ( ) .
u
F z dz u
c c c
αµ α αµ
ϕ
= − ⋅ + − ≥ − =
∫
Имеет место:
( )[ ]1 1
0
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )
u
k k k k
u u u z u z F z dz
c
α
ϕ ϕ ϕ ϕ+ −− = − − − −∫ . (6)
Таким образом, очевидно, если
1( ) ( ) [0, ]k ku u u vϕ ϕ −≥ ∀ ∈ , то
1( ) ( ) [0, ]k ku u u vϕ ϕ+ ≥ ∀ ∈ . Первое утверждение доказано.
(ii). Пусть
0 ( ) 1uϕ ≡ , тогда
( ) ( ) ( )
( )
1 0
0 0
0
0
) 1 1 1 1
1 1 1 ).
u u
u u z F z dz F z dz
c c c c
F z dz u
c c
αµ α αµ α
ϕ ϕ
αµ α
ϕ
+∞
( = − + − − = − + − ≤
≤ − + − = = (
∫ ∫
∫
По индукции из неравенства (6) следует, что
1( ) ( ) [0, ]k ku u u vϕ ϕ −≥ ∀ ∈ ,
0k > .Таким образом, при старте с начальных функций
0 ) 1uϕ ( = или
0 ) 1u cϕ αµ( = − итерационный процесс монотонно сходится к решению ис-
ходного интегрального уравнения.
Лемма 2. Если начальная функция
0 ) 1uϕ ( = , то для всех k lim ) 1k
u
uϕ
→∞
( = .
Доказательство. Представим 1 2 1 2, 0, 0.u u u u u= + ≥ ≥ В силу леммы 1 все
( )k uϕ монотонно не убывают, поэтому
Б.В. НОРКИН
14 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
[ ] [ ]
1
1 2
0 0
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
u uk k
u z F z dz u u z F z dzϕ ϕ− − ≥ + − − ≥∫ ∫
[ ] [ ]
1 1
2 2
0 0
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) .
u u
k k
u F z dz u F z dzϕ ϕ≥ − = −∫ ∫
Предположим, что lim ) 1k
u
uϕ
→∞
( = . Пусть 1 2 1 2и ,u u u u u= + → ∞ → ∞ → ∞ .
Тогда
[ ]
[ ]
1
0
0
1 lim ( ) lim 1 ( ) 1 ( )
1 lim ( ) lim 1 ( ) 1 1,
u
k k
u u
u
k
u u
u u z F z dz
c c
u F z dz
c c c c
αµ α
ϕ ϕ
αµ α αµ αµ
ϕ
+
→∞ →∞
→∞ →∞
≥ = − + − − ≥
≥ − + ⋅ − = − + =
∫
∫
отсюда по индукции следует, что lim ) 1k
u
u kϕ
→∞
( = ∀ .
Следствие 1. Если
0 ) 1uϕ ( ≡ , то для всех k приближения )k uϕ ( являются
монотонными (не убывающими) непрерывными функциями такими, что
1 0) ) 1k kc uαµ ϕ ϕ− = ( ≤ ( ≤ и lim ( ) 1k
k
uϕ→∞ = .
Лемма 3. Если ( ) 1k Ruu eϕ −≥ − , то и
1( ) 1k Ruu eϕ + −≥ − , где R - константа
Лундберга, являющаяся корнем уравнения (3).
Доказательство. Пусть ( ) 1k Ruu eϕ −≥ − , тогда
( )( )1 ( )
0
( ) 1 1 1 ( )
u
k R u z
u e F z dz
c c
αµ α
ϕ + − −≥ − + − − =∫
( ) ( )
0 0
1 1 ( ) 1 ( )
u u
Ru Rz
F z dz e e F z dz
c c c
αµ α α−= − + − − − =∫ ∫
( ) ( ) ( )( )
0 0
1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
u
R z u Ru Rz
u
F z dz e F z dz e e F z dz
c c c c
αµ α α α+∞ +∞
− −= − + − + − − − ≥∫ ∫ ∫
( ) ( )
0
1 1 ( ) 1 ( )
u
Ru
u
F z dz F z dz e
c c c
αµ α α +∞
−≥ − + − + − − =∫ ∫
( )
0
1 1 ( ) 1 .Ru Ru
e F z dz e
c c
αµ α +∞
− −= − − + − = −∫
Следствие 2. Если
0 ( ) 1uϕ ≡ , то ( ) 1 0k Ruu e kϕ −≥ − ∀ ≥ .
О МЕТОДЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ…
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 15
Следствие 3. Если
0 ( ) 1 Ruu eϕ −= − , то последовательность функций
{ }( )k uϕ монотонно возрастает и сходится к решению ( )uϕ уравнения (2).
Метод разложения по малому параметру. Обозначим 1q cαµ= − , тогда
( )1c qα µ= − , и уравнение (2) примет вид:
( ) ( )
0
1
) 1
uq
u q u z F z dzϕ ϕ
µ
−
( = + − − ∫ . (7)
Как показывает оценка теоремы 1 метод последовательных приближений для
решения интегрального уравнения (7) работает тем лучше, чем ближе q к 1, и
оценка скорости сходимости становится плохой при q близких к 0. В последнем
случае целесообразно применить метод разложения решения ( )uϕ по малому
параметруq . Представим
0
( , ) ( ) k
kk
u q u qϕ ϕ
+∞
=
=∑ . Так как ( ,0) 0uϕ ≡ , то
0 ( ) 0uϕ ≡ . Подставив разложение ( , )u qϕ в уравнение (7) и приравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степеняхq , получаем:
( ) ( )1 1
0
( ) 1 1 ( ) 1 ( )
u
u u z F z dzϕ µ ϕ= + − −∫ ,
( ) ( )1
0 0
1 1
( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) , 2,3,...
u u
k k k
u u z F z dz u z F z dz kϕ ϕ ϕ
µ µ −= − − − − − =∫ ∫
Таким образом коэффициенты разложения ( )
k
uϕ удовлетворяют интегральным
уравнениям Вольтерра, которые могут быть последовательно решены числен-
ными методами.
Обозначим 0 ( ) 1f u ≡ , ( ) ( )
0
( ) 1 ( ) 1 ( )
u
k k
f u u z F z dzµ ϕ= − − −∫ . Очевидно,
( ) ( ) 1
0
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )
u
k k k
u u z F z dz f uϕ µ ϕ −= − − +∫ ,
0 1f = , ( ) ( )1 [0, ] 1 1
0
max ( ) 1 1 ( ) , 1, 2,...
k u v k k
f u F z dz kϕ µ ϕ
+∞
− ∈ − −≤ ⋅ − = =∫ .
Для функции ( )
k
uϕ с учетом того, что 0 1 ( ) 1F u≤ − ≤ , справедлива оценка (см.
[9, гл.9, §3]): 1 10 !
i
v kv
k k kii
v
f e f e
i
µ µϕ
µ
+∞
− −=
≤ = ≤∑ .
Ряд
1
( , ) ( ) k
kk
u q u qϕ ϕ
+∞
=
=∑ заведомо абсолютно сходится на отрезке [0, ]v при
1vqe µ < и является решением уравнения (7). Таким образом, при данном q по-
следовательные приближения
1
( , ) ( )
kk i
ii
u q u qϕ ϕ
=
=∑ заведомо сходятся к ре-
шению уравнения (7) на интервале ( )0, ln 1 qµ ⋅ .
Б.В. НОРКИН
16 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
Пример 1 . Пусть ( )( ) ( )( )( ) 1 exp (1 ) 1 expF z z zε ε ε= − − + − − − ,
( )
0
1 ( ) 2F z dzµ ε
+∞
= − = −∫ .
Обозначим 1q cαµ= − , тогда ( )1c qα µ= − , вероятность небанкроства
( )uϕ зависит от начального капитала u и двух параметров ,q µ . Параметр q
выражается через страховую надбавку ( ) ( ) ( ) 1c cρ αµ αµ αµ= − = − сле-
дующим образом: ( )1q ρ ρ= + . Так как реальные значения страховой надбав-
ки могут быть близки к нулю, то и значения параметра q могут быть близки к
нулю. Пусть 0.1qε = = . Итерационный процесс для решения уравнения (7)
можно записать в виде
( )( ) ( ) ( )1
0
) 1 1 , 0,1,...
u
k k
u q q u z F z dz kϕ µ ϕ+ ( = + − − − = ∫ .
Если
0 ( ) 1uϕ ≡ , то согласно лемме 1 последовательность приближений моно-
тонно убывает, а согласно лемме 2 lim ( ) 1k
u
uϕ→+∞ = . Ход итераций показан на
рис. 1.
О МЕТОДЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ…
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 17
Если
0 ( ) (0)u qϕ ϕ≡ = , то согласно лемме 1 последовательность приближений
монотонно возрастает, ход соответствующих итераций показан на рис. 2.
Согласно теореме 1 априорная оценка точности приближений имеет вид:
[0, ]max ( ) ( ) (1 )k k
u v k
u u q qϕ ϕ δ∈ − ≤ − = . Из расчетов следует, что реальная
точность приближений значительно выше, чем указанная априорная точность,
например, 30 0.4239δ = .
Заключение. В работе детально исследованы свойства последовательных
приближений для нахождения вероятности небанкротства ( )uϕ классического
процесса риска. Показано, что для рассматриваемого уравнения Вольтерра, ко-
торому удовлетворяет ( )uϕ , сжатие имеет место на каждой итерации с коэффи-
циентом 1
c
αµ
λ = < равномерно по всем [0, )u ∈ +∞ , что обеспечивает высо-
кую скорость сходимости при всех u . Показано, что при старте из начальных
функций
0 ( ) 1uϕ ≡ и
0 ( ) (0) 1u
c
αµ
ϕ ϕ≡ = − последовательные приближения
монотонно сходятся к решению ( )uϕ , а при старте из начальной функции
0 ( ) 1uϕ ≡ все последовательные приближения ( )k uϕ удовлетворяют условию
( ) 1k Ruu eϕ −≥ − , где 0R > − константа Лундберга, и таким образом выполнены
граничные условия ( ) 1kϕ +∞ = на каждой итерации и в пределе, ( ) 1ϕ +∞ = .
Для случая малых страховых нагрузок, когда метод последовательных прибли-
жений может медленно сходиться, обоснован другой метод нахождения ( )uϕ , а
именно, метод разложения ( )uϕ по малому параметру, причем коэффициенты
Б.В. НОРКИН
18 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
разложения находятся путем решения последовательности некоторых инте-
гральных уравнения Вольтерра, уже не содержащих малого параметра. Теорети-
ческие результаты проиллюстрированы на численном примере, в частности, по-
казано, что асимптотическое приближение Крамера-Лундберга для вероятности
банкротства может значительно отличаться от точных значений этой вероятно-
сти даже при больших значениях u .
Б.В. Норкін
ПРО МЕТОД ПОСЛІДОВНИХ НАБЛИЖЕНЬ ДЛЯ ОБЧИСЛЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ БАН-
КРУТСТВА КЛАСИЧНОГО ПРОЦЕСУ РИЗИКУ
Досліджений метод послідовних наближень Пікара для розв’язання інтегрального рівняння
відновлення (Вольтерра), якому задовольняє ймовірність (не)банкрутства класичного проце-
су ризику. З’ясовані збіжність, монотонність та швидкість збіжності наближень у всій області
можливих початкових значень процесу ризику. Результати проілюстровані чисельними роз-
рахунками.
B.V.Norkin
ON A SUCCESIVE APPROXIMATION METHOD FOR CALCULATION OF THE RUIN
PROBABILITY FOR A CLASSICAL RISK PROCESS
Probability of (non)ruin for the classical risk process is searched as a solution of a renewal
(Volterra) integral equation. Picard’s successive approximation method for the solution of this
equation is applied. Convergence, monotonicity, and rate of convergence of approximations is
explored for the whole range of the process initial values. Theoretical results are illustrated by
numeral calculations.
1. Beard R.E., Pentikäinen T., Pesonen E. Risk Theory. The Stochastic Basis of Insurance. 3-rd
edition. – London, New York: Chapman and Hall, 1984. – 408 p.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – М.: Мир, 1967. – 2. – 752с.
3. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко Я.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та
статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. – К.: Інформтехніка, 1995. –
380 с.
4. Asmussen S. Ruin Probabilities. – Singapore: World Scientific, 2000. – 385 p.
5. Наконечный А.Н. Оценка Монте-Карло для вероятности разорения в сложной пуассонов-
ской модели теории риска // Кибернетика и системный анализ. – 1995. – № 6. – С.160–162.
6. Коваленко И.Н., Наконечный А.Н., Романов А.Б. Метод чебышевских приближений функ-
ций распределения неотрицательных случайных величин // Кибернетика и системный
анализ. – 1996. – № 2. – С.73–81.
7. Schock Petersen S. Calculation of ruin probabilities when the premium depends on the currant
reserve // Scand. Act. J. – 1989. – P.147–159.
8. Братийчук Н.С., Гусак Д.В. Граничные задачи для процессов с независимыми прира-
щениями. – Киев: Наук. думка, 1990. – 264 с.
9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. –
М.: Наука, 1981. – 544 с.
Получено 01.06.2003
|